高中数学三角函数解三角形题型归类
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三角函数解三角形题型归类
一知识归纳:
(一)任意角、弧度制及任意角的三角函数 1.角的概念
(1)任意角:①定义:角可以看成平面内 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 ;②分类:角按旋转方向分为 、 和 .
(2)所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S = .
(3)象限角:使角的顶点与 重合,角的始边与 ,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限. 2.弧度制
(1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号rad 表示,读作弧度.正角的弧度数是一个 ,负角的弧度数是一个负数 ,零角的弧度数是 . (2)角度制和弧度制的互化:180°=π rad,1°=π180
rad ,
1 rad =⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
180π°. (3)扇形的弧长公式:l =|α|·r ,扇形的面积公式:S =12
lr
=12
|α|·r 2. 3.任意角的三角函数
(1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点
P (x ,y ),那么sin α= ,cos α= ,tan α
= .
(2)任意角α的终边与单位圆交于点P (x ,y )时,sin α
=y ,cos α=x ,tan α=y
x
(x ≠0)
4.三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦. (二)公式概念
1.三角函数诱导公式⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫k 2π+α(k ∈Z)的本质 奇变偶不变(对k 而言,指k 取奇数或偶数),符号看象限(看原函数,同时把α看成是锐角). 2.两角和与差的三角函数公式
(1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β; (2)cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β; (3)tan(α±β)=tan α±tan β1∓tan αtan β.
3.二倍角公式
(1)sin 2α=2sin αcos α;
(2)cos 2α=cos 2
α-sin 2
α=2cos 2
α-1=1-2sin 2
α,
cos 2
α=1+cos 2α
2
,
sin 2
α=1-cos α2;(3)tan 2α=2tan α
1-tan 2
α
. (三)正、余弦定理及其变形: 1.正弦定理及其变形 在△ABC 中,a sin A =b sin B =c
sin C
=2R (其中R 是外接圆的半径);
a =2R sin A ,
b =2R sin B ,
c =2R sin C ; sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c
2R
.
2.余弦定理及其变形
a 2=
b 2+
c 2-2bc cos A ; cos A =b 2+c 2-a
2
2bc
.
b 2= ; cos B = ;
c 2= . cos C = .
3.三角形面积公式:
S △ABC =12ah =12ab sin C =12ac sin B =_________________=
abc 4R =1
2
(a +b +c )·r (R 是三角形外接圆半径,r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算R ,r .
2.整体法:求y=A sin(ωx+φ)(ω>0)的单调区间、周期、值域、对称轴(中心)时,将ωx+φ看作一个整体,利用正弦曲线的性质解决.
3.换元法:在求三角函数的值域时,有时将sin x(或cos x)看作一个整体,换元后转化为二次函数来解决.4.公式法:y=A sin(ωx+φ)和y=A cos(ωx+φ)的
最小正周期为2π
|ω|
,y=A tan(ωx+φ)的最小正周期为
π
|ω|
.
(2016年全国卷1)
4.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知5a =
,
2c =,2
cos 3
A =
,则b = (A )2
(B )3
(C )2
(D )3
6.将函数2sin(2)6
y x π=+的图象向右平移14
个周期后,所得图象
对应的函数为 (A )2sin(2)
4
y x π=+
(B )2sin(2)3
y x π=+
(C )2sin(2)
4
y x π=-
(D )2sin(2)3
y x π=-
14.已知θ是第四象限角,且3
sin()45
πθ+=
,则
tan()4π
θ-=
————————————. (2015年 全国卷1)
8. 函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示,则()f x 的单调递减区间为( )
(A )13(,),44
k k k Z ππ-+∈
(B )13(2,2),44
k k k Z ππ-+∈
(C )13(,),44
k k k Z -+∈
(D )13(2,2),44
k k k Z -+∈
17. (本小题满分12分)已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边,2sin 2sin sin B A C =. (I )若a b =,求cos ;B (II )若90B =,且2,a = 求ABC ∆的面积.