高中数学三角函数解三角形题型归类
三角函数高考题型分类总结
三角函数高考题型分类总结根据出现频率和难度程度，三角函数的高考题型可以分为以下几类：1.求解三角函数值：给定某个角度，求其正弦、余弦、正切等函数值。
这是三角函数的基本应用，通常难度较低。
2.证明恒等式：要求学生运用三角函数的基本公式和性质，证明某些三角函数的恒等式。
难度较高。
3.解三角形：给定某些三角形的一些角度或边长，要求学生利用三角函数的基础知识求解其余角度或边长。
难度较高。
4.求解三角方程：给定某些三角函数的式子，要求学生解出该式的解集。
这种题型通常需要学生掌握一定的三角函数公式，难度较高。
5.综合应用：要求学生将三角函数运用到实际问题中，如求解高度、距离等。
考察学生对三角函数的理解和应用能力。
难度较高。
除了以上几种常见的题型，还可能出现一些变形题，需要学生根据题目情况灵活运用三角函数的知识。
总的来说，三角函数在高考中的重要性不言而喻，学生需要扎实掌握相关知识和技能。
6.三角函数的图像与性质：考察三角函数的图像、周期、奇偶性、单调性等性质，需要学生掌握函数图像的绘制和相关概念的理解。
7.复合三角函数：考察学生对三角函数复合的概念和公式的掌握，需要注意不同变换下函数值的变化。
8.三角函数的导数：考察学生对三角函数的导数概念和计算方法的掌握，包括链式法则、求导公式等内容。
9.反三角函数：考察学生对反三角函数的定义、性质和公式的掌握，需要注意定义域、值域和解的判断。
10.三角函数的应用：考察学生将三角函数用于实际问题的解决，如解决三角形、距离等问题。
总的来说，三角函数是高中数学中重要的一部分，掌握好三角函数的知识对于高考的成绩至关重要。
在复习中，学生需要注重基础知识的巩固，深入理解概念和定理，做好练习题和真题的训练，同时灵活应用所学知识解决实际问题。
三角函数十大题型
三角函数十大题型三角函数是数学中的重要概念，与几何图形和三角形的关系密切相关。
在学习三角函数时，有一些常见的题型是必须要熟练掌握的。
下面将介绍三角函数的十大题型以及解题方法。
1. 求角度的正弦、余弦、正切值对于给定的三角函数值，如正弦值sinα=1/2，我们需要求出对应的角度α。
对于求解这类问题，我们可以通过查表法或使用计算器进行近似计算。
2. 求角度的值域与周期对于三角函数中的角度，不同的函数具有不同的值域和周期。
例如，正弦函数的值域是[-1, 1]，周期是2π。
需要掌握各个三角函数的值域和周期，以便在解题过程中进行合理的计算和判断。
3. 角度的性质和恒等变换三角函数中的角度具有一些特殊的性质和恒等变换，如正弦函数的奇偶性、余弦函数的周期性等。
掌握这些性质和变换可以简化问题的求解过程。
4. 通过图像求解问题三角函数的图像可以帮助我们理解和解决问题。
例如，通过观察正弦函数的图像，我们可以确定其最大值、最小值、零点等信息，从而解决与角度相关的问题。
5. 解三角函数方程三角函数方程是指包含三角函数的方程，需要求解其中的未知量。
解三角函数方程时，我们可以通过恒等变换、化简和换元等方法，将其转化为简化的方程组或方程，从而求解出未知量的值。
6.求三角函数的导数求三角函数的导数是解决曲线变化问题的基础。
通过计算三角函数的导数，我们可以求解与速度、加速度等相关的问题。
7. 三角函数的图像变换通过对三角函数进行平移、伸缩和翻转等图像变换，可以得到新的三角函数图像。
掌握这些图像变换可以帮助我们更好地理解和运用三角函数。
8. 三角函数的复合运算在三角函数的求解过程中，经常会遇到要求解三角函数的复合运算，如sin(2x)、cos(2x)等。
掌握三角函数的复合运算可以帮助我们简化问题，并得到更简洁的解答。
9. 三角函数与三角恒等式的运用三角函数与三角恒等式是数学中的重要工具，可以帮助我们简化问题，并得到更方便的解答。
掌握三角函数与三角恒等式的运用可以提高解题的效率和准确性。
三角函数与解三角形题型归纳及习题含详解
题型 53 终边相同的角的集合的表示与区别 思路提示
（1） 终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方 法解决.
（2） 注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也 可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标
4. 熟练运用同角三角函数函数关系式和诱导公式进行三角函数式的化简、求值
和简单恒等式的证明.
命题趋势探究
1.一般以选择题或填空题的形式进行考查.
2.角的概念考查多结合函数的基础知识.
3.利用同角三角函数关系式和诱导公式进行三角函数式的化简、求值是重要考点. 知识点精讲 一、基本概念
正角---逆时针旋转而成的角； （1）任意角 负角---顺时针旋转而成的角；
二、任意角的三角函数 1.定义 已 知 角 终 边 上 的 任 一 点 P(x, y) （ 非 原 点 O ）， 则 P 到 原 点 O 的 距 离
r OP x2 y2 0 . sin y , cos x , tan y .
r
r
x
此定义是解直三角形内锐角三角函数的推广.类比，对 y ，邻 x ，斜 r ， 如图 4-2 所示.
的终边逆时针旋转整数圈，终边位置不变.
注：弧度或 rad 可省略 （5）两制互化：一周角= 3600 2 r 2 （弧度），即 1800 .
r
1（弧度）
180
0
57.30
57018
故在进行两制互化时，只需记忆 1800 ，10 两个换算单位即可：如： 180
5 5 1800 1500 ； 360 36 .
C. 0, ，是第一、二象限角
高三专题三角函数与解三角形总结归纳
三角函数一. 任意角的概念与弧度制 （一）角的概念的推广 1.角概念的推广：在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角就是多少度角.按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角.习惯上将平面直角坐标系x 轴正半轴作为角的起始边，叫做角的始边.射线旋转停止时对应的边叫角的终边. 2.特殊命名的角的定义：（1）正角，负角，零角 ：见上文.（2）象限角：角的终边落在象限内的角，根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角. （3）轴线角：角的终边落在坐标轴上的角.终边在x 轴上的角的集合： {}|180,k k Z ββ=⨯︒∈ 终边在y 轴上的角的集合： {}|18090,k k Z ββ=⨯︒+︒∈终边在坐标轴上的角的集合：{}|90,k k Z ββ=⨯︒∈ （4）终边相同的角：与α终边相同的角：2,x k k Z απ=+∈ （5）与α终边反向的角：()21,x k k Z απ=++∈终边在y x =轴上的角的集合：{}|18045,k k Z ββ=⨯︒+︒∈ 终边在y x =-轴上的角的集合：{}|18045,k k Z ββ=⨯︒-︒∈（6）若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：180,k k Z αβ=⨯︒+∈ （7）成特殊关系的两角若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：360,k k Z αβ=⨯︒-∈ 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：360180,k k Z αβ=⨯︒+︒-∈ 若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：36090,k k Z αβ=⨯︒+±︒∈注意： （1）角的集合表示形式不唯一； （2）终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同.（二）弧度制1.弧度制的定义：lRα=2.角度与弧度的换算公式：180π︒= 3602π︒= 10.01745︒= 157.305718'=︒=︒注意： （1）正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；（2）一个式子中不能角度、弧度混用.二. 任意角三角函数 （一）三角函数的定义 1.任意角的三角函数定义正弦r y =αsin ，余弦r x =αcos ，正切xy=αtan ，余切y x =αcot2.三角函数的定义域（二）单位圆与三角函数线 单位圆的三角函数线定义如图（1）PM 表示α角的正弦值，叫做正弦线；OM 表示α角的余弦值，叫做余弦线. 如图（2）AT 表示α角的正切值，叫做正切线.注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负.（三）同角三角函数的基本关系式（1）sin csc 1,cos sec 1,tan cot 1αααααα⋅=⋅=⋅= （2）商数关系：ααααααcot sin cos ,tan cos sin == （3）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+=（四）诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）()()()()sin sin cos cos tan tan cot cot πααπααπααπαα+=-+=-+=+= ()()()()s i n 2s i n c o s 2c o s t a n 2t a n c o t 2c o t πααπααπααπαα-=--=-=--=-()()()()s i n s i n c o s c o s t a n t a n c o t c o tπααπααπααπαα-=-=--=--=-sin cos 2cos sin 2tan cot 2πααπααπαα⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫+=- ⎪⎝⎭⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ s i n c o s 2c o s s i n 2t a n c o t 2πααπααπαα⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭三. 三角函数的图象与性质（一）基本图象1.正弦函数2.余弦函数3.正切函数（二）函数图象的性质正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质四. 和角公式 两角和与差的公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsinsin cos cos )cos(+=-βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+()s i n s i n c o sc o s s i nαβαβαβ-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-五. 倍角公式和半角公式 （一）倍角与半角公式αααcos sin 22sin =2cos 12sin αα-±=ααααα2222sin211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 2cos 12cos αα+±= ααα2tan 1tan 22tan -=s i n 1c o s t a n 21c o s s i n αααααα-==+（二）万能公式2tan 12tan2sin 2ααα+= 2tan 12tan 1cos 22ααα+-= 2tan 12tan2tan 2ααα-=六. 三角函数的积化和差与和差化积公式()()1s i n c o s s i n s i n 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦ ()()1c o ss i n s i n s i n 2αβαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦ ()()1c o s c o s c o s c o s 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦ ()()1s i n s i n c o s c o s 2αβαβαβ=-+--⎡⎤⎣⎦ s i n s i n 2s i n c o s 22αβαβαβ+-+= 2c o s 2c o s 2c o s c o s βαβαβα-+=+s i n s i n 2c o s s i n 22αβαβαβ+--= co s c o s 2s i n s i n 22αβαβαβ+--=-sin15cos 754︒=︒=sin 75cos154︒=︒=tan15cot 752︒=︒=tan 75cot152︒=︒=+七. 辅助角公式（合一变形）()sin cos ,tan ,,22b a x b x x a ππϕϕϕ⎛⎫+=+=∈- ⎪⎝⎭一. 恒等变换 （一）基础题型1.（2015·福建）若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α=（ ） A.125B.125- C.512D.512-2.已知α是第二象限的角，()4tan 23πα+=-，则tan α=________3.=________4.已知0θπ<<，1tan 47πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin cos θθ+=________5.方程()233102x ax a a +++=>两根tan ,tan αβ，且,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ+=________6.已知()tan 4cos 2,22ππθπθθ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，则tan2θ=（ ）A.C.（二）诱导公式1.已知奇函数()f x 在[]1,0-上为单调减函数，若,αβ为锐角三角形内角，则（ ）A.()()cos cos f f αβ>B.()()sin sin f f αβ>C.()()sin cos f f αβ<D.()()sin cos f f αβ>2.已知,,2παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且cos sin 0αβ+>，则下列各式中成立的是（ ）A.αβπ+<B.32παβ+>C.32παβ+=D.32παβ+<（三）互余互补sin cos 2πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ c o s s i n 2πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ sin()sin πθθ-= c o s ()c o sπθθ-=-1.已知4cos 35πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________；2cos 3πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭2.（2016·广州检测）已知1cos 123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 则5sin 12πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）A.13 B.3C.13-D.3-3.（2017·合肥模拟）已知1cos cos ,,63432ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅-=-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求sin 2α的值； （2）求1tan tan αα-的值.（四）配凑角（已知条件会给θ范围）1.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭2.设()21tan ,tan 544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.138B.322C.1318D.13223.（2017·成都模拟）若()sin 2,sin 510αβα=-=且3,,,42ππαπβπ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则αβ+=（ ） A.74πB.94πC.54π或74πD.54π或94π4.若()111cos ,cos ,0,,,71422ππααβααβπ⎛⎫⎛⎫=+=-∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则β=（ ）A.3π- B.6πC.3πD.6π-5.若3335,,0,,cos ,sin 44445413πππππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈∈-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()sin αβ+=________6.已知sin sin 3παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.45-B.35-C.45D.35（五）升角（一倍角、二倍角转换） 解题思路：2cos 212sin θθ=- 2c o s 22c o s 1θθ=-一） 升角+诱导公式1.（2016·宿州模拟）若1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.9B.9-C.79D.79-2.已知锐角θ满足2sin 263θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭=（ ）A.19-C. D.193.（2016·南昌三模）已知tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 2α=（ ）A.34B .35C.34-D.35-4.已知1sin 43x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 42cos3sin x x x -=（ ）A.79B.79-C.9D.9-二）升角+互余、互补1.已知1sin 33x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin cos 233x x ππ⎛⎫⎛⎫---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________2.（2017·江西新余三校联考）已知7cos 238x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 3x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.14B.78C.14±D.78±三）升角+配凑1.已知锐角θ满足2sin 263θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ）A.19-B.9C.9-D.192.已知33cos ,4522πππαα⎛⎫+=≤< ⎪⎝⎭，则cos 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________3.已知cos 0,4102ππθθ⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________ （六）平方一）sin cos c θθ+=解题思路：2(sin cos )1sin 2θθθ±=± 1.已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=________2.已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin cos 222αα+=，则cos α=________3.已知1sin cos 3αα+=，则2sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.118B.1718C.89D.94.已知()1sin cos ,,05x x x π+=∈-.（1）求sin cos x x -的值；（2）求2sin 22sin 1tan x xx+-的值．5.已知4sin cos 034πθθθ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，则sin cos θθ-=________6.若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3cos 2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A.118B.118-C.1718D.1718-7.若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =+-的最小值为（ ）A.12-+B.12+ C.18.若,22sin sin =+βα则βαcos cos +的取值范围________二）sin cos a b c θθ+=1.已知2sin cos 2αα+=，则tan 2α=________2.（2016·厦门质检）若2sin 21cos2αα=-，则tan α=________3.（2016·开封模拟）已知12sin 5cos 13αα-=，则tan α=（ ）A.512- B.125-C.125±D.712±4.已知sin αα+=tan α=（ ）A.2C.2-D.（七）12tan tan sin 2θθθ+= （2016·青岛模拟）化简：211tan sin 22cos tan 2αααα⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭________（八）齐次式 1.若tan 2α=，则2sin 3cos 4sin 9cos αααα-=-________；224sin 3sin cos 5cos αααα--=________2.（2015·广东）已知tan 2α=.（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值.3.（2016·天一大联考）已知函数()()log 24a f x x =-+（0a >且1a ≠），其图象过定点P ，角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P ，则sin 2cos sin cos αααα+=-________4．（广东省广州2017届高三下学期第一次模拟）已知tan 2θ=，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则co s 2θ=（ ） A.45B.35C.35-D.45-5.已知3tan 5α=-，则sin 2α=（ ）A.1517B.1517- C.817-D.8176.若sin 3sin 02παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A.35-B.35C.45-D.45二. 三角函数图象的变换 （一）图象平移和伸缩1.将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）A.12x π= B.6x π=C.3x π=D.12x π=-2.已知函数()()()sin cos 0,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）A.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B.()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增3.将函数()()cos f x x x x R =∈的图象向左平移()0αα>个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则α的最小值为（ ）A.12πB.6πC.3πD.56π4.已知函数()()()sin 2cos 0y x x πϕπϕϕπ=+-+<<的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ=______5.（2014·辽宁卷）将函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A.在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B.在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C.在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D.在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增6.（2017·渭南模拟）由()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则()f x 的解析式为（ ）A.()32sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.()2sin 66f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()32sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.()2sin 63f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7.（2014·安徽）若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值为（ ） A.8πB.4πC.38πD.5π48.（2016·广东汕头模拟）将函数()sin 6y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12倍，再把图象上各点向左平移4π个单位长度，则所得的图象的解析式为（ ） A.5sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B.1sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.15sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9.当4x π=时，函数()()()sin 0f x A x A ϕ=+>取得最小值，则函数34y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是（ ） A.奇函数且图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称B.偶函数且图象关于点(),0π对称C.奇函数且图象关于直线2x π=对称D.偶函数且图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称10.（2016·长沙四校联考）将函数()()sin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-≤< ⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度得到sin y x =的图象，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A.52,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B.52,2,66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C.5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D.5,,66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦11.为了得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可将函数sin 2y x =的图象（ ）A.向左平移56π个单位长度 B.向右平移56π个单位长度 C.向左平移512π个单位长度D.向右平移512π个单位长度12.（2013·新课标全国卷Ⅱ）函数()()cos 2y x ϕπϕπ=+-≤<的图象向右平移2π个单位后，与函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合，则ϕ=________二）图象求解析式1.若函数()f x 具有以下两个性质：①()f x 是偶函数；②对任意实数x ，都有44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()f x 的解析式可以是（ ） A.()cos f x x =B.()cos 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.()sin 42f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.()cos6f x x =2.已知()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<在同一周期内当12x =时取最大值，当12x =时取最小值，与y 轴的交点为(，则()f x =____________3.已知函数)0,()sin()(πϕϕ<<∈+=R x x x f ，若点1,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数26y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上，则ϕ=_________4.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，对于任意x 都有66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________5.（2017·安徽江南十校联考）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，且对任意x R ∈，都有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，则()f x 图象的一个对称中心的坐标是（ ）A.2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭C.2,03π⎛⎫⎪⎝⎭D.5,03π⎛⎫⎪⎝⎭6.已知函数()()3sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭和()()3cos 2g x x ϕ=+的图象的对称中心完全相同，若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的取值范围________7.（2015·湖南）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的12,x x ，有12min 3x x π-=，则ϕ=（ ） A.512πB.3πC.4πD.6π8.（2016·安徽芜湖一模）函数()()sin ,0,2f x x x R ωϕωϕ⎛⎫=+∈>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若122,,63x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，则()12f x x +=（ ）A.2-B.12-C.12D.29.（2017·石家庄模拟）函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则1124f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A.2- B.2-C.2-D.1-10.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A.6π- B .6πC.3π-D.3π11.已知函数()()sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则6y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭取得最小值时x 的集合为________12.已知函数()()cos f x A x ωϕ=+的图象如图所示，223f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则6f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A.23-B.12-C.23D.1213.（2016·泉州质检）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若tan 3α=，则8f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.35-B.45-C. D.三．特殊三角函数最值1.当06x π<≤时，函数()22cos cos sin sin xf x x x x=-的最小值为________2.求函数()2cos ,0,sin xy x xπ-=∈的最小值.3.（2016·全国Ⅱ）函数()cos 26cos 2f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最大值为（ ）A.4B.5C.6D.74.函数273sin 2cos ,,66y x x x ππ⎡⎤=--∈⎢⎥⎣⎦的值域为________5.求函数2sin 12sin 1x y x +=-的值域.6.求函数sin 2cos xy x=-的最小值.7.求函数2cos y x=+的值域.8.若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2214s in c o s αα+的最小值为________9.求函数()()1sin 3sin 2sin x x y x++=+的最值及对应的x 的集合.四．参数相关1.已知0ω>，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，则ω的取值范围________2.（2016·全国乙卷）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（ ）A.11B.9C.7D.53.已知函数()()2sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭在区间,126ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦则ϕ的取值范围（ ）A.0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.,04π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D.,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4.若函数()()s i n 0f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=________5.已知0ω>, ()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围（ ）A.15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.10,2⎛⎫⎪⎝⎭D.(]0,26.若已知0ω>，函数()cos 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围________7.已知()()sin 0,363f x x f f πππωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间错误！未找到引用源。
高中数学 考前归纳总结 解三角形常考基本问题归类
解三角形常考基本问题归类正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。
在近几年高考中主要有以下五大命题热点：一、求解斜三角形中的基本元素：指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问 题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．例1、ABC ∆中，3π=A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（ ） A．)33B π++ B．)36B π++ C ．6sin()33B π++ D ．6sin()36B π++ 分析：由正弦定理，求出b 及c ，或整体求出b ＋c ，则周长为3＋b ＋c 而得到结果．解：由正弦定理得：32sin sin sin sin sin sin sin()33b c b c b c B C B C B B ππ++====++-， 得b ＋c＝B ＋sin(23π－B )]＝6sin()6B π+． 故三角形的周长为：3＋b ＋c ＝6sin()36B π++，故选(D)． 评注：由于本题是选择题也可取△ABC 为直角三角形时，即B ＝6π，周长应为33＋ 3，故排除(A)、(B)、(C)．而选(D)．例2、在ΔABC 中，已知66cos ,364==B AB ，AC 边上的中线BD =5，求sin A 的值． 分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sin A ．解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE //AB ，且36221==AB DE ，设BE ＝x 在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BD cos 2222⋅-+=， x x 6636223852⨯⨯++=，解得1=x ，37-=x （舍去） 故BC =2，从而328cos 2222=⋅-+=B BC AB BC AB AC ， 即3212=AC 又630sin =B ，故2sin A =1470sin =A 二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．例3 在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形解法1：由C B A sin cos sin 2=＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，得sin(A －B )＝0，得A ＝B ．故选(B)．解法2：由题意，得cos B ＝sin 2sin 2C c A a =，再由余弦定理，得cos B ＝2222a c b ac+-． ∴ 2222a c b ac+-＝2c a ，即a 2＝b 2，得a ＝b ，故选(B)． 评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)．三、解决与面积有关问题：主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题． 例4、在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则ABC ∆的面积S ＝_________ 分析：本题只需由余弦定理，求出边AC ，再运用面积公式S ＝21AB •AC sin A 即可解决． 解：由余弦定理，得cos A ＝2222254912102AB AC BC AC AB AC AC +-+-==-∙∙， 解得AC ＝3．∴ S ＝21AB •AC sin A ＝4315． ∴21AB •AC •sin A ＝21AC •h ，得h ＝AB • sin A ＝223，故选(A)． 四、求值问题 例5、 在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，设c b a 、、满足条件 222a bc c b =-+和321+=b c ，求A ∠和B tan 的值． 分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．解：由余弦定理212cos 222=-+=bc a c b A ，因此，︒=∠60A 在△ABC 中，∠C=180°－∠A －∠B=120°－∠B.由已知条件，应用正弦定理BB BC b c sin )120sin(sin sin 321-︒===+ ,21cot 23sin sin 120cos cos 120sin +=︒-︒=B B B B 解得,2cot =B 从而.21tan =B 五、正余弦定理解三角形的实际应用：利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广 泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：（一.）测量问题例1 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸标记物C ，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm ，求河的宽度。
高三高考文科数学《三角函数》题型归纳与汇总
高三高考文科数学《三角函数》题型归纳与汇总高考文科数学题型分类汇总：三角函数篇本文旨在汇总高考文科数学中的三角函数题型，包括定义法求三角函数值、诱导公式的使用、三角函数的定义域或值域、三角函数的单调区间、三角函数的周期性、三角函数的图象变换和三角函数的恒等变换。
题型一：定义法求三角函数值这类题目要求根据三角函数的定义，求出给定角度的正弦、余弦、正切等函数值。
这类题目的难点在于熟练掌握三角函数的定义，以及对角度的准确度量。
题型二：诱导公式的使用诱导公式是指通过对已知的三角函数进行代数变形，得到新的三角函数值的公式。
这类题目需要熟练掌握各种诱导公式，以及灵活应用。
题型三：三角函数的定义域或值域这类题目要求确定三角函数的定义域或值域。
需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数的定义域和值域的概念和计算方法。
题型四：三角函数的单调区间这类题目要求确定三角函数的单调区间，即函数在哪些区间上单调递增或单调递减。
需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数单调性的判定方法。
题型五：三角函数的周期性这类题目要求确定三角函数的周期。
需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数周期的计算方法。
题型六：三角函数的图象变换这类题目要求根据给定的变换规律，确定三角函数图象的变化。
需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对图象变换的计算方法。
题型七：三角函数的恒等变换这类题目要求根据已知的三角函数恒等式，进行变形和推导。
需要掌握各种三角函数的恒等式，以及灵活应用。
2）已知角α的终边经过一点P，则可利用点P在单位圆上的性质，结合三角函数的定义求解．在求解过程中，需注意对角终边位置进行讨论，避免忽略或重复计算．例2已知sinα=0.8，且α∈[0,π2]，则cosα=．答案】0.6解析】∵sinα=0.8，∴cosα=±√1-sin²α=±0.6XXXα∈[0,π2]，∴cosα>0，故cosα=0.6易错点】忘记对cosα的正负进行讨论思维点拨】在求解三角函数值时，需注意根据已知条件确定函数值的正负，避免出现多解或无解的情况．同时，需根据角度范围确定函数值的取值范围，避免出现超出范围的情况．题型二诱导公式的使用例3已知tanα=√3，且α∈(0,π2)，则sin2α=．答案】34解析】∵ta nα=√3，∴α=π/30<α<π/2，∴0<2α<πsin2α=sin(π-2α)=sinπcos2α-cosπsin2α=-sin2α2sin2α=0，∴sin2α=0sin2α=3/4易错点】忘记利用诱导公式将sin2α转化为sin(π-2α)思维点拨】在解决三角函数的复合问题时，可利用诱导公式将一个三角函数转化为其他三角函数的形式，从而简化计算．同时，需注意根据角度范围确定函数值的取值范围，避免出现超出范围的情况．题型三三角函数的定义域或值域例4已知f(x)=2sinx+cosx，则f(x)的值域为．答案】[−√5,√5]解析】∵f(x)=2sinx+cosx=√5(sin(x+α)+sin(α-x))，其中tanα=-121≤sin(x+α)≤1，-1≤sin(α-x)≤15≤f(x)≤√5f(x)的值域为[−√5,√5]易错点】忘记利用三角函数的性质将f(x)转化为含有同一三角函数的形式思维点拨】在确定三角函数的定义域或值域时，可利用三角函数的性质将其转化为含有同一三角函数的形式，从而方便计算．同时，需注意对于复合三角函数，需先将其转化为含有同一三角函数的形式，再确定其定义域或值域．题型四三角函数的单调区间例5已知f(x)=sin2x，则f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为．答案】[0,π/4]∪[3π/4,π]解析】∵f'(x)=2cos2x=2(2cos²x-1)=4cos²x-2f'(x)>0的充要条件为cosx12f(x)在[0,π/4]∪[3π/4,π]上单调递增易错点】忘记将f'(x)化简为含有同一三角函数的形式，或对于三角函数的单调性判断不熟练思维点拨】在求解三角函数的单调区间时，需先求出其导数，并将其化简为含有同一三角函数的形式．然后，利用三角函数的单调性进行判断，得出函数的单调区间．题型五三角函数的周期性例6已知f(x)=sin(2x+π)，则f(x)的周期为．答案】π解析】∵sin(2x+π)=sin2xcosπ+cos2xsinπ=-sin2xf(x)的周期为π易错点】忘记利用三角函数的周期性质思维点拨】在求解三角函数的周期时，需利用三角函数的周期性质，即f(x+T)=f(x)，其中T为函数的周期．同时，需注意对于复合三角函数，需先将其转化为含有同一三角函数的形式，再确定其周期．题型六三角函数的图象变换例7已知f(x)=sinx，g(x)=sin(x-π4)，则g(x)的图象相对于f(x)的图象向左平移了．答案】π4解析】∵g(x)=sin(x-π4)=sinxcosπ4-cosxsinπ4g(x)的图象相对于f(x)的图象向左平移π4易错点】忘记利用三角函数的图象变换公式，或对于三角函数的图象不熟悉思维点拨】在求解三角函数的图象变换时，需利用三角函数的图象变换公式，即y=f(x±a)的图象相对于y=f(x)的图象向左（右）平移a个单位．同时，需对于各种三角函数的图象有一定的了解，以便准确判断图象的变化情况．题型七三角函数的恒等变换例8已知cosα=12，且α∈(0,π2)，则sin2α的值为．答案】34解析】∵cosα=12，∴sinα=√3/2sin2α=2sinαcosα=√3/2×1/2=3/4易错点】忘记利用三角函数的恒等变换公式思维点拨】在求解三角函数的恒等变换时，需熟练掌握三角函数的基本恒等式和常用恒等式，从而简化计算．同时，需注意根据已知条件确定函数值的正负，避免出现多解或无解的情况．已知角α的终边所在的直线方程，可以通过设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义来解决相关问题。
高中数学三角函数与解三角形题型总结最新最全版含答案
三角函数1、三角函数对称性。
（1）涉及奇偶性的初相:对称中心可以是正弦、余弦函数的函数值为0，对称轴可以使正弦、余弦的函数值得到最大最小值。
)(x f =）（j w +x A sin ），（00¹¹w A 的图象关于直线x=t 对称Û)(t f =±A ；)(x f =）（j w +x A sin ），（00¹¹w A 的图象关于点（的图象关于点（t t ，0）对称Û)(t f =0=0；；1.【2012全国1，文3】若函数()sin 3x f x j +=(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( C )A ．π2 B ．2π3 C ．3π2 D ．5π32、已知()sin()cos()f x x x j j =-+-为奇函数，则j 的一个取值为（D ）A ．0B ．pC ．2pD ．4p3、（2017盐城三模）若()3sin()cos()()22f x x x ppq q q =+-+-££是定义在R 上的偶函数，则q =▲.3p-2.用代数符号的对称轴与对称中心的判定,注意周期性与对称性的联系①若()y f x =图像有相邻两条对称轴,()x a x b a b ==¹，则()y f x =必是周期函数，且一周期为2||T a b =-；（简单记为“相邻两轴距离，半个周期”）②若()y f x =图像有相邻两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ¹，则()y f x =是周期函数，且一周期为2||T a b =-；（简单记为“相邻两心距离，半个周期”）③如果函数()y f x =的图像有相邻一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =¹，则函数()y f x =必是周期函数，且一周期为4||T a b =-；（简单记为“相邻轴心距离，四分之一个周期”） 1.（2018·东城区期末·2）函数3sin(2)4y x p=+图像的两条相邻对称轴之间的距离是CA.2pB. pC.2p D.4p2．（2018全国新课标Ⅰ文）已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（B ）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为43（2018全国新课标Ⅱ文）若在是减函数，则的最大值是（C ）A ．B ．C ．D ．j ()cos sin f x x x =-[0,]a a π4π23π4π4．（2018全国新课标Ⅱ理）若在是减函数，则的最大值是（的最大值是（ A ） A ． B ． C ． D ．5．（2018全国新课标Ⅲ文）函数的最小正周期为（C ）A ．B ．C ．D ．6．（2018北京文）在平面坐标系中，，，，是圆上的四段弧（如图），点在其中一段上，角以为始边，为终边，为终边，若，则所在的圆弧是（C ） A ．B ．C ．D ．7．（2018全国新课标Ⅰ文）已知角a 的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23a =，则ab -=（B ）A ．15B ．55C ．255D ．18、【2012年新课标卷文9】已知>0，，直线=和=是函数图像的两条相邻的对称轴，则= A （A ）π4（B ）π3（C ）π2（D ）3π49、（河南省内黄一中2014届高三12月月考）若函数，满足，则的值为的值为 C A C A ． B ． C ．0 D ．10.【广东省佛山市2017届高三教学质量检测（一）】下列函数中，同时满足两个条件“①x R "Î，01212f x f x p p æöæö++-=ç÷ç÷èøèø；②当63x p p -<<时，()'0f x >”的一个函数是（”的一个函数是（C C ） A ．()sin 26f x x p æö=+ç÷èø B ．()cos 23f x x p æö=+ç÷èø C.()sin 26f x x p æö=-ç÷èø D ．()cos 26f x xp æö=-ç÷èø11、（潮州市2016届高三上期末）函数()c o s f x x x =-[,a a -a π4π23π4π2t a n()1tan x f x x=+4p 2p p 2p »AB »CD »EF ¼GH 221x y +=P a Ox OP t a n c o s a aa <<P »AB »CD »EF ¼GH w 0j p <<x 4p x 54p ()s i n (f x x wj =+j ()s i n (f x x j =+()(f a x f a x+=-()6f a p +321±12()sin()(0,)2f x x p w j w j =+><｜｜的部分图象如图所示，如果12,(,)63x x p p Î-，且12()()f x f x =，则12()2x x f +等于DA 、12B 、22C 、32D 、112．【2018北京大兴联考】设函数（是常数），若，则，，之间的大小关系可能是（之间的大小关系可能是（ B B ） A. B. C. D. 13．【2018辽宁庄河两校联考】已知函数（为常数，）的图像关于直线对称，则函数的图象（的图象（C C） 根据条件可得(0)()3f f p = A. 关于点对称对称 B. B.关于点对称C. 关于直线对称对称 D. D. 关于直线对称对称14.【2017天津，理7文7】设函数()2sin()f x x w j =+，x ÎR ，其中0w >，||j <p .若5()28f p =，()08f 11p =，且()f x 的最小正周期大于2p ，则，则A （A ）23w =，12j p = （B ）23w =，12j 11p =- （C ）13w =，24j 11p =- （D ）13w =，24j 7p=15．（2018全国新课标Ⅰ理）已知函数，则的最小值是_____________．3、三角函数图像变换，五点法画三角函数sin()y A x B w j =++图像。
专题4 解三角形中的计算求值问题-12个类型(原卷版)-2024届高三三角函数与解三角形重点题型
专题4解三角形中的计算求值问题·12类题型目录知识点梳理 (2)一、中线或比例端点的处理策略： (2)二、高线问题的处理策略： (3)三、角平分线问题的处理策略： (3)四、解三角形多解情况 (4)高考真题梳理与回顾 (5)2023年新课标全国Ⅱ卷真题：已知中线长 (5)2023年高考全国甲卷数学(理)真题.T16角平分线相关计算 (6)2021新高考一卷T20：三等分线相关计算 (7)题型一周长与面积相关计算 (11)2022.佛山二模 (11)2024届.广东省六校第二次联考 (11)2023.福州二模 (12)2023.湛江.一模 (12)2023.湖北5月联考 (12)2022.深圳二模 (13)题型二给值求角型 (13)2023.广东.二模 (13)2023.广州一模 (13)2023.重庆.三模 (13)题型三角平分线相关计算 (14)2023.厦门第四次质检 (14)2023.广东省六校高三第四次联考 (15)2024届.云南省昆明华区高三上期中 (15)题型四中线相关计算 (15)2023.广州天河区一模 (15)2023广州市.一模 (16)2023.重庆九龙坡二模 (16)2023.莆田市二模 (16)2023.青岛.三模 (17)2023.福州三模 (17)题型五三等分线或其它等分线 (18)2023.广州市二模 (18)2023届.巴蜀中学适应性月考（十） (18)2023.雅礼中学二模 (18)2023.重庆一中高三5月月考 (19)2023.深圳二模 (19)题型六高线线相关计算 (20)题型七其它中间线 (22)2023.台州二模 (22)2023上.肇庆.二模 (23)题型八二倍角的处理策略 (24)广东省六校2024届第一次联考 ..................................................................................................... 24 题型九 三角形解的个数问题 ....................................................................................................................... 25 题型十 解三角形的实际应用 .. (26)类型1 距离问题 ...................................................................................................................................... 26 类型2 高度问题 ...................................................................................................................................... 27 题型十一 与三角函数结合 ........................................................................................................................... 29 题型十二 重心，外心相关计算 . (30)知识点梳理中间线的处理通用策略：用2次余弦定理，邻补角余弦值为相反数，即cos cos 0ADB ADC +=∠∠一、中线或比例端点的处理策略：如图，△ABC 中，AD 为BC 的中线，已知AB ，AC ，及∠A ，求中线AD 长．策略一：如图，倍长中线构造全等,再用余弦定理即可策略三：两次余弦定理，邻补角余弦值为相反数，即cos cos 0ADB ADC +=∠∠二、 高线问题的处理策略：策略一：等面积法：sin AD BC AB AC BAC ⋅=⋅⋅∠ 策略二：sin =sin AD AB ABD AC ACD =⋅⋅∠∠ 策略三：a c COS Bb COS C =⋅+⋅ 三、角平分线问题的处理策略：△策略一：角平分线定理：DAC CDΑΒΒ= 证法1（等面积法）1212=ABD ACD S BD h AB h S CD h AC h ⋅⋅=⋅⋅，得D AC CDΑΒΒ= 注：1h 为A 到BC 的距离，2h 为D 到AB,AC 的距离. 证法2（正弦定理） 如图，sin 3sin 1D ΑΒΒ=∠∠，sin 4sin 2C CD Α=∠∠,而sin 1sin 2,sin 3sin 4==∠∠∠∠整理得DAC CDΑΒΒ= 策略二：利用两个小三角形面积和等于大三角形面积处理SS ∆AABBCC =SS ∆AABBAA +SS ∆AAAACC ⟹12×AAAA ×AAAA ×ssss ss AA =12×AAAA ×AAAA ×ssss ss AA2+12×AAAA ×AAAA ×ssss ss AA2，策略三：角互补：∠AAAAAA +∠AAAAAA =ππ⟹ccccss∠AAAAAA +ccccss∠AAAAAA =0, 在△AAAAAA 中，ccccss∠AAAAAA =AAAA 2+AABB 2−AABB 22AAAA ×AABB ,在△AAAAAA 中，ccccss∠AAAAAA =AAAA 2+AACC 2−AACC 22AAAA ×AACC,四、解三角形多解情况在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：sin a b A =sin A a <<a b ≥高考真题梳理与回顾2023年新课标全国Ⅱ卷真题：已知中线长【详解】（1）方法1：在ABC 中，因为D 为BC 中点，π3ADC ∠=，1AD =，则1111sin 12222ADC ABC S AD DC ADC a S =⋅∠=××===4a =，在ABD △中，2π3ADB ∠=，由余弦定理得2222cos c BD AD BD AD ADB =+−⋅∠， 即2141221()72c =+−×××−=，解得c =cos B =，sinB ， 所以sin tan cos BBB ==方法2：在ABC 中，因为D 为BC 中点，π3ADC ∠=，1AD =， 则1111sin 12222ADC ABC S AD DC ADC a S =⋅∠=××=== 4a =， 在ACD 中，由余弦定理得2222cos b CD AD CD AD ADB =+−⋅∠，即214122132b =+−×××=，解得b =，有2224AC AD CD +==，则π2CAD ∠=， π6C =，过A 作AE BC ⊥于E ，于是3cos ,sin 2CE AC C AE AC C ====，52BE =，所以tan AEBBE ==（2）方法1：在ABD △与ACD 中，由余弦定理得222211121cos(π)4211121cos 42c a a ADC b a a ADC =+−×××−∠=+−×××∠，整理得222122a b c +=+，而228b c +=，则a =又11sin 2ADC S ADC =×∠= sin 1ADC ∠=，而0πADC <∠<，于是π2ADC ∠=，所以2b c ==.方法2：在ABC 中，因为D 为BC 中点，则2AD AB AC =+ ，又CB AB AC =−，于是2222224()()2()16AD CB AB AC AB AC b c +=++−=+=，即2416a +=，解得a =又11sin 2ADC S ADC =×∠= sin 1ADC ∠=，而0πADC <∠<，于是π2ADC ∠=，所以2b c ==.2023年高考全国甲卷数学(理)真题·T16 角平分线相关计算【详解】如图所示：记,,AB c AC b BCa ===， 方法一：由余弦定理可得，22222cos 606b b +−×××= ， 因为0b >，解得：1b =+ 由ABCABD ACD S S S =+ 可得， 1112sin 602sin 30sin 30222b AD AD b ×××=×××+××× ， 解得：2AD =． 故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22222cos606b b +−×××= ，因为0b >，解得：1b =2sin sin b B C =，解得：sin B =sin C = 因为1+>>45C = ，180604575B =−−= ，又30BAD ∠= ，所以75ADB ∠= ，即2ADAB ==．2021新高考一卷T20：三等分线相关计算记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.【答案】（1）证明见解析；（2）7cos 12ABC ∠=. 【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有acBD b=，结合已知即可证结论.（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边a 与c 的关系，然后利用余弦定理即可求得cos ABC ∠的值.【详解】（1）设ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理，得sin sin,22b cR ABC C R==∠， 因为sin sin BD ABC a C ∠=，所以22b cBD a R R⋅=⋅，即BD b ac ⋅=． 又因为2b ac =，所以BD b =．（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理因为2AD DC =，如图，在ABC 中，222cos 2a b c C ab+−=，①在BCD △中，222()3cos 23ba b b a C +−=⋅．② 由①②得2222223()3b a b c a b +−=+− ，整理得22211203a b c −+=． 又因为2b ac =，所以2261130a ac c −+=，解得3ca =或32c a =， 当22,33c c a b ac ===时，3c a b c +=+<（舍去）．当2233,22c c a b ac ===时，22233()722cos 31222c c ABC c c c +⋅−==⋅∠． 所以7cos 12ABC ∠=．[方法二]：等面积法和三角形相似 如图，已知2AD DC =，则23ABD ABC S S =△△， 即21221sin sin 2332b ac AD A B BC ×=××∠∠，而2b ac =，即sin sin ADB ABC ∠=∠， 故有ADB ABC ∠=∠，从而ABD C ∠=∠． 由2b ac =，即b c a b =，即CA BACB BD=，即ACB ABD ∽， 故AD ABAB AC=，即23bc c b =，又2b ac =，所以23c a =，则2227cos 212c a b ABC ac +−==∠． [方法三]：正弦定理、余弦定理相结合 由（1）知BD b AC ==，再由2AD DC =得21,33AD b CD b ==． 在ADBsin BDA=．又ABD C ∠=∠，所以s 3sin n 2i C b Ab=，化简得2sin sin 3C A =． 在ABC 中，由正弦定理知23c a =，又由2b ac =，所以2223b a =．在ABC 中，由余弦定理，得222222242793cos 221223a a a a cb ABC ac a +−−×∠+===．故7cos 12ABC ∠=． [方法四]：构造辅助线利用相似的性质如图，作DE AB ∥，交BC 于点E ，则DEC ABC △∽△．由2AD DC =，得2,,333c a aDE EC BE ===． 在BED 中，2222()()33cos 2323BED a c b a c −=⋅∠+⋅．在ABC 中222cos 2a a BC c A b c+−=∠．因为cos cos ABC BED ∠=−∠， 所以2222222()()3322233a c ba cb ac ac +−+−=−⋅⋅，整理得22261130a b c −+=．又因为2b ac =，所以2261130a ac c −+=， 即3c a =或32a c =．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因为2AD DC =，所以2AD DC =．以向量,BA BC为基底，有2133BD BC BA =+ ． 所以222441999BD BC BA BC BA =+⋅+ ， 即222441cos 999b ac c ABC a ∠=++， 又因为2b ac =，所以22944cos ac a ac ABC c ⋅∠=++．③ 由余弦定理得2222cos b a c ac ABC =+−∠， 所以222cos ac a c ac ABC =+−∠④ 联立③④，得2261130a ac c −+=． 所以32a c =或13a c =．下同解法1．重点题型·归类精练2022·佛山二模2024届·广东省六校第二次联考3．ABC 的角,,A B C 的对边分别为,,,1,a b c AB AC ABC ⋅=−a =ABC 的周长.2023·湛江·一模求a ．2023·湖北5月联考的周长.6．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2B A =，当4,6a b ==时，求ABC 的面积S ．题型二 给值求角型2023·广东·二模2023·广州一模8．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2,2sin 3sin2c b A C =，求sin C .2023·重庆·三模9．已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，sin()tan sin sin A B C A B −=．题型三角平分线相关计算2023·厦门第四次质检2023·广东省六校高三第四次联考且1AD =，2BD CD =，求ABC 的周长.2024届·云南省昆明市五华区高三上期中12．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c AD 平分BAC ∠且交BC 于点D ．已知1,AD ACD =△的面积为1，若2CD BD =，求tan BAC ∠．题型四 中线相关计算2023·广州天河区一模ABC 的中线，求AD 的长.2023·重庆九龙坡二模求边BC 的中线AD 的长.2023·莆田市二模16．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a =，D 为AB 的中点，且CD =．的周长．求ABC2023·福州三模18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 的面积.ABC题型五三等分线或其它等分线2023·广州市二模∠.求tan BAD2023届·巴蜀中学适应性月考（十）2023·雅礼中学二模2023·重庆一中高三5月月考BC=．2023·深圳二模AM的长度.题型六高线线相关计算24．（2023秋·山东泰安·高三统考阶段练习）△AAAAAA的内角AA,AA,AA的对边分别为aa,bb,cc，已知AA=135°,bb=2,cc=√2.(1)求sin AA的值；(2)若AA是AAAA上一点，AAAA⊥AAAA，求△AAAAAA的面积.25．△AAAAAA中，角AA,AA,AA的对边分别为aa,bb,cc,2sin2AA+2sin2AA+2sin AA sin AA+cos[2(AA+AA)]=1，∠AA的平分线交AAAA边于AA，过AA作AADD⊥AAAA，垂足为点DD.(1)求角A的大小；(2)若bb=2,cc=4，求AADD的长.26．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，6a =，sin2b A B =.(1)若1b =，证明：π2CA =+；(2)若BC ，求ABC 的周长.27．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin 2a c b c A b c+−=−．(1)求A ；(2)若14b c =，且BC 边上的高为a ．28．已知H 为锐角△AAAAAA 的垂心，AAAA ,AADD ,AACC 为三角形的三条高线，且满足9HHAA ⋅HHDD ⋅HHCC =HHAA ⋅HHAA ⋅HHAA .(1)求cos AA cos AA cos AA的值.(2)求cos∠AAAAAA⋅cos∠AAAAAA的取值范围.题型七其它中间线2023·台州二模BC=．2023上·肇庆·二模题型八 二倍角的处理策略广东省六校2024届第一次联考33．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2A B =，求证：22a b bc −=；34．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且4b =．若2A B =，且ABC 的边长均为正整数，求a ．35．已知,,a b c 分别是ABC 的角,,A B C 的对边，()sin sin sin 2cos2b B a A C b B c −=−. (1)求证：2A B =；(2)求ca的取值范围.题型九 三角形解的个数问题36．在ABC ∆中，2c =，cos sin a C c A =，若当0a x =时的ABC ∆有两解，则0x 的取值范围是 ．37．若满足3ABC π∠=，3AC =，BC m =的ABC ∆恰有一解，则实数m 的取值范围是 ．38．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c ，且3B π=，若(0)b c x x =>，当ABC ∆仅有一解时，写出x 的范围，并求a c −的取值范围．39．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =°，若(0)ab m m =>，当ABC ∆有且只有一解时，求实数m 的范围及ABC ∆面积S 的最大值．题型十 解三角形的实际应用 类型1 距离问题40．一游客在A 处望见在正北方向有一塔B ，在北偏西45°方向的C 处有一寺庙，此游客骑车向西行1km 后到达D 处，这时塔和寺庙分别在北偏东30°和北偏西15°，则塔B 与寺庙C 的距离为______km .41．（2023·全国·高三专题练习）山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“∞”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A 与其附近一建筑物楼顶B 之间的距离，无人机在点C 测得点A 和点B 的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D ，此时测得点A 和点B 的俯角分别为45°和60°（A ，B ，C ，D 在同一铅垂面内），则A ，B 两点之间的距离为______米.42．如图，为了测量,A C 两点间的距离，选取同一平面上的B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度（单位：km ）：5AB =，8BC =，3CD =，5DA =，且,,,A B C D 四点共圆，则AC 的长为_________km .43．如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得灯塔底部C在北偏东15°方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，此时测得灯塔底部C在北偏东60°方向上，测得塔顶P的仰角为60°，已知灯塔高为．则巡逻船的航行速度为______km/h．类型2 高度问题44．如图，某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度，先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高300m的M处（即300mMD=），观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，则山高BC=_________m．45．如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A、B两地，A处位于东西方向的直线MN上的陆地处，B处位于海上一个灯塔处，在A处用测角器测得3tan4BAN∠=，在A处正西方向1km的点C处，用测角器测得tan 1BCN ∠=.现有两种铺设方案:①沿线段AB 在水下铺设；②在岸MN 上选一点P ，设BPN θ∠=，0,2πθ∈，先沿线段AP 在地下铺设，再沿线段PB 在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km 、4万元/km.(1) 求A 、B 两点间的距离；(2)请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由.46．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D .现测得35BCD α∠==°，100BDC β∠==°，400m CD =.在点C 测得塔顶A 的仰角为50.5°. (1)求B 与D 两点间的距离（结果精确到1m ）；(2)求塔高AB （结果精确到1m ）.350.811°=80 1.393°=，tan 50.5 1.2°=.47．中国古代数学名著《海岛算经》记录了一个计算山高的问题（如图1）：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合.从后表却行百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几何?假设古代有类似的一个问题，如图2，要测量海岛上一座山峰的高度AH，立两根高48丈的标杆BC和DE，两竿相距BD=800步，D，B，H三点共线且在同一水平面上，从点B退行100步到点F，此时A，C，F三点共线，从点D退行120步到点G，此时A，E，G三点也共线，则山峰的高度AH=_________步.（古制单位:180丈=300步）题型十一与三角函数结合48．已知函数ff(xx)=2sin(ωωxx+φφ)�ωω>0,|φφ|<π2�的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且ff(xx)的图象的一个对称中心为�5π12,0�.(1)求ff(xx)的解析式；(2)在△AAAAAA中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知AA=π3，aa=ff(AA)，且△AAAAAA的面积为√312，求△AAAAAA的周长.49．已知向量mm��⃗=(cos xx,sin xx)，ss�⃗=�cos xx,√3cos xx�，xx∈R，设函数ff(xx)=mm��⃗⋅ss�⃗+12(1)求函数ff(xx)的单调递增区间；(2)设aa，bb，cc分别为△AAAAAA的内角AA，AA，AA的对边，若ff(AA)=2，bb+cc=2√2，△AAAAAA的面积为12，求aa的值．50．已知△AAAAAA的内角A，AA，AA所对的边分别为aa，bb，cc，ff(xx)=4cos xx sin�xx−π6�的最大值为ff(AA).(1)求角AA；(2)若点AA在AAAA上，满足AAAA=3AAAA，且AAAA=√7，AAAA=√3，求角C.题型十二重心，外心相关计算51．已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且222=+．c a b38(1)求cos B 的最小值；(2)若M 为ABC 的重心，90AMC ∠=°，求sin sin AMB CMB∠∠．52．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c sin cos cos ,B a C c A b G −==为ABC 的重心． (1)若2a =，求c 的长；(2)若AG =ABC 的面积．53．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为,,,6,sin sin 2B C a b c a b a B +==． (1)求A 的大小；(2)M 为ABC 内一点，AM 的延长线交BC 于点D ，___________，求ABC 的面积． 请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使ABC 存在，并解决问题．①M 为ABC 的重心，AM =②M 为ABC 的内心，AD =；③M 为ABC 的外心，4AM =．54．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 是公差为2的等差数列.(1)若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积.(2)是否存在正整数b ，使得ABC 的外心在ABC 的外部?若存在，求b 的取值集合；若不存在，请说明理由.55．在ABC 中，角A ，B ，C 对应的三边分别为a ，b ，c ，(tan 1)(tan 1)2A B ++=，c =2a =，O为ABC 的外心，连接OA ，OB ，OC ．（1）求OAB 的面积；（2）过B 作AC 边的垂线交于D 点，连接OD ，试求cos OBD ∠的值．56．在 ABC 中，三内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，a ＝6．(1)求b cos C ＋c cos B 的值；(2)若O 是 ABC0OA OB OC →→→→+=，求 ABC 外接圆的半径．。
解三角形题型总结
解三角形题型总结解三角形题目是高中数学中的常见题型，主要涉及到三角函数、三角公式、特殊三角形等概念和性质。
在解题时，需要掌握相应的知识和技巧，并且要善于分析题目，灵活运用所学的知识。
下面对解三角形题目的常见类型进行总结。
第一类：已知两边和夹角，求第三边或第三角在这类题目中，一般可以利用余弦定理或正弦定理来解答。
余弦定理适用于已知两边和夹角、求第三边或第三角的情况，公式如下：c² = a² + b² - 2ab*cosC正弦定理适用于已知两边和夹角、求第三边或第三角的情况，公式如下：a/sinA = b/sinB = c/sinC根据题目给出的已知条件，可以根据余弦定理或正弦定理列方程解题，注意化简、代数运算的技巧。
第二类：已知三边，求夹角或面积在这类题目中，一般可以利用余弦定理、正弦定理或面积公式来解答。
面积公式适用于已知三边、求面积的情况，公式如下：S = (a*b*sinC)/2根据题目给出的已知条件，可以根据余弦定理、正弦定理或面积公式列方程解题，注意化简、代数运算的技巧。
其中，求夹角时，如果已知三边可以利用余弦定理求出对应的夹角。
第三类：已知两角和一边，求另一边在这类题目中，一般可以利用正弦定理或余弦定理来解答。
根据题目给出的已知条件，可以根据正弦定理或余弦定理列方程解题，注意化简、代数运算的技巧。
第四类：特殊三角形特殊三角形有等边三角形、等腰三角形和直角三角形。
对于等边三角形，三个内角均为60°，三边相等；对于等腰三角形，两个内角相等，两边相等；对于直角三角形，一个内角为90°，另两个内角之和为90°，一边为直角边。
对于特殊三角形的解题思路如下：- 等边三角形：根据已知条件可解出三角形的各边长和角度。
- 等腰三角形：根据已知条件可解出三角形的各边长和角度。
- 直角三角形：根据已知条件可利用勾股定理和三角函数求解。
在解特殊三角形题目时，需要注意特殊性质的应用，如等边三角形中的三个角均为60°，等腰三角形中的两个角相等等。
专题4-4 三角函数与解三角形大题综合归类-(原卷 版)
专题4-4 三角函数与解三角形大题综合归类目录一、热点题型归纳【题型一】三角函数求解析式：“识图”................................................................................................. 1 【题型二】图像与性质1：单调性与值域................................................................................................ 3 【题型三】图像与性质2：恒等变形：结构不良型 ................................................................................ 4 【题型四】图像与性质3：恒成立（有解）求参数 ................................................................................ 5 【题型五】图像与性质4：零点与对称轴................................................................................................ 6 【题型六】解三角形1：面积与周长常规................................................................................................ 8 【题型七】解三角形2：计算角度与函数值 ............................................................................................ 9 【题型八】解三角形3：求面积范围（最值） ...................................................................................... 10 【题型九】解三角形4：周长最值 ......................................................................................................... 11 【题型十】解三角形5：巧用正弦定理求“非对称”型 ...................................................................... 11 【题型十一】解三角形6：最值范围综合.............................................................................................. 12 二、真题再现 ............................................................................................................................................ 12 三、模拟测试 .. (14)【题型一】三角函数求解析式：“识图”【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）函数()sin(π),R f x A x x ϕ=+∈（其中π0,02A ϕ>≤≤）部分图象如图所示，1(,)3P A 是该图象的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点．(1)求()f x 的最小正周期及ϕ的值；(2)若π4PMN PNM ∠+∠=，求A 的值．1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求函数()g x ≥.2.（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示：(1)求()f x ；(2)若2f α⎛⎫= ⎪⎝⎭()0,πα∈，求cos2α的值．3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()sin ,0,0,2f x A x x R A ωϕωϕπ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭部分图象如图所示.(1)求()f x 的最小正周期及解析式； (2)将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位长度得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【题型二】图像与性质1：单调性与值域【典例分析】（2022·浙江·高三开学考试）已知函数()21cos cos 2f x x x x =⋅-. (1)求函数()f x 的单调递增区间； (2)求()f x 在区间［0，2π］上的最值.【变式演练】1.（2022·湖北·高三开学考试）已知函数2()sin cos sin sin 44f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求()f x 的最小正周期;(2)若[0,]x π∈，求出()f x 的单调递减区间.2.（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）已知函数()sin 2cos 22sin cos .36f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；(2)将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =在[0，2π]上的单调递减区间.3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()2sin cos cos 04f x x x x ππωωωω⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．(1)求()f x 图象的对称轴方程；(2)将()f x 的图象向左平移6π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【题型三】图像与性质2：恒等变形：结构不良型【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）在①sin α=①2tan 40αα-=这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.已知角a 是第一象限角，且___________. (1)求tan α的值；(2)3)cos()cos(3)2πααπαπ+++-的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【变式演练】1.（2022·北京·二模）已知函数2()cos cos (0,)ωωωω=++>∈R f x x x x m m ．再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择能确定函数()f x 的解析式的两个作为已知． (1)求()f x 的解析式及最小值；(2)若函数()f x 在区间[]0,(0)t t >上有且仅有1个零点，求t 的取值范围． 条件①：函数()f x 的最小正周期为π；条件①：函数()f x 的图象经过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭；条件①：函数()f x 的最大值为32．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin cos 0,0f x a x x a ωωω=＞＞．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数()f x 存在且唯一确定．条件①：π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；条件①：()f x 为偶函数；条件①：()f x 的最大值为1；条件①：()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2． 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求()f x 的解析式；(2)设()()22cos 1g x f x x ω=-+，求函数()g x 在()0,π上的单调递增区间．3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2sin cos f x a x x x x =∈R ，若__________．条件①：0a >，且()f x 在x ∈R 时的最大值为1条件①：6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭请写出你选择的条件，并求函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．注：如果选择条件①和条件①分别解答，按第一个解答计分．【题型四】图像与性质3：恒成立（有解）求参数【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()π2sin()3f x x =+．(1)若不等式()3f x m -≤对任意ππ[,]63x ∈-恒成立，求整数m 的最大值；(2)若函数()π()2g x f x =-，将函数()g x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移12π个单位，得到函数()y h x =的图象，若关于x 的方程()102h x k -=在π5π[,]1212x ∈-上有2个不同实数解，求实数k 的取值范围．【变式演练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量2sin 2,26m x π⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21,sin n x =，()f x m n =⋅，其中0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． (1)求函数()f x 的单调增区间； (2)将函数()f x 的图象所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向下平移1个单位得到()g x 的图象，若()g x m =在5,824x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恰有2个解，求m 的取值范围．2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)先将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到()g x 的图象.（i ）若0m >，当[0,]x m ∈时，()g x 的值域为[2]，求实数m 的取值范围；（ii ）若不等式2()(21)()10g x t g x t -+--≤对任意的,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数t 的取值范围.3.（2022·全国·高三专题练习）已知：函数()2sin cos f x x x x =． (1)求()f x 的最小正周期； (2)求()f x 的单调递减区间；(3)若函数()()g x f x k =-在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，写出实数k 的取值范围．（只写结论）【题型五】图像与性质4：零点与对称轴【典例分析】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()4cos cos 1(0)3f x x x πωωω⎛⎫=⋅-- ⎪>⎝⎭的部分图像如图所示，若288AB BC π⋅=-，B ，C 分别为最高点与最低点．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()y f x m =-在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有且仅有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，（123x x x <<），求实数m 的取值范围，并求出123 cos (2)x x x ++的值．【变式演练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin()0,0,||2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象上所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．当130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()0g x a -=恰有三个不相等的实数根()123123,,x x x x x x <<，求实数a 的取值范围和1232x x x ++的值．2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin()0,0,||2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象上所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，若方程()0g x m -=在70,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个不相等的实数根()123123,,x x x x x x <<，求m 的取值范围及()123tan 2x x x ++的值．3.（2023·全国·高三专题练习）已知数2()2sin 1(0)6212x f x x πωπωω⎛⎫⎛⎫=+++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的相邻两对称轴间的距离为2π. (1)求()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域；(3)对于第（2）问中的函数()g x ，记方程4()3g x =在4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的根从小到大依次为12,,n x x x ，若m =1231222n n x x x x x -+++++，试求n 与m 的值.【题型六】解三角形1：面积与周长常规【典例分析】（2022·安徽·高三开学考试）在ABC 中，点,M N 分别在线段,BC BA 上，且,BM CM ACN BCN =∠=∠，3,22AB AM AC ===．(1)求BM 的长;(2)求BCN △的面积．【变式演练】1.（2022·北京·高三开学考试）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,,sin2sin =a b c C C ． (1)求C ∠；(2)若1b =，且ABCABC 的周长．2.（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，)tan tan tan tan 1+=B C B C . (1)求角A 的大小；(2)若1a =，21)0c b -=，求ABC 的面积.3.（2022·云南昆明·高三开学考试）已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos 0B b A -=. (1)求A ；(2)若c =a =ABC 的面积.【题型七】解三角形2：计算角度与函数值【典例分析】（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ==-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值.【变式演练】1.（2021·天津静海·高三阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足()()2sin 2sin 2sin a b A b a B c C -+-=. (1)求角C 的大小；(2)若c =4a b +=，求ABC 的面积.(3)若cos =A ，求()sin 2A C -的值.2.（2022·北京市第二十二中学高三开学考试）已知ABC 的内角,,A B C 所对的对边分别为,,a b c ，周长为1，且sin sin A B C +． (1)求c 的值；(2)若ABC 的面积为1sin 6C ，求角C 的大小．3.（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC 的面积)222S a c b =+-． (1)求角B 的大小；(2)若2a c =，求sin C ．【题型八】解三角形3：求面积范围（最值）【典例分析】（2022·云南·昆明一中高三开学考试）已知ABC 的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且222sin sin sin sin A B C B C -=. (1)求A ；(2)若a =ABC 面积的最大值.【变式演练】1.（2022·河南·高三开学考试（文））已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 所对的边，且()()sin sin sin sin a c b A C B c B +--+=(1)求角A 的大小；(2)若a =ABC 面积的最大值.2.（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知ABC 的外接圆半径R =tan tan B C +=．(1)求B 和b 的值；(2)求ABC 面积的最大值．3.（2021·江苏·矿大附中高三阶段练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，设sin cos sin (2cos )A B B A =-．(1)若b c +，求A ；(2)若2a =，求ABC 的面积的最大值．【题型九】解三角形4：周长最值【典例分析】（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin sin sin A B C A B +-=. (1)求角C 的大小；(2)若ABCABC 周长的取值范围.【变式演练】1.（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）已知ABC 中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若()2cos cos 0a c B b C --=.(1)求角B 的大小；(2)若2b =，求a c +的最大值.2.（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）在锐角ABC 中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，从条件①：3sin cos tan 4A A A =，条件①12=，条件①：2cos cos cos a A b C c B -=这三个条件中选择一个作为已知条件． (1)求角A 的大小；(2)若2a =，求ABC 周长的取值范围．3.（2022·广东·高三开学考试）已知锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对边为a 、b 、c ，= (1)求角A ；(2)若4a =，求b c +的取值范围．【题型十】解三角形5：巧用正弦定理求“非对称”型【典例分析】（2022·四川成都·模拟预测（理））①ABC 中，角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，tan tan 2tan tan A AB C bc，cos cos 1b C c B +=．(1)求角A 及边a ； (2)求2b c +的最大值．【变式演练】1.（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且5sin sin 35cos cos cos2B C B C A -=+． (1)求角A 的大小；(2)若a =2b c +的最大值．2..（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）在①()()222sin 2sin B c a C b c a b -=+-，①23cos cos cos 24A C A C --=，tan tan A B =+这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =_______． (1)求角B ﹔(2)求2a c -的范围．【题型十一】解三角形6：最值范围综合【典例分析】（2022·浙江·高三开学考试）记ABC 内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知tan tan 2tan tan tan B CB A A=-.(1)求证：2222b c a +=；(2)求2abc 的取值范围.【变式演练】1.（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已cos sin B b C =+． (1)求C 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形且c =22a b +的取值范围．2.（2022·湖南湘潭·高三开学考试）设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A 为钝角，且tan bB a =．(1)探究A 与B 的关系并证明你的结论； (2)求cos cos cos A B C ++的取值范围．1．（2022·天津·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值. 2．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12313S S S B -+==．(1)求ABC 的面积；(2)若sin sin A C =，求b ． 3．（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-． (1)若2A B =，求C ； (2)证明：2222a b c =+4．（·浙江·高考真题（理））已知ABC 的内角,,A B C 所对的对边分别为,,a b c 1，且sin sin A B C +． (1)求c 的值；(2)若ABC 的面积为1sin 6C ，求角C 的大小．5．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ；(2)求222a b c +的最小值．6．（2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数sin()0,0,2y A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在根据表中数据，求：（1）实数A ，ω，ϕ的值；（2）该函数在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.7．（山东·高考真题）已知函数()2sin 2y x ϕ=+，x ∈R ，π02ϕ<<，函数的部分图象如下图，求（1）函数的最小正周期T 及ϕ的值： （2）函数的单调递增区间．8．（2021·天津·高考真题）在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2A B C =b =（I ）求a 的值； （II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．9．（2021·全国·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.． （1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．10．（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B ；（2）再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：c =；条件①：ABC 的周长为4+条件①：ABC11．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中．3sin cos 64A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(1)求角A ；(2)若8AC =，点D 是线段BC 的中点，DE AC ⊥于点E ，且DE =CE 的长．1.（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知函数()()sin y f x A x B ωϕ==++（其中A ，ω，ϕ，B 均为常数，且0A >，0>ω，ϕπ<）的部分图像如图所示．(1)求()f x 的解析式；(2)若5()126g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()g x 的值域．2.（2022·全国·高三专题练习）已知向量(sin a x =，(1,cos )b x =．(1)若a b ⊥，求sin 2x 的值；(2)令()f x a b =⋅，把函数()f x 的图像上每一点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），再把所得的图像沿x 轴向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图像，求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定. (1)求()f x 的解析式；(2)设函数()()6g x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求()g x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值.条件①：()f x 的最小正周期为π；条件①：()00f =；条件①：()f x 图象的一条对称轴为4x π=. 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()()3,sin 26f x x x a a a g x x π⎛⎫=--+∈=+ ⎪⎝⎭R ．(1)若()f x 为奇函数，求实数a 的值；(2)若对任意[]10,1x ∈，总存在20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围．5.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2sin 216f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)若()()()12f x f x f x ≤≤，12min 2x x π-=，求()f x 的对称中心；(2)已知05ω<<，函数()f x 图象向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，3x π=是()g x 的一个零点，若函数()g x 在[],m n （m ，n R ∈且m n <）上恰好有10个零点，求n m -的最小值； 6、（2022·安徽·高三开学考试）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且23,2b c B C ==.(1)求cos C ;(2)若5a =，求c .7.（2022·广西·模拟预测（文））设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos 2sin c b A b A -=． (1)证明：()sin 2sin sin A B B A -=； (2)若3A B =，求B 的值．8.（2022·全国·高三专题练习）在①2cos cos c b B a A -=；①sin cos 2AA =；()sin a C C =，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若__________．（填条件序号） (1)求角A 的大小；(2)若3a =，求ABC 面积的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．9.（2021·福建省华安县第一中学高三期中）在①π1cos cos 32B B ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，①sin (sin sin )sin a A c C A b B +-=，tan tan A B =+这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中.问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =______________. (1)求角B ；(2)求a c +的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 10.（2022·山东烟台·三模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos cos 2cos b a A C c A =+. (1)求角A ；(2)若4a =，求2c b -的取值范围.11.（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，点D 在边BC 上，3AB =，2AC =． (1)若AD 是BAC ∠的角平分线，求:BD DC ；(2)若AD 是边BC 上的中线，且AD =，求BC ．12.（2022·全国·模拟预测（文））在①3cos210cos 10A A +-=，①sin cos A A -=①tan 2A =三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．如果多选，则按第一个解答给分． 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且______ (1)求cos A ；(2)sin sin B C 的最大值．。
三角函数高考题型分类总结
三角函数高考题型分类总结
在高考数学中，三角函数是一个重要的考点，通常会涉及到以下几种题型分类：
1. 求特殊角的值：考生需要掌握常见角度（如30°、45°、60°）对应的正弦、余弦、正切值等，以及这些值的简单性质。
2. 求三角函数的基本关系：包括正弦定理、余弦定理、正切的定义等。
考生需要能够根据已知条件利用这些关系式求解各种三角函数的值。
3. 化简与证明：考生需要根据三角函数的性质进行化简或证明，例如利用和差化积、倍角公式、半角公式等来简化复杂的三角函数表达式。
4. 解三角函数方程：要求考生解出满足某个条件的三角函数方程，例如求解sin x = 0、cos x = 1/2等。
解题方法包括利用特殊角的周期性、利用图像、利用性质变形等。
5. 三角函数的图像与性质：要求考生根据给定的函数表达式画出三角函数的图像，并利用图像分析函数的周期性、单调性、奇偶性等性质。
6. 三角函数的应用：考生需要掌握利用三角函数解决实际问题的方法，例如利用正弦定理解决三角形的边长或角度、利用余弦定理解决三角形的边长或角度、利用正切函数解决两点之间的高度差等。
这些是一些常见的三角函数的高考题型分类，通过理解和掌握这些题型，考生可以更好地应对高考数学中的三角函数相关题目。
当然，具体的考题形式还需要根据不同的考试要求和出题风格来进行针对性的准备。
专题10 三角函数性质、最值和ω题型归类(解析版)
专题10 三角函数性质、最值和ω题型归类一、重点题型目录【题型】一、整体代入法求三角函数的单调区间对称轴和对称中心 【题型】二、代入检验判定求三角函数的单调区间对称轴和对称中心 【题型】三、图像法求三角函数的最值或值域 【题型】四、换元法求三角函数的最值或值域【题型】五、利用三角函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性求参数 【题型】六、五点法求三角函数的解析式 【题型】七、利用图象平移求函数的解析式或参数 二、题型讲解总结【题型】一、整体代入法求三角函数的单调区间对称轴和对称中心 例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数π()sin()(0,0)2f x A x A ϕϕ=+>-<<在56x π=时取得最大值，则()f x 在[π,0]-上的单调增区间是（ ） A ．5ππ6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， B ．5ππ66⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， C ．π03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．π06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 【答案】D【分析】根据题意可得5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则可求出ϕ，由于0A >，所以利用正弦函数的性质可求出答案.【详解】解：因为函数π()sin()(0,0)2f x A x A ϕϕ=+>-<<在5π6x =取最大值所以5πsin 6A A ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以5πππ,Z 62k k ϕ+=+∈，得ππ,Z 3k k ϕ=-+∈ 又因为π02ϕ-<< 所以π3ϕ=-， 所以π()sin (0)3f x A x A ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，由πππ2π2π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈，得5ππ22,Z 66ππk x k k -+≤≤+∈， 所以()f x 的递增区间为()π5π2π,2πZ 66k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在[π,0]-上的单调增区间是π06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，， 故选：D ．例2．（2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高三阶段练习）函数()2cos 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的一个对称中心是（ ）A ．,112π⎛⎫⎪⎝⎭B ．7,012π⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,13π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据余弦型函数，求出其对称中心即可判断作答.【详解】在函数()2cos 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭中，由2,Z 62x k k πππ-=+∈得，,Z 23k x k ππ=+∈， 所以函数()2cos 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的对称中心是(,1)(Z)23k k ππ+∈，显然B ，D 不满足，A 不满足，当0k =是，对称中心为(,1)3π，C 满足.故选：C例3．（2022·湖北·宜都二中高三期中）已知函数π()sin()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的图象可由()cos g x A x ω=图象向右平移π9个单位长度得到B ．()f x 图象的一条对称轴的方程为5π9x =-C ．()f x 在区间29π17π,3636⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．()2f x ≥的解集为2k π2π2k π,()393k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】ABD【分析】根据函数的振幅、周期、及过点4,49π⎛⎫-⎪⎝⎭可求得π()4sin 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 对于选项A ：利用函数图象的平移检验即可；对于选项B ：令ππ3π,62x k k +=+∈Z 可解得()f x 图象对称轴的方程,检验是否能取到5π9x =-即可. 对于选项C ：求出π9π5π3,644x ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭，验证正弦函数在9π5π,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭是否单调增.对于选项D ： 直接解三角不等式π1sin 362x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭即可获得答案.【详解】由题意知34ππ4,4918A T ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，解得2π3T =，所以2π3T ω==， 所以()4sin(3)f x x ϕ=+.又点4,49π⎛⎫- ⎪⎝⎭在()f x 的图象上， 所以4π4sin 349ϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，所以4π3π2π,32k k ϕ+=+∈Z ， 解得π2π,6k k ϕ=+∈Z ，又||2ϕπ<，所以ϕ=π6， 所以π()4sin 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将π()4cos34sin 32g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭向右平移π9个单位可得πππ4sin 34sin 3()926y x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 正确；令ππ3π,62x k k +=+∈Z ，解得ππ,93k x k =+∈Z ，令2k =-得5π9x =- 所以()f x 图象的对称轴的方程为5π9x =-.故B 正确； 当29π17π,3636x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，π9π5π3,644t x ⎛⎫=+∈-- ⎪⎝⎭，sin y t =在9π5π,44t ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭上不是单调递增的，故C 错误；令()2f x ≥，即π1sin 362x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以ππ5π2π32π,666k x k k +≤+≤+∈Z ，解得2π2π2π,393k k x k ≤≤+∈Z ，即()2f x ≥的解集为2π2π2π,()393k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z ，故D 正确. 故选：ABD.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()[]π4sin 2,π,03f x x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是________．【答案】7ππ,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和π,012⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】利用正弦函数的单调性以及整体代入的方法，求出()f x 的单调递增区间，结合[]π,0x ∈-，得出答案．【详解】由()πππ2π22πZ 232k x k k -+≤-≤+∈，得()π5πππZ 1212k x k k -+≤≤+∈，当1k =-时，13π7π,1212x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦；当0k =时，π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；又因为[]π,0x ∈-，所以()f x 的单调递增区间为7ππ,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和π,012⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：7ππ,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和π,012⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【题型】二、代入检验判定求三角函数的单调区间对称轴和对称中心例5．（2023·全国·高三专题练习）已知α，β，γ是三个互不相同的锐角，则在sin cos αβ+，sin cos βγ+，sin cos γα+ ）个 A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】先根据辅助角公式得到三个式子的和小于得到在sin cos αβ+，sin cos βγ+，sin cos γα+三个值中，，再举出例子，得到三个值中，有2个值符合要求，故得到答案.【详解】因为α，β，γ是三个互不相同的锐角， 所以sin cos sin cos sin cos αββγγα+++++πππ444αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以在sin cos αβ+，sin cos βγ+，sin cos γα+若令π3α=，π4β=，π6γ=，则sin cos αβ+=>sin cos βγ+=+>sin cos 1γα+=<的个数最多有2个. 故选：C例6．（2023·全国·高三专题练习）已知()1cos cos 2222x x x f x ⎫=+-⎪⎭，若存在0ππ,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使不等式()205122f x m m ≤--有解，则实数m 的取值范围为（ ）A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(]5,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[)1,3,2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】先化简()f x 的解析式，不等式()205122f x m m ≤--在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上能成立等价于()2min 51,22f x m m -≤-求得()f x 的最小值后解不等式即可求解【详解】()21sin cos 2222x x xf x =+-1cos 11cos 222x x x x +=+-=+ cossin sin cos 66xx x π=+. sin 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0π ,33x π⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦，使不等式()205122f x m m ≤--有解则 ()2min 51,22f x m m -≤-π,33x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ πππ,662x ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦1sin 126x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭ 当3x π=-时，()f x 取得最小值，ππ1sin 362f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以 2511,222m m --≥-解之得：52m或0m m ∴的取值范围是(]5,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭故选：B例7．（2022·湖南·高三开学考试）若函数()22cos f x x x m ++在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为6，则下列结论正确的是（ ） A ．5π512f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2π是函数()f x 的一个周期C ．当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()4c f x c <<+恒成立，则实数c 的取值范围是[)2,3D ．将函数()f x 的图像向左移动6π个单位得到函数()g x 的图像，则函数()g x 是一个偶函数 【答案】BD【分析】先根据三角恒等变换整理得()π2sin 216f x x m ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，以π26x +为整体，结合正弦函数图像与性质运算求解，并运用图像平移处理求解判断．【详解】()2π2cos cos212sin 216f x x x m x x m x m ⎛⎫++=+++=+++ ⎪⎝⎭，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则ππ7π2,666x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当π6x =时，()f x 的最大值为6，即3m =，所以5π412f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，选项A 不正确； ∵()f x 的最小正周期2ππ2T ==，则2π是函数()f x 的一个周期，选项B 正确； 当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()36f x ≤≤，所以不等式()4c f x c <<+恒成立，则364c c <⎧⎨<+⎩，解得23c <<，选项C 不正确；函数()f x 的图像向左移动6π个单位得到函数()πππ2sin 242sin 242cos24662g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数()g x 是一个偶函数，选项D 正确. 故选：BD ．例8．（2023·广东·高三学业考试）已知函数22()cossin 22x xf x a =--，R a ∈ (1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()f x 在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有零点，求a 的取值范围．【答案】(1)22[]k k πππ-， ，k ∵Z (2)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用余弦的二倍角公式化简，再结合余弦函数的单调性求解即可；（2）转化为方程cos x a =在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解即可.（1）22()cos sin cos 22x xf x a x a =--=- 当22k x k πππ-≤≤ ，k ∵Z 时，()f x 单调递增，∵函数()f x 的单调递增区间为22[]k k πππ-，，k ∵Z ． （2）函数()f x 在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有零点，也就是cos x a =在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解．∵当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，1cos ,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．∵a 的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【题型】三、图像法求三角函数的最值或值域例9．（2023·全国·高三专题练习）若将()sin 214f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则()g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A1 B ．2C 1D ．2【答案】C【分析】先求平移后的函数解析式，再求()g x 在闭区间上的最值【详解】因为()si 1442n g x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为0,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,442x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()min 1g x =． 故选：C例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．()()f x f x π+=B ．6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象关于原点对称C ．若125012x x π<<<，则()()12f x f x < D ．对1x ∀，2x ，3,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()()132f x f x f x +>成立【答案】ACD【分析】利用正弦型函数的周期公式求周期判断A ，利用正弦型函数的对称性可判断B ，利用正弦型函数的单调性可判断C ，利用正弦型函数的值域可判断D.【详解】∵函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的周期22T ππ==，所以()()f x f x π+=恒成立， 故A 正确；又2sin 216f x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以2sin 11663f πππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，2sin 11663f πππ⎛⎫⎛⎫-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以6666f f ππππ⎛⎫⎛⎫+≠--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象不关于原点对称，故B 错误；当50,12x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,332x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在50,12π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确；因为,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，所以22,333x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦sin 213x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，()1,3f x ⎤∴∈⎦，又)213>，即min max 2()()f x f x >，所以对123,,[,],32x x x ππ∀∈有132()()()f x f x f x +>成立，故D 正确.故选：ACD.例11．（2023·全国·高三专题练习）如图，点D 位于以AB 为直径的半圆上（含端点A ，B ），ABC 是边长为2的等边三角形，则AD CB ⋅的取值可能是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．4【答案】BC【分析】建立坐标系，利用数量积的坐标表示求AD CB ⋅，化简求其范围，由此可得结论. 【详解】如图所示，以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则()1,0A -，()10B ,，(0,C .令()cos ,sin D θθ，其中0θπ≤≤，则()cos 1,sin AD θθ=+，(1,CB =，所以cos 12sin 16AD CB πθθθ⎛⎫⋅=++=++ ⎪⎝⎭.因为0θπ≤≤，所以7666πππθ≤+≤，所以1sin 126πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以[]2sin 10,36AD CB πθ⎛⎫⋅=++∈ ⎪⎝⎭.故选：BC.例12．（2023·全国·高三专题练习）函数()ππsin 36f x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为______．【答案】2【分析】利用三角诱导公式和恒等变换化简得到()2cos f x x =，从而求出最大值.【详解】()πππππsin cos 36362f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππππcos 2sin 2sin 2cos 33362x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故函数()f x 的最大值为2 故答案为：2【题型】四、换元法求三角函数的最值或值域例13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2sin cos f x x x x =，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．3x π=时()f x 取得最小值C ．()f x 关于3x π=对称 D ．512x π=时()f x 取得最大值 【答案】D【分析】结合二倍角正弦公式和辅助角公式化简()f x ，再结合正弦函数性质判断各选项.【详解】因为()2sin cos f x x x x =，所以()sin 2f x x x =，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==，A 错误，2sin 22333f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，BC 错误，552sin 2212123f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 正确.故选：D.例14．（2023·全国·高三专题练习）函数()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为（ ） A．1 B ．1C ．1D ．3【答案】C【分析】利用换元法，令sin cos t x x =+，则原函数可化为21y t t =+-，再根据二次函数的性质可求得其最大值【详解】()sin cos sin 2sin cos 2sin cos f x x x x x x x x =++=++，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以[t ∈，则22(sin cos )12sin cos t x x x x =+=+，所以22sin cos 1x x t =-，所以原函数可化为21y t t =+-，[t ∈，对称轴为12t =-，所以当t =时，21y t t =+-取得最大值，所以函数的最大值为211=，即()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为1 故选：C例15．（2023·全国·高三专题练习）函数2()sin cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（ ） A ．1 B ．2C ．32D ．3【答案】C【分析】先将函数用二倍角公式进行降幂运算，得到1()sin(2)26f x x π=+-，然后再求其在区间[,]42ππ上的最大值．【详解】解：因为2()sin cos f x x x x =，所以1cos 21()2sin(2)226x f x x x π-==+-，42ππx ≤≤，52366x πππ∴≤-≤，1sin 2126x π⎛⎫∴≤-≤ ⎪⎝⎭，∴13()122max f x =+=．故选：C ．例16．（2022·广东·汕头市达濠华侨中学高三阶段练习）已知函数()3sin 222f x x x =+，则下列选项正确的有（ ） A ．()f x 的最小正周期为πB ．曲线()y f x =关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C ．()f xD ．曲线()y f x =关于直线π6x =对称 【答案】ACD【分析】化简()πsin 26⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x .利用周期公式求出周期可判断A ；计算π3⎛⎫⎪⎝⎭f 可判断B ； 利用π1sin 216⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭x 可判断C ；计算π6f ⎛⎫⎪⎝⎭可判断D【详解】()3πsin 22sin 226f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 对于A ，()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 正确；对于B ，πππ20336f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C ，π1sin 216⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭x ，所以()max f x C 正确；对于D ，πππ2666f ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 正确.故选：ACD.【题型】五、利用三角函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性求参数例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()cos 02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭＞，，4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】C【分析】根据三角函数的性质，利用整体思想，由单调区间与周期的关系，根据零点与对称轴之间的距离，表示所求参数，逐个检验取值，可得答案.【详解】由f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，即12618T ππ≥-，可得29T π≥，则ω≤9；∵4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，根据三角函数的图象可知，零点与对称轴之间距离为：()1214T k ⨯-，k ∵N *．要求ω最大，则周期最小，∵()12142k T π-⨯=，则T 221k π=-；∵ω＝2k ﹣1；当9ω=时，由2πϕ≤，则4πϕ=-，可得()cos 94f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知()f x 在5,1836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单减，在5,366ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增，不合题意； 当7ω=时，由2πϕ≤，则4πϕ=，可得()cos 74f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，易知()f x 在3,1828ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单减，在3,286ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，不合题意；当5ω=时，由2πϕ≤，则4πϕ=-，可得()cos 54f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知()f x 在,186ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单减，符合题意；故选：C ．例18．（2023·全国·高三专题练习）若直线π4x =是曲线πsin (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的一条对称轴，且函数πsin()4y x ω=-在区间[0，π12]上不单调，则ω的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．11D ．3【答案】C【分析】根据给定条件，求出ω的关系式，再求出函数πsin()4y x ω=-含有数0的单调区间即可判断作答.【详解】因直线π4x =是曲线πsin (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的一条对称轴，则πππ,N 442k k ωπ-=+∈，即43,N k k ω=+∈， 由πππ242x ω-≤-≤得π3π44x ωω-≤≤，则函数πsin()4y x ω=-在π3π[,]44ωω-上单调递增， 而函数πsin()4y x ω=-在区间π[0,]12上不单调，则3π412πω<，解得9ω>， 所以ω的最小值为11. 故选：C例19．（2023·江苏南京·高三阶段练习）已知函数()()πsin 026f x x ωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，()()π0f x f x ++=，()()()0πf f αβαβ=<<<，则（ ）A ．()()4πf x f x =+B ．()()9π0f x f x ++=C ．()()12f f αββα+<-= D ．()()12f f βααβ-<+=【答案】AB【分析】推导出()()2πf x f x +=，可判断AB 选项；求出2π3αβ+=，并求出()f βα-的取值范围，可判断CD 选项.【详解】对于A 选项，对任意的R x ∈，()()πf x f x +=-，则()()()2ππf x f x f x +=-+=， 所以，()()()4π2πf x f x f x +=+=，A 对；对于B 选项，()()()9ππf x f x f x +=+=-，则()()9π0f x f x ++=，B 对； 对于CD 选项，由题意可知，()f x 的最小正周期为2π，则2π12πω==，则()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当()0,πx ∈时，ππ7π666x <+<， 由πππ662x <+<可得π03x <<，则函数()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 由ππ7π266x <+<可得ππ3x <<，则函数()f x 在π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，0παβ<<<，则πππ7π6666αβ<+<+<， 所以，πππ66αβ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2π3αβ+=，所以，()2ππ5π1sin sin 3662f αβ⎛⎫+=+==⎪⎝⎭，C 错， 因为πππ7π6666αβ<+<+<，则πππ662α<+<，所以，π03α<<， 则2π2π20,33βαα⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，所以，ππ5π,666βα⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ 故()1,12f βα⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦，则()()12f f βααβ->+=，D 错.故选：AB.【题型】六、五点法求三角函数的解析式例20．（2023·全国·高三专题练习）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线()cos y A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，0πϕ≤<2）的振幅为1，周期为2π，初相位为π2，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（ ）A ．sin y x =B ．cos y x =C ．sin y x =-D ．cos y x =-【答案】A【分析】由振幅可得A 的值，由周期可得ω的值，由初相位可得ϕ的值，即可得出声波曲线的解析式，进而可得主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式.【详解】解：因为噪音的声波曲线()cos y A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，0πϕ≤<2）的振幅为1，则1A =， 周期为2π，则2π2π12πT ω===，初相位为π2，π2ϕ=，所以噪声的声波曲线的解析式为πcos sin 2y x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为sin y x =．故选：A.例21．（2022·福建省连城县第一中学高三阶段练习）函数()()sin()0,f x A x b ωϕωϕπ=++><的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的解析式为()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭B ．函数()f x 的单调递增区间为5,(Z)1212k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 的图象关于点,1(Z)2k k π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对称 D ．为了得到函数()f x 的图象，只需将函数()2cos 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，再向上平移一个单位长度 【答案】ABD【分析】由题意求出()f x 的解析式可判断A ；利用正弦函数的单调性和对称性可判断BC ；由三角函数的平移变换可判断D.【详解】对于A ，由图可知，31A b A b +=⎧⎨-+=-⎩，可得21A b =⎧⎨=⎩，由π1sin 425π1sin 122ωϕωϕ⎧⎡⎤⎛⎫⨯-+=-⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎨⎛⎫⎪⨯+=- ⎪⎪⎝⎭⎩，则1122ππ+2π,Z 465π7π+2π,Z126k k k k ωϕωϕ⎧-+=-∈⎪⎪⎨⎪+=∈⎪⎩，两式相减得：()122π4π2π33k k ω=+-， 所以()1223k k ω=+-∵，又因为π2π5ππ33212425ππ2π2π31243T T ωωωω⎧⎧≤≤+⎧⎪⎪≥⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪≤≥+≥⎩⎪⎪⎩⎩，所以332ω≤≤，结合∵，2ω=， 因为π5ππ412212-+=，所以πππ21223ϕϕ⨯+=⇒=， 所以()π2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈，解得：()5ππππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈，故B 正确； 对于C ，令π2ππ,Z 3+=+∈x k k ，解得：ππ,Z 32=+∈k x k ， 函数()f x 的图象关于点()ππ,1Z 32k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭对称，所以C 不正确；对于D ，将函数π2cos 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭向右平移π4个单位得到πππ2cos 22sin 2433⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦x x ，向上平移一个单位长度可得π2sin 213y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ABD.例22．（2023·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））已知函数()sin 0,0,π()(||)f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象．(1)求函数()g x 的解析式；(2)若对于()()2π0,,303x g x mg x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎢⎥∀-⎣-⎦∈≤恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)π()2sin 36g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(2)1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）先根据函数图象求出()f x 的解析，再利用图象变换规律可求出()g x 的解析式； （2）由π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得ππ7π3,666x ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦+，从而可得[]()1,2g x ∈-，然后分()0g x =，()[1,0)g x ∈-和(,])2(0g x ∈求解即可.【详解】（1）由()f x 的图象可得2A =，5πππ212122T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 所以πT =，所以2ππω=，得2ω=，所以()()(|2sin 2π|)f x x ϕϕ=+<， 因为()f x 的图象过5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以52sin 2212πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，所以5sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以5ππ2π,Z 62k k ϕ+=-∈，得4π2π,Z 3k k ϕ=-∈， 因为||πϕ<，所以2π3ϕ=， 所以()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，可得32π2π2sin 22sin 3233y x x ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再将所得函数图象向右平移π6个单位长度，得 π2ππ2sin 32sin 3636y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以π()2sin 36g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）由π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得ππ7π3,666x ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦+，所以π1sin 3,162x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以[]π2sin 31,26x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以[]()1,2g x ∈-，当()0g x =时，30-≤恒成立，当()[1,0)g x ∈-时，则由()()230g x mg x -⎤⎦-⎣≤⎡， 得3()()m g x g x ≤-， 因为函数3y x x=-在[1,0)-上为增函数，所以min33()12()1g x g x ⎡⎤-=--=⎢⎥-⎣⎦ 所以2m ≤，当(,])2(0g x ∈，则由()()230g x mg x -⎤⎦-⎣≤⎡， 得3()()m g x g x ≥-， 因为函数3y x x=-在(0,2]上为增函数，所以max331()2()22g x g x ⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦ 所以12m ≥， 综上122m ≤≤，即实数m 的取值范围为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【题型】七、利用图象平移求函数的解析式或参数例23．（2023·全国·高三专题练习）要得到函数π3sin(2)3y x =+的图象，只需要将函数3cos 2y x =的图象（ ）A ．向右平行移动π12个单位 B ．向左平行移动π12个单位 C ．向右平行移动π6个单位D ．向左平行移动π6个单位【答案】A【分析】由三角函数的图象变换求解【详解】π3cos 23sin(2)2y x x ==+，要得到π3sin(2)3y x =+的图象，需要向右平移πππ23212-=个单位．故选：A例24．（2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）已知函数π()2sin 213f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．将函数2sin 2y x =的图象向右平移π6个单位，再向上平移1个单位得到()=y f x 的图象B ．函数()=y f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．函数()=y f x 的图象关于直线π12x =-对称 D ．函数()=y f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】AC【分析】根据图象平移写出解析式判断A ；利用正弦函数性质，整体法判断()f x 的区间单调性判断B ，代入法判断对称性，判断C 、D. 【详解】A ：根据平移过程πππ=()+1=2sin2()+1=2sin(2)+1663y g x x x ---，正确； B ：π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ2π2(,)333x -∈-，根据正弦函数性质()f x 在区间内不单调，错误；C ：πππ()=2sin()+1=11263f ----，此时ππ2=32x --，故直线π12x =-为对称轴，正确；D ：πππ()=2sin()+1=1633f -，故关于点π,16⎛⎫⎪⎝⎭对称，错误.故选：AC例25．（2022·广东·深圳中学高三阶段练习）将函数()π=2sin 3f x x ω-⎛⎫ ⎪⎝⎭的图像向左平移2π3个单位，所得图像关于原点对称．若01ω<<，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为4πB ．()f x 的对称中心为()2π2π+,0Z 3k k ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．对任意的R x ∈，都有()2π=3f x f x -⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()π=2sin +6g x x ω⎛⎫ ⎪⎝⎭与()f x【答案】AB【分析】利用平移后得函数是奇函数求出12ω=，则()f x 的最小正周期为2π=4π12，故A 正确；令()1π=πZ 23x k k -∈判断B 正确；由π=13f -⎛⎫⎪⎝⎭判断C 错误；令()=()f x g x 分析得到公，判断D 错误.【详解】将函数()π=2sin 3f x x ω-⎛⎫ ⎪⎝⎭的图像向左平移2π3个单位，可得2ππ()=2sin (+)33h x x ω-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()h x 为奇函数，则(0)0h =，即2ππ=π33k ω-，13=+,22k k Z ω∈， 因为01ω<<，所以1=0=2k ω，，则()1π=2sin 23f x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2π=4π12，故A 正确；令()1π=πZ 23x k k -∈，得2π=2π+3x k ，()f x 的对称中心为()2π2π+,0Z 3k k ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭，故B 正确；π1ππ=2sin(?)=13233f --⎛⎫⎪⎝⎭，所以3x π=不是对称轴，故C 错误；令()=()f x g x ，即1π1πsin =sin +2326x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1π1ππ1πsin +=sin +=cos 2623223x x x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1π1πsin =sin +=?2326x x ∴-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()π=2sin +6g x x ω⎛⎫ ⎪⎝⎭与()f x故D 错误； 故选：AB.。
解三角形十类题型汇总(学生版)
解三角形十类题型汇总近4年考情(2021-2024)考题统计考点分析考点要求2024年I卷第15题，13分高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以考查正余弦定理的基本使用、面积公式的应用为主．从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，主要以考查正余弦定理的应用和面积公式为主．(1)正弦定理、余弦定理及其变形(2)三角形的面积公式并能应用(3)实际应用(4)三角恒等变换2024年II卷第15题，13分2024年甲卷第11题，5分2023年I卷II卷第17题，10分2023年甲卷第16题，5分2023年乙卷第18题，12分2022年I卷II卷第18题，12分2021年I卷II卷第20题，12分热点题型解读【题型1】拆角与凑角类型一出现了3个角(拆角)类型二凑角类型三拆角后再用辅助角公式合并求角类型四通过诱导公式统一函数名【题型2】利用余弦定理化简等式类型一出现了角或边的平方类型二出现角的余弦(正弦走不通)【题型3】周长与面积相关计算类型一面积相关计算类型二周长的相关计算【题型4】倍角关系类型一倍角关系的证明和应用类型二扩角降幂类型三图形中二倍角的处理【题型5】角平分线相关计算【题型6】中线相关计算【题型7】高线线相关计算【题型8】其它中间线【题型9】三角形解的个数问题【题型10】解三角形的实际应用类型一距离问题类型二高度问题题型分类解析【题型1】拆角与凑角(1)正弦定理的应用①边化角，角化边⇔a:b:c=sin A:sin B:sin C②大边对大角大角对大边a>b⇔A>B⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B③合分比：a+b+csin A+sin B+sin C =a+bsin A+sin B=b+csin B+sin C=a+csin A+sin C=asin A=bsin B=csin C=2R(2)△ABC内角和定理(结合诱导公式)：A+B+C=π①sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B⇔c=a cos B+b cos A 同理有：a=b cos C+c cos B，b=c cos A+a cos C.②-cos C=cos(A+B)=cos A cos B-sin A sin B；③斜三角形中，-tan C=tan(A+B)=tan A+tan B1-tan A⋅tan B⇔tan A+tan B+tan C=tan A⋅tan B⋅tan C④sinA+B2=cos C2；cos A+B2=sin C2类型一出现了3个角(拆角)1.在△ABC中，2b-3c3a =cos Ccos A，求A的值2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且b=2c sin A+π6，求C.3.(湛江一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ba =2cosπ3-C，求A.类型二凑角4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a cos A⋅cos B+b cos2A=3c-b，求角A5.(2024届·广州·阶段练习)已知△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足ca cos B+bacos C=3cos C，求sin C的值6.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且bcos B +ccos C=acos A+3acos B cos C，求tan B tan C.7.3a sin A+B2=c sin A，求角C的大小.8.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3b cos A+B2=c sin B，求C9.在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足b cos B+C2=a sin B，求A.类型三拆角后再用辅助角公式合并求角，求A.10.(深圳一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b+c=2a sin C+π611.在△ABC中，3sin C+cos C=sin B+sin Csin A，求A.12.锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos C+3c sin A=b+c，求A.13.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos C+3a sin C=b+c，求角A的大小；类型四通过诱导公式统一函数名，求A的值14.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a sin B=b cos A-π615.已知△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若满足a(sin2A-cos B cos C)+b sin A sin C=0，求角A的大小.，b cos C=c cos B，求A的16.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a sin B=b cos A-π6值.【题型2】利用余弦定理化简等式余弦定理公式a 2=b 2+c 2-2bc cos A ；b 2=c 2+a 2-2ac cos B ；c 2=a 2+b 2-2ab cos C .常见变形cos A =b 2+c 2-a 22bc ；cos B =c 2+a 2-b 22ac ；cos C =a 2+b 2-c 22ab.类型一出现了角或边的平方17.已知△ABC 内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,22a 2cos B +b 2=2ab cos C +a 2+c 2，求B .18.(2024年高考全国甲卷数学(理)真题)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，若B =π3，b 2=94ac ，则sin A +sin C =()A.23913B.3913C.72D.3131319.记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a 2=3b 2+c 2，则tan Atan C=．20.(2023年北京高考数学真题)在△ABC 中，(a +c )(sin A -sin C )=b (sin A -sin B )，则∠C =()A.π6B.π3C.2π3D.5π621.在ΔABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知c =252a sin C cos B =a sin A -b sin B +52b sin C ，求b ；22.（2024届·湖南四大名校团队模拟冲刺卷(一)）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知△ABC的面积为S，且2S sin Csin B +sin A sin C=(a2+b2)sin A，求C的值23.（2024·广东省六校高三第四次联考）已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A c cos B+b cos C-c sin B=c sin C+b sin B，求角A24.记ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2-a2=2c2，求tan Btan A的值类型二出现角的余弦(正弦走不通)25.记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b cos A-a cos B=b-c,求A.26.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且sin A-B=2sin C，证明:a2=b2+2c2.27.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，c=2b,2sin A=3sin2C，求sin C.28.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，B=2π3，且sin A+sin Bsin C+cos2C=1，求证5a=3c29.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，sin(A-B)tan C=sin A sin B，求a2+c2.b230.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b-c，求角A.sin B=b sin A-C【题型3】周长与面积相关计算设计周长和面积的相关计算一般会用到余弦定理还有可能需要用到完全平方公式对于完全平方公式：a+b2=a2+b2+2ab，其中两边之和a+b对应周长，两边平方和a2+b2在余弦定理中，两边之积ab在面积公式和余弦定理中都会出现类型一面积相关计算31.已知△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin C=223，a=b+2，c=32，求△ABC的面积．32.(2024新高考一卷·真题)记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sin C=2cos B，a2+b2-c2=2ab(1)求B；(2)若△ABC的面积为3+3，求c．33.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，B=2π3，且5a=3c，若△ABC的面积为153，求c34.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=π6，△ABC的面积为332，b=2，求a．35.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=2A，当a=4,b=6时，求△ABC的面积S．36.（2024届·广东省六校第二次联考）已知△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin C=223，a=b +2，c=32，求△ABC的面积．37.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=2A，当a=4,b=6时，求△ABC的面积S．类型二周长的相关计算38.已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且A=C，若B=π6，△ABC的面积为4，求△ABC的周长.39.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(b+c)(sin B+sin C)=a sin A+3b sin C.(1)求角A的大小；(2)若a=6，且△ABC的面积为3，求△ABC的周长.40.(2024·新高考二卷·真题)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A +3cos A =2．(1)求A ．(2)若a =2，2b sin C =c sin2B ，求△ABC 的周长．41.△ABC 的角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,AB ⋅AC=-1,△ABC 的面积为2，若a =22，求△ABC 的周长.42.在△ABC 中，已知AC ⋅AB =4，a =5，∠BAC =60°，则△ABC 周长为．43.在△ABC 中，A ,B ,C 所对的边为a ,b ,c ，A =π3,a =2,B =π4，求△ABC 的周长．44.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(b +c )(sin B +sin C )=a sin A +3b sin C .(1)求角A 的大小；(2)若a =6，且△ABC 的面积为3，求△ABC 的周长.【题型4】倍角关系1、二倍角公式：sin2A =2sin A cos A ，cos2A =2cos 2A -1=1-2sin 2A =cos 2A -sin 2A 2、扩角降幂：cos2C 2=1+cos C 2.，sin 2C 2=1-cos C2忘记了可以用二倍角公式推导:记C2=t，则cos C=cos2t=2cos2t-1=1-2sin2t故cos2t=2cos2t-1⇒cos2t=1+cos2t2，cos2t=1-2sin2t⇒sin2t=1-cos2t23、倍角关系证明的方法技巧解三角形中的关系，主要涉及到正弦、余弦等三角函数的倍角公式。
专题4-5 解三角形大题归类-(解析版)
专题4-4 解三角形大题归类目录一、热点题型归纳【题型一】巧用“拆”面积法解决角平分线题型 ................................................................................... 1 【题型二】角平分线的扩展结论 .............................................................................................................. 4 【题型三】中线的处理方法 ...................................................................................................................... 6 【题型四】三角形高的类型 .................................................................................................................... 10 【题型五】三角形内心 ............................................................................................................................ 11 【题型六】外接圆 .................................................................................................................................... 14 【题型七】双三角形 ................................................................................................................................ 16 【题型八】四边形 .................................................................................................................................... 18 【题型九】四边形图形最值 .................................................................................................................... 20 二、真题再现 ............................................................................................................................................ 22 三、模拟检测 .. (29)【题型一】巧用“拆”面积法解决角平分线题型【典例分析】（2022·湖北·高三开学考试）在ABC 中，2AB AC =，点D 在BC 边上，AD 平分BAC ∠.(1)若cos ACB ∠=，求cos BAC ∠；(2)若AD AC =，且ABC BC 的长.【答案】【分析】（1）在ABC 中，利用正弦定理可得sin ABC ∠=，从而可得cos ABC ∠=，再由()cos cos CAB ABC ACB ∠∠∠=-+，展开即可求解；（2）利用三角形的面积公式可得111sin sin sin 2222AC AD AB AD AB AC θθθ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅，从而解得3cos 4θ=，根据三角形的面积求出24b =，再由余弦定理即可求解.（1）由cos ACB ∠=，得sin ACB ∠=，在ABC 中，由正弦定理可得sin AB ACABC =∠，又2AB AC =，所以sin ABC ∠=AB AC >，故cos ABC ∠=所以()()cos cos cos CAB ABC ACB ABC ACB ∠π∠∠∠∠=--=-+，即cos sin sin cos cos CAB ABC ACB ABC ACB ∠∠∠∠∠=-，所以cos CAB ∠==（2）由已知，设22AB AC t ==，所以AD AC t ==，另设CAD θ∠=.由ABC ACD ABD S S S =+△△△，可得1112sin2sin 2sin 222t t t t t t θθθ⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅⋅，所以12sin cos sin sin 2θθθθ⋅=+，因为sin 0θ≠，所以3cos 4θ=，所以21cos22cos 18θθ=-=，又02,sin2θπθ<<==，又212sin22ABC S t t θ==⋅⋅⋅=，所以24t =，所以222299422cos241822BC t t t t t θ=+-⋅⋅⋅==⨯=，所以BC =【提分秘籍】基本规律角平分线“拆”面积法：ABC ACD ABDS S S =+△△△1.（2022·湖北·高三开学考试）已知ABC 的角,,A B C 的对边分别为 ,,a b c ，且sin (cos cos )sin sin sin A c B b C c B c C b B +-=+， (1)求角A ;(2)若AD 平分BAC ∠交线段BC 于点D ，且2,2AD BD CD ==，求ABC 的周长.【答案】(1)23A π=(2)9+【分析】（1）先利用余弦定理化简cos cos c B b C +，然后代入已知式子中利用正弦定理统一成边的形式，再利用余弦定理可求出角A ，（2）由ABCBADCAD SSS=+结合AD 平分BAC ∠，23A π=可得22bc b c =+，作AE BC ⊥于E ，则由ABD ACDS S 结合已知条件可得2cb=，解方程组可求得,b c ，再利用余弦定理可求出a ，从而可求出三角形的周长.（1）由余弦定理得222222cos cos 22a c b a b c c B b C c b a ac ab+-+-+=⨯+⨯= 所以sin (cos cos )sin sin sin A c B b C c B c C b B +-=+可化为sin sin sin sin a A c B c C b B -=+ 再由正弦定理，得222a cb c b -=+，得222c b a bc +-=-，所以2221cos 22b c a A bc +-==-.因为(0,)A π∈， 所以23A π= （2）因为AD 平分BAC ∠，所以3BAD CAD π∠=∠=.由1211sin sin sin 232323ABCBADCADSSSb c c AD b AD πππ=+⇒⋅=⋅+⋅， 得22bc b c =+.作AE BC ⊥于E ，则11sin 232211sin 232ABD ACD c AD BD AES c BD S b DCb AD CD AE ππ⋅⋅==⇒==⋅⋅. 由222bc b cc b =+⎧⎨=⎩，解得6,3,c b =⎧⎨=⎩由余弦定理，得2222cos 63a b c bc A ，所以37a故ABC 的周长为937+2.（2022·江苏·盐城中学高三开学考试）在①()()()sin sin sin sin A C a b c B C -=-+，①()2222cos 2a b c a c B a+--=，①()sin cos 6a B C B b π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答．已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且__________． (1)求B(2)若b =ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且BD =，求ABC 的面积． 【答案】(1)=3B π【分析】（1）若选条件①，先用正弦定理将角转化为边的关系，再利用余弦定理即可；若选条件①，先用余弦定理将边转化为角的关系，再利用正弦定理即可；若选条件①，先用三角形的内角之和为π，再利用正弦定理即可；（2）利用角平分线的性质得到ABC ABD BCD S S S =+△△△，结合余弦定理和三角形的面积公式即可 （1）选择条件①：根据正弦定理，可得：()()()a c a b c b c -=-+可得：222a c b ac +-=根据余弦定理，可得：2221cos 22a cb B ac +-==()0,,=3B B ππ∈∴ 选择条件①：根据余弦定理，可得：2cos (2)cos =cos 2ab Ca c Bb C a-=根据正弦定理，可得：(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=整理可得：2sin cos sin()sin A B B C A =+= 。
高中解三角形题型及解题方法归纳总结
高中解三角形题型及解题方法归纳总结
1.根据角度关系求解三角形：通过已知角度的大小关系，可以确定三角形的形状和大小，常见的题型包括等腰三角形、直角三角形等。
2. 利用三角函数求解三角形：三角函数包括正弦、余弦、正切等，通过已知角度和边长的关系，可以利用三角函数求解三角形。
3. 利用勾股定理求解三角形：勾股定理是指直角三角形斜边的平方等于两个直角边平方和，通过已知两条直角边的长度，可以求出斜边的长度，从而确定三角形的形状和大小。
4. 利用海龙公式求解三角形：海龙公式是指通过三角形三条边的长度求出其面积的公式，通过已知三条边的长度，可以求出三角形的面积和其他相关信息。
解题方法：
1. 画图：在解决三角形问题时，画图是非常重要的，可以帮助我们更好地理解题意和确定解题思路。
2. 建立方程：通过已知条件，可以建立方程，从而求解未知量。
3. 利用三角函数：当已知角度和边长的关系时，可以利用三角函数求解未知量。
4. 应用勾股定理：当已知直角边的长度时，可以应用勾股定理求解斜边的长度和其他相关信息。
5. 应用海龙公式：当已知三条边的长度时，可以应用海龙公式求解三角形面积和其他相关信息。
总结：
解决三角形问题需要掌握一定的基础知识和解题方法，其中画图、建立方程、利用三角函数、应用勾股定理和海龙公式等是常用的解题方法。
此外，需要注意理解题意和确定解题思路，以便正确地解决问题。
三角函数解三角形题型归类
三角函数解三角形题型归类一知识归纳：（一）任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 ；②分类：角按旋转方向分为 、 和 ． (2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝ ．(3)象限角：使角的顶点与 重合，角的始边与 ，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个负数 ，零角的弧度数是 .(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°.(3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2. 3．任意角的三角函数（1）定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ ．（2）任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0) 4.三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． （二）公式概念1．三角函数诱导公式⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2π＋α(k ∈Z)的本质奇变偶不变(对k 而言，指k 取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时把α看成是锐角)．2．两角和与差的三角函数公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.3．二倍角公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，cos 2α＝1＋cos 2α2， sin 2α＝1－cos α2；(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. （三）正、余弦定理及其变形： 1．正弦定理及其变形在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (其中R 是外接圆的半径)； a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R . 2．余弦定理及其变形 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc. b 2＝ ； cos B ＝ ； c 2＝ . cos C ＝ .3.三角形面积公式:S △ABC ＝12ah ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝_________________＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .2．整体法：求y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的单调区间、周期、值域、对称轴(中心)时，将ωx ＋φ看作一个整体，利用正弦曲线的性质解决．3．换元法：在求三角函数的值域时，有时将sin x (或cos x )看作一个整体，换元后转化为二次函数来解决．4．公式法：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2016年 全国卷1)4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b =（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3 6.将函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为 （A ）2sin(2)4y x π=+ （B ）2sin(2)3y x π=+（C ）2sin(2)4y x π=-（D ）2sin(2)3y x π=-14.已知θ是第四象限角，且3sin()45πθ+=，则tan()4πθ-=————————————． (2015年 全国卷1)8. 函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ） （A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈（B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈17. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =.（I ）若a b =，求cos ;B （II ）若90B =o ，且2,a = 求ABC ∆的面积.(2014年 全国卷1) 2.若0tan >α，则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α 7.在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 A .①②③ B. ①③④ C . ②④D. ①③16.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测学科网得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m .(2013年 全国卷1)9．函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ）10．已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b = （A ）10 （B ）9（C ）8（D ）516．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______.(2012年 全国卷1)9.已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π417.（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边，3sin sin c a C c A =-.(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =2，ABC ∆3b ，c .三、题型归纳题型一、三角函数定义的应用1.若点P 在－10π3角的终边上，且P 的坐标为(－1，y )，则y 等于( ) A.－33 C.－ 3变式1．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( )题型二、三角函数值的符号2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( )变式2.设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )C ．－34D ．－43 题型三、同角三角函数关系式的应用3.已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )A ．－43 C ．－344.已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( ) A ．－32 C ．－34变式3.已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α等于( ) A ．－1 B ．－22 D ．1题型四 诱导公式的应用5．(1)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝12，则cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝________. (2)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝______变式4.已知角α终边上一点p(-4,3)，则cos()sin()2119cos()sin()22παπαππαα+---+的值为 题型五、三角函数的图形变换6.（1）要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位（2）某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：(1)f (x )的解析式； (2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．变式5.已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．题型六、三角函数的性质问题7.（1）函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调增区间为________. （2）已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π2⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为( )（3）函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且其图象向右平移π12个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象( ) A.关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称B.关于直线x ＝5π12对称 C.关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称 D.关于直线x ＝π12对称（4）当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x 是( )A.奇函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 B.偶函数且图象关于点(π，0)对称C.奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D.偶函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称变式6.已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．(1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．题型七、最值与值域问题8.已知函数2()(sinx cosx)cos 2f x x =++。
高中数学解三角形题型完整归纳-解三角形题型归纳总结
高中数学解三角形题型目录一．正弦定理1.角角边2.边边角3.与三角公式结合4.正弦定理与三角形增解的应对措施5.边化角6.正弦角化边二．余弦定理1.边边边2.边角边3.边边角4.与三角公式结合5.比例问题6.余弦角化边7.边化余弦角三．三角形的面积公式1.面积公式的选用2.面积的计算3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用四．射影定理五．正弦定理与余弦定理综合应用1.边角互化与三角公式结合2.与平面向量结合3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状4.三角形中的最值问题(1)最大(小)角(2)最长(短)边(3)边长或周长的最值(4)面积的最值(5)有关正弦或余弦或正切角等的最值(6)基本不等式与余弦定理交汇(7)与二次函数交汇六．图形问题1.三角形内角之和和外角问题2.三角形角平分线问题3.三角形中线问题4.三角形中多次使用正、余弦定理5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用6.四边形与正、余弦定理六．解三角形的实际应用1.利用正弦定理求解实际应用问题2.利用余弦定理求解实际应用问题3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题一．正弦定理1.角角边∆=︒=︒=例.在中,解三角形ABC A B a30,45,2,.∆=︒=︒==练习1.在中则ABC A B a c,30,45, .练习2.在中,已知45,,求∆=︒=︒=30.ABC C A a b2.边边角例中，解这个三角形∆===︒ABC a.45,.练习1中,则∆==+==. 1,2,sinABC a b A C B C练习2.中则∆===︒=,3,60,_____ABC c b C A3.与三角公式结合45,,,,,cos ,cos ,1,513例.△的内角的对边分别为若则ABC A B C a b c A C a b ====11.5,45,sin ,______3ABC b B A a ∆====练习在中，则1tan ,150,1. 3ABC A C BC AB ∆==︒==练习2.在中,若,则4.正弦定理与三角形增解的应对措施.ABC b c B C ∆===︒例.在中,已知1,45,求例2．已知△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝6，b ＝4，那么满足条件的△ABC 的形状大小 ( )．A ．有一种情形B ．有两种情形C ．不可求出D ．有三种以上情形.ABC b c B A ∆===︒练习1.在中,已知1,45,求2,30,.ABC a c A C ∆===︒练习2.在中,求5.边化角.::3:2:1,::____________ABC A B C a b c ∆=例已知的三个内角之比为那么对应的三边之比等于.,,.)cos cos ,________.ABC A B C a b c c A a C A ∆-==练习1在中角､､所对的边分别为､若则.,,,,,,2cos(60),.o ABC A B C a b c b c a C A ∆-=+练习2在中设所对的边分别为若求.,,,,,2cos (cos cos ),练习3△的内角的对边分别为已知求ABC A B C a b c C a B b A c C+=6.正弦角化边.,,ABC A B C A B C B ∆==222sin 2sin cos sin sin sin 例在中,若且＋求0sin sin .(1);(2)75,2,,asinA csinC C b B B A b a c∆+-===练习1.在ABC 中,求若求,,,,,sin ,cos _____ABC a b c a c B C A ∆-===练习2.在中角所对的边分别为若则 ,,,,2(2)(sin sin )()sin ,a b c ABC A B C a b A B c b C A ∆=+-=-=练习3.已知分别为的三个内角的对边,,且则________.二．余弦定理 1.边边边.1,2,__________ABC a b c A ====例在三角形中，若则()537254A. B. C. D. 3633ABC AB AC BC A ππππ∆====练习.在中,,,,则2.边角边.,3,30,ABC b c A B C a ∆==∠=例在中已知求角、和边的值.3,1,60,________b c A a ====练习若则3.边边角,,,,2.,,cos ,2,_____3a b ABC A B C c A a c b ∆====例在中已知角所对的边分别为则311cos ,_____4ABC AB BC C AC ∆====练习.在中,，则,3,120,().1.2.3.4练习2在△中若则ABC AB BC C AC A B C D ==∠=︒=30,312,A. 4 B. 8 C. 4,8 D. ABC A a c ∆=︒==练习3.在中,已知且则 的值为或无解4.与三角公式结合1tan ,150,1.3ABC A C BC AB ∆==︒==例.在中,若,则,,,,2,sin cos ABC a b c a b B B A ∆==+=练习1.在中角所对的边分别为若则角的大小为____2,,,,23cos cos 20,7,6,_____ABC a b c A A a c b ∆+====练习2.在锐角中角所对的边分别为若则,,,sin 02,ABC A B C a b c A A a b c∆+===练习3.在中角､､所对的边分别为､､已知求5.比例问题::2:1),.ABC a b c A B C ∆=+例.已知中,求、、,,,,,2,cos _____ABC a b c a b c c a B ∆==练习1.在中角所对的边分别为若、、成等比数列则2,,,___3练习2.在△中则bABC A a c cπ∠===6.余弦角化边cos 2.,,,,cos C a cABC A B C a b c B B b-=例在三角形中,角,,所对的边分别为若求角 22,,,,2sin cos 3cos sin ,.ABC a b c a c b A C A C b ∆-==练习1.在中角所对的边分别为已知且求7.边化余弦角()222,A B C D ABC a c b ab C ∆-+=︒︒︒︒︒例.中,则角大小为.60.45,或135.120.3022210,cos2ABC a c b bc A ∆---==练习1.中,则()222,,,,tan _____,ABC a b c a c b B B ∆+-==练习2.在中角所对的边分别为若则角()()3ABC a b c a b c ab C ∆+++-=练习3.在中,,求.三．三角形的面积公式 1.面积公式的选用6016 ABC ABC A b S c ∆∆=︒===例.在中,,,则1.,1,_____2ABC AB BC B ∆===练习已知的面积是则()()2,,3sin sin sin 6cos cos 13.,,,a ABC A B C a b c ABC AB CB C a ABC ∆∆==∆练习2.在中角､､所对的边分别为､､已知的面积为Ⅰ求Ⅱ若求的周长2.面积的计算30,2,ABC B AC AB ABC ∆∠=︒==∆例.在中,若求的面积.160, ABC ABC AB AC A S ∆∆===︒=练习.在中,,则3.sin cos ,2,3,tan .ABC ABC A A AC AB A S ∆∆+===例.在中,求的值和120,4,.ABC ABC B b a c S ∆∆=︒=+=练习1.在中,若求12.,1,______2ABC AB BC AC ===练习钝角三角形的面积是则()22,,,,6,,3ABC a b c c a b C ABC π∆=-+=∆练习3.在中角所对的边分别为若则的面积为_____30,2,ABC B AC AB ABC ∆∠=︒==∆练习4.在中,若求的面积.四．射影定理.,,,,,2cos (cos cos ),;例△的内角的对边分别为已知求ABC A B C a b c C a B b A c C +=,,.2cos cos cos ,_______ABC A B C a b c b B a C c A B ∆=+=练习1.在中角､､所对的边分别为､若则),,,,cos cos ,cos ______ABC a b c c A a C A ∆-==练习2.在中角所对的边分别为若则五．正弦定理与余弦定理综合应用 1.边角互化与三角公式结合,,,,cos sin 0,ABC a b c a C C b c A∆+--=例.在中角所对的边分别为求21.,,,,,,2,23,ABC A B C a b c A C B b ac A +==练习在△中内角所对的边分别是求角的大小2.,,,,,.2cos .:2;练习在△中内角所对的边分别是已知证明ABC A B C a b c b c a B A B +==B C3.,,,,,,cos cos sin .:sin sin sin 练习在△中角所对的边分别是且证明ABC A B C a b c A A B Ca b c+==4.sin()sin().2442ABC A b C c B a B C πππ∆=+-+=-=练习在中,cos 求证2.与平面向量结合2.,233ABC AB AC AB AC BC A,B,C ∆⋅=⋅=例在已知,求角的大小3.tan 3tan cos ,5ABC AB AC BA BC B A C A ∆⋅=⋅==练习1.在中,(1)求证(2)若求的值ABC ,,36,3.,,ABC A B C a b c b AB AC S A a ∆∆==-=练习2.在中角､､所对的边分别为､､已知求和,,,,(,),(,) _,//____,ABC a b c p a c b q b a c a p q C ∆=+=--=练习3.在中角所对的边分别为若若则角,,,,(31),(cos ,sin ),cos cos sin ,_____ABC a b c m n A A m n a B b A c C B ∆=-=⊥+==练习4.在中角所对的边分别为向量，若且则角5.(22sin cos sin ),(sin cos ,1sin ),ABC A B C p A A A q A A A p q A ∆=-+=-+练习已知锐角中,三个内角为、、,向量，若与是共线向量,求的大小3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状22sin cos ,cos sin a A BABC ABC b A B∆=∆例.在中,若判断的形状cos sin ABC c a B b a C ∆==练习1.在中,,,判断三角形形状.cos cos ,ABC a A b B ABC ∆=∆练习2.在中,若判断的形状(),,,,,1,cos 1cos ,. ... ABC A B C a b c b a B A A ABC B C D ∆==-∆等腰三角练习3.已知的内角的对边分别为若则的形状为直角三角形形等腰直角三角形等腰或直角三角形4.三角形中的最值问题 (1)最大(小)角_________ABC ∆例.已知,则其最大角的余弦值为::2::1),ABC a b c ABC ∆=+∆练习.已知中,求的最大内角的大小(2)最长(短)边()()13,tan ,tan 45ABC A B C ABC ∆==∆例.在中Ⅰ求角的大小Ⅱ若求最小边的边长1,,tan ,c ,,,os 2,ABC A B C A B ABC a b c ∆==∆练习1.在中若最短边的边长角所对的边分别为求最长边的边长0120ABC ABC ∆∆的一个内角为,并且三边长构成公练习2.已知最长边的差为4的等差数列边长为_,则_____(3)边长或周长的最值3,,,12ABC B C A ABC AB ∆∆例1.在中,角成等差数列且的面积为则边的最小值是_______()()()()()()272cos sin 261? 2,,,,,3,2,2f x x x f x f x x ABC A B C a f A b c a b c π=+=⎛⎫=--⎪⎝⎭∆练习1.已知函数求函数的最大值,并写出取最大值时的取值集合已知中,角的对边分别为若求实数的取值范围060,2_____ABC B AC AB BC ∆==+练习2.在中,则的最大值为,,,,,2cos 2,,ABC A B C a b c c B a b ABC S ab ∆=+∆=练习3.在中,角的对边分别是且若的面积为则的最小值为__________.()()()25,,cos 224121,A A B C ABC B C sin A AB AC BC AD ∆++=⋅=-练习4.设角为的三个内角,已知求角的大小若求边上的高长的最大值()()()()() 5.sin 0,0212223f x p x p f x B ABC AC f C ABC ωωππ=>>⎛⎫∆==∆ ⎪⎝⎭练习函数的最大值为2,其图象相邻两条对称轴之间的距离为求函数的解析式在中,,,求周长的最大值()()()()()6.sin 2cos 2.312,,,,2,.2x f x m x x f x cABC a b c f B b a π==-∆==-练习已知是函数的图象的一条对称轴求函数的单调递增区间；在中角所对的边分别为若且求的取值范围练习7．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C B C C B B cos cos 4)cos sin 3)(cos sin 3(=--．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若C p B sin sin =，且ABC ∆是锐角三角形，求实数p 的取值范围．(4)面积的最值,,,,,2,(2)(sin sin )()sin ,a b c ABC A B C a b A B c b C ABC ∆=+-=-∆例.已知分别为的三个内角的对边且则面积的最大值为______()()1.,,,,cos sin .122,ABC a b c A B C a b C c B B b ABC ∆=+=∆练习在中，分别为所对的边,且求角的大小；若求面积的最大值.()() 2.,,,,cos cos .124,ABC a b c A B C a b C c B C c ABC ∆-==∆练习在中，分别为所对的边,且(2)求角的大小；若求面积的最大值.tan 33,,,,,1,tan .,,2B AB a b c cC B C C A C AB ∆=∆=角所对的边分练习在中的面积最大值为_别为且则____222.,,,,,48,sin 2sin 6sin sin ,ABC A B C a b c b c B C b A C ABC a ∆+=+=∆=练习4在锐角中,内角的对边分别是已知则的面积取最大值时有___.练习5．已知锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知a=3， A=60°,求面积的取值范围；(5)有关正弦或余弦或正切角等的最值222,,,,,2cos a b c ABC A B C a b c C ∆+=例1.已知分别为的三个内角的对边若则的最小值为______sin 2sin ,cos ABC A B C C ∆+=练习1.已知的内角满足则的最小值为______tan tan ,,,,,,2(tan tan ).cos c 2;(2os (1):)cos .练习2.在△中角的对边分别为已知求证求的最小值a b c A BABC A B C a b c A B B AC +++==,sin 2sin sin ,tan tan tan .练习3.在锐角三角形中则的最小值是ABC A B C A B C = ()(),,3cos 2cos ,11tan ,32tan ,,,,ABC A B C a C c a b A A B B c ∆==练习4.在中若若求角角所对的边分求别为的最小值22,,,,sin (1);(2)sin cos .例2.在中角所对的边分别为且求的大小求的取值范围ABC a b c a b C B A B C ∆-==+()()222,,,,,)4sin sin ABC a b c S ABC S a b c C A B ∆∆=+-+练习1.在中角所对的边分别为设为的面积满足Ⅰ求角的大小Ⅱ求的最大值222,.(1);(2)cos .练习2.在△中求的大小的最大值ABC a c b B A C +=+∠+(5)基本不等式与余弦定理交汇()()22,,,,,12ABC A B C a b c tanA a b c ABC ∆=A =+例.已知在锐角中角所对的边分别为且求角的大小当,求的最大值并判断此时三角形的形状()()(),,,,sin sin sin 125,ABC A B C a b c c C b B a b ACc ABC ∆-=-=∆练习.在中,内角所对的边分别为且求角若求的面积的最大值(5)与二次函数交汇()()2.(22sin cos sin ),(sin cos ,1sin ),32()2sin cos2ABC A B C p A A A q A A A p q A C Bf B B B ∆=-+=-+-=+1例已知锐角中,三个内角为、、,向量，若与是共线向量,求的大小函数取最大值时,的大小()()1.ABC ,,(2)cos cos (sin ,cos 2)(4,1)(1)5A B C a b c a c B b CB m A A n k k m n k ∆-===>⋅12练习在中角、、所对的边分别为、、且求的大小设，且的最大值为，求的值 练习2．设函数()cos cos21f x a x b x =++． （1）当1,1b a ==时，求函数()f x 的值域；（2）若1a =，对任意的实数x 函数()0f x ≥恒成立，求实数b 的取值范围；（3）若1b=，存在实数x使得函数()2f x a≥成立，求实数a的取值范围．练习3．ABC∆的三个内角为A B C、、，求当A为何值时，cos2cos2B CA++取得最大值，并求出这个最大值。
《解三角形》题型归纳
《解三角形》题型归纳【题型归纳】题型一正弦定理、余弦定理的直接应用例 1 ∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin( A +C) = 8sin2B ．2(1)求cos B(2)若a +c = 6 ，∆ABC 面积为2，求b ．【答案】（1）cos B =15（2）b = 2 ．17【解析】由题设及A +B +C =π得sin B = 8sin2B，故sin B = 4(1- cos B) ．2上式两边平方，整理得17 cos2B - 32 cos B +15 = 0 ，解得cos B = 1 （舍去），cos B =1517 .（2）由cos B =15得sin B =8，故S =1ac sin B =4ac ．又S∆ABC17 17= 2 ，则ac =17．2∆ABC 2 17由余弦定理及a +c = 6 得b2 =a2 +c2 - 2ac cos B = (a +c)2 - 2ac(1+ cos B)= 36 - 2⨯17⨯ (1+15) = 4 ．2 17所以b = 2 ．【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出例2 △ABC 的内角A, B, C的对边分别为a, b, c ,若2b cos B =a cos C+c cos A ,则B =.π【答案】3【解析】2 s in B cos B = sin A cos C + sin C cos A = sin( A +C) = sin B ⇒ cos B =1⇒B =π.2 33 【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。
【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。
例 3 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，若 b ＝1，c ＝ 3，C ＝2π，则 S △ABC ＝.3【答案】 34【解析】因为 c ＞b ，所以 B ＜C ，所以由正弦定理得 b ＝ c ，即 1 ＝ 3＝2，即 sin B ＝1，所以 B π π 2π π sin B 1 1 3 1 sin C3sin B sin 2π2 3 ＝ ，所以 A ＝π－ － 6 6 ＝ .所以 S △ABC ＝ 3 6 2 bc sin A ＝ × 2 × ＝ .2 4 【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。
三角函数与解三角形题型
三角函数和解三角形是高中数学中的重要内容，它们在实际中应用广泛，如测量高度、角度、距离等。
下面简单介绍一些常见的三角函数应用和解三角形的题型。
1. 三角函数应用题型
(1) 根据两边求角/根据一边和一个角求另一个角/根据两角求第三角
这类题目通常需要用到三角函数的反函数和三角函数关系式，根据给定的两边或一个边和一个角或两个角，求第三个角的大小。
需要注意使用对应的三角函数和反函数，或者利用正弦定理和余弦定理。
(2) 根据两角求角平分线/垂直平分线等
这类题目通常需要应用三角函数、对称性质等知识，利用角平分线定理和垂直平分线定理求解。
(3) 根据角度求高度/距离等
这类题目常常需要使用正弦函数、余弦函数和三角函数关系
式，得出高度或距离与角度之间的关系，然后求解。
2. 解三角形题型
(1) 已知三角形其中两边和一个角
可以使用余弦定理和正弦定理，根据所求角的三角函数求解。
(2) 已知三角形的三边
可以使用余弦定理计算出角度，然后使用正弦定理求出其他角度或者用正弦函数/余弦函数计算出所求角对应的边。
(3) 已知三角形其中一个角和两边之比
可以用正弦函数或余弦函数计算出所求角的正弦值/余弦值，并根据三角函数关系式求解其他角度或边长。
在应用三角函数和解三角形的题型中，需要注意应用公式的正确性和相应角度的变化，考虑各种情况的可能性，带上单位，不要忘记计算结果的合理性等问题。
全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析2019(含答案)
全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析（2015年-2019年共14套） 三角函数（共20小题）一、三角恒等变换（6题）1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ）（A ）32-（B ）32（C ）12- （D ）12【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin 30=12，故选D.2.（2018年3卷4）若，则A. B. C. D.【解析】,故答案为B.3.（2016年3卷7）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．4.（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）（A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．5.（2018年2卷15）已知，，则__________．【解析】：因为，，所以，因此6.（2019年2卷10）已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ ） A.15B.5C.33D.255【解析】2sin 2cos 21α=α+，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，55B ． 【点评】这类题主要考查三角函数中二倍角公式（几乎必考）、两角和与差公式、诱导公式、同角三角函数基本关系式等三角函数公式，难度以容易、中等为主。
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三角函数解三角形题型归类一知识归纳：（一）任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 ；②分类：角按旋转方向分为 、 和 ．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝ ．(3)象限角：使角的顶点与 重合，角的始边与 ，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个负数 ，零角的弧度数是 . (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫180π°. (3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr＝12|α|·r 2. 3．任意角的三角函数（1）定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ ．（2）任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)4.三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． （二）公式概念1．三角函数诱导公式⎝⎛⎭⎪⎪⎫k 2π＋α(k ∈Z)的本质 奇变偶不变(对k 而言，指k 取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时把α看成是锐角)． 2．两角和与差的三角函数公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.3．二倍角公式(1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos α2；(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. （三）正、余弦定理及其变形： 1．正弦定理及其变形 在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (其中R 是外接圆的半径)；a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.2．余弦定理及其变形a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； cos A ＝b 2＋c 2－a22bc.b 2＝ ； cos B ＝ ；c 2＝ . cos C ＝ .3.三角形面积公式:S △ABC ＝12ah ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝_________________＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .2．整体法：求y＝A sin(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间、周期、值域、对称轴(中心)时，将ωx＋φ看作一个整体，利用正弦曲线的性质解决．3．换元法：在求三角函数的值域时，有时将sin x(或cos x)看作一个整体，换元后转化为二次函数来解决．4．公式法：y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝A tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2016年全国卷1)4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b = （A ）2（B ）3（C ）2（D ）36.将函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为 （A ）2sin(2)4y x π=+（B ）2sin(2)3y x π=+（C ）2sin(2)4y x π=-（D ）2sin(2)3y x π=-14.已知θ是第四象限角，且3sin()45πθ+=，则tan()4πθ-=————————————． (2015年 全国卷1)8. 函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈（B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈17. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =. （I ）若a b =，求cos ;B （II ）若90B =，且2,a = 求ABC ∆的面积.(2014年 全国卷1) 2.若0tan >α，则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α 7.在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③16.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测学科网得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m .(2013年 全国卷1)9．函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ）10．已知锐角ABC∆的内角,,A B C的对边分别为,,a b c，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5 16．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______.(2012年 全国卷1)9.已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π417.（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边，3sin sin c a C c A =-.(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =2，ABC ∆3，求b ，c .三、题型归纳题型一、三角函数定义的应用1.若点P 在－10π3角的终边上，且P 的坐标为(－1，y )，则y 等于( )A.－33B.33 C.－ 3 D. 3变式1．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( )A.2π3B.11π6C.5π6D.3π4题型二、三角函数值的符号2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( )A.2π3B.11π6C.5π6D.3π4变式2.设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．－43题型三、同角三角函数关系式的应用3.已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )A ．－43 B.54 C ．－34 D.454.已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sinα的值为( )A ．－32 B.32 C ．－34 D.34变式3.已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α等于( )A ．－1B ．－22 C.22 D ．1题型四 诱导公式的应用 5．(1)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6＋α＝________. (2)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝______变式4.已知角α终边上一点p(-4,3)，则cos()sin()2119cos()sin()22παπαππαα+---+的值为题型五、三角函数的图形变换6.（1）要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位（2）某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：(1)直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到y＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．变式5.已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．题型六、三角函数的性质问题 7.（1）函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π3－2x 的单调增区间为________.（2）已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋φ－π2⎝⎛⎭⎪⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝k π－π6，k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝k π－π3，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝2k π－π6，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝2k π－π3，k ∈Z（3）函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且其图象向右平移π12个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象( )A.关于点⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，0对称 B.关于直线x ＝5π12对称C.关于点⎝⎛⎭⎪⎪⎫5π12，0对称 D.关于直线x ＝π12对称（4）当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3π4－x 是( )A.奇函数且图象关于点⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，0对称 B.偶函数且图象关于点(π，0)对称C.奇函数且图象关于直线x ＝π2对称 D.偶函数且图象关于点⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，0对称 变式6.已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π4的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．题型七、最值与值域问题 8.已知函数2()(sinx cosx)cos 2f x x =++。