图形的相似知识点复习

【分析】
根据平行线分线段成比例定理，可得 正确．
【详解】
解： ， ，
， ，
，
故 选项正确，选项 、 、 错误，
故选： ．
【点睛】
本题主要考查平行线分线段成比例，找准对应边是解题的关键．
5．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为（ ）
∵BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴ ，
解得：OB＝3，
∴EO＝9，
∴F点坐标为：（9，6），
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出OB的长是解题关键．
6．如图，正方形OABC的边长为6，D为AB中点，OB交CD于点Q，Q是y＝ 上一点，k的值是（）
A．4B．8C．16D．24
A． B． C．3D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，
∴BF∥DE∥CM．
∵OD=AD=3，DE⊥OA，
∴OE=EA= OA=2．
由勾股定理得：DE= ．
设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，
【答案】C
【解析】
【分析】
延长根据相似三角形得到 ，再过点 作垂线，利用相似三角形的性质求出 、 ，进而确定点 的坐标，确定 的值．
【详解】
解：过点 作 ，垂足为 ，
是正方形，
， ，
是 的中点，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
， ，
，
点 在反比例函数的图象上，
，
故选： ．
【点睛】
本题考查了待定系数法求反比例函数、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形性质求出点 的坐标是解决问题的关键．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴△ADM∽△EBM，△ADF∽△ECF，△DFM∽△BAM，△EFC∽△EAB，
∵∠AFD=∠BAE，∠DAE=∠E，
∴△ADF∽△EBA，
∴图中共有相似三角形5对，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
∴ ，
∴CE＝4，则OE＝CE−OC＝3，
∴点B'的横坐标是3，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是位似变换、相似三角形的判定和性质，掌握位似变换的概念是解题的关键．
9．如图， 为 的直径， 为 上一点，弦 平分 ，交弦 于点 ， ， ，则 的长为（）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD，根据圆周角定理得到∠DCB=∠BAD，证明△DCE∽△DAC，根据相似三角形的性质求出AD，结合图形计算，得到答案．
根据 ，设 ，则 ，
根据相似三角形的性质，得
，即 ，
解得 ．
故供水站应建在距 点2千米处．
故选：B．
【点睛】
本题为最短路径问题，作对称找出点P，利用三角形相似是解题关键.
12．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，AC分别交BE，DF于G，H，试判断下列结论：①△ABE≌△CDF；②AG＝GH＝HC；③2EG＝BG；④S△ABG：S四边形GHDE＝2：3，其中正确的结论是（ ）
∴∠DEC=∠EFN，
∴Rt△FNE∽Rt△ECD，
∵DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，
∴两三角形相似比为1：2，
∴可以得到CE=2NF，
∵AC平分正方形直角，
∴∠NFC=45°，
∴△CNF是等腰直角三角形，
∴CN=NF，
∴
故选C．
【点睛】
此题主要考查了旋转的性质与正方形的性质以及相似三角形的判定等知识，求线段的长度经常运用相似三角形的知识解决，同学们应学会这种方法.
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，根据位似图形的性质得到B′C＝2BC，再利用相似三角形的判定和性质计算即可．
【详解】
解：作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，
则BD∥B′E，
由题意得CD＝2，B′C＝2BC，
∵BD∥B′E，
∴△BDC∽△B′EC，
15．在平面直角坐标系中，把△ABC的各顶点的横坐标都除以 ，纵坐标都乘 ，得到△DEF，把△DEF与△ABC相比，下列说法中正确的是()
A．横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的
B．横向缩小为原来的 ，纵向扩大为原来的3倍
C．△DEF的面积为△ABC面积的12倍
D．△DEF的面积为△ABC面积的
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
解：△DEF与△ABC相比，横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的 ；△DEF的面积为△ABC面积的 ，
故选A.
16．如图， 是 的中点，将面积为 的菱形 沿 方向平移 长度得到菱形 ，则图中阴影部分的面积是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意得，▱ABCD∽▱OECF，且AO=OC= ，故四边形OECF的面积是▱ABCD面积的
A．（8，6）B．（9，6）C． D．（10，6）
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用位似图形的性质结合相似比得出EF的长，进而得出△OBC∽△OEF，进而得出EO的长，即可得出答案．
【详解】
解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ，
∴ ，
∵BC＝2，
∴EF＝BE＝6，
【详解】
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
由圆周角定理得，∠DCB=∠BAD，
∴∠CAD=∠DCB，又∠D=∠D，
∴△DCE∽△DAC，
∴ ，即 ，
解得，AD=8，
∴AE=AD DE=8 2=6，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【详解】
解：如图，
由平移的性质得，▱ABCD∽▱OECF，且AO=OC=
故四边形OECF的面积是▱ABCD面积
即图中阴影部分的面积为4cm2．
3．如图，在 中，点D，E分别为AB，AC边上的点，且 ，CD、BE相较于点O，连接AO并延长交DE于点G，交BC边于点F，则下列结论中一定正确的是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由 可得到 ∽ ，依据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质进行判断即可．
【详解】
解：A.∵ ，
∴ ,故不正确；
10．如图，将 沿 边上的中线 平移到 的位置．已知 的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若 ，则 等于（）
A．2B．3C．4D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由S△ABC＝16、S△A′EF＝9且AD为BC边的中线知 ， ，根据△DA′E∽△DAB知 ，据此求解可得．
【详解】
、 ，且 为 边的中线，
∵BF∥DE∥CM，
∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE．
∴ ，即 ，解得： ．
∴BF+CM= ．
故选A．
14．已知正方形ABCD的边长为5，E在BC边上运动，DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，问CE为多少时A、C、F在一条直线上（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
A．距 点 处B．距 点 处C．距 点 处D． 的中点处
【答案】B
【解析】
【分析】
作出点 关于江边的对称点 ，连接 交 于 ，则
，根据两点之间线段最短，可知当供水站在点 处时，供水管路最短．再利用三角形相似即可解决问题.
【详解】
作出点 关于江边的对称点 ，连接 交 于 ，则 ．根据两点之间线段最短，可知当供水站在点 处时，供水管路最短．
∴AE＝ AD，CF＝ BC，
∴AE∶CB＝1∶2，CF∶AD＝1∶2，
∴EG∶BG＝AG∶CG＝1∶2，CH∶AH＝1∶2
∴AG＝CH＝ AC，2EG＝BG，故③正确；
∴AG＝GH＝HC，故②正确；
∵S△ABG＝2S△AEG，S四边形GHDE＝3S△AEG，
∴S△ABG：S四边形GHDE＝2：3，故④正确，
图形的相似知识点复习
一、选择题
1．如图，点E是平行四边形ABCD中BC的延长线上的一点，连接AE交CD于F，交BD于M，则图中共有相似三角形(不含全等的三角形)( )对．
A．4B．5Biblioteka Baidu．6D．7
【答案】B
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质可得AD//BC，AB//CD，根据相似三角形的判定方法进行分析，即可得到图中的相似三角形的对数．
2．如果两个相似正五边形的边长比为1：10，则它们的面积比为（）
A．1：2B．1：5C．1：100D．1：10
【答案】C
【解析】
根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，由两个相似正五边形的相似比是1：10，可知它们的面积为1：100．
故选：C．
点睛：此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
7．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质可推导得出AC2=AD•AB，由此即可解决问题.
【详解】
∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴△ADC∽△ACB，
【详解】
解：在平行四边形ABCD中，
AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，BC＝DA，
∵E，F分别是边AD，BC的中点，
∴AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AGE∽△CGB，△CHF∽△AHD，
∴AG∶CG＝EG∶BG＝AE∶CB，CH∶AH＝CF∶AD，
∵E，F分别是边AD，BC的中点，
B.∵ ，
∴ ,故不正确；
C.∵ ，
∴ ∽ ， ∽ ,
， ．
，故正确；
D.∵ ，
∴ ,故不正确；
故选C．
【点睛】
本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．
4．如图，在 中，点 分别在边 上， ，则下列结论一定正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据SAS，即可证明①△ABE≌△CDF；在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，根据有一组对边平行且相等四边形是平行四边形，即可证明四边形BFDE是平行四边形，由AD∥BC，即可证明△AGE∽△CGB，△CHF∽△AHD，然后根据相似三角形的对应边成比例，证得AG∶CG＝EG∶BG＝1∶2，CH∶AH＝1∶2，即可证得②AG＝GH＝HC，③2EG＝BG；由S△ABG＝2S△AEG，S四边形GHDE＝3S△AEG，可得结论④S△ABG：S四边形GHDE＝2：3．
∴ ，
∴AC2=AD•AB=2×8=16，
∵AC>0，
∴AC=4，
故选B.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.
8．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，使得△A'B'C的边长是△ABC的边长的2倍．设点B的横坐标是﹣3，则点B'的横坐标是（ ）
故选：D
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握这些知识是解本题的关键．
13．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）
首先延长BC，做FN⊥BC，构造直角三角形，利用三角形相似的判定，得出Rt△FNE∽Rt△ECD，再利用相似比得出 ，运用正方形性质,得出△CNF是等腰直角三角形，从而求出CE．
【详解】
解：过F作BC的垂线，交BC延长线于N点，
∵∠DCE=∠ENF=90°，∠DEC+∠NEF=90°，∠NEF+∠EFN=90°，
， ，
将 沿 边上的中线 平移得到 ，
，
，
则 ，即 ，
解得 或 （舍），
故选： ．
【点睛】
本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的
性质、相似三角形的判定与性质等知识点．
11．如图，某河的同侧有 ， 两个工厂，它们垂直于河边的小路的长度分别为 ， ，这两条小路相距 ．现要在河边建立一个抽水站，把水送到 ， 两个工厂去，若使供水管最短，抽水站应建立的位置为（ ）