图形的相似知识点复习

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初三相似的图形知识点归纳总结

初三相似的图形知识点归纳总结相似的图形在初中数学中占据非常重要的位置。

相似的图形具有相同的形状但不一定相等的大小。

在初三学习过程中，我们接触到了许多涉及相似图形的知识点。

本文将对初三相似的图形知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。

一、相似三角形的判定条件1. AAA相似定理：如果两个三角形的对应角相等，则它们相似。

2. AA相似定理：如果两个三角形的一个角对应对应地相等，并且两个对应边成比例，则它们相似。

3. 相似三角形的对应边的比例关系：如果两个三角形相似，那么它们的对应边的长度之比等于相似比。

即\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'}\)二、相似三角形的性质和应用1. 相似三角形的边长比例性质：两个相似三角形的相应边的比等于它们的相似比。

即\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'}\)2. 相似三角形的高线比例性质：两个相似三角形的高线与底边之比等于相似比。

即\(\frac{h_1}{h_2} = \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} =\frac{CA}{C'A'}\)3. 相似三角形的面积比例性质：两个相似三角形的面积之比等于边长之比的平方。

即\(\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{AB}{A'B'}\right)^2 =\left(\frac{BC}{B'C'}\right)^2 = \left(\frac{CA}{C'A'}\right)^2\)4. 利用相似三角形性质解决实际问题。

如影子定理、塔楼高度的测量等。

图形的相似知识点总复习

图形的相似知识点总复习一、选择题1．已知正方形ABCD的边长为5，E在BC边上运动，DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，问CE为多少时A、C、F在一条直线上（）A．35B．43C．53D．34【答案】C【解析】【分析】首先延长BC，做FN⊥BC，构造直角三角形，利用三角形相似的判定，得出Rt△FNE∽Rt△ECD，再利用相似比得出12.52NE CD==，运用正方形性质,得出△CNF是等腰直角三角形，从而求出CE．【详解】解：过F作BC的垂线，交BC延长线于N点，∵∠DCE=∠ENF=90°，∠DEC+∠NEF=90°，∠NEF+∠EFN=90°，∴∠DEC=∠EFN，∴Rt△FNE∽Rt△ECD，∵DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，∴两三角形相似比为1：2，∴可以得到CE=2NF，12.52NE CD==∵AC平分正方形直角，∴∠NFC=45°，∴△CNF是等腰直角三角形，∴CN=NF，∴2255.3323 CE NE==⨯=故选C．【点睛】此题主要考查了旋转的性质与正方形的性质以及相似三角形的判定等知识，求线段的长度经常运用相似三角形的知识解决，同学们应学会这种方法.2．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（）A．235B．233C．334D．435【答案】D【解析】【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出结论．【详解】如图，在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，∴3连接DE，∵∠BDC=90°，点D是BC中点，∴DE=BE=CE=12BC=2，∵∠DCB=30°，∴∠BDE=∠DBC=30°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠BDE，∴DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴DF DE BF AB＝，在Rt△ABD中，∠ABD=30°，3，∴AB=3，∴23 DFBF＝，∴25 DFBD＝，∴DF=224323555BD =⨯=，故选D ．【点睛】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，判断出DE ∥是解本题的关键．3．若△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 的相似比为2︰3，则S △ABC ︰S △DEF 为( )A ．2∶3B ．4∶9C ．2∶3D ．3∶2【答案】B【解析】【分析】根据两相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以224()39ABC DEF S S==．【详解】因为△ABC ∽△DEF ，所以△ABC 与△DEF 的面积比等于相似比的平方，所以S △ABC ：S △DEF =（23）2=49，故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握：两个相似三角形面积比等于相似比的平方．4．如图，在△ABC 中，∠A ＝75°，AB ＝6，AC ＝8，将△ABC 沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】A 、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C 、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．D 、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．5．如图，在ABC 中，点D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，且//DE BC ，CD 、BE 相较于点O ，连接AO 并延长交DE 于点G ，交BC 边于点F ，则下列结论中一定正确的是( )A ．AD AE AB EC= B ．AG AE GF BD = C ．OD AE OC AC = D ．AG AC AF EC = 【答案】C【解析】【分析】由//DE BC 可得到DEO ∽CBO ，依据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质进行判断即可．【详解】解：A.∵//DE BC ， ∴AD AE AB AC= ,故不正确； B. ∵//DE BC ， ∴AG AE GF EC = ,故不正确； C. ∵//DE BC ，∴ADE ∽ABC ，DEO ∽CBO ,DE AE BC AC ∴=，DE OD BC OC = ． OD AE OC AC∴= ，故正确； D. ∵//DE BC ，∴AG AE AF AC= ,故不正确；故选C ．【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．6．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A ，B ，E 在x 轴上．若正方形ABCD 的边长为2，则点F 坐标为（）A ．（8，6）B ．（9，6）C ．19,62⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．（10，6）【答案】B【解析】【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出EF 的长，进而得出△OBC ∽△OEF ，进而得出EO 的长，即可得出答案．【详解】解：∵正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13， ∴13BC OB EF EO ==， ∵BC ＝2，∴EF ＝BE ＝6，∵BC ∥EF ，∴△OBC ∽△OEF ，∴136BO BO =+，解得：OB ＝3，∴EO ＝9，∴F 点坐标为：（9，6），故选：B ．【点睛】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出OB 的长是解题关键．7．如图，正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，BE EC =，将DCE ∆沿DE 对折至DFE ∆，延长EF 交边AB 于点G ，连接DG ，BF ．给出以下结论：①DAG DFG ∆≅∆；②2BG AG =；③EBFDEG ∆∆；④23BFC BEF S S ∆∆=．其中所有正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD ＝DF ，∠A ＝∠GFD ＝90°，于是根据“HL”判定Rt △ADG ≌Rt △FDG ，可判断①的正误；设正方形ABCD 的边长为a ，AG ＝FG ＝x ，BG ＝a−x ，根据勾股定理得到x ＝13a ，得到BG ＝2AG ，故②正确；根据已知条件得到△BEF 是等腰三角形，易知△GED 不是等腰三角形，于是得到△EBF 与△DEG 不相似，故③错误；连接CF ，根据三角形的面积公式得到S △BFC ＝2S △BEF ．故④错误．【详解】解：如图，由折叠和正方形性质可知，DF ＝DC ＝DA ，∠DFE ＝∠C ＝90°，∴∠DFG ＝∠A ＝90°，在Rt △ADG 和Rt △FDG 中，AD DF DG DG⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △ADG ≌Rt △FDG （HL ），故①正确；设正方形ABCD 的边长为a ，AG ＝FG ＝x ，BG ＝a−x ，∵BE ＝EC ，∴EF ＝CE ＝BE ＝12a∴GE=12a+x由勾股定理得：EG2＝BE2＋BG2，即：(12a+x)2=(12a)2+(a-x)2解得：x＝13∴BG＝2AG，故②正确；∵BE＝EF，∴△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，∴△EBF与△DEG不相似，故③错误；连接CF，∵BE＝CE，∴BE＝12 BC，∴S△BFC＝2S△BEF．故④错误，综上可知正确的结论的是2个．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、图形的折叠变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积计算，有一定的难度．8．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，使得△A'B'C的边长是△ABC的边长的2倍．设点B的横坐标是﹣3，则点B'的横坐标是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，根据位似图形的性质得到B′C＝2BC，再利用相似三角形的判定和性质计算即可．【详解】解：作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，则BD∥B′E，由题意得CD＝2，B′C＝2BC，∵BD∥B′E，∴△BDC∽△B′EC，∴1'2 CD BCCE B C，∴CE＝4，则OE＝CE−OC＝3，∴点B'的横坐标是3，故选：B．【点睛】本题考查的是位似变换、相似三角形的判定和性质，掌握位似变换的概念是解题的关键．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（）A．32B．92C33D．3【答案】A【解析】【分析】【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∴△ACD∽△ABC，∴AC：AB=AD：AC，∵AC=3，AB=6，∴AD=32．故选A．考点：相似三角形的判定与性质．10．如图，边长为4的等边ABC 中，D 、E 分别为AB ，AC 的中点，则ADE 的面积是( )A 3B 3C 33D ．23【答案】A【解析】【分析】由已知可得DE 是△ABC 的中位线，由此可得△ADE 和△ABC 相似，且相似比为1：2，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△ABC 的面积．【详解】等边ABC 的边长为4，2ABC 3S 443∴== 点D ，E 分别是ABC 的边AB ，AC 的中点，DE ∴是ABC 的中位线，DE //BC ∴，1DE BC 2=，1AD AB 2=，1AE AC 2=，即AD AE DE 1AB AC BC 2===， ADE ∴∽ABC ，相似比为12，故ADE S：ABC S 1=：4，即ADE ABC 11S S 43344==⨯= 故选A ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握等边三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质及中位线定理．11．把Rt ABC ∆三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的余弦值（）A ．扩大为原来的3倍B ．缩小为原来的13C ．扩大为原来的9倍D ．不变【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的性质解答．【详解】三边的长度都扩大为原来的3倍，则所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A 的大小不变，∴锐角A 的余弦值不变，故选：D ．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．12．如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点M 在CD 的边上，且1DM =，AEM ∆与ADM ∆关于AM 所在直线对称，将ADM ∆按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ABF ∆，连接EF ，则cos EFC ∠的值是（）A 171365B 61365C 71525D ．617【答案】A【解析】【分析】过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，首先证明AEH EMG ，则有13EH AE MG EM == ，设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+，在Rt AEH 中利用勾股定理求出x 的值，进而可求,,,EH BN CG EN 的长度，进而可求FN ，再利用勾股定理求出EF 的长度，最后利用cos FN EFC EF∠=即可求解．【详解】过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，则90AHG MGE ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴3,90AD AB ABC C D ==∠=∠=∠=︒ ，∴四边形AHGD,BHEN,ENCG 都是矩形．由折叠可得，90,3,1AEM D AE AD DM EM ∠=∠=︒====，90AEH MEG EMG MEG ∴∠+∠=∠+∠=︒ ，AEH EMG ∴∠=∠，AEH EMG ∴，13EH AE MG EM ∴== ．设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+在Rt AEH 中，222AH EH AE += ，222(1)(3)3x x ∴++= ，解得45x =或1x =-（舍去）， 125EH BN ∴==，65CG CD DG EN =-== ． 1BF DM == 175FN BF BN ∴=+=．在Rt EFN △ 中，由勾股定理得，2213EF EN FN =+=，17cos 1365FN EFC EF ∴∠==．故选：A ．【点睛】本题主要考查正方形，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，能够作出辅助线是解题的关键．13．在平面直角坐标系中，把△ABC 的各顶点的横坐标都除以14，纵坐标都乘13，得到△DEF ，把△DEF 与△ABC 相比，下列说法中正确的是( )A ．横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的13 B ．横向缩小为原来的14，纵向扩大为原来的3倍 C ．△DEF 的面积为△ABC 面积的12倍D ．△DEF 的面积为△ABC 面积的112 【答案】A【解析】【分析】【详解】解：△DEF 与△ABC 相比，横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的13；△DEF 的面积为△ABC 面积的169，故选A.14．如图，已知ABC ∆和ABD ∆都O 是的内接三角形，AC 和BD 相交于点E ，则与ADE ∆的相似的三角形是（）A ．BCE ∆B ．ABC ∆ C ．ABD ∆ D ．ABE ∆【答案】A【解析】【分析】根据同弧和等弧所对的圆周角相等，则AB 弧所对的圆周角BCE BDA ∠=∠，CEB ∠和DEA ∠是对顶角，所以ADE BCE ∆∆∽．【详解】解：BCE BDA ∠=∠，CEB DEA ∠=∠ADE BCE ∴∆∆∽，故选：A ．【点睛】考查相似三角形的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似，关键就是牢记同弧所对的圆周角相等．15．如图，将图形用放大镜放大，应该属于( )．A ．平移变换B ．相似变换C ．旋转变换D ．对称变换【答案】B【解析】【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．【详解】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B ．【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．16．如图，在ABC 中，//,,30DE BC AF BC ADE ⊥∠=︒，2,33,DE BC BF ==则DF 的长为（）A ．4B ．23C ．33D ．3【答案】D【解析】【分析】先利用相似三角形的相似比证明点D 是AB 的中点，再解直角三角形求得AB ，最后利用直角三角形斜边中线性质求出DF ．【详解】解：∵//DE BC ，∴ADE ~ABC ，∵2DE BC =，∴点D 是AB 的中点，∵,30AF BC ADE ⊥∠=︒，33BF =，∴∠B ＝30°，∴AB 6cos30BF ==︒， ∴DF=3，故选：D ．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形和直角三角形斜边中线性质，熟练掌握性质的运用是解题关键．17．如图，某河的同侧有A ，B 两个工厂，它们垂直于河边的小路的长度分别为2AC km =，3BD km =，这两条小路相距5km ．现要在河边建立一个抽水站，把水送到A ，B 两个工厂去，若使供水管最短，抽水站应建立的位置为（）A ．距C 点1km 处B ．距C 点2km 处 C ．距C 点3km 处D ．CD 的中点处【答案】B【解析】【分析】作出点A 关于江边的对称点E ，连接EB 交CD 于P ，则PA PB PE PB EB +=+=，根据两点之间线段最短，可知当供水站在点P 处时，供水管路最短．再利用三角形相似即可解决问题.【详解】作出点A 关于江边的对称点E ，连接EB 交CD 于P ，则PA PB PE PB EB +=+=．根据两点之间线段最短，可知当供水站在点P 处时，供水管路最短．根据PCE PDB ∆∆，设PC x =，则5PD x =-，根据相似三角形的性质，得PC CE PD BD =，即253x x =-，解得2x =．故供水站应建在距C 点2千米处．故选：B ．【点睛】本题为最短路径问题，作对称找出点P ，利用三角形相似是解题关键.18．如图，已知AOB ∆和11A OB ∆是以点O 为位似中心的位似图形，且AOB ∆和11A OB ∆的周长之比为1:2，点B 的坐标为()1,2-，则点1B 的坐标为（）．A ．()2,4-B ．()1,4-C ．()1,4-D ．()4,2-【答案】A【解析】【分析】设位似比例为k ，先根据周长之比求出k 的值，再根据点B 的坐标即可得出答案．【详解】设位似图形的位似比例为k则1111,,OA kOA OB kOB A B kAB ===△AOB 和11A OB △的周长之比为1:2111112OA OB AB OA OB A B ++∴=++，即12OA OB AB kOA kOB kAB ++=++ 解得2k = 又点B 的坐标为(1,2)- ∴点1B 的横坐标的绝对值为122-⨯=，纵坐标的绝对值为224⨯=点1B 位于第四象限∴点1B 的坐标为(2,4)-故选：A ．【点睛】本题考查了位似图形的坐标变换，依据题意，求出位似比例式解题关键．19．平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）经过某种变换后得到的对应点为P′（12a+1，12b﹣1）．已知A，B，C是不共线的三个点，它们经过这种变换后，得到的对应点分别为A′，B′，C′．若△ABC的面积为S1，△A′B′C′的面积为S2，则用等式表示S1与S2的关系为（）A．S112=S2B．S114=S2C．S1＝2S2D．S1＝4S2【答案】D【解析】【分析】先根据点P及其对应点判断出变换的类型，再依据其性质可得答案．【详解】由点P（a，b）经过变换后得到的对应点为P′（12a+1，12b﹣1）知，此变换是以点（2，﹣2）为中心、2：1的位似变换，则△ABC的面积与△A′B′C′的面积比为4：1，∴S1＝4S2，故选：D．【点睛】本题主要考查几何变换类型，解题的关键是根据对应点的坐标判断出其几何变换类型．20．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边40DE cm=，20EF cm=，测得边DF离地面的高度 1.5AC m=，8CD m=，则树高AB是（）A．4米B．4.5米C．5米D．5.5米【答案】D【解析】【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明的身高即可求得树高AB.【详解】解：∵∠DEF=∠BCD-90°∠D=∠D ∴△ADEF∽△DCB∴BC DC EF DE=∴DE=40cm=0.4m，EF-20cm=0.2m，AC-1.5m，CD=8m∴80.20.4BC=解得：BC=4∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米故答案为：5.5.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型。

相似原理知识点总结归纳

相似原理知识点总结归纳相似原理是几何学中一个重要的概念，它在数学和物理学中都有广泛的应用。

相似原理描述了两个图形的形状和大小之间的关系，它帮助我们理解并解决许多几何问题。

在这篇文章中，我们将总结和归纳相似原理的相关知识点，包括相似三角形、相似多边形、相似图形的性质以及相似原理在实际问题中的应用。

一、相似三角形相似三角形是指具有相同形状但大小不一样的三角形。

当两个三角形的对应角度相等，而对应边长之间成比例时，我们就可以说这两个三角形是相似的。

具体来说，如果三角形ABC和三角形DEF满足以下条件：1.∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F2. AB/DE = BC/EF = AC/DF那么我们可以得出三角形ABC和三角形DEF是相似的。

相似三角形有一些重要的性质：1. 相似三角形的对应角度相等，对应边长成比例。

2. 相似三角形的高、中线、垂直平分线和角平分线成比例。

3. 相似三角形的面积成比例，比例为边长的比值的平方。

利用相似三角形的性质，我们可以解决很多几何问题，比如计算三角形的边长、角度，求解高、中线、垂直平分线和角平分线的长度等。

二、相似多边形相似多边形是指具有相同形状但大小不一样的多边形。

当两个多边形的对应角度相等，而对应边长之间成比例时，我们就可以说这两个多边形是相似的。

具体来说，如果多边形A1A2...An和多边形B1B2...Bn满足以下条件：1. ∠A1 = ∠B1，∠A2 = ∠B2，...，∠An = ∠Bn2. A1A2/B1B2 = A2A3/B2B3 = ... = AnA1/BnB1那么我们可以得出多边形A1A2...An和多边形B1B2...Bn是相似的。

相似多边形有一些重要的性质：1. 相似多边形的对应角度相等，对应边长成比例。

2. 相似多边形的周长之比等于它们的任意一组对应边长之比。

3. 相似多边形的面积之比等于它们的任意一对对应边的平方比。

利用相似多边形的性质，我们可以求解多边形的边长、角度，计算面积等。

中考数学知识点总结图形的相似

中考数学知识点总结图形的相似在中考数学中，图形的相似是一个重要的知识点。

它不仅在几何题目中频繁出现，也是解决实际问题的有力工具。

下面就让我们一起来详细了解一下图形相似的相关知识。

一、相似图形的概念相似图形是指形状相同，但大小不一定相同的图形。

比如说，两个正方形，它们的边长可能不同，但形状是一样的，这就是相似图形。

相似多边形对应角相等，对应边的比相等。

如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形就是相似多边形。

二、相似三角形1、相似三角形的判定（1）两角分别相等的两个三角形相似。

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

（3）三边成比例的两个三角形相似。

如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

（1）相似三角形对应边的比等于相似比。

（2）相似三角形对应角相等。

（3）相似三角形周长的比等于相似比。

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

三、相似三角形的应用1、测量高度在实际生活中，我们常常需要测量一些物体的高度，比如旗杆、建筑物等。

这时就可以利用相似三角形的知识来解决。

通过测量一些已知长度的线段和对应的角度，构建相似三角形，从而求出物体的高度。

2、测量距离相似三角形还可以用于测量距离。

比如，在河的一岸要测量到对岸某一点的距离，可以在这一岸选取两个点，构建相似三角形，通过测量已知边的长度和角度，来计算出河的宽度。

四、位似图形1、位似图形的概念如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。

（1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

（2）位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上。

3、位似图形的作图在位似图形的作图中，要先确定位似中心，然后根据位似比确定对应点的位置，最后连接各点得到位似图形。

人教版相似图形知识点总结

人教版相似图形知识点总结一、基本概念1. 相似图形的定义相似图形是指形状相同但大小可能不同的图形。

当两个图形的对应角相等，对应边成比例时，我们称这两个图形是相似的。

2. 相似比相似图形之间的边的长度比叫做相似比。

设两个相似图形的对应边分别为a和b，那么a:b就是它们的相似比。

3. 相似比的性质相似比是真分数或小数。

相似比的倒数也是其相似比。

4. 相似比的应用相似比可用于求解各种问题，如测量图形的大小，进行比例测量等。

在解决实际问题时，我们经常需要根据相似比进行尺寸的调整和计算。

二、相似图形的性质1. 对应角相等相似图形的对应角相等。

这意味着，如果两个图形是相似的，它们的对应角度度数是相等的。

2. 对应边成比例相似图形的对应边成比例。

这意味着，如果两个图形是相似的，那么它们的对应边的长度之比是相等的。

3. 面积的比相似图形的面积比等于边长比的平方。

设两个相似图形的对应边分别为a和b，它们的面积分别为S1和S2，那么S1:S2 = (a/b)²。

三、相似图形的判定1. 判断相似的方法（1）角对应相等判断两个图形是否相似，可以首先比较它们对应的角度是否相等。

如果对应角相等，则这两个图形是相似的。

（2）边成比例当两个图形的对应边成等比例时，它们是相似的。

也就是说，如果两个图形的对应边的长度之比相等，那么这两个图形是相似的。

2. 斜率的判断方法两条直线斜率相等，那么它们之间的夹角相等。

因此，我们可以通过计算两个图形的直线斜率来判断它们是否相似。

3. 重要结论如果三角形的一个角相等，则它们是相似的。

如果三角形的三边成比例，则它们是相似的。

四、相似图形的应用1. 相似图形的构造通过相似图形的性质，我们可以利用已知的图形构造出相似的新图形。

比如通过放缩、旋转等方式，我们可以构造出相似的图形。

2. 根据相似图形的性质进行计算使用相似图形的性质，我们可以进行各种计算。

比如求解未知边长、未知角度的大小等问题。

相似图形的知识点总结(16篇)

相似图形的知识点总结（16篇）篇1：相似图形的知识点总结相似图形的知识点总结知识点1.概念把形状相同的图形叫做相似图形。

(即对应角相等、对应边的比也相等的图形)解读：(1)两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.(2)全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同.(3)判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关.知识点2.比例线段对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即(或a:b=c:d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.知识点3.相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.解读：(1)正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系.(2)明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性.知识点4.相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形.解读：(1)相似三角形是相似多边形中的一种;(2)应结合相似多边形的性质来理解相似三角形;(3)相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同;(4)相似用“∽”表示，读作“相似于”;(5)相似三角形的对应边之比叫做相似比.知识点5.相似三角的判定方法(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似;(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或其他两边的延长线)所构成的三角形与原三角形相似.(3)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(4)如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.(5)如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.(6)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似.知识点6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边的比相等;(2)对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比;(3)相似三角形周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.(4)射影定理篇2：相似图形相似图形教学交流课教案:第四章相似图形教学目标：1、知道线段比的概念。

九年级数学《图形的相似》总复习课件-PPT

6或2/3或1.5
6
2.比例中项：
当两个比例内项相等时，即
a b=
cb(，或 a：b=b：c)，
那么线段 b 叫做a 和 c 的比例中项.
即： b2 ac
数2与8的比例中项是 ___4_ .线段2cm与8cm的
比例中项是 _4__c_m.
7
3.黄金分割： A
C
B
把一条线段（AB）分成两条线段，使其中较长线段（AC）是原线段（AB）与较短线段（BC）的比例中项，就叫做把这条线段黄金分割。
y
·P
O B· C·
x
·A
28
9、如图, 在△ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一点,AE=2,
在AC上取一点F,使以A、E、F为顶点的三角形与
△ABC相似,那么AF=___85_或___52_
A
.E
F1
F2
DC
B
C
A
B
10、如图, 在直角梯形中, ∠BAD=∠D=∠ACB=90。，
CD= 4, AB= 9, 则 AC=__6____
P
A
C
D
B
33
15、如图D,E分别AB,AC是上的点, ∠AED=72o， ∠A=58o，∠B=50o, 那么△ADE和△ABC相似吗？
若AE=2,AC=4,则BC是DE的
倍.
A
E D
C B
34
16、若△ ACP∽△ABC，AP=4，BP=5，则AC=___6____，△
ACP与△ABC的相似比是_____2__:，3周长之比是_______，
1
1. 成比例的数（线段）：
若 a c 或a : b c : d , 那么 a ,b, c , d 叫做四个数成比例。

九年级下册数学《相似》重点知识整理

九年级下册数学《相似》重点知识整理《相似》重点知识27.1 图形的相似1、相似的定义如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。

（相似的符号：∽）2、相似的判定如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。

3、相似比相似多边形的对应边的比叫相似比。

相似比为1时，相似的两个图形全等相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。

相似多边形的周长比等于相似比。

相似多边形的面积比等于相似比的平方。

27.2 相似三角形1、相似三角形的判定（★重难点）（1）.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似（2）三边对应成比例（3）两边对应成比例,且夹角相等（4）两个三角形的两个角对应相等★常考题型：1、利用三角形的相似测量塔高、河宽2、相似三角形判定的常用模型A字型、8字型、三等角模型3、相似的性质1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

2.相似三角形周长的比等于相似比。

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方4.多边形的面积的比等于相似比的平方，周长比等于相似比。

27.3 位似1、定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

2、位似的相关性质（1）位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。

（2）位似多边形的对应边平行或共线。

（3）位似可以将一个图形放大或缩小。

（4）位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。

（5）根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。

★易错点1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；2、两个位似图形的位似中心只有一个；3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；4、位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。

图形的相似章节复习课件

等，则这两个三角形相似。
边角边（SAS）判定
如果两个三角形有两条对应边相等，且这两条对应边所对的角相
等，则这两个三角形相似。
相似三角形的性质
对应角相等
相似三角形中，对应角相等。
对应边成比例
相似三角形中，对应边长度的比值相等。
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积比等于其对应边长度的比值的平方。
相似三角形的应用
对应边成比例
平行四边形判定定理
如果一个四边形的一组对边平行且相等，或者两组对边分别平行且成比个多边形的对应边长之间的比例相等，则它们是相似的。
相似多边形的性质
对应角相等
01
相似多边形的对应角相等。
对应边成比例
02
相似多边形的对应边长之间的比例相等。
面积比等于相似比的平方
相似与面积比
面积比的概念
面积比是指两个相似图形的面积之间的比例关系，可以通过相似
三角形的边长比例计算。
面积比的证明
通过相似三角形的性质，可以证明两个相似图形的面积之比等于它们的边长之比的平方。
面积比的应用
面积比在几何证明中有着广泛的应用，例如计算图形的面积、解决几何问题等。
相似与投影
投影的概念
05
图形相似的综合应用
相似与几何证明
相似与等腰三角形
等腰三角形中的两个底角相等，因此可以通过相似三角形证明等腰三角形的性质。
相似与直角三角形
直角三角形中的两个锐角相等，因此可以通过相似三角形证明直角三角形的性质。
相似与平行四边形
平行四边形中的对角相等，因此可以通过相似三角形证明平行四边形的性质。
性质
1 3
相似图形对应角相等

九年级相似图形知识点归纳

九年级相似图形知识点归纳相似图形是几何学中的一个基本概念，它指的是形状相似但尺寸不同的两个或多个图形。

在九年级的数学学习中，相似图形是一个重要的知识点，涉及到比例、比例尺、相似比等概念。

本文将对九年级相似图形的相关知识进行归纳总结。

一、相似图形的定义相似图形是指在形状上相似但尺寸不同的两个或多个图形。

相似图形具有以下特点：1. 对应角相等：两个相似图形的对应角都相等；2. 对应边成比例：两个相似图形的对应边的长度成比例。

二、相似图形的判定方法1. AAA判定法：若两个图形的对应角分别相等，则它们是相似图形。

2. AA判定法：若两个图形的两组对应角分别相等，则它们是相似图形。

三、相似图形的性质和定理1. 三角形的相似定理：a. AA相似定理：如果两个三角形的两组对应角相等，则这两个三角形是相似的。

b. SSS相似定理：如果两个三角形的三组对边成比例，则这两个三角形是相似的。

c. SAS相似定理：如果两个三角形的一组对边成比例且对应角相等，则这两个三角形是相似的。

2. 相似三角形的性质：a. 对应边成比例：相似三角形的对应边的长度成比例。

b. 三角形内角对应：相似三角形的内角都对应相等。

四、相似图形的应用相似图形的知识在实际生活和实际问题中有广泛应用，例如：1. 测量：利用相似图形的知识可以进行测量，如通过测量一个三角形的边长和另一个相似三角形的边长，可以得到未知边长的长度。

2. 设计：在设计中，相似图形的概念可以应用于建筑、道路等方面，通过对已知图形进行放大或缩小，使其与实际需求相适应。

3. 地图测绘：地图上的比例尺就是利用相似图形的原理进行测绘的。

五、示例题目1. 已知两个三角形的对边成比例，但两个三角形的对应角不全等，是否可以判定这两个三角形是相似的？2. 若一个平面图形与一个已知的相似图形所对应的角相等，并且对应边成比例，能否判断这两个图形是相似的？六、总结九年级相似图形是一个重要的几何学知识点，它涵盖了相似图形的定义、判定方法、性质和应用等方面。

人教版相似知识点总结

人教版相似知识点总结一、相似三角形在平面几何中，相似三角形是指有相同形状但不一定相同大小的三角形。

相似三角形的性质和判定方法是初中数学重要的知识点之一。

1. 相似三角形的性质a. 性质1：对应角相等两个相似三角形的对应角相等，即如果两个三角形ABC和A'B'C'相似，则∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'。

b. 性质2：对应边成比例两个相似三角形的对应边成比例，即如果两个三角形ABC和A'B'C'相似，则AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'。

c. 性质3：相似三角形的面积成比例如果两个三角形ABC和A'B'C'相似，则它们的面积之比等于边长之比的平方，即S(ABC)/S(A'B'C')=(AB/A'B')^2=(BC/B'C')^2=(AC/A'C')^2。

2. 相似三角形的判定方法a. 直角三角形的判定方法：两个直角三角形如果有一个角相等，则它们相似；或者两个直角三角形的三条边分别成比例，则它们相似。

b. 三边成比例的判定方法：两个三角形的三条边分别成比例，则它们相似。

c. 边角边（或角边角）的判定方法：两个三角形的两个角分别相等，且夹在两边成比例，则它们相似。

d. 已知相似三角形内部某个角相等的判定方法：如果两个三角形相似且三角形内部有一个角相等，则其他两个角也相等。

相似三角形的性质和判定方法在初中数学中具有重要的理论和实际应用价值，对于几何图形的相似性质和相关计算都有重要的指导作用。

二、比例比例是数学中重要的概念，主要用来描述两个量之间的相对关系。

在人教版初中数学中，比例是一个重要的知识点，包括比例的性质、比例的计算、比例的应用等内容。

1. 比例的性质a. 比例的传递性：如果a:b=c:d，则a/c=b/d；如果a/c=b/d，则a:b=c:d。

图形的相似知识点总复习含答案

故选：D
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握这些知识是解本题的关键．
4．如图所示，中，，顶点分别在反比例函数与的图象器上，则的值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，于是得到∠BDO=∠ACO=90°，根据反比例函数的性质得到S△BDO= ，S△AOC= ，根据相似三角形的性质得到= ，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形
∴AE=BF，AD=AB，∠EAD=∠B=
∴△ADE≌△BAF
∴∠ADE=∠BAF，∠AED=∠BFA
∵∠DAO+∠FAB= ，∠FAB+∠BFA= ，
∴∠DAO=∠BFA，
∴∠DAO=∠AED
∴△AOD∽△EAD
∴
故选：D
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
图象是函数关系的直观表现，因此须先求出函数关系式．分两段求：当P在BO上和P在OD上，分别求出两函数解析式，根据函数解析式的性质即可得出函数图象．
解：设AC与BD交于O点，
当P在BO上时，
∵EF∥AC，
∴ 即，
∴ ；
当P在OD上时，有，
∴y= ．
故选C．
13．如图，是矩形中边的中点，交于点的面积为，则四边形的面积为（）
3．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，AC分别交BE，DF于G，H，试判断下列结论：①△ABE≌△CDF；②AG＝GH＝HC；③2EG＝BG；④S△ABG：S四边形GHDE＝2：3，其中正确的结论是（）

相似图形知识点总结

相似图形知识点总结一、相似图形的定义和性质1.1 相似图形的定义相似图形是指具有相同形状但大小可以不同的图形。

当两个图形的对应边成比例，并且对应的角度相等时，我们称这两个图形是相似的。

1.2 相似图形的性质相似图形具有以下性质：1) 对应角相等：相似图形中的对应角是相等的。

2) 对应边成比例：相似图形中的对应边的长度成比例。

3) 面积比例：相似图形的面积的比等于对应边的平方比。

1.3 相似图形与全等图形的区别相似图形和全等图形都具有相同的形状，但是它们之间有一个重要的区别：全等图形的对应边和对应角都相等，而相似图形的对应边成比例，对应角相等。

二、相似图形的判定条件2.1 AAA相似判定如果两个图形的对应角相等，则这两个图形是相似的。

2.2 AA相似判定如果两个图形的其中两组对应角相等，则这两个图形是相似的。

2.3 直角三角形的相似判定在直角三角形中，如两个直角三角形中对应角相等，则这两个三角形是相似的。

2.4 SSS相似判定如果两个图形的对应边成比例，则这两个图形是相似的。

2.5 SAS相似判定如果两个图形的其中两组对应边成比例，并且两组对应角相等，则这两个图形是相似的。

2.6 相似图形的判定定理在实际问题中，我们常常需要判定两个图形是否相似。

根据相似图形的性质，我们可以得到相似图形的判定定理，例如：角平分线定理、高度定理等。

三、相似图形的应用3.1 计算图形的面积相似图形的面积比例定理可以用于计算图形的面积。

根据相似图形的面积比例定理，我们可以得到如果两个图形相似，它们的面积的比等于对应边的平方比。

这个性质可以用于计算各种图形的面积，例如三角形、矩形、圆等。

3.2 计算图形的周长相似图形中的对应边成比例，这个性质可以用于计算图形的周长。

如果两个图形相似，它们的周长的比等于对应边的比例。

3.3 解决实际问题相似图形的性质和定理在解决各种实际问题中有着广泛的应用，例如解决建筑设计、地图测量、影视特效等问题。

相似图形复习(基础)

相似图形：1.比例基本性质及运用（1）线段成比例及有关概念的意义：叫做成比例线段，简称比例线段（2）比例的性质，如果a：b=c：d，那么；反之亦成立。

注意：灵活地运用比例线段的多种不同的变化形式，例由a c=b d推出b d=a c等，但无论怎样变化，它们都保持ad=bc的基本性质不变．2.相似三角形的性质和判定（1）相似三角形定义：做相似三角形，叫做相似比．相似比为1的两个三角形。

（2）相似三角形的性质：①．②．③．④．（3）相似三角形的判定：①．②．③．④直角三角形．3.相似多边及位似图形(1)定义：叫做相似多边形．(2)相似多边形的性质：①相似多边形的周长的比等于；②相似多边形的对应对角线的比等于；③相似多边形的面积的比等于 .(3)位似图形的定义：叫做位似图形，这个点叫做，这时的相似比又叫做（4）位似图形的性质：①．②．③．4.相似的应用:相似形的性质与识别在日常生活中有非常广泛的应用，如可应用其对应边成比例来求一些线段的长;可运用相似三角形的原理来进行测量等；物长与影长注意：（1）证线段等积式或等比式成立需注意两个方面：①等积式和等比式的相互转化，利用积相等作为中间过渡进行验证；②相似三角形目标的确定，方法是：，如果出现点在同一直线上时考虑代换或代换（2）注意使用倒推分析法1.在一张比例尺为1：5000000的中国地图上，A市与B市两地相距70毫米，则A市距B市的距离为（）A．350公里B．35公里 C．3500公里D．3.5公里2.下列长度的各组线段中，能构成比例的是（）A．2，5，6，8 B．3，6，9，18 C．1，2，3，4 D．3，6，7，93.下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1cm，2cm，20cm，40cm B．1cm，2cm，3cm，4cmC．4cm，2cm，1cm，3cm D．5cm，10cm，15cm，20cm4.盐城市大纵湖旅游风景区中某两个景点之间的距离为75米，在一张比例尺为1：2000的导游图上，它们之间的距离大约相当于（）A．一根火柴的长度 B．一支钢笔的长度 C．一支铅笔的长度D．一根筷子的长度5.如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.56.如图所示：△ABC 中，DE ∥BC ，AD=5，BD=10，AE=3．则CE 的值为（） A ．9 B ．6 C ．3 D ．47. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，连接CE 并延长交BA 的延长线于点F ，则下列结论中错误的是（）A ．∠AEF=∠DECB ．FA ：CD=AE ：BC C ．FA ：AB=FE ：ECD ．AB=DC 8. 下列判断正确的是（）11. 如图，△ABC 中，AB=9，AC=6，点E 在AB 上且AE=3，点F 在AC 上，连接EF ，若△AEF 与△ABC 相似，则AF= ．12. 如图，∠DAB=∠CAE ，添加一个条件：使得△ADE ∽△ACB ．13. 如图，在△ABC 中，D 是AB 边上一点，连接CD ，要使△ADC 与△ABC 相似，应添加的条件是．14. 如图，在▱ABCD 中，E 在AB 上，CE 、BD 交于F ，若AE ：BE=4：3，且BF=2，则DF= .15. 如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD=3，∠ADE=60°，则AE 的长为．16. 某一时刻，身髙1.6m 的小明在阳光下的影长是0.4m ，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是5m ，则该旗杆的高度是（）A ．1.25mB ．10mC ．20mD ．8m17. 如图，有一块三角形余料ABC ，它的边BC=120cm ，高AD=80cm ，要把它加工成正方形零件PQMN ，使正方形的一边QM 在BC 上，其余两个顶点P 、N 分别在AB 、AC 上，则加工成的正方形零件的边长是（） A ．48cm B ．46cm C ．42cm D ．40cm18. 圆桌上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影，如图，已知桌面的直径1.2米，桌面距离地面1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（） A ．0.36π平方米 B ．0.81π平方米C ．2π平方米 D ．3.24π平方米 19.已知，直角坐标系中，点E （-4，2），F （-1，-1），以O 为位似中心，按比例尺2：1把△EFO 缩小，则点E 的对应点E ′的坐标为（） A ．（2，-1）或（-2，1）B．（8，-4）或（-8，4） C ．（2，-1） D ．（8，-4）20. 如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC=∠ACB=90°，E 为AB 的中点，（1）求证：AC 2=AB •AD ；（2）求证：CE ∥AD ；（3）若AD=4，AB=6，求AFAC的值．21如图，BD 为⊙O 的直径，AB=AC ，AD 交BC 于点E ，AE=2，ED=4，（1）求证：△ABE ∽△ADB ；（2）求AB 的长；（3）延长DB 到F ，使得BF=BO ，连接FA ，试判断直线FA 与⊙O 的位置关系，并说明理由．.。

图形的相似知识点总结

图形的相似考点一、比例线段 1、比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a;b 的长度分别为m;n;那么就说这两条线段的比是;或写成a ：b=m ：n在两条线段的比a ：b 中;a 叫做比的前项;b 叫做比的后项.. 在四条线段中;如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比;那么这四条线段叫做成比例线段;简称比例线段若四条a;b;c;d 满足或a ：b=c ：d;那么a;b;c;d 叫做组成比例的项;线段a;d 叫做比例外项;线段b;c 叫做比例内项;线段的d 叫做a;b;c 的第四比例项.. 如果作为比例内项的是两条相同的线段;即cbb a =或a ：b=b ：c;那么线段b 叫做线段a;c 的比例中项.. 2、比例的性质1基本性质①a ：b=c ：d ⇔ad=bc ②a ：b=b ：c ac b =⇔2 2更比性质交换比例的内项或外项dbc a =交换内项 ⇒=dcb a ac bd =交换外项abc d =同时交换内项和外项 3反比性质交换比的前项、后项：cd a b d c b a =⇒= 4合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒= 5等比性质： 3、黄金分割把线段AB 分成两条线段AC;BCAC>BC;并且使AC 是AB 和BC 的比例中项;叫做把线段AB 黄金分割;点C 叫做线段AB 的黄金分割点;其中AC=215-AB ≈0.618AB 考点二、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线;所得的对应线段成比例..推论：1平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线;所得的对应线段成比例..逆定理：如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例;那么这条直线平行于三角形的第三边..2平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.. 考点三、相似三角形 1、相似三角形的概念nm b a =dc b a =对应角相等;对应边成比例的三角形叫做相似三角形..相似用符号“∽”来表示;读作“相似于”..相似三角形对应边的比叫做相似比或相似系数..2、相似三角形的基本定理平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交;所构成的三角形与原三角形相似..用数学语言表述如下：∵DE∥BC;∴△ADE∽△ABC相似三角形的等价关系：1反身性：对于任一△ABC;都有△ABC∽△ABC；2对称性：若△ABC∽△A’B’C’;则△A’B’C’∽△ABC3传递性：若△ABC∽△A’B’C’;并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’;则△ABC∽△A’’B’’C’’..3、三角形相似的判定1三角形相似的判定方法①定义法：对应角相等;对应边成比例的两个三角形相似②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交;所构成的三角形与原三角形相似③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等;那么这两个三角形相似;可简述为两角对应相等;两三角形相似..④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等;并且夹角相等;那么这两个三角形相似;可简述为两边对应成比例且夹角相等;两三角形相似..⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例;那么这两个三角形相似;可简述为三边对应成比例;两三角形相似2直角三角形相似的判定方法①以上各种判定方法均适用②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例;那么这两个直角三角形相似③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似..4、相似三角形的性质1相似三角形的对应角相等;对应边成比例2相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比3相似三角形周长的比等于相似比4相似三角形面积的比等于相似比的平方..5、相似多边形1如果两个边数相同的多边形的对应角相等;对应边成比例;那么这两个多边形叫做相似多边形..相似多边形对应边的比叫做相似比或相似系数2相似多边形的性质①相似多边形的对应角相等;对应边成比例②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比③相似多边形中的对应三角形相似;相似比等于相似多边形的相似比④相似多边形面积的比等于相似比的平方6、位似图形：如果两个图形不仅是相似图形;而且每组对应点所在直线都经过同一个点;那么这样的两个图形叫做位似图形;这个点叫做位似中心;此时的相似比叫做位似比..性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上;它们到位似中心的距离之比都等于位似比..由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换..利用位似变换可以把一个图形放大或缩小..。

图形的相似阶段复习

图形的相似阶段复习ppt xx年xx月xx日•图形相似的定义和性质•锐角三角形的相似•直角三角形的相似目录•等腰三角形的相似•多边形的相似•图形的位似01图形相似的定义和性质形状相同两个图形的形状完全相同，无论是整体还是局部。

大小不同两个图形的大小可以不同，但是对应角相等。

图形相似的定义图形相似的性质对应角相等两个图形相似，则对应角相等。

对应线段成比例两个图形相似，则对应线段成比例。

面积比等于相似比的平方两个图形相似，则它们的面积比等于相似比的平方。

图形相似的判定方法如果两个图形形状相同，且对应角相等，则它们相似。

根据定义根据性质利用相似三角形利用平行线如果两个图形对应角相等，且对应线段成比例，则它们相似。

如果两个三角形有两组对应边成比例，且夹角相等，则它们相似。

如果两条平行线与另外两条平行线分别相交，则其对应线段成比例，从而可以判定两个四边形相似。

02锐角三角形的相似相似三角形的定义两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。

相似三角形的性质相似三角形对应边成比例，对应角相等，对应中线、角平分线、高线也成比例。

相似三角形的定义与性质相似三角形的判定方法定义法根据相似三角形的定义，通过测量和比较对应角和对应边的比值来判断两个三角形是否相似。

要点一要点二平行线法通过构造平行线，将两个三角形分成两个直角三角形，通过比较两个直角三角形的对应边长来判断两个三角形是否相似。

SAS（Side-Angle-S…通过比较两个三角形的对应边和对应角来判断两个三角形是否相似。

要点三利用相似三角形的性质，可以测量和计算不能直接测量和计算的目标，如建筑物的高度、桥梁的长度等。

测量和计算在平面几何中，相似三角形是证明各种几何关系的重要工具，如相等等腰三角形、平行四边形等。

平面几何证明相似三角形的应用03直角三角形的相似相似三角形的定义两个直角三角形的对应角相等，则这两个直角三角形相似。

相似三角形的性质相似三角形对应角相等，对应边成比例，面积比等于相似比的平方。

图形的相似知识点总复习附答案

图形的相似知识点总复习附答案一、选择题1．在平面直角坐标系中，把△ABC的各顶点的横坐标都除以14，纵坐标都乘13，得到△DEF，把△DEF与△ABC相比，下列说法中正确的是()A．横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的1 3B．横向缩小为原来的14，纵向扩大为原来的3倍C．△DEF的面积为△ABC面积的12倍D．△DEF的面积为△ABC面积的1 12【答案】A 【解析】【分析】【详解】解：△DEF与△ABC相比，横向扩大为原来的4倍，纵向缩小为原来的13；△DEF的面积为△ABC面积的169，故选A.2．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（）A 235B233C334D435【答案】D【解析】【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出结论．【详解】如图，在Rt △BDC 中，BC=4，∠DBC=30°，∴BD=23，连接DE ， ∵∠BDC=90°，点D 是BC 中点，∴DE=BE=CE=12BC=2， ∵∠DCB=30°，∴∠BDE=∠DBC=30°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠DBC ，∴∠ABD=∠BDE ，∴DE ∥AB ，∴△DEF ∽△BAF ， ∴DF DE BF AB＝，在Rt △ABD 中，∠ABD=30°，BD=23，∴AB=3，∴23DF BF ＝， ∴25DF BD ＝， ∴DF=224323555BD =⨯=，故选D ．【点睛】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，判断出DE ∥是解本题的关键．3．如图，AB 为O e 的直径，C 为O e 上一点，弦AD 平分BAC ∠，交弦BC 于点E ，4CD =，2DE =，则AE 的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】【分析】根据角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD，根据圆周角定理得到∠DCB=∠BAD，证明△DCE∽△DAC，根据相似三角形的性质求出AD，结合图形计算，得到答案．【详解】解：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，由圆周角定理得，∠DCB=∠BAD，∴∠CAD=∠DCB，又∠D=∠D，∴△DCE∽△DAC，∴DE DCDC DA=，即244AD=，解得，AD=8，∴AE=AD-DE=8-2=6，故选：C．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，D是AB边上一个动点（不与点A、B重合），E是BC边上一点，且∠CDE＝30°．设AD＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D ．【答案】C【解析】【分析】根据题意可得出4,23,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=-然后判断△CDE ∽△CBD ，继而利用相似三角形的性质可得出y 与x 的关系式，结合选项即可得出答案．【详解】解：∵∠A ＝60°，AC ＝2，∴4,23,AB BC ==4,23,BD x CE y =-=-在△ACD 中，利用余弦定理可得CD 2＝AC 2+AD 2﹣2AC •AD cos ∠A ＝4+x 2﹣2x ，故可得242CD x x =-+,又∵∠CDE ＝∠CBD ＝30°，∠ECD ＝∠DCB （同一个角），∴△CDE ∽△CBD ，即可得,CE CD CD CB= 即222342,2342yx x x x --+=-+ 故可得： 23343.633y x x =-++ 即呈二次函数关系，且开口朝下．故选C ．【点睛】考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.5．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A ，B ，E 在x 轴上．若正方形ABCD 的边长为2，则点F 坐标为（）A ．（8，6）B ．（9，6）C ．19,62⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．（10，6）【答案】B【解析】【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出EF的长，进而得出△OBC∽△OEF，进而得出EO 的长，即可得出答案．【详解】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，∴13 BC OBEF EO==，∵BC＝2，∴EF＝BE＝6，∵BC∥EF，∴△OBC∽△OEF，∴136BOBO=+，解得：OB＝3，∴EO＝9，∴F点坐标为：（9，6），故选：B．【点睛】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出OB的长是解题关键．6．如图，正方形OABC的边长为6，D为AB中点，OB交CD于点Q，Q是y＝kx上一点，k的值是（）A．4 B．8 C．16 D．24【答案】C【解析】【分析】延长根据相似三角形得到:1:2BQ OQ=，再过点Q作垂线，利用相似三角形的性质求出QF、OF，进而确定点Q的坐标，确定k的值．【详解】解：过点Q 作QF OA ⊥，垂足为F ，OABC Q 是正方形，6OA AB BC OC ∴====，90ABC OAB DAE ∠=∠=︒=∠，D Q 是AB 的中点， 12BD AB ∴=， //BD OC Q ，OCQ BDQ ∴∆∆∽，∴12BQ BD OQ OC ==，又//QF AB Q ，OFQ OAB ∴∆∆∽，∴22213QF OF OQ AB OA OB ====+， 6AB =Q ， 2643QF ∴=⨯=，2643OF =⨯=， (4,4)Q ∴，Q 点Q 在反比例函数的图象上，4416k ∴=⨯=，故选：C ．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形性质求出点Q 的坐标是解决问题的关键．7．如图，□ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，CE 平分∠BCD 交AB 于点E ，交BD 于点F ，且∠ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE ．下列结论：①EO ⊥AC ；②S △AOD ＝4S △OCF ；③AC ：BD ＝21：7；④FB 2＝OF •DF ．其中正确的是（）A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①③【答案】B【解析】【分析】 ①正确．只要证明EC=EA=BC ，推出∠ACB=90°，再利用三角形中位线定理即可判断． ②错误．想办法证明BF=2OF ，推出S △BOC =3S △OCF 即可判断．③正确．设BC=BE=EC=a ，求出AC ，BD 即可判断．④正确．求出BF ，OF ，DF （用a 表示），通过计算证明即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，OD=OB ，OA=OC ，∴∠DCB+∠ABC=180°，∵∠ABC=60°，∴∠DCB=120°，∵EC 平分∠DCB ，∴∠ECB=12∠DCB=60°， ∴∠EBC=∠BCE=∠CEB=60°，∴△ECB 是等边三角形，∴EB=BC ，∵AB=2BC ，∴EA=EB=EC ，∴∠ACB=90°，∵OA=OC ，EA=EB ，∴OE ∥BC ，∴∠AOE=∠ACB=90°，∴EO ⊥AC ，故①正确，∵OE ∥BC ，∴△OEF ∽△BCF ，∴12OE OF BC FB == ， ∴OF=13OB ， ∴S △AOD =S △BOC =3S △OCF ，故②错误，设BC=BE=EC=a ，则AB=2a ，3，223(72)a a +，∴BD=7a，∴AC：BD=3a：7a=21：7，故③正确，∵OF=13OB=76a，∴BF=73a，∴BF2=79a2，OF•DF=76a•777269a a⎛⎫+=⎪⎪⎝⎭a2，∴BF2=OF•DF，故④正确，故选：B．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．8．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（）A．AD DEDB BC=B．BF EFBC AB=C．AEEC FCDE=D．EF BFAB BC=【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的判定与性质逐项分析即可.由△ADE∽△ABC，可判断A的正误；由△CEF ∽△CAB，可判定B错误；由△ADE～△EFC，可判定C正确；由△CEF∽△CAB，可判定D错误.【详解】解：如图所示：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴DE AD AD BC AB DB=≠，∴答案A 错舍去；∵EF ∥AB ，∴△CEF ∽△CAB ， CF EF BC A B B BF C =≠ ∴答案B 舍去∵∠ADE ＝∠B ，∠CFE ＝∠B ，∴∠ADE ＝∠CFE ，又∵∠AED ＝∠C ，∴△ADE ～△EFC ，∴AE DE EC FC=，C 正确；又∵EF ∥AB ， ∴∠CEF ＝∠A ，∠CFE ＝∠B ，∴△CEF ∽△CAB ，∴EF CE FC BF AB AC BC BC==≠， ∴答案D 错舍去；故选C ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似是解题的关键．9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，如果AC=3，AB=6，那么AD 的值为（）A ．32B ．92C 33D ．3【答案】A【解析】【分析】【详解】解：∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC ：AB=AD ：AC ，∵AC=3，AB=6，∴AD=32．故选A．考点：相似三角形的判定与性质．10．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在C′的位置，C′D交AB于点Q，则BQAQ的值为（）A B C．2D【答案】A【解析】【分析】根据折叠得到对应线段相等，对应角相等，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可得出AD＝DC＝BD，AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，进而求出∠C、∠B的度数，求出其他角的度数，可得AQ＝AC，将BQAQ转化为BQAC，再由相似三角形和等腰直角三角形的边角关系得出答案．【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E，∵∠ADC＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE＝2AD，在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∴AD＝CD＝BD，由折叠得：AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，∴∠CDC′＝45°+45°＝90°，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C′AD，∴∠B＝90°﹣∠C＝∠CAE＝22.5°，∠BQD＝90°﹣∠B＝∠C′QA＝67.5°，∴AC′＝AQ＝AC，由△AEC∽△BDQ得：BQAC＝BDAE，∴BQ AQ ＝BQ AC ＝AD AE ＝2AE AE＝2．故选：A ．【点睛】考查直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相似三角形的性质和判定等知识，合理的转化是解决问题的关键．11．如图，Rt ABC V 中，90,60ABC C ∠=∠=o o ，边AB 在x 轴上，以O 为位似中心，作111A B C △与ABC V 位似，若()3,6C 的对应点()11,2C ，则1B 的坐标为（）A ．()1,0B ．3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()2,0D ．()2,1【答案】A【解析】【分析】如图，根据位似图形的性质可得B 1C 1//BC ，点B 在x 轴上，由∠ABC=90°，可得B 1C 1⊥x 轴，根据C 1坐标即可得B 1坐标．【详解】如图，∵111A B C △与ABC V 位似，位似中心为点O ，边AB 在x 轴上，∴B 1C 1//BC ，点B 在x 轴上，∵∠ABC=90°，∴B 1C 1⊥x 轴，∵C 1坐标为（1，2），∴B 1坐标为（1，0）故选：A．【点睛】本题考查位似图形的性质，位似图形的对应边互相平行，对应点的连线相交于一点，这一点叫做位似中心．12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（―1，2）B．（―9，18）C．（―9，18）或（9，―18）D．（―1，2）或（1，―2）【答案】D【解析】【分析】【详解】试题分析：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似，∴△ ABO∽△A′B′O且OA'OA＝13.∴A EAD＝0E0D＝13.∴A′E＝13AD＝2，OE＝13OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）.方法二：∵点A（―3，6）且相似比为13，∴点A的对应点A′的坐标是（―3×13，6×13），∴A′（－1,2）.∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O对称，∴A′′（1,―2）.故答案选D.考点：位似变换.13．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是A．（﹣2，1）B．（﹣8，4）C．（﹣8，4）或（8，﹣4）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）【答案】D【解析】试题分析：根据位似的性质，缩小后的点在原点的同侧，为（-2,1），然后求在另一侧为（2，-1）．故选D考点：位似变换14．如图，点A，B是双曲线18yx=图象上的两点，连接AB，线段AB经过点O，点C为双曲线kyx=在第二象限的分支上一点，当ABCV满足AC BC=且:13:24AC AB=时，k的值为（）．A．2516-B．258-C．254-D．25-【答案】B【解析】【分析】如图作AE ⊥x 轴于E ，CF ⊥x 轴于F ．连接OC ．首先证明△CFO ∽△OEA ，推出2()COF AOES OC S OA∆∆=，因为CA ：AB ＝13：24，AO ＝OB ，推出CA ：OA ＝13：12，推出CO ：OA ＝5：12，可得出2()COF AOE S OC S OA ∆∆=＝25144，因为S △AOE ＝9，可得S △COF ＝2516，再根据反比例函数的几何意义即可解决问题．【详解】解：如图作AE ⊥x 轴于E ，CF ⊥x 轴于F ．连接OC ．∵A 、B 关于原点对称，∴OA ＝OB ，∵AC ＝BC ，OA ＝OB ， ∴OC ⊥AB ，∴∠CFO ＝∠COA ＝∠AEO ＝90°，∴∠COF ＋∠AOE ＝90°，∠AOE ＋∠EAO ＝90°，∴∠COF ＝∠OAE ，∴△CFO ∽△OEA ，∴2()COF AOE S OC S OA∆∆=， ∵CA ：AB ＝13：24，AO ＝OB ，∴CA ：OA ＝13：12，∴CO ：OA ＝5：12，∴2()COF AOE S OC S OA ∆∆=＝25144， ∵S △AOE ＝9，∴S △COF ＝2516， ∴||25216k =， ∵k ＜0，∴258k =- 故选：B ．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的特征、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．15．如图，已知ABC ∆和ABD ∆都O e 是的内接三角形，AC 和BD 相交于点E ，则与ADE ∆的相似的三角形是（）A ．BCE ∆B ．ABC ∆ C ．ABD ∆ D ．ABE ∆【答案】A【解析】【分析】根据同弧和等弧所对的圆周角相等，则AB 弧所对的圆周角BCE BDA ∠=∠，CEB ∠和DEA ∠是对顶角，所以ADE BCE ∆∆∽．【详解】解：BCE BDA ∠=∠Q ，CEB DEA ∠=∠ADE BCE ∴∆∆∽，故选：A ．【点睛】考查相似三角形的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似，关键就是牢记同弧所对的圆周角相等．16．两个相似多边形的面积比是9∶16，其中小多边形的周长为36 cm ，则较大多边形的周长为 )A ．48 cmB ．54 cmC ．56 cmD ．64 cm【答案】A【解析】试题分析：根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．解：两个相似多边形的面积比是9：16，面积比是周长比的平方，则大多边形与小多边形的相似比是4：3．相似多边形周长的比等于相似比，因而设大多边形的周长为x，则有=，解得：x=48．大多边形的周长为48cm．故选A．考点：相似多边形的性质．17．如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接CF，DG，则DGCF=（）A．23B．22C．33D．32【答案】B 【解析】【分析】连接AC和AF，证明△DAG∽△CAF可得DGCF的值．【详解】连接AC和AF，则2 AD AGAC AF==∵∠DAG=45°-∠GAC，∠CAF=45°-GAC，∴∠DAG=∠CAF．∴△DAG∽△CAF．∴22 DG ADCF AC==．故答案为：B.【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造相似三角形．18．如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD=60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点，作BM⊥AE于点M，作KN⊥AE于点N，连结MO、NO，以下四个结论：①△OMN是等腰三角形；②tan∠OMN=33；③BP=4PK；④PM•PA=3PD2，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】B【解析】【分析】根据菱形的性质得到AD∥BC，根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定定理△ADP≌△ECP，由相似三角形的性质得到AD=CE，作PI∥CE交DE于I，根据点P是CD的中点证明CE=2PI，BE=4PI，根据相似三角形的性质得到1=4KP PIKB BE=，得到BP=3PK，故③错误；作OG⊥AE于G，根据平行线等分线段定理得到MG=NG，又OG⊥MN，证明△MON是等腰三角形，故①正确；根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出∠3②正确；然后根据射影定理和三角函数即可得到PM•PA=3PD2，故④正确．【详解】解：作PI∥CE交DE于I，∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴∠DAP=∠CEP，∠ADP=∠ECP，在△ADP和△ECP中，DAP CEP ADP ECP DP CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADP ≌△ECP ，∴AD=CE ，则PI PD CE DC =，又点P 是CD 的中点， ∴1=2PI CE ， ∵AD=CE ， ∴1=4KP PI KB BE =， ∴BP=3PK ，故③错误；作OG ⊥AE 于G ， ∵BM 丄AE 于M ，KN 丄AE 于N ，∴BM ∥OG ∥KN ，∵点O 是线段BK 的中点，∴MG=NG ，又OG ⊥MN ，∴OM=ON ，即△MON 是等腰三角形，故①正确；由题意得，△BPC ，△AMB ，△ABP 为直角三角形，设BC=2，则CP=1，由勾股定理得，则根据三角形面积公式，， ∵点O 是线段BK 的中点，∴PB=3PO ，∴OG=13， MG=23MP=27， tan ∠OMN==3OG MG ，故②正确； ∵∠ABP=90°，BM ⊥AP ，∴PB 2=PM•PA ，∵∠BCD=60°，∴∠ABC=120°，∴∠PBC=30°，∴∠BPC=90°，∴PB=3PC，∵PD=PC，∴PB2=3PD，∴PM•PA=3PD2，故④正确．故选B．【点睛】本题考查相似形综合题．19．如图，在□ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE、AF分别交BD于点G、H，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD的面积之比为（）A．7 : 12 B．7 : 24 C．13 : 36 D．13 : 72【答案】B【解析】【分析】根据已知条件想办法证明BG=GH=DH，即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∵DF=CF，BE=CE，∴12DH DFHB AB==，12BG BEDG AD==，∴13 DH BGBD BD==，∴BG=GH=DH，∴S△ABG=S△AGH=S△ADH，∴S平行四边形ABCD=6 S△AGH，∴S △AGH ：ABCD S 平行四边形=1：6，∵E 、F 分别是边BC 、CD 的中点, ∴12EF BD =,∴14EFC BCDD S S =V V , ∴18EFCABCD S S =V 四边形, ∴1176824AGH EFC ABCD S S S +=+=V V 四边形=7∶24, 故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．20．如图，将ABC ∆沿BC 边上的中线AD 平移到A B C '''∆的位置．已知ABC ∆的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若1AA '=，则A D '等于（）A ．2B ．3C ．4D ．32【答案】B【解析】【分析】由 S △ABC ＝16、S △A ′EF ＝9且 AD 为 BC 边的中线知 1922A DE A EF S S '∆'∆==，182ABD ABC S S ∆∆== ，根据△DA ′E ∽△DAB 知2A DE ABDS A D AD S ∆∆'⎛⎫=' ⎪⎝⎭ ，据此求解可得．【详解】16ABC S ∆=Q 、9A EF S ∆'=，且AD 为BC 边的中线，1922A DE A EF S S ∆∆''∴==，182ABD ABC S S ∆∆==， Q 将ABC ∆沿BC 边上的中线AD 平移得到A B C '''∆，//A E AB ∴'，DA E DAB '∴∆~∆，则2A DE ABD S A D AD S ∆∆'⎛⎫=' ⎪⎝⎭，即22991816A D A D ⎛⎫== '⎪+⎝⎭'，解得3A D '=或37A D '=-（舍），故选：B ．【点睛】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．。

相似图形知识点总结文库

相似图形知识点总结文库一、相似图形的定义相似图形是指两个或多个图形之间的形状相同，但大小可能不同的情况。

在几何中，通常用符号∼表示两个相似图形之间的关系。

例如，若图形A和图形B是相似的，则可以表示为A∼B。

相似图形的定义可以用比例来表达，即如果两个三角形ABC和DEF是相似的，那么它们的对应边的比例是相等的，即AB/DE=BC/EF=AC/DF。

二、相似图形的判定1. AAA相似判定法：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似的。

2. AA相似判定法：如果两个三角形的两个对应角相等，那么它们是相似的。

3. SSS相似判定法：如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似的。

4. 直接判定法：如果两个四边形的对应边成比例，那么它们是相似的。

在判定相似图形时，可以根据题目条件选择不同的方法进行判定，以确定两个或多个图形之间是否是相似的关系。

三、相似图形的性质1. 相似三角形的性质：(1) 相似三角形的对应角相等；(2) 相似三角形的对应边成比例；(3) 相似三角形的高线成比例；(4) 相似三角形的中位线成比例。

2. 相似四边形的性质：(1) 相似四边形的对应角相等；(2) 相似四边形的对应边成比例。

3. 相似图形的周长、面积与比例关系：(1) 如果两个图形相似，那么它们的周长之比等于它们的任意一条边的比；(2) 如果两个图形相似，那么它们的面积之比等于它们的任意一条边的比的平方。

四、相似图形的应用1. 图形的放大与缩小：在工程设计、地图制作等领域，相似图形的概念经常被用来进行图形的放大与缩小，以便得到需要的大小。

2. 测量与估算：利用相似图形的性质，可以利用已知的尺寸进行图形的测量与估算，从而得到未知尺寸的大小。

3. 面积与体积的计算：利用相似图形的面积与比例关系，可以方便地计算出图形的面积与体积。

4. 几何问题的解决：在几何问题中，利用相似图形的性质，可以更快速地解决一些有关形状和比例的问题，如建筑设计、城市规划等。

相似图形知识点

相似图形知识点相似图形是几何学中的重要概念，它在数学和实际生活中有着广泛的应用。

相似图形指的是具有相同形状但大小不同的图形。

在本文中，我们将介绍相似图形的定义、判定条件以及相关的性质和应用。

通过学习相似图形知识点，我们可以更好地理解几何学中的形状和比例关系。

一、相似图形的定义在几何学中，如果两个图形具有相同的形状但大小不同，我们就说它们是相似图形。

相似图形之间存在比例关系，即它们的对应边长之比相等。

二、相似图形的判定条件1. AAA 相似判定：如果两个三角形的对应角度相等，则它们是相似的。

即三角形的三个内角对应相等时，它们是相似的。

2. AA 相似判定：如果两个三角形的一个角相等，并且两个对应边的比值相等，那么它们是相似的。

即当两个三角形的一个角对应相等且两个对应边之比相等时，它们是相似的。

3. 边比相等判定：如果两个图形的对应边长之比相等，则它们是相似的。

即当两个图形的对应边长之比相等时，它们是相似的。

三、相似图形的性质1. 相似图形的对应角度相等。

2. 相似图形的对应边长之比相等。

3. 相似图形的面积之比等于边长比的平方。

4. 相似图形的周长之比等于边长比。

四、相似图形的应用1. 测量不可达的高度：利用相似三角形的性质可以在无法直接测量的情况下，通过测量已知边长的三角形来计算不可达的高度。

2. 简化比例计算：相似图形的性质可以在计算中帮助简化复杂的比例关系，使计算更加方便和高效。

3. 三角形的判定：通过相似性的判定条件，我们可以判断给定的三角形是否相似。

这对于解决各种与三角形相关的问题非常有帮助。

4. 图形放大和缩小：相似图形的概念也应用于图形的放大和缩小。

通过保持相似性，我们可以按比例调整图形的大小。

总结：相似图形是几何学中重要的概念，它们具有相同的形状但大小不同。

我们可以通过比较图形的角度和边长来判断它们是否相似，并利用相似性的性质来解决各种问题。

相似图形的应用广泛，可以在测量、计算和问题解决中发挥重要作用。

第四章图形的相似复习课(教案)

（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与相似图形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的相似图形绘制实验操作，演示相似图形的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“相似图形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
第四章图形的相似复习课（教案）
一、教学内容
第四章图形的相似复习课
1.相似图形的定义与性质
-相似图形的判定方法
-相似图形的对应边、对应角
-相似图形的周长比、面积比
2.位似图形的概念与性质
-位似图形的判定与性质
-位似变换的应用
3.相似多边形的性质与判定
-相似多边形的对应边比、对应角相等
- AA、SAS、SSS相似定理
5.培养学生的合作交流与自主学习能力，鼓励学生在小组讨论与交流中，共享学习心得，提高自主探索与合作解决问题的能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握相似图形的定义、性质及判定方法，包括对应边比相等、对应角相等的特点。
-熟练运用位似图形的性质，进行图形的放大与缩小，以及实际问题中的应用。
-掌握相似多边形的判定定理（AA、SAS、SSS），并能运用这些定理进行几何证明。
1.增加实际应用题目的讲解，让学生在解决具体问题时深化对相似图形性质的理解。
2.针对重点难点，设计更多有趣的例题和练习，帮助学生克服困难，提高解题能力。
3.加强课堂互动，鼓励学生提问和发表观点，培养他们的逻辑思维和表达能力。