2013年考研数学三真题(word打印版)

2013年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上. （1）档0→x 时，用)(x o 表示比x 的高阶无穷小，则下列式子中错误的是（ ）

A 、)()(3

2

x o x o x =⋅ B 、)()()(3

2

x o x o x o =⋅ C 、)()()(2

2

2

x o x o x o =+ D 、)()()(2

2

x o x o x o =+ （2）设函数x

x x x x f x

ln )1(1)(+-=

的可去间断点个数为( )

A.0

B.1

C.2

D.3

（3）设k D 是圆域{

}

1),(2

2≤+=y x y x D 位于第K 象限的部分,记),4,3,2,1()(=-=⎰⎰k dxdy x y I K

D k 则( )

A.01>I

B.02>I

C.03>I

D. 04>I （4）设{}n a 为正项数列,下列选项正确的是( )

A.若1+>n n a a ，则

n n n a ∑∞

=--1

1

)

1(收敛 B.若n n n a ∑∞

=--1

1)1(收敛，则1+>n n a a

C.若

∑∞

=1

n n

a

收敛，则存在常数1>P ,使n p n a n ∞

→lim 存在

D.若存在常数1>P ,使n p

n a n ∞

→lim 存在,则

∑∞

=1

n n

a

收敛

（5）设矩阵A.B.C 均为n 阶矩阵，若AB=C,则B 可逆，则（ ）

A.矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价

B.矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价

C.矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价

D.矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价

（6）若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111a a b a a 和⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛00000002b 相似的充分必要条件为（ ）

A.2,0==b a

B.b a ,0=为任意数

（7）设321,,X X X 是随机变量，且)3,5(~),2,0(~),1,0(~2

3221N X N X N X , 则{}

(),3,2,122=≤≤-=j X P P j j 则（ ）

A.1P >2P >3P

B.2P >1P >3P

C.3P >1P >2P

D.1P >3P >2P (8)设随机变量X 和Y 相互独立，则X 和Y 的概率分布分别为：

则{}==+2Y X P ( )

A.

121 B.81 C.61 D.2

1 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．

指定位置上. （9）设曲线)(x f y =和x x y -=2

在点（0,1）处有公共的切线，则)2

(

lim +∞

→n n

nf n =______. (10)设函数()y x z z ,=由方程xy y z x

=+)(确定，则

)

2,1(x z

∂∂=________. (11)求

dx x x

⎰

+∞

+1

2

)

1(ln =_

(12) 微分方程04

1

=+

'-''y y y 的通解为_____=y （13）设A=（ij a ）是三阶非零矩阵，A 为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子势，若ij A +ij a =0)3,2,1,(0==+j i a A ij ij ，

则A =_________.

(14)设随机变量X 服从标准正态分布)1,0(~N X ,则____)(2=X

Xe

E 。

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

当0x →时，1c o sc o s 2c o s 3x x x -⋅⋅与为等价无穷小，求n 与a 的值。

X 0 1 2 3 P 21 41 81 8

1 X -1 0

1

P 31 3

1 3

1

（16）（本题满分10分）

设D 是由曲线13

y x =，直线(0)x aa =>及x 轴所围成的平面图形，,x y V V 分别是D 绕x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若10y x V V =，求a 的值。

（17）（本题满分10分）

设平面内区域D 由直线3,3x y y x ==及8x y +=围成.计算2D

x d xd y ⎰⎰

。

（18）（本题满分10分）

设生产某产评的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为1000

60Q

P -=.(P 是单价，单位：元；Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求： (I) 该商品的边际利润。

(II) 当50=P 时的边际利润，并解释其经济意义。 (III)使得利润最大的定价P 。