线性空间的定义讲解

一、
线性空间的定义
设 V 是一个非空集合 , R为实数域.如果对于任 意两个元素 , V , 总有唯一的一个元素 V与 之对应, 称为与的和, 记作 ; 又对于任一 数 R与任一元素 V , 总有唯一的一个元素
V与之对应, 称为与的积, 记作 ; 并且这 两种运算满足以下八条 运算规律(设 , , V ; , R) :
x 1 , x 2 , , x n 这组有序数就称为元素 在 1 , 2 , , n 这个基下的坐标, 并记作
( x 1 , x 2 , , x n )T .
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第七章线性空间与线性变换
一般地，设 V 与 U 是两个线性空间，如果在 它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关 系保持线性组合的对应，那么就说线性空间 V与 U 同构． 线性空间的结构完全被它的维数所决定． n n R 任何 维线性空间都与 同构，即维数相等 的线性空间都同构．
反之, 若任一元素的两种坐标满足上述坐标变 换公式, 则两个基满足基变换公式 ( 1 , 2 ,, n ) ( 1 , 2 ,, n ) P .
第七章线性空间与线性变换
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(1) ; ( 2)( ) ( ); ( 3)在V中存在零元素0; 对任何 V , 都有
0 ; (4)对任何 V , 都有的负元素 V , 使 0;
第七章线ห้องสมุดไป่ตู้空间与线性变换
第七章线性空间与线性变换
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二、
线性空间的性质
(1)零元素是唯一的; ( 2)任一元素的负元素是唯 一的,的负元素记 作 ; ( 3)0 0; ( 1) ; 0 0; (4)如果 0, 则 0或 0.
第七章线性空间与线性变换
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三、
子空间
定义 设 V 是一个线性空间，L 是 V 的一个非空子 集，如果 L 对于V中所定义的加法和乘数两种运算 也构成一个线性空间，则称 L为 V 的子空间．
第七章线性空间与线性变换
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五、
基变换
设 1 , , n 及 1 , , n 是线性空间V n中的两 个基, 1 p11 1 p 21 2 p n1 n , p 2 12 1 p 22 2 p n 2 n , (1) n p1n 1 p 2 n 2 p nn n , 把 1 , , n 这n个有序元素记作( 1 , , n ), 利用向 量和矩阵的形式 , (1)式可表示为
第七章线性空间与线性变换
T T
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x1 x2 xn
x1 ' x2 ' P , ' xn
x1 ' x1 x2' 1 x 2 或 P . ' xn xn
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(5)1 ; (6) ( ) ( ) ; (7)( ) ; (8) ( ) ,
那么，V就称为（实数域 R上的）向量空间（ V 中的元素不论其本来的性质如 或线性空间）， 何，统称为（实）向量． 简言之，凡满足八条规律的加法及乘数运算， 就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就 称为向量空间．
第七章线性空间与线性变换
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1 p11 p 21 p n1 1 1 2 p12 p 22 p n 2 2 T 2 P p p p n n 1n 2n nn n 或 ( 1 , 2 , , n ) ( 1 , 2 , , n ) P . ( 2) (1)或( 2)称为基变换公式 , 矩阵P称为由基 1 ,
2 , , n 到基 1 , 2 , , n 的过渡矩阵.由于 1 , 2 , , n 线性无关, 故过渡矩阵可逆 .
第七章线性空间与线性变换
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六、
坐标变换
设V n中的元素 , 在基 1 , 2 , , n 下的坐标为 ( x 1 , x 2 , , x n ) , 在基 1 , 2 , , n 下的坐标为 ( x 1 ' , x 2 ' , , x n ' ) , 若两个基满足关系式 ( 1 , 2 , , n ) ( 1 , 2 , , n ) P 则有坐标变换公式
定理 线性空间 V 的非空子集 L构成子空间的充分 必要条件是：L 对于 V 中的线性运算封闭．
第七章线性空间与线性变换
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四、
线性空间的维数、基与坐标
定义 在线性空间 V中, 如果存在n个元素 1 , 2 ,
, n , 满足 : (1) 1 , 2 , , n 线性无关; ( 2)V中任一元素 总可由 1 , 2 , , n 线 性表示, 那么, 1 , 2 , , n 就称为线性空间 V的一 个基, n称为线性空间 V的维数.
维数为n的线性空间称为n维线性空间, 记作V n .
第七章线性空间与线性变换
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定义 设 1 , 2 , , n 是线性空间V n 的一个基, 对于
任一元素 V n , 总有且仅有一组有序数 x 1 , x 2 , , xn ,使
x 1 1 x 2 2 x n n ,