初中数学竞赛辅导-因式分解

故原式 。
又∵a, b都是整数，
A级
★★1．分解因式 =___________。
★★2．分解因式 =___________。
★★★3．a, b, c是△ABC的三条边，则代数式 的值=_________。（填大于0，小于0或等于0）。
★★★4．分解因式 。
B级
★★5．方程 的整数解的个数有_______个。
解：原式
★★★例3分解因式
思路1拆常数项2为1+1，再用公式。
解法1原式
思路2拆常数项2为3-1，再分组分解。
解法2原式
思路3拆 再分组分解。
解法3原式
思路4同思路3。
解法4原式
说明：由于合并同类项的结果是唯一的，而反过来的拆项方法则不是唯一的，这就是拆项、添项困难和方法灵活多wk.baidu.com的一个原因。
★★★★例4分解因式 。
且 ，可解得 ，于是
4．
简解：原式=
B级
5．4个。
提示：
∵x, y是整数,
解得
6．63与65。
提示：
∴这两上数分别为65和63。
7． ，
提示：原式=
8．设 （k为自然数），则
由k（k为自然数）的任意性，可知有无穷多个自然数a，使Z为合数。
9．注意这是关于a, b, c的四次轮换多项式，显见 是它的三个一次因式，且另外一个因式应是 ，故令
(1)如果多项式的各项含有公因式，那么要先提出这个公因式，再进一步分解因式。
(2)分解因式时，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
(3)因式分解过程的每一步必须都是恒等变形。
这一部分中，通过一系列的由易到难的题目的解决过程的讲解，同学们不但要体会因式分解的基本方法的灵活运用，而且还将学习到拆项法、添项法等其它的因式分解方法。
解：记 ，
，可见 都是多项式 的因式，又因这是轮换对称式，可知 也是原多项式样的因式，故可令
原式 。
分别取a=0,b=1,c=-1,可解得k=-1，于是原式=-(a-b)(b-c)(c-a)
★★★例9分解因式
分析这是三次多项式的因式分解，可考虑因式定理。
解： 是30的因数，经检验可知 故可 是多项式因子，令 ＝k(x+2)(x+3)(x-5)，可解得 ，
★★★★例6分解因式
分析若把原式全部展开，则会出现次数高、项数多，从而使我们难于处理，观察到原式中有1+4=2+3，从而得如下的：
解：原式
说明本题中把 看作一个整体，运用十字相乘法来因式分解。
★★★★例7求所有满足 的 ， 的整数值。
解：
由 、 是整数，经讨论共有四个解：
★★★例8分解因式
分析注意到这是轮换对称式，可考虑使用因式定理及待定系数法。
思路：直接无法分解，观察到原式可变形为 ，故考虑添上中间项，添成完全平方公式。
解：原式
说明：添项法也是一种重要的因式分解方法。
例5分解因式
思路1直接无法分解，把常数项2折成3-1，然后进行分组分解。
解法1原式
思路2拆一次项
解法2原式
思路3添二次项 ，再进行分组分解。
解法3原式
说明：若多项式不能直接进行因式分解时，这时就要对这个多项式进行适当的变形，拆项法、添项法是比较常见的方法。
2．例题选讲
★★例1.分解因式 。
思路1用平方差公式。
解法1原式
思路2因为 也可改写成 ，所以也可考虑用立方差公式。
解法2原式=
说明这题启发我们形如 是整数，且 在因式分解时，要通过合适变形后，利用公式法来分解因式，请同学们自己试着分解因式 。
★★例2分解因式 。
思路：观察题目的特征可看出不能直接利用公式或分组分解，这时可先把原式展开进行重新组合。
★★6．若 能被60与70之间的两个整数整除，则这两个数是_____。
★★★7．分解因式 =________。
★★★★8．求证：有无穷多个自然数a，使得数 对于任意自然数n均为合数。
★★9．分解因式 。
参考答案
A级
1． 。
提示：原式=
2． 。
提示：原式=
3．小于0。
提示：原式= ，由a, b, c是△ABC的三条边知 ，故 ，所以原式的值小于0。
学科：奥数
教学内容：因式分解
【内容综述】
本讲主要介绍因式分解的概念，方法和技巧。
【要点讲解】
1．因式分解的概念和基本要求
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，因式分解的基本方法有：提公因式法；运用公式法；分组分解法；十字相乘法，难点是如何灵活的运用这些基本方法。在进行多项式的因式分解时，要注意以下几点：