电动力学 郭硕鸿 第三版 第15次课(磁多极矩)

R R3
2
1 R
=0,
(R 0)
B(1) 0 (m ) R
4
R3
在电流分布以外的空间中，磁场应可以用标势描述，
因此再把上式化为磁标势的梯度形式。m为常矢量。
B(1)
0 4
(m )
R R3
R
R
R
R
(m ) m ( ) (m ) (m )
R3
R3
R3
R3
( f g) f ( g) ( f )g g ( f ) (g ) f
m I S
A(1) (x)表示把整个电流系的磁矩集中在原点时，
一个磁矩对场点所激发的矢势。作为一级近似结果。
2．磁偶极矩的场和磁标势 由A(1)可算出磁偶极矩的磁场
A1
0m R 4 R3
B(1)
A(1)
0 4
(m
R R3
)
0 4
(
R R3
)m
(m
)
R R3
因为 所以
( f g) (g ) f ( g) f ( f )g ( f )g
A(1)
0 I 4 R3
1 2
(x'
dl
')
R
0 4 R3
I 2
(x' dl ' ) R
0m R 4 R3
m I x' dl ' 电流线圈的磁矩
2
Idl ' JdV '
得磁矩
m 1 x' J (x ')dV ' 2
对于一个小线圈，设它所围的面元为△S ，有
dl
O x'
S 1 x' dl ' 2
(x' R)dl ' (dl ' R)x'
(x' R)dl ' 1 [(x' R)dl ' (dl ' R)x' ] 1 (x' dl ' ) R
2
2
A(1)
0 I 4 R3
x' R dl '
(x' R)dl ' 1 (x' dl ' ) R 2
简称A-B效应），并被随后的实验所证明实。
下图为电学双缝衍射实验装置。
d
c1
θ c2
y
L
一束以电子枪发射出来的电子经双缝分为两束， 分别经过路径c1,c2到达荧光屏上，两束电子有一定的 相位差，在屏上可得到 干涉花纹。若在双缝后面放置 一个细长螺线管 ，管上加一定电压，以阻止电子进 入螺线管，电子只能在管外区域行进。
磁偶极子所受的力矩为
L
U
mBe
cos
mBe
sin
计及力矩的方向，得 L m B
比较
电偶极子
磁偶极子
相互作用能 W p Ee 0
W m Be 0
受力

F p Ee
力矩
L pE
F m Be
L mB
作业：P131习题1、3、9
§3.4 阿哈罗诺夫—玻姆效应 Aharonov-Bohm effects
在经典电动力学中，场的基本物理量是电场强度
E
和磁感应强度
B，势 和 A 是为了数学上的方便而
引入的辅助量， 和 A不是唯一确定的。为对应一个磁
场和，A可不以是有直无接穷观多察的意矢义势的A物，理所量以。在但经是典，意在义量上子说力，学
中，势
和
A
具有可观测的物理效应。1959年，阿哈罗
诺夫(Aharonov)和玻姆(Bohm)提出这一新的效应（以下
得
B(1)
B(1) 0 (m 4
0
(1) m
R R3 )
(1) m
mR
4R3
磁偶极势形式上和电偶极势相似。一个小电流线圈可 以看作由一对正负磁荷组成的磁偶极子。
展开式的第三项：
A(2) (x) 0 J (x) 1 xx : 1 dV
4 V
2!
R
将会是更高级的磁矩激发的矢量势。因为比较复杂， 一般不去讨论。
U W J AedV
U m Be
磁偶极子在外磁场中所受的力是
( f g) f ( g) ( f )g g ( f ) (g ) f
F U (m Be ) m ( Be ) (m )Be
(m )Be
由于产生外场的电流一般都不出 现在磁矩m所在的区域内
Be 0
综上所述：小区域电流分布所激发的磁场，其矢势 可看作一系列在原点的磁多极子对场点激发的矢势的 迭加。
3、小区域内电流分布在外磁场中的能量
设外磁场 Be 的矢势为Ae , J x 在外磁
场中的相互作用能量为
W J AedV
载电流I 的线圈在外磁场中的能量为
W I L Ae dl I S Be dS Ie
d
c1
θ c2 L
实验分两步进行：
首先在螺线管不通电的情况下进行，这时整个空间
B
0，然A 后 0给。螺屏线幕管上通有电一，定管的外干区涉域条B纹 。0（可视为无限
长螺线管），但管外区域
A
0， 这是因为在包围螺线
管的任一闭合路径积分有 A dl ，其中 为管内 L
磁通。实验发现，屏幕上的干涉条纹发生移动。
1. 静磁场
H 0
H
m
0
m 0 M
B 0 (H M )
H
m
2m
m 0
复习
边值关系:
m1 S m2 S
1
(
1m
n
)
S
2
(
2m
n
)
S
§3 磁多极矩 Magnetic multipole moment
1、 矢势的多级展开
A(x) 0 J (x' )dV '
4
r
A(x) 0
e为外磁场对 线圈L的磁通量
取坐标系原点在线圈所在区域内适当点上。若区域线度远小于磁场 发生显著变化的线度，则可以把Be(x) 在原点领域上展开
Be (x) Be (0) x Be (0)
W IBe (0) S dS m Be (0)
m是电流线圈 的磁偶极矩。
磁偶极子在外场Be中的势函数为
4
x' 1 dl ' 0I
R
4
x'
R R3
dl
'
在被积式中，R/R3为固定矢量，与积分变量无关。
A(1)
0 I 4 R3
x' R dl '
x'
R
dl
'
?1
2
(x'
dl
') R
x '为线圈上各点的坐标，因此
dl
O x'
dx' dl
利用全微分绕闭合回路的线积分等于零:
0 d[(x' R)x'] (x' R)dl ' (dl ' R)x'
d
c1
θ c2 L
因为电子不会进入管内区域，因而两种情况下的差
别仅在于管外区域的矢势
4
J (x' )[ 1 R
x' 1 R
1 2!
i, j
xi'
x
' j
2 xix j
1 ]dV ' R
A(0) (x) 0 J (x' )dV ' 0
4 R
第二项为
A(1) 0 J (x' )x' 1 dV '
4
R
先就一个闭合线圈情形计算上式。若线圈电流为I，有
A(1) 0I