关于函数的对称性和周期性

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函数的周期性与对称性

第5炼函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a b x +=轴对称在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称轴即可。

例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。

① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。

在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称中心即可。

函数的对称性与周期性(归纳总结)

函数的对称性与周期性（归纳总结）一、函数对称性：1.2.3.4.5.6.7.8.f（a+x）=f（a-x）==>f（x）关于x=a对称f（a+x）=f（b-x）==>f（x）关于x=（a+b）/2对称f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）关于点（a，0）对称f（a+x）=-f（a-x）+2b==>f（x）关于点（a，b）对称f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）关于点[（a+b）/2，c/2]对称y=f（x）与y=f（-x）关于x=0对称y=f（x）与y=-f（x）关于y=0对称y=f（x）与y=-f（-x）关于点（0,0）对称例1：证明函数y=f（a+x）与y=f（b-x）关于x=（b-a）/2对称。

【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a+x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（2tm）] ∴b2t=a，==>t=（b-a）/2，即证得对称轴为x=（b-a）/2.例2：证明函数y=f（a-x）与y=f（xb）关于x=（a+b）/2对称。

证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a-x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a-m）=f[（2tm）b] ∴2t-b=a，==>t=（a+b）/2，即证得对称轴为x=（a+b）/2.二、函数的周期性令a,b均不为零，若：1、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函数最小正周期T=|a|2、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函数最小正周期T=|b-a|3、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函数最小正周期T=|2a|4、函数y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函数最小正周期T=|2a|5、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析。

(完整版)函数的周期性与对称性总结

一:有关周期性的讨论在已知条件()()f a x f b x +=-或()()f x a f x b +=-中，(1) 等式两端的两自变量部分相加得常数，如()()a x b x a b ++-=+，说明f x ()的图像具有对称性，其对称轴为2b a x +=。

(2)等式两端的两自变量部分相减得常数，如()()x a x b a b +--=+，说明 f （x ）的图像具有周期性，其周期T=a +b 。

设a 为非零常数,若对于)(x f 定义域内的任意x 恒有下列条件之一成立周期性规律对称性规律(1))()(a x f a x f +=- a T 2=⇒ (1))()(x a f x a f -=+ a x =⇒(2))()(a x f x f += a T =⇒ (2))()(x b f x a f -=+ 2b a x +=⇒ (3))()(x f a x f -=+ a T 2=⇒ (3) )()(x b f x a f +=- 2b a x +=⇒ (4))(1)(x f a x f =+ a T 2=⇒ (4) )()(x b f x a f --=+ 中心点)0,2(b a +⇒ (5))(1)(x f a x f -=+ a T 2=⇒ (5) )()(x a f x a f --=+ 为对称中心点)0,(a ⇒ (6)1)(1)()(-+=+x f x f a x f a T 2=⇒ (7) 1()()1()f x f x a f x -+=+ a T 2=⇒ (8) 1()()1()f x f x a f x -+=-+ a T 4=⇒ (9) )(1)(1)(x f x f a x f -+=+ a T 4=⇒ (10) )()()(a x f a x f x f ++-=, 0>a a T 6=⇒(11) 若函数)(x f 同时关于直线a x =, b x =对称则函数)(x f 的周期a b T -=2(12) 若函数)(x f 同时关于点)0,(a , )0,(b 对称,则函数)(x f 的周期a b T -=2(13) 若函数)(x f 同时关于直线a x = 对称,又关于点)0,(b 对称)0(≠b 则函数)(x f 的周期a b T -=4(14) 若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且T=2a(15) 若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且T=4a(16) 若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x ∈R ，T ≠0),则f(2T )=0. ⒈ 若)x 2(f y =的图象关于两类易混淆的函数问题：对称性与周期性例1. 已知函数y = f （x ）（x ∈R ）满足f （5+x ）= f （5－x ），问：y = f （x ）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？例2. 已知函数y = f （x ）（x ∈R ）满足f （x+5）= f （x －5），问：y = f （x ）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？定理1：如果函数y = f （x ）（x ∈R ）满足)()(x a f x a f -=+，那么y = f （x ）的图像关于直线x a =对称。

函数周期性与对称性

函数周期性与对称性一、函数周期：对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +=，则T 叫做函数()f x 的周期例如：求11()()(),(),()()1()f x f x a f x f x a f x a f x f x -+=-+=+=+的周期二、对称性：函数关于原点对称即奇函数：()()f x f x -=- 函数关于y 对称即偶函数：()()f x f x -=函数关于直线 x a =对称：()()f x a f a x +=-或()(2)f x f a x =-或者 (2)()f x a f x +=-函数关于点（a,b ）对称：f(x+a)+f(a-x)=2b1．f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 A ．2； B ．3； C ．4； D ．5 （）2．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f （）A ．0B ．1C ．25 D ．53．已知f(x)是R 上的偶函数，对R x ∈都有f(x ＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)=( )A 、2005B 、2C 、1D 、04．设f （x ）是定义在R 上以6为周期的函数，f （x ）在(0,3)内单调递减，且y=f （x ）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是（）(A)()()()1.5 3.5 6.5f f f <<； (B )()()()3.5 1.5 6.5f f f <<； (C)()()()6.5 3.5 1.5f f f <<； (D)()()()3.5 6.5 1.5f f f <<5．设函数()f x 与()g x 的定义域是{x R ∈}1x ≠±,函数()f x 是一个偶函数，()g x 是一个奇函数，且1()()1f xg x x -=-，则()f x 等于 A.112-x B.1222-x xC .122-x D.122-x x6.已知定义在R 上的函数f (x )的图象关于)0,43(-成中心对称，且满足f (x )=1)1(),23(=-+-f x f , f (0) = –2，则f (1) + f (2) +…+ f (2010)的值为（）A ．–2B ．–1C ．0D ．17.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则5(())2f f 的值是 A .0 B.12 C.1 D.528.若()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，1()1f x x =+，则1()2f ＝．9.()y f x =定义域为R ，且对任意x R ∈都有()()()111f x f x f x ++=-，若()21f =f(2009)=_ 10．设f(x)是定义在R 上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线21=x 对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= ____。

函数的周期性与对称性

函数的周期性与对称性函数是数学中的重要概念之一，它描述了数值之间的对应关系。

在函数的研究中，周期性与对称性是两个重要的性质。

本文将从理论和实际应用的角度，探讨函数的周期性与对称性。

一、周期性函数的周期性是指在一定的范围内，函数的值以一定的规律重复出现。

如果存在一个正数T，对于函数f(x)的定义域内的任意x，有f(x+T) = f(x)，则称函数f(x)具有周期T，T是函数的周期。

周期性在数学中广泛应用于波动现象的研究中，如正弦函数和余弦函数就是典型的周期性函数。

以正弦函数为例，函数f(x) = sin(x)的周期为2π，即在每一个2π的区间内，函数的值重复出现。

这种周期性的特征在物理学中非常重要，可以用于描述电磁波、声波等的传播规律。

在实际应用中，周期性函数经常用于天文学、物理学、电路分析等领域。

例如，利用函数的周期性可以预测天体运动的规律，分析电子元件的交流电路，优化信号处理等。

二、对称性函数的对称性是指在某种变换下，函数的值保持不变。

常见的对称性有奇偶对称性和轴对称性。

1. 奇偶对称性函数f(x)具有奇对称性，如果对于定义域内的任意x，有f(-x) = -f(x)。

奇对称函数在坐标系中以原点为对称中心，左右两侧关于y轴对称。

以奇对称函数f(x) = sin(x)为例，可以观察到f(x)关于原点对称。

当x取正值时，f(x)在正半轴上取正值；当x取负值时，f(x)在负半轴上取负值。

函数的奇对称性在数学和工程中都具有广泛应用。

例如在电力系统中，交流电流的正弦波形就是一种典型的奇对称函数。

2. 轴对称性函数f(x)具有轴对称性，如果对于定义域内的任意x，有f(-x) = f(x)。

轴对称函数关于y轴对称，即函数图像关于y轴对称。

以轴对称函数f(x) = x^2为例，可以观察到函数图像在y轴上是对称的。

当x取正值时，f(x)在正半轴上取正值；当x取负值时，f(x)在正半轴上同样取正值。

轴对称函数在几何学和图像处理中有广泛应用。

函数的对称性与周期性

函数的对称性与周期性函数是数学中的重要概念之一，也是实际问题建模时必不可少的工具。

在函数的研究中，对称性和周期性是两个重要的特性，它们在解决问题时具有重要的意义。

一、对称性对称性是指当函数中存在一些特定的点、直线或面对称时，函数会出现相应的特征变化。

在函数研究中，对称性分为奇偶对称性、轴对称性和中心对称性三种类型。

1.1 奇偶对称性在定义域上对函数进行某种变换，若此时函数值不变，则称函数具有对称性。

其中，奇偶对称是一种特殊的对称性。

若函数$f(x)$满足$f(-x)=f(x)$，即对于定义域上任意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$成立，则函数$f(x)$具有奇函数对称性。

若函数$f(x)$满足$f(-x)=f(x)$且$f(x)$具有偶函数性质，即对于定义域上任意$x$都有$f(-x)=f(x)$，且对于定义域上任意$x$都有$f(-x)=f(x)$成立，则$f(x)$具有偶函数对称性。

1.2 轴对称性对于定义域上的任意一个$x$，若函数$f(x)$等于一个定值减去该点处的函数值，则称函数$f(x)$具有轴对称性。

定义域上的这条轴称为对称轴。

轴对称性表明函数$f(x)$在对称轴两侧的函数值相等。

1.3 中心对称性对于定义域的任意一个$x$，若函数$f(x)$与以坐标系原点为中心的另一个点对称，则称函数$f(x)$具有中心对称性。

中心对称性表明函数$f(x)$在以原点为中心的圆形中的两侧具有对称性。

二、周期性周期性是指函数具有在某一定量级范围内重复的规律性。

对于函数$f(x)$，若存在正数$T$，使得对于定义域上的任何一个$x$，都有$f(x+T)=f(x)$成立，则函数$f(x)$是周期函数，其中最小正周期为$T$。

具有周期性的函数，其解析式通常为三角函数式。

结论函数在解决实际问题时，对称性和周期性的特性具有重要的意义。

它们可以用来研究函数的性质、求函数的极值、判别函数的奇偶性、求证某些理论结论等。

完整版)常见函数对称性和周期性

完整版)常见函数对称性和周期性二、函数对称性的重要结论一）函数y=f(x)的图像本身的对称性（自身对称）若f(x+a)=±f(x+b)，则f(x)具有周期性；若f(a+x)=±f(b-x)，则f(x)具有对称性。

即，“内同表示周期性，内反表示对称性”。

1、f(a+x)=f(b-x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=(a+b)/2对称。

推论1：f(a+x)=f(a-x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=a对称。

推论2、f(x)=f(2a-x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=a对称。

推论3、f(-x)=f(2a+x)⟺y=f(x)的图像关于直线x=a对称。

2、f(a+x)+f(b-x)=2c⟺y=f(x)的图像关于点(a+b/2,c)对称。

推论1、f(a+x)+f(a-x)=2b⟺y=f(x)的图像关于点(a,b)对称。

推论2、f(x)+f(2a-x)=2b⟺y=f(x)的图像关于点(a,b)对称。

推论3、f(-x)+f(2a+x)=2b⟺y=f(x)的图像关于点(a,b)对称。

二）两个函数的图像对称性（相互对称）1、偶函数y=f(x)与y=f(-x)的图像关于Y轴对称。

2、奇函数y=f(x)与y=-f(-x)的图像关于原点对称。

3、函数y=f(x)与y=-f(x)的图像关于X轴对称。

4、互为反函数y=f(x)与函数y=f^-1(x)的图像关于直线y=x对称。

5、函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于直线x=(b-a)/2对称。

推论1: 函数y=f(a+x)与y=f(a-x)的图像关于直线x=a对称。

推论2: 函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a对称。

推论3: 函数y=f(-x)与y=f(2a+x)的图像关于直线x=-a对称。

三、函数周期性的重要结论1、f(x±T)=f(x)(T≠0)⟺y=f(x)的周期为T，kT(k∈Z)也是函数的周期。

2、f(x+a)=f(x+b)⟺y=f(x)的周期为T=b-a。

函数的周期性与对称性

【例2】 f（x）是定义在R上的以3 为周期的奇函数，且 f （ 2 ）＝ 0 ，则方程 f （ x ）＝ 0 在区间（ 0 ， 6 ）内解的个数的最小值是 ( ) A．2
C．4
B．3
D． 5
【解析】
∵ f （ x ）为奇函数， ∴ f （ 0 ）＝ 0 ，又函数f（x）以3为周期，且f（2）＝0， ∴f（－2）＝0，f（1）＝0，f（4）＝ 0，f（3）＝0，f（5）＝0， ∴在区间（0，6）内的解有1，2，3， 4，5.故选D.
3、关于点(a,0)对称
练习：求函数y=f(x)关于点（a,0)对称的解析式答案：y=-f(2a-x) 结论：⑴-f(2a-x)与f(x)的图形关于点(a,0)对称
⑵一个函数y=f(x)本身关于点(a,0)对称，有 f(x)=-f(2a-x)即f(x)+f(2a-x)=0
函数周期性解题的一道经典试题
2、关于直线y=b对称 ⑴函数y=f(x)关于x轴（y=0)对称的函数是y=-f(x)
⑵求函数y=f(x)关于直线y=b对称的函数解析式
解：设(x,y)是所求曲线上任意一点，它关于直线y=b的对称点为(x,y1),从而y1=f(x)而 y1-b=b-y故y1=2b-y,于是y=2b-f(x) 结论：f(x)与g(x)的图象关于直线y=b对称，则 f(x)+g(x)=2b反之也成立
区间上单调性相反
⑵求函数y=f(x)关于直线x=a对称的函数解析式解：用相关点法，设(x,y)是所求曲线上任意一点，则它关于直线x=a的对称点为（x1,y) 在函数y=f(x)图象上，故y=f(x1),而 x1-a=a-x所以x1=2a-x,于是y=f(2a-x)即为所求结论：y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a 对称

(完整版)函数周期性与对称性常见结论

(完整版)函数周期性与对称性常见结论
函数周期性与对称性是数学中一种基本的类型，可以用来描述函数的特征。

这种性质
极大地影响着函数的曲线形状，对于函数研究也是非常重要的。

本文为读者介绍函数周期
性与对称性常见的结论。

一、周期性
1. 可以说函数f(x+T)与f(x)的图像有周期性，T<>0是一个常数，也称为函数的周期，它可以定义一个函数的曲线；
2. 周期性循环是一种规律，表明函数的值随着参数的改变而不断变化，但最终又会
回到原来的状态；
3. 一般情况下，定义域内的函数都具有周期性，当x的取值超出定义域时，函数f(x)也可能有周期性；
4. 一个周期性函数的周期T是其变化模式的重要特征，其变化规律如果舍弃它，函
数f(x)就不再具有周期性；
5. 若函数f(x)具有周期性，那么它的最小正周期Tc就定义了整个函数的曲线，可以视为一种最基本的形状。

二、对称性
1. 当函数f(x)满足f(-x)=f(x)的性质时，称此函数具有对称性；
2. 一个函数的平行四边形对称性表明，函数f(-x)和f(x)的图像是完全一模一样的，而不管x的取值为多少；
3. 一些函数具有点对称性，点对称性表明f(-x0)=f(x0)，即对称中心为x0的函数图像；
4. 如果一个函数的图象可以通过给定的任意角度旋转而不失真，则称其为角度对称性；
5. 对称性可有效描述函数f(x)的特征，常用于应用函数研究中。

高中数学函数图像的对称与周期性

高中数学函数图像的对称与周期性在高中数学中，函数图像的对称性和周期性是一个非常重要的概念。

对称性是指函数图像关于某个轴或点对称，而周期性是指函数在一定区间内以某个固定的周期重复。

一、对称性1. 关于y轴对称当一个函数图像关于y轴对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(-x, y)也在函数图像上。

这种对称性可以用来简化函数图像的绘制和分析。

例如，考虑函数y = x^2，它是一个二次函数，具有关于y轴对称的性质。

我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。

2. 关于x轴对称当一个函数图像关于x轴对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(x, -y)也在函数图像上。

这种对称性也可以用来简化函数图像的绘制和分析。

例如，考虑函数y = sin(x)，它是一个正弦函数，具有关于x轴对称的性质。

我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。

3. 关于原点对称当一个函数图像关于原点对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(-x, -y)也在函数图像上。

这种对称性同样可以用来简化函数图像的绘制和分析。

例如，考虑函数y = x^3，它是一个三次函数，具有关于原点对称的性质。

我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。

二、周期性1. 周期函数周期函数是指在一定区间内以某个固定的周期重复的函数。

周期函数的图像具有一定的规律性，可以通过观察周期来简化函数图像的绘制和分析。

例如，考虑函数y = sin(x)，它是一个周期为2π的正弦函数。

我们可以通过绘制一个周期内的函数图像，再利用周期性得到完整的图像。

2. 非周期函数非周期函数是指在任意区间内不以固定周期重复的函数。

非周期函数的图像通常没有明显的规律性，需要通过其他方法进行分析和绘制。

例如，考虑函数y = x^2，它是一个非周期函数。

我们需要根据函数的性质和变化规律来绘制函数图像。

三、举一反三通过对函数图像的对称性和周期性的分析，我们可以得到一些解题技巧和方法。

完整版)函数的周期性与对称性总结

完整版)函数的周期性与对称性总结在已知条件$f(a+x)=f(b-x)$或$f(x+a)=f(x-b)$中，可以得到以下结论：1.当等式两端的两自变量部分相加得常数，如$(a+x)+(b-x)=a+b$，则$f(x)$的图像具有对称性，其对称轴为$x=\frac{a+b}{2}$。

2.当等式两端的两自变量部分相减得常数，如$(x+a)-(x-b)=a+b$，则$f(x)$的图像具有周期性，其周期$T=a+b$。

如果对于$f(x)$定义域内的任意$x$，恒有下列条件之一成立：周期性规律对称性规律1.$f(x-a)=f(x+a)$，则$T=2a$；$f(a+x)=f(a-x)$，则$x=\frac{a^2+b^2}{2a+b}$。

2.$f(x)=f(x+a)$，则$T=a$；$f(a+x)=f(b-x)$，则$x=\frac{a+b}{2}$。

3.$f(x+a)=-f(x)$，则$T=2a$；$f(a-x)=f(b+x)$，则$x=2a-b$。

4.$f(x+a)=\frac{1}{a+b}$，则$T=2a$；$f(a+x)=-f(b-x)$，则点$(a,-\frac{1}{2})$为对称中心。

5.$f(x+a)=-\frac{1}{a+b}$，则$T=2a$；$f(a+x)=-f(a-x)$，则点$(a,0)$为对称中心。

6.$f(x+a)=\frac{f(x)+1}{1-f(x)}$，则$T=2a$；$f(x+a)=\frac{f(x)-1}{1+f(x)}$，则$T=2a$。

7.$f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}$，则$T=4a$。

8.$f(x+a)=-\frac{1-f(x)}{1+f(x)}$，则$T=4a$。

9.$f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1+f(x)}$，则$T=4a$。

10.$f(x)=f(x-a)+f(x+a)$，且$a>0$，则$T=6a$。

(完整版)函数的对称性与周期性

函数的对称性与周期性吴江市盛泽中学数学组徐建东对称性：函数图象存在的一种对称关系，包括点对称和线对称。

周期性：设函数)(x f 的定义域是D ，若存在非零常数T ，使得对任何D x ∈，都有D T x ∈+且)()(x f T x f =+，则函数)(x f 为周期函数，T 为)(x f 的一个周期。

对称性和周期性是函数的两大重要性质，他们之间是否存在着内在的联系呢？本文就来研究一下它们之间的内在联系，有不足之处望大家批评指正。

一、一个函数关于两个点对称。

命题1：如果函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 和点)0,(b )(a b ≠对称，那么函数)(x f y =是周期函数，)(2b a T -=为函数)(x f y =的一个周期。

证明：∵函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 对称，∴)2()(x a f x f --=对定义域内的所有x 成立。

又∵函数)(x f y =的图象关于点)0,(b 对称，∴)2()(x b f x f --=对定义域内的所有x 成立。

从而)2()2(x b f x a f -=-∴)()]2(2[)]2(2[x f x b b f x b a f =--=-- 即：)()])22[(x f x b a f =+- ∴)(x f y =是周期函数，)(2b a T -=为函数)(x f y =的一个周期。

特例：当0=a 时，)(x f y =为奇函数，即奇函数)(x f y =如果又关于点)0,(b )0(≠b 对称，那么函数)(x f y =是周期函数，b T 2=为函数)(x f y =的一个周期。

命题1'：如果函数)(x f y =的图象关于两点),(b a 和),(d c 对称，那么：当d b =，c a ≠时，)(x f y =是周期函数，)(2c a T -=为函数)(x f y =的一个周期。

当d b ≠，c a ≠时，)(x f y =不是周期函数。

函数的对称性与周期性

函数的对称性与周期性补充高一数学知识点——函数的对称性与周期性一、对称性（轴对称、中心对称）函数的对称性是指函数自身具有的对称性，可以分为轴对称和中心对称两种类型。

命题1：若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=(a+b)/2对称。

特别地，当f(x) = f(-x)时，函数y=f(x)的图象关于y轴对称；当f(a+x) = f(a-x)时，函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。

命题2：若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(x+a)+f(b-x)=c，则函数y=f(x)的图象关于点(a+b/c,0)成中心对称图形。

特别地，当f(x) + f(-x) = 0时，函数y=f(x)的图象关于原点对称；当f(x) + f(2a-x) = 2b时，函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称图形。

二、周期性1.定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，则称T为这个函数的一个周期。

2.如果函数f(x)是R上的奇函数，且最小正周期为T，那么f(x)=f(-x)。

关于函数的周期性的几个重要性质：1）如果y=f(x)是R上的周期函数，且一个周期为T，那么f(x±nT)=f(x)(n∈Z)。

2）如果f(x+a)=f(x-a)，则f(x)的周期T=2a；如果f(x+a)=f(x-a)，则f(x)的周期T=2a/T。

三、例题讲解例1]若f(x+a)=f(x)-f(x-a)，则f(x)的周期T=6a，请推导。

例2]设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，当-1≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)=-5.5.例3]已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x+2)=-f(x)，当2≤x≤3时，f(x)=x，则f(105.5)=103.5.例4]设函数y=f(x)的定义域为R，且满足f(x+1)=f(1-x)，则y=f(x)图象关于直线x=1/2对称，y=f(x+1)的图象关于y轴对称。

函数周期性和对称性总结

函数周期性和对称性总结函数是数学中非常基础而且重要的概念，在研究函数的性质时，函数的周期性和对称性是其重要特征之一。

本文将对函数的周期性和对称性的概念和内涵进行总结和解释，以便更好地理解函数的性质。

一、周期性函数的周期性指函数的值在某个范围内周期性的重复，周期的概念与函数的定义有很大的关系。

1.义周期性函数是指在一定的区间上函数值一次周期性重复出现的函数。

有许多周期性函数，如三角函数、指数函数、对数函数等。

大部分周期性函数的图像是延一条条直线分割，周期性函数的微积分是有规律的。

2.性周期性函数的周期有两种表示方法：周期长度和周期弧长，分别表示周期函数的完整一次周期所需要的变量点数量和函数图像在单位区间所对应的弧长。

此外，周期性函数的定义域和值域是单调的，同时周期性函数一次周期内的值点会重复出现。

二、对称性函数的对称性是指函数图像经过某些变换仍然保持原有形状的性质，大多数函数都具有对称性特征。

1.定义函数的对称性表示函数图像在一定的条件下，经过某种变换，图像形状不变，即它仍然保持原来的形状。

一般来说，由于函数的对称性，它的定义域和值域都是单调的，一次周期的值点会重复出现，而且它的定义域经过一定的变换后可能会得到和它原有定义域完全一致的结果。

2.属性对称性函数的属性有几种：（1）对称性函数在定义域和值域内是单调的，且定义域和值域可以进行互换；（2）对称性函数不仅能够满足图像中心对称，而且还能够满足其他形状的对称；（3）对称性函数的值点会重复出现，单次周期内的值点也会一次性重复出现；（4）对称性函数的定义域经过变换后可能会得到和它原有定义域完全一致的结果。

三、结论以上简述函数的周期性和对称性。

函数的周期性表示函数值在一定区间内周期性重复出现，有许多周期性函数，其特点是定义域和值域是单调的，一次周期的值点会重复出现。

而函数的对称性表示函数图像在一定的条件下，它仍然保持原有形状，定义域和值域也是单调的，一次周期的值点也会重复出现。

数学 - 函数的对称性与周期性

数学 - 函数的对称性与周期性函数是数学中的一个重要概念。

通过研究函数的对称性与周期性，我们能够更好地理解函数的性质和行为。

在本文中，我们将介绍函数的对称性和周期性的定义，并讨论一些常见的例子和性质。

函数的对称性在数学中，函数的对称性指的是函数图像关于某一条直线、某个点或者坐标轴对称。

常见的对称性包括：关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称等。

关于x轴对称一个函数关于x轴对称，意味着函数图像可以在x轴上对称折叠，一半与另一半完全重合。

这意味着，对任意的x值，函数的值与对称轴上对应的函数值是相等的。

例如，函数 f(x) = x^2 就是关于x轴对称的。

对于任意的x值，f(x) = f(-x)。

函数图像可以在x轴上折叠，左右两部分完全重合。

关于y轴对称一个函数关于y轴对称，意味着函数图像可以在y轴上对称折叠，一半与另一半完全重合。

这意味着，对任意的x值，函数的值与对称轴上对应的函数值是相等的。

例如，函数f(x) = sin(x) 就是关于y轴对称的。

对于任意的x值，f(x) = f(-x)。

函数图像可以在y轴上折叠，左右两部分完全重合。

关于原点对称一个函数关于原点对称，意味着函数图像可以在原点上对称折叠，一半与另一半完全重合。

这意味着，对任意的x值，函数的值与对称轴上对应的函数值是相等的。

例如，函数 f(x) = x^3 就是关于原点对称的。

对于任意的x值，f(x) = -f(-x)。

函数图像可以在原点上折叠，左右两部分完全重合。

函数的周期性在数学中，函数的周期性是指函数在一定的水平间隔上重复。

函数图像上的一个完整周期，被定义为函数的最小正周期。

函数的周期性可以帮助我们理解函数的重复性和规律性。

正周期一个函数如果存在一个正数T，使得对于任意的x，有： f(x+T) = f(x)即函数在水平方向上以T为周期。

这里的T被称为函数的正周期。

例如，函数 f(x) = sin(x) 具有正周期2π。

对于任意的x，有sin(x+2π) = sin(x)。

高中高考数学关于函数的对称性和周期性

，且存在一个定值使得 f (x1) f (x2 ) +1
f (x2 ) − f (x1 )
a
f
(a)
= 1 ，则
f
(x) 的周期T
=
4|a
|
（6）若 f (x) 的图象关于 x = a, 且同时关于 x = b(a ≠ b) 对称，则T = 2 | a − b | .
证明：，得证 f (x) = f (2a − x) = f (2b − (2a − x)) = f (x + 2b − 2a)
答： f (a + x) = f (b − x) 表示 f (x) 的对称轴为 x = a + b ； 2
而表示的周期为 f (a + x) = f (b + x) f (x)
T =| a − b | .
二．常见结论（注：此处T 专指最小正周期，且默认a ≠ 0）（1）若 f (x) 对定义域内的任意 x 都有 f (x + a) = − f (x) ，则T = 2 | a | .
推广：若 f (x) 对定义域内的任意 x 都有 f (x + a) = m − f (x) ，则T = 2 | a | .
证明：用 x + a 代替 f (x + a) = m − f (x) 中的 x ，得到 f (x + 2a) = m − f (x + a) ；
于是，得证 f (x + 2a) = m − f (x + a) = m − [m − f (x)] = f (x)
.
反函数结论（略）.
---1---
关于函数的周期性
一．周期函数的定义：函数 f (x) 在其定义域内，对任意的 x 都存在一个常数T ， (T ≠ 0) 使得 f (x + T) = f (x) 成立，则称函数 f (x) 是周期函数， T 叫做函数 f (x) 的一个周期.（注：以后T 专指最小正周期）设T 是函数 f (x) 的一个周期，则 kT (k ∈ Z,k ≠ 0) 也是函数 f (x) 的周期.

周期性与对称性

函数对称性、周期性全解析函数对称性、周期性是函数这一局部在历年高考中的一个重点，现在全部解析如下：一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。

如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。

2、对称性定义〔略〕，请用图形来理解。

3、对称性：我们知道：偶函数关于y 〔即x=0〕轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =-奇函数关于〔0，0〕对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：〔1〕函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。

得证。

假设写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(b a x b x a x +=-++= 对称〔2〕函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。

函数的对称性与周期性

在区间[ , ] 上零点的个数为_________.
(2).已知函数 y f (x) 满足 f (x 2) f (x) ,且 x [0,2] 时, f (x) (x 1)2 ,若令函数
g(x) f (x) log5 | x 1| ,则函数 y g(x) 的左右零点之和为(
)
i 1
A. 0
B. m
C. 2m
D. 4m
例
5. 已知函数
f
(x)

| |
x 2 |, x 0 log2 x |, x 0
，
若
关
于
x
的方程
f (x) a
有四个不同的解
x1, x2 , x3, x4 且 x1 x2 x3 x4 ,求 x1x2 x3x4 的取值范围.
(减)，则 y f (x) 在 (a kT , b kT ), (k Z ) 上单调增(减).
例 10.(1). 函数 y f (x) 满足 f (x) f (4 x) ，当 x [0,4)时，f (x) x2 1 ，求
f (2014) _______.
g(x)
f
(x) ，当
x a 时，g(x) g(2a x) ，若关于 x 的方程 g(x) x a 0 有且仅有一个实数根，则 a
的取值范围为( )
A. (,0] (2,) C. (,1] (2,)
B. (,0] (9 ,) 4
D. (,1] (9 ,) 4
一般地 , 若函数 y f (x) 满足 f (a x) f (b x) c , 则函数的图象关于点 ( a b , c ) 对称.

关于函数的对称性和周期性

函数的周期性与对称性

函数的对称性与周期性(归纳总结)

(完整版)函数的周期性与对称性总结

函数周期性与对称性

函数的周期性与对称性

函数的对称性与周期性

完整版)常见函数对称性和周期性

函数的周期性与对称性

(完整版)函数周期性与对称性常见结论

高中数学函数图像的对称与周期性

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数学 - 函数的对称性与周期性

高中高考数学 关于函数的对称性和周期性

周期性与对称性

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