弯曲杆件正应力计算公式
工程力学(杆件弯曲受力分析计算)
教学设计三杆件弯曲受力分析计算在学习绘制杆件弯曲受力分析图后，我们来学习一下杆件的弯曲受力分析计算，即我们杆件弯曲时在横截面上产生的弯曲正应力和弯曲剪应力的计算。
问题一，杆件弯曲横截面正应力计算问题梁在弯曲变形时，梁轴线方向截面纤维曲线，下部拉伸变长，上部压缩变短。
我们选取杆件的某段横截面，其截面上某处的微分段面积dA如图8.2所示。
由该截面的积分得到，截面为弯矩M大小为公式8.1。
（公式8.1）根据广义胡可定律得到公式8.2与弯曲应变几何条件分析公式8.3得到公式8.4。
（公式8.2）（公式8.3）（公式8.4）其中，ρ为梁弯曲的曲率半径。
将公式8.4和8.1合并得到公式8.5。
（公式8.5）分析公式8.5，其中：为截面绕Z轴的惯性矩。
公式8.5变形为8.6。
ρρρρρεyydxdx==-+=∆=dθdθdθdθy)dθ(⎰⋅=AyM dAσεσ⋅=EρεσyEE==⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=AA AyEyyEyM dAdAdA2ρρσZAIy=⎰dA2（公式8.6）将公式8.6与公式8.4合并，得到公式8.7（公式8.7）公式8.7为杆件弯曲截面上弯曲正应力一般计算公式。
如图8.2所示，y 为惯性轴到所计算应力位置的距离，分析公式我们发现当y 为0时，截面正应力为零，当y 等于截面高度一半时，截面正应力最大，说明在杆件中间有一条纤维线在受力弯曲时既不拉伸变长也不压缩变短，我们称这条纤维曲线为杆件的中性轴，此轴所在的水平层称为中性层，而在杆件截面上下边缘处，存在最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力，也就是极值问题的出现。
我们引入新的物理量W ，抗弯截面模量，它的计算式为8.8。
（公式8.8）公式8.7可以化简为极值公式8.9。
（公式8.9）例题分析讲解 【例1】图8.3所示，悬臂矩形截面杆件，截面O 1上有A 、B 、C 、D 点，求它们的弯曲正应力。
【解】计算悬臂梁的弯矩计算梁截面的惯性矩计算抗弯截面模量 计算各点的正应力yIW Z=m kN 6.488.130212⋅=⨯⨯=M 001067.0124.02.01233=⨯==bh I 00533.0124.02.0622=⨯==bh W Z WM Z =σZZ I E M ⋅=ρ1y I M ZZ=σ（拉）MPa 12.900533.06.48===Z Z a W M σ（压）m 9.12kN a d ⋅=-=σσ0b =σ（压）4.55MPa 0.1106700.06.48b c =⨯==y I M Z Z σ问题二，杆件弯曲横截面剪应力计算问题与弯曲正应力不同，在截面上各点的弯曲剪应力指向相同，不论是否在中性层的上侧还是下侧；在同一剪力段，同一层的各点剪应力大小相同。
工程力学常用公式
工程力学常用公式3、伸长率：* 1。
％断面收缩率： 字100%5、扭转切应力表达式：^，最大切应力：maxTP RW p ， d 44I P ”（1），W P d'(1 4)，强度校核： 16max TmaxW P[]6、单位扭转角：d—，刚度校核：maxTmax[]， 长度为1dx Gl pGI P的一段轴两截面之间的相对扭转角證，扭转外力偶的计算公式: Me 9549P（KWLn（r/m in ）8平面应力状态下斜截面应力的一般公式:最大切应力max -'' - ( x y )22，最大正应力方位2 Y 21、轴向拉压杆件截面正应力 牛，强度校核max2、轴向拉压杆件变形IFi Ni l i 4、胡克定律： E ，泊松比:，剪切胡克定律：G7、薄壁圆管的扭转切应力:T 2 R 29、 x yx ycos22 2 xsin 2-sin 2 x cos2平面应力状态三个主应力:II「（ x 2y）2X， ''' 01、100%tan2 0 2xx y10、第三和第四强度理论: r3 X 24 2， r4211、平面弯曲杆件正应力:M ，截面上下对称时，MW Z矩形的惯性矩表达式：I Z兽圆形的惯性矩表达式:I ZV(1 644)矩形的抗扭截面系数：W Z £圆形的抗扭截面系数:W Z 4)13、平面弯曲杆件横截面上的最大切应力:F s S max* zmaxbi z14、平面弯曲杆件的强度校核：（1）弯曲正应力tmax [t ]， cmaxc]（2）弯曲切应力max []（3）第三类危险点：第三和第四强度理论 16、（ 1）轴向载荷与横向载荷联合作用强度： ()FN M maxmax (min 丿15、平面弯曲杆件刚度校核：叠加法 严 [f]， max []（2）偏心拉伸（偏心压缩）:max ( min)A（3）弯扭变形杆件的强度计算:工程力学常用公式伸长率: F N ； A ；FA ；泊松比E 2(1 )，l bI 0l 0100%，断面收缩率:A o A b A 02、扭转: { M }N gm9549 {P}kW ,{ n} r/ min,W p max TW p，3、4、ddxTGIP，TloGI P弯曲:MdxEl应力状态:MET Z，MyIT，maxMy maxIlMW zd 2wdx2MEIM , xdx)dx CxEIx sin2i2cos 2；x y )22tg2 o拉压强度条件：max(F N)[\ 八/max L扭转强度条件：max(T)[]W p扭转刚度条件：(T)max []GI P梁的弯曲强度条件M maxmaxW.梁弯曲的刚度条件:V V max[]-欧拉公式：F c r -2EIl2，2Ecr 2柔度：-惯性半径:max(min][],maxi x y2max,max . [](丿max [],I zi'■ A。
弯曲杆件正应力计算公式课件
曲杆件的性能。
基于能量方法的正应力计算
01
基于能量方法的正应力计算的扩展
能量方法是分析结构的一种有效方法。通过能量方法，可以更准确地计
算正应力分布。
02
考虑材料弹性的影响
在能量方法中，可以考虑材料的弹性性质，从而更准确地计算应力分布
。
03
基于能量方法的复杂结构分析
对于复杂的结构，基于能量方法可以更有效地进行正应力计算和分析。
03
弯曲杆件正应力计算公式应用
简单弯曲杆件的正应力计算
01
02
03
定义简单弯曲杆件
一个具有均匀截面、承受 沿轴线方向作用的力的直 杆。
推导公式
基于弹性力学和材料力学 的知识，利用能量法或偏 微分方程求解。
公式应用
计算简单弯曲杆件的正应 力分布，包括截面应力和 跨中应力。
复杂弯曲杆件的正应力计算
数值模拟和实验研究
未来研究可以通过数值模拟和实 验研究来进一步验证和改进弯曲 杆件正应力计算公式的准确性和 适用范围。同时，也可以通过这 些方法来研究复杂加载条件下的 正应力分布和结构响应。
多学科交叉和工程应 用
未来的研究可以进一步拓展弯曲 杆件正应力计算公式在其他学科 中的应用，如生物力学、地质力 学等。同时，该公式在工程中的 应用也需要不断改进和创新，以 适应不断发展的工程需求。
3. 变形前各横截面为平面，变形后仍为 平面。
2. 忽略材料加工硬化和蠕变等影响。
弯曲的基本假设 1. 杆件为理想弹性体，无初应力存在。
弯曲的应变与应力
应变
杆件在弯矩作用下，任意截面上 的点沿着与轴线垂直的方向移动 ，导致截面发生翘曲变形。
应力
由于截面翘曲变形，导致截面上 各点存在应力。
杆件正应力怎么求计算公式
杆件正应力怎么求计算公式杆件正应力的计算公式。
在工程力学中，杆件正应力是指在杆件内部由外部加载引起的正向拉伸或压缩应力。
正应力的计算是工程设计中非常重要的一部分，它可以帮助工程师确定杆件是否能够承受外部加载，并且可以帮助工程师选择合适的材料和尺寸来设计结构。
杆件正应力的计算公式可以通过简单的力学原理推导得出。
在这篇文章中，我们将介绍杆件正应力的计算公式，并且讨论一些实际应用中的例子。
杆件正应力的计算公式可以表示为：σ = P / A。
其中，σ表示杆件的正应力，P 表示施加在杆件上的外部力，A 表示杆件的横截面积。
这个公式的推导可以通过简单的力学原理来进行。
当一个外部力 P 作用在杆件上时，杆件内部会产生一个与外部力方向相反的内部应力。
根据牛顿第三定律，这个内部应力的大小与外部力的大小相等，方向相反。
而杆件的横截面积 A 则可以用来表示内部应力的分布情况。
因此，杆件的正应力可以表示为外部力 P 与横截面积 A 的比值。
在实际应用中，杆件正应力的计算可以通过这个简单的公式来进行。
例如，当一个钢杆承受一个拉力时，我们可以通过测量钢杆的横截面积和外部拉力来计算钢杆的正应力。
这个计算可以帮助工程师确定钢杆是否能够承受这个拉力，并且可以帮助工程师选择合适的钢材来设计结构。
除了上面提到的简单拉力的情况，杆件正应力的计算公式也可以应用在其他复杂的情况中。
例如，在梁的设计中，梁的横截面积不是均匀的，因此我们可以通过积分的方法来计算梁的正应力分布。
这个计算可以帮助工程师确定梁在不同位置的正应力大小，并且可以帮助工程师选择合适的梁的尺寸和材料来设计结构。
除了简单的拉力和梁的设计，杆件正应力的计算公式也可以应用在其他工程结构的设计中。
例如，在桥梁的设计中，我们可以通过计算桥梁的正应力来确定桥梁的承载能力，并且可以帮助工程师选择合适的桥梁的尺寸和材料来设计结构。
总之，杆件正应力的计算公式是工程设计中非常重要的一部分。
通过这个简单的公式，工程师可以确定杆件是否能够承受外部加载，并且可以帮助工程师选择合适的材料和尺寸来设计结构。
弯曲杆件应力计算公式-精选文档
M m ax m ax W z
max
F Q S
* zmax
Iz b
2. 设计截面 圆截面： 矩形截面：
W M z max
4 3 I d 64 d z W z y d2 32 max 3 2 Iz bh12 bh W z y h2 6 max
2.切应力强度条件
对于等截面直梁，全梁的最大切应力发生在FQmax 所在截面的中性轴处。
max
F Q S
* zmax
当杆件出现以下情况之一时，必须校核切应 力强度，甚至由切应力强度条件来控制： （1）梁的跨度较小或荷载作用在支座附时。 （2）某些组合截面梁（如焊接的工字形钢板 梁），当腹板厚度与高度之比小于相应型钢的相 应比值时。 （3）木梁或玻璃等复合材料梁。
Iz b
3.主应力强度条件
当截面为三块矩形钢板 焊接而成的工字形：
a z b y
M
τmin
2 1 2 2
2
τmax τmin
2 3 2 2
2
二、强度计算
1. 强度校核
3. 确定许用荷载
M W max z
例1 下图所示木梁，已知[σ]=10MPa， [τ]=2MPa，b=140mm，h=210mm，校核梁 强度。 解
=4m
h
q=2kN/m
z
b
4kN FQ图 4kN
M图 4kN m ·
作FQ 和M 图
F 4KN Q max
M 4 KN m max
复习：
弯曲杆件正应力计算公式：
工程力学中的杆件和梁的应力分析
工程力学中的杆件和梁的应力分析工程力学是工程学科的重要分支之一，它研究物体在受力作用下的力学性质。
在工程实践中，杆件和梁是常见的结构构件，其应力分析是工程设计和计算的基础。
本文将从杆件和梁的应力分析角度探讨工程力学中的相关知识。
一、杆件的应力分析杆件是一种细长的结构构件，承受轴向力的作用。
在杆件的静力学中，应力是一个重要参数，用于描述杆件内部受力的强度和稳定性。
杆件的应力可以分为正应力和切应力。
1. 正应力正应力是指垂直于杆件截面的作用力在该截面上的单位面积，通常用σ表示。
正应力的计算可以使用公式：σ = F / A其中，F为作用力的大小，A为截面积。
正应力可以分为拉应力和压应力两种情况。
当作用力沿着杆件的轴向，方向与截面的法线方向一致时，称为拉应力。
拉应力是正值，表示杆件受拉的状态。
当作用力沿着杆件的轴向，方向与截面的法线方向相反时，称为压应力。
压应力是负值，表示杆件受压的状态。
2. 切应力切应力是指杆件截面上作用力的切向力与该截面上的单位面积之比，通常用τ表示。
切应力的计算可以使用公式：τ = F / A其中，F为作用力的大小，A为截面积。
切应力主要存在于杆件的连接部分，例如螺纹连接、焊接连接等。
切应力会引起杆件的剪切变形和破坏，需要在设计过程中加以考虑。
二、梁的应力分析梁是一种用于承受弯曲力的结构构件，具有横截面的特点。
在梁的应力分析中，主要考虑的是弯矩和截面弯曲应力。
1. 弯矩弯矩是指作用在梁上的力对其产生的弯曲效应。
在工程实践中，梁通常是直线形状，因此弯矩在横截面上呈现出分布的特点。
弯矩可以通过力学平衡和弹性力学原理进行计算。
弯矩的大小与力的大小和作用点的位置有关，计算公式为：M = F * d其中，M为弯矩，F为作用力的大小，d为作用点到梁的某一端的距离。
2. 截面弯曲应力截面弯曲应力是指由于弯曲效应，在梁的横截面上产生的应力。
截面弯曲应力的大小与弯矩和横截面的几何形状有关，计算可以使用弯曲应力公式进行。
(正应力强度条件)
2010-9-18
3
9 - 1 、概
1. 杆件基本变形下的强度条件 （拉压） 拉压）
述
σmax
FN,max = ≤[σ ] A
Mmax 弯曲） （弯曲） σmax = ≤ [σ ] W
（正应力强度条件） 正应力强度条件）
σmax ≤ [σ ]
Fs S 弯曲） （弯曲） τmax = ≤ [τ ] bIz T 扭转） （扭转）τmax = ≤ [τ ] Wp
2010-9-18
* z
（切应力强度条件） 切应力强度条件）
τmax ≤ [τ ]
1Hale Waihona Puke 9 - 1 、概述
σmax
σmax ≤ [σ ] 满足 τ τ max ≤ [ ]
是否强度就没有问题了？ 是否强度就没有问题了？
τmax
2010-9-18
2
9-2、经典强度理论 、
强度理论：人们根据大量的破坏现象， 强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推 理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出 概括，提出了种种关于破坏原因的假说， 引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善， 引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善， 在一定范围与实际相符合，上升为理论。 在一定范围与实际相符合，上升为理论。 为了建立复杂应力状态下的强度条件， 为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出 的关于材料破坏原因的假设及计算方法。 的关于材料破坏原因的假设及计算方法。
纯弯曲正应力分布规律实验数据
纯弯曲正应力分布规律实验数据一、实验介绍本次实验旨在研究纯弯曲情况下的正应力分布规律，通过测量和分析实验数据，探究不同材料和不同截面形状的试件在纯弯曲条件下的应力分布情况，为工程设计提供参考。
二、实验原理1. 纯弯曲概念纯弯曲是指杆件在外力作用下只发生弯曲变形而不发生拉伸或压缩变形的情况。
在纯弯曲状态下，杆件内部产生的应力是沿截面法线方向分布的。
2. 弹性模量弹性模量是材料抵抗变形能力的一个物理量，表示单位应力作用下单位长度物体产生的相对变形。
它是描述材料刚度大小的重要参数。
3. 截面惯性矩截面惯性矩是描述截面形状对于扭转刚度影响大小的一个物理量。
它越大，则说明该截面形状对于扭转刚度影响越小。
4. 应力公式在纯弯曲情况下，试件内部产生的正应力可以通过以下公式计算：σ = M*y/I其中，σ为正应力，M为弯矩，y为距离中心轴线的距离，I为截面惯性矩。
三、实验步骤1. 制备试件：根据实验要求制备不同材料和不同截面形状的试件。
2. 安装测力传感器：将测力传感器安装在试件上，用以测量试件受到的弯曲力和弯矩。
3. 进行弯曲试验：在实验机上进行弯曲试验，并记录下每个角度下试件受到的弯矩和变形量数据。
4. 计算应力分布：根据公式计算出每个角度下试件内部产生的正应力，并绘制出应力分布图。
5. 数据分析：对实验数据进行分析，探究不同材料和不同截面形状对于应力分布规律的影响。
四、实验数据与结果以下是本次实验得到的部分数据和结果：1. 材料为钢板，截面形状为圆形：弹性模量E = 2.1×10^11 Pa截面惯性矩I = πr^4/4其中r为半径。
通过计算得到该试件在不同角度下产生的正应力分布图如下：（插入图片）从图中可以看出，在圆形截面试件的弯曲过程中，试件内部产生的正应力沿截面法线方向分布，且最大值出现在距离中心轴线最远的位置。
此外，正应力随着距离中心轴线的距离增加而逐渐减小。
2. 材料为铝合金，截面形状为矩形：弹性模量E = 7.0×10^10 Pa截面惯性矩I = bh^3/12其中b为宽度，h为高度。
梁的弯曲应力和强度计算
88
7.5 106 7.6 106
88 86.8MPa
弯曲正应力计算
三、计算题
27.一矩形截面简支梁，梁上荷载如图所示.已知P=6kN、 l=4m、b=0.1m、h=0.2m，试画出梁的剪力图和弯矩图并求 梁中的最大正应力. 解：（1） 作剪力图、弯矩图
（2）求最大正应力
Mmax 6kN m
横向线：仍为直线，仍与纵向线正交，相对转动了一个角度 纵向线：曲线，下部伸长,上部缩短
（2）假设 平面假设：横截面在变形前为平面，变形后仍为平面，且仍
垂直于变形后梁的轴线，只是绕横截面上某个轴 旋转了一个角度。 单向受力假设：梁由无数根纵向纤维组成，之间无横向挤压，
只受轴向拉伸与压缩。
中性层
3、正应力计算公式 〖1〗几何变形关系
内容回顾
弯曲正应力 1. 基本假设：
(1)平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，但转动了一角度。 (2)单向受力假设：杆件的纵截面（与杆轴平行的截面）上无正应力。
2.中性轴Z：
中性层与横截面的交线,平面弯曲时中性轴过形心且与对称轴垂直。
3.正应力计算公式：
中性层
4.正应力分布规律：沿截面高度呈线性分布。
4、正负号确定 1）M、y 符号代入公式
2）直接观察变形
5、适用范围及推广
〖1〗适用范围: 平面弯曲（平面假设、单向受力假设基础上）、 线弹性材料
〖2〗推广: ① 至少有一个对称轴的截面； ② 细长梁 (l/h>5)；
6、最大正应力
工程上关心的是极值应力：
只与截面形状、尺寸有关
抗弯截面模量
对剪切（横力）弯曲： 矩形：
解：（1）作弯矩图，
求最大弯矩
材料力学--弯曲正应力及其强度条件
C
E
15 106 200 109
7.5 105
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
例21：图示木梁，已知下边缘纵向总伸
长为 10 mm，E=10GPa，求载荷P的大小。
P
300
A
C
B 200
2m
2m
解： AC
l/2
(x) dx
0
l/2 (x) d x l/2 M ( x) d x
1m
例20：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面
的下边缘贴一应变片，已知材料的 E=200GPa，试问该应变片所测得的应变 值应为多大？
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
解：C截面的弯矩
ql2 MC 8 45kN m
C截面下边缘的应力 C
MC Wz
15MPa
应变值
P
y1
y2
Cz
解：
max
M max y1 Iz
[ ]
(1)
max
M max y2 Iz
[ ]
(2)
(1) 得： y1 [ ]
(2)
y2 [ ]
例16：图示外伸梁，受均布载荷作用，
材料的许用应力［σ］=160 MPa，校核 该梁的强度。
10 kN / m
2m
4m
200 100
10 kN / m
变形几何关系 从三方面考虑： 物理关系
静力学关系
1、变形几何关系
m
mn
m
aa
bb
mn
m
m
观察到以下变形现象: (1)aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长 (2)mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变为
第4章杆件横截面上的正应力分析
=12.7MPa(拉)
σ AB N AB 3.46 10 6 N 6.4 10 2 6 m AAB 540 10
3
= 6.4MPa(压)
第4章
杆件横截面上的正应力分析
30
y1
Ay A
i
i
200
z y1
30 170 170 2 30 170 (139 ) 12 2
3
85 30 85 y
40.3106 (mm)4 40.3106 m4
第4章
杆件横截面上的正应力分析
(2) 画弯矩图
q =10kN/m
A 2m P=20kN C 3m 20kNm 1m D
§4-2 梁的弯曲正应力
一、概述
第4章
杆件横截面上的正应力分析
一般平面弯曲时，梁的横截面上将有剪力和弯矩两个 内力分量。如果梁的横截面上只有弯矩一个内力分量， 这种平面弯曲称为纯弯曲。此时由于梁的横截面上只 有弯矩，因而便只有垂直于横截面的正应力。
c
c
c
c
第4章
杆件横截面上的正应力分析
在垂直梁轴线的横力作用下，梁横截面 上将同时产生剪力和弯矩。这时，梁的横截面 上不仅有正应力，还有剪应力。这种弯曲称为 横向弯曲。
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
解：先确定危险截面
故取b=43mm
第4章
杆件横截面上的正应力分析
例 求图示梁的最大拉应力和最大压应力。 q =10kN/m A B P=20kN C 1m D
工程力学杆件的应力
1.变形几何关系
观察到下列现象:
(1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离没有 变化
(2)纵向线仍近似为直线, 但都倾斜了同一角度γ
（3）表面方格变为菱形。
31
• 平面假设： • 变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它
像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。
g
32
g
g
d
g dx rd
• 梁的平面假设：
梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并 仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一 轴旋转了一个角度。
46
• 单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤 压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压 的状态。
由平面假设得到的推论：
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下 面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既 不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向 纤维层称为中性层。
86.6 MPa
17
二 圣维南原理
当作用在杆端的轴向外力，沿横截面 非均匀分布时，外力作用点附近各截面的 应力，也是非均匀分布的。但圣维南原理 指出，力作用于杆端的分布方式，只影响 杆端局部范围的应力分布，影响区的轴向 范围约离杆端1~2个杆的横向尺寸。
此原理已为大量试验与计算所证实。
用与外力系静力等效的合力代替原力系， 除在原力系作用区域内有明显差别外，在 离外力作用区域稍远处，上述代替影响非 常微小，可以略而不计。
所以，在梁的横截面上一般既有 正应力，又有 剪应力
43
弯曲切应力：梁弯曲时横截面上的切应力 弯曲正应力：梁弯曲时横截面上的正应力 基本变形：拉压；扭转；弯曲 组合变形：
对称弯曲：梁至少有一个纵向对称面，且外力作用在对称面 内，此时变形对称于纵向对称面，在这种情况下的变形形式 称为对称弯曲。
正应力计算
正应力（compressive stress）是指在材料受力后变形过程中，垂直于应力方向的截面上的内力与该截面的面积之比。
计算正应力的方法取决于所采用的计算模型和材料性质。
首先，让我们了解一种常见的梁弯曲问题。
在梁弯曲问题中，假设梁受到垂直于梁的集中力作用，此时梁会发生弯曲变形。
对于这个问题，可以使用简单的材料力学公式来计算正应力。
根据胡克定律，梁的变形量与所受的正应力成反比，因此可以通过测量变形量来估计正应力的大小。
根据公式，正应力σ的计算公式为：σ=F/W，其中F为集中力，W为梁的横截面积。
在另一个更复杂的例子中，考虑一个长杆受到扭矩作用。
在这种情况下，杆件会围绕其中心线旋转，导致杆件上的每个点都受到切向和法向应力。
其中，切向应力是由扭矩引起的，而法向应力则是由重力或其他外力引起的。
为了计算正应力，需要使用更复杂的公式，其中涉及杆件长度、截面面积、材料弹性模量等因素。
除了上述的梁弯曲和长杆扭矩问题，还可以使用有限元分析（FEA）方法来计算正应力。
这种方法通过将物体分解成许多小的单元或“块”，并对每个单元进行建模和计算。
通过这种方法，可以模拟物体在各种载荷条件下的变形和应力分布，并得到精确的正应力结果。
总之，正应力的计算方法取决于所研究的物体和所施加的载荷条件。
在简单的情况下，可以使用简单的材料力学公式来计算正应力；而在更复杂的情况下，可以使用有限元分析方法来获得更精确的结果。
这些方法需要了解物体的结构和材料性质，并使用适当的公式或软件来进行分析和计算。
杆件横截面正应力计算公式
杆件横截面正应力计算公式在工程领域中，杆件的设计和计算是非常重要的。
杆件在受力作用下会产生正应力，而正应力的计算对于杆件的安全性和稳定性具有重要意义。
本文将介绍杆件横截面正应力的计算公式及其应用。
杆件横截面正应力计算公式如下：σ = P/A。
其中，σ为杆件横截面上的正应力，P为作用在杆件上的力，A为杆件的横截面积。
在实际工程中，杆件通常会受到拉伸、压缩、弯曲等不同形式的受力。
对于不同形式的受力，杆件横截面正应力的计算公式也会有所不同。
首先，我们来看一下杆件受拉伸力作用下的正应力计算。
当杆件受到拉伸力P 作用时，横截面上的正应力可以通过上述公式计算得到。
在这种情况下，横截面上的正应力与拉伸力P成正比，横截面积A越大，正应力σ越小，杆件的承载能力也就越大。
接下来，我们来看一下杆件受压缩力作用下的正应力计算。
当杆件受到压缩力P作用时，横截面上的正应力同样可以通过上述公式计算得到。
在这种情况下，横截面上的正应力也与压缩力P成正比，横截面积A越大，正应力σ越小，杆件的承载能力也就越大。
此外，杆件在受力作用下还会产生弯曲。
在弯曲情况下，杆件横截面上的正应力计算公式为：σ = Mc/I。
其中，σ为杆件横截面上的正应力，M为弯矩，c为横截面上的某一点到中性轴的距离，I为横截面的惯性矩。
在弯曲情况下，横截面上的正应力与弯矩M成正比，c越大，正应力σ越小，杆件的承载能力也就越大。
而横截面的惯性矩I则反映了杆件抵抗弯曲变形的能力，I越大，杆件的抗弯能力越强。
综上所述，杆件横截面正应力的计算公式为σ = P/A，对于不同形式的受力，计算公式也会有所不同。
在实际工程中，我们需要根据杆件受力情况选择合适的计算公式，并结合材料的力学性能参数进行计算，以保证杆件的安全性和稳定性。
同时，合理设计杆件的横截面形状和尺寸，也可以有效地提高杆件的承载能力和使用寿命。
希望本文对杆件横截面正应力的计算有所帮助，谢谢阅读！。
第六周 材料力学A_(弯曲变形的基本概念和分类, 正应力公式)
M ( x)
从梁中切出小分离体： x方向平衡： FN 2 FN 1 FS 0 M
y
M+dM
FN 2 dA
A1
A1
M dM ydA Iz
A1
dx FS
z b
y
假设： 横截面上各点切应力方向平行 于剪力的方向 横截面上切应力沿z方向均布
M dM 其中 S Sz z Iz M 同理 FN1 Sz
M=Fl/4
max
(5.7)
C
max
31
M=Fl/4
C
如T形、槽形截面等
32
2.弯曲切应力强度条件 梁弯曲时，横截面上切应力的危险点： 剪力最大截面的中性轴上（此处正应力恰好为零）， ——纯剪切应力状态 F
A F/2 (FS) F/2 F/2 C B
3.梁的弯曲强度计算 (1)一般的细长非薄壁梁（跨高比 l/h 较大），可只 校核正应力强度条件（此时切应力强度条件多自动 满足）。 F h
h 1 h b h2 矩形截面： Sz ( y) b ( y) ( y ( y)) ( y2 ) 2 2 2 2 4
max
max
min
H
M
( y )
FS h 2 ( y2 ) 2I z 4
FS h2 3 F 3 S 3 bh 4 2 A 2 2 12
z
M
y
ymax2 z ymax1
max
Wz1
M
应分别计算 max max
Iz ymax1
由梁所受外力(已知载荷) 图,求得各截面上的弯矩)
截面正应力计算公式
截面正应力计算公式
1. 基本概念。
- 对于轴向拉压杆件，其横截面上的正应力计算公式为σ=(F_N)/(A)。
其中σ表示正应力，F_N为轴力（拉力为正，压力为负），A为横截面面积。
- 在计算轴力F_N时，通常采用截面法。
即假想地用一截面将杆件截开，研究其中一部分的受力平衡，从而确定轴力的大小和方向。
2. 梁弯曲时的正应力。
- 对于纯弯曲梁（梁的横截面上只有弯矩而无剪力的情况），其正应力计算公式为σ=(My)/(I_z)。
- 这里M为横截面上的弯矩，y为所求应力点到中性轴的距离，I_z为横截面对中性轴z的惯性矩。
- 对于横力弯曲（梁的横截面上既有弯矩又有剪力的情况），当梁的跨度l与横截面高度h之比l/h>5时，纯弯曲正应力公式σ=(My)/(I_z)仍可近似使用。
3. 组合变形下的正应力。
- 当杆件发生组合变形（如拉压与弯曲的组合、扭转与弯曲的组合等）时，可分别计算每种基本变形产生的正应力，然后根据叠加原理求出组合变形下的正应力。
- 例如对于拉压与弯曲组合变形的杆件，横截面上某点的正应力
σ=σ_N+σ_M，其中σ_N = (F_N)/(A)（拉压正应力），σ_M=(My)/(I_z)（弯曲正应力）。
工程力学公式
公式：1、轴向拉压杆件截面正应力N F Aσ=，强度校核max []σσ≤ 2、伸长率：1100%l l l δ-=⨯断面收缩率：1100%A A A ψ-=⨯ 3、胡克定律：E σε=，泊松比：'ευε=-，剪切胡克定律：G τγ=4、扭转切应力表达式：T I ρρτρ=，ρ为曲率半径；最大切应力：max P P T T R I W τ==， 空心圆截面44(1)32P d I πα=-，34(1)16P d W πα=-，d 为外径, α为内径与外径之比；实心圆截面：α=1；强度校核：max max []PT W ττ=≤ 5、单位扭转角：P d T dx GI ϕθ==，刚度校核：max max []PT GI θθ=≤，长度为l 的一段轴两截面之间的相对扭转角P Tl GI ϕ=，扭转外力偶的计算公式：()(/min)9549KW r p Me n =6、平面弯曲杆件正应力：Z My I σ=，截面上下对称时，Z M W σ= 矩形的惯性矩表达式：312Z bh I = 空心圆截面的惯性矩表达式：44(1)64Z d I πα=- 矩形的抗扭截面系数：26Z bh W =，空心圆截面的抗扭截面系数：34(1)32Z d W πα=-7、平面弯曲杆件的强度校核：（1）弯曲正应力max []t t σσ≤，max []c c σσ≤（2）弯曲切应力max []ττ≤8、（1）轴向载荷与横向载荷联合作用强度： max max min ()N ZF M A W σσ=± (2)9.形心计算：式中，A 和x i 、y i 分别代表各简单图形的面积和形心坐标。
组合平面图形的形心位置由下式确定。
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mmaxaxMM2I1Iyzyzmmaaxx
y max yymax
z 图8-30
σymax M
σ max
例8.12 悬臂梁受力如下图所示，已知
I z 1108 mm 4 试求梁的最大拉应力。
22kN
解：画M图。
100 200 (y1) (y2)
（a）
C
z
A
B
12kN
2m
1m
8KN·m
a b
A截面
RA 26 KN
RB 34 KN
M max 136 KN m
Wz
M max
2
136 106 2 170
400 cm3
2
a z
b
y
M
τmin
τmax τmin
二、强度计算
• 1. 强度校核
max
M max Wz
2. 设计截面
max
FQ
S* z max
Iz b
Wz M max
圆截面：
Wz
Iz ymax
d 4
d
64 2
d3
32
矩形截面：
Wz
Iz ymax
bh3 12 h2
bh2 6
3. 确定许用荷载 M max Wz
例1 下图所示木梁，已知[σ]=10MPa，
[τ]=2MPa，b=140mm，h=210mm，校核梁
强度。
•解
q=2kN/m
z
h
=4m
b
4kN
FQ图
4kN
M图
作 FQ 和 M图
4kN·m
FQmax 4KN
M max 4KN m
（2）校核正应力强度
max
M max Wz
4 106 1 140 2102
max
M max ymax IZ
M max Wz
对于脆性材料
max
M
ym ax Iz
max
M
ym ax Iz
式中各量计算均用绝对值。
2.切应力强度条件
• 对于等截面直梁，全梁的最大切应力发生在FQmax 所在截面的中性轴处。
max
FQ
S* z max
Iz b
当杆件出现以下情况之一时，必须校核切应
M B 12KN m, M A 8KN m
M图
A截面最大拉应力
12kN·m
c
max
M A y2 Iz
8106 200 1108
16MPa
B截面最大拉应力
d B截面
max
MB Iz
y1
12106 100 1108
12MPa
（2）.强度条件
产生最大弯矩的截面称为危险截面，危险
截面上产生最大应力的点称为危险点。
复习：
弯曲杆件正应力计算公式：
M y
I
弯曲切应力计算公式：
FQ Sz
Iz b
第五节 弯曲杆件的强度计算
• 一、强度条件
• 1. 正应力强度条件
• （1） 横截面上的最大正应力
•
对整个等截面杆件来说，最大正应力发生
在弯矩最大的截面上，其值为
M max
M max Iz
ymax
max
将此式改写为
力强度，甚至由切应力强度条件来控制：
（1）梁的跨度较小或荷载作用在支座附时。
（2）某些组合截面梁（如焊接的工字形钢板
梁），当腹板厚度与高度之比小于相应型钢的相
应比值时。
（3）木梁或玻璃等复合材料梁。
3.主应力强度条件
• 当截面为三块矩形钢板 焊接而成的工字形：
1
Hale Waihona Puke 2222
3
2
2
2
3.88MPa
6
正应力强度满足。
（3） 校核切应力强度
max
3FQ m ax 2A
3 4103 2140 210
0.20 MPa
切应力强度满足。
练习：
例2. 一简支梁如下图示。梁由两根工字钢组 成，[σ]=170MPa，选择工字钢的型号。
•解
10KN 50KN
A
B
CD
z
4m 2m 4m
max
I y 令
Wz
Iz ymax
则
z max
max
M Wz
式中 Wz——抗弯截面系数。在M相同的情况
下，Wz 愈大， max就愈小，梁便不容易破坏。可见
，抗弯截面系数反映截面抵抗弯曲破坏的能力。
（2） 脆性材料杆件和中性轴不在对称轴的 截面，最大拉应力和最大压应力不一定发生
在同一截面，所以，最大正应力公式表示为