山东财经大学微积分课件 2.2

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山东财经大学微积分课件§2-1

x x0
.
f ( x0 ) lim
y x
x 0
lim
f ( x0 x ) f ( x0 )
x 0
x
（1）
4
若极限不存在，则称函数 f ( x ) 在点 x0 处不可导.
若 lim
y x
x 0
, 也说函数 f ( x ) 在点 x0 的导数为无穷大.
y0
T
割线 MN 的极限位置 MT 称为曲线 L 在点 M 处的切线。当 x 0 时,
o

x0 x x1
x
2
一、引例 —— 切线问题
求曲线L：y f ( x ) 在点 M ( x0 , y0 ) 处切线的斜率。割线 MN 的斜率为：
x x 割线 MN 的极限位置 MT 称为曲线 L 在点 M 处的切线。当 x 0 时,

x
f ( x ) f ( x0 ) x x0

结论
f ( x0 ) lim
x x0
函数在一点可导的充要条件是函数在该点的左右导数存在且相等.
9
例2.求函数 f ( x ) | x | 在 x 0 处的导数.
x, 解 f ( x ) | x | x , x0 x0
x
lim ( 4 x ) 4
x 0
问题
函数 y x 在 x=3 处的导数?
2
函数 y x 在 x = x0 处的导数?
2
f
X
2
2x
6
导函数
若函数 y f ( x )在区间 I 内每一点都可导, 则称函数 f ( x ) 在区间 I 内可导. 对任一 x I , 都对应一个确定的导数值. 构成了一个新的函数, 这个函数称做原来函数 y f ( x )的 dy df ( x ) 导函数. 记作: f ( x ), y , dx dx

大学微积分总复习课件.ppt

函数 f (x)在 x0 处连续函数 f (x)在 x0 处既左连续又右连续.
第y 一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第二类间断o 点
x0
x
无穷型
y 跳跃型
o
x0
x
y
o
x
振荡型
闭区间上连续函数的性质
定理1(最值和有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.
故该函数在闭区间内一定是有界函数.
y log a x a y x
y log a x
(1,0)
•
(a 1)
y log 1 x
a
4. 三角函数正弦函数y sin x (注意：x用弧度表示)
y sin x
o
余弦函数 y cos x
o
y cos x
正切函数 y tan x
余切函数 y cot x
正割函数 y sec x
1
20 lim (1 f (x)) f (x) e. 某过程
定义: 设,是同一过程中的两个无穷小,且 0.
(1) 如果 lim 0，就说是比高阶的无穷小,
记作 o()；
(２) 如果lim ，就说是比低阶的无穷小．
(3) 如果 lim C 0,就说与是同阶的无穷小;
2
n
(1 x) 1 ~ x
注 1. 上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、指、三）必须熟练掌握
2.将x换成f ( x) 0都成立
函数连续点的等价定义
f ( x)在x0连续
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
lim [

微积分ppt课件

和趋势。
02
微积分在机器学习中的应用
利用微积分优化算法，提高机器学习的效率和准确性。
03
微积分在金融工程中的应用
研究微积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用，推动金融工程
的发展。
THANKS
感谢观看
用微积分解决经济学问题
总结词
微积分在经济学中用于研究经济现象的变化规律和优化资源配置。
详细描述
在经济学中，微积分被用于分析边际成本、边际收益、边际效用等问题，以及研究经济增长、通货膨胀、供需关系等经济现象的变化规律。此外，微积分还可以用于优化生产和分配资源，提高经济效率。
06
微积分的未来发展与展望
微积分与其他学科的交叉研究
微积分与物理学的交叉
01
研究微积分在解决物理问题中的应用，如流体力学、电磁学等
领域的数学模型。
微积分与经济学的交叉
02
探讨微积分在经济学理论和应用方面的作用，如最优控制理论
、动态规划等。
微积分与计算机科学的交叉
03
研究微积分在算法设计、数据科学、人工智能等领域的应用。
微积分的未来发展方向
上的整体性质，如求面积、体积等。
微积分提供了研究函数和解决实际问题的有效工具，是高等数学的重要基础。
微积分的发展历史
17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微积分学，为微积分的发展奠定了基础。
19世纪，柯西、黎曼等数学家对微积分的概念和基础进行了深入的研究和探讨，进一步完善了微积分理
论。
微积分的发展经历了漫长的过程，最早可以追溯到古代数学家对面积、体积等问题的研究。
1 2
微积分的理论深化
进一步探索微积分的数学原理，发展新的理论和方法。

大学微积分课件(PPT幻灯片版)pptx

高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法或莱布尼茨公式等方法进行求解。需要注意的是，在计算过程中要遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。例如，在物理学中，加速度是速度的一阶导数，而速度是位移的一阶导数；在工程学中，梁的挠度是荷载的一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在该点有定义，且左右极限相等并等于函数值。连续性是函数的基本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在该点的切线斜率存在，即函数在该点有导数。可微性反映了函数局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连续。即函数的连续性是可微性的必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼茨独立发展。经过数百年的完善，已成为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了有效方法。

高等数学(微积分)ppt课件

，且f'(x0)=0，则可通过二阶导数 f''(x0)的符号来判断f(x)在x0处取得极大值还是极小值。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义无穷序列的部分和序列
级数的性质加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散部分和序列有极限则级数收敛，否则发散
常见级数及其敛散性等差级数、等比级数、调和级数、交错级数等，通过比较法、比值法、根值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时的无穷小量。

山东财经大学微积分课件 §2-4j

n
特别地, ( x )
n!
m m 1
一般,对于多项式 p( x ) a0 x a1 x
am1 x am
p
(n)
a0m!, ( x) 0,
nm nm
4
例3. y sin x 求 y 解
(n)
y
y cos x 2
t
t
2e cos t
t
3
例2. 解
y x , 求 y(n)

y x
1
2
3
y ( 1) x

y ( 1)( 2) x
y
(n)
( 1)( 2)( n 1) x
n (n)
k k 0
( n k )
[v ( x )]
(k )
上式称为莱布尼茨(Leibniz)公式其中, Cn
k
n! k! ( n k )!
6
例4.
解
yx e
2
2x
, 求 y
2
( 20)
设 u e ,v x ,
2x
则
u
(k )
(e ) 2k e 2 x (k 1,2,,20)
x 20(e )
20
2 x (19)
( x )
2
20 19 2!
(e )Biblioteka (18)( x )
2
18 2 x 2 e x 20 2 e x 20 19 2 e
2x
2
2x
2 e ( x 20 x 95).
20 2x 2

大学微积分课件(版)

大学微积分课件(版)一、教学内容本节课我们学习的是大学微积分中的一元函数微分学。

具体包括：导数的定义、基本导数公式、求导法则、高阶导数、隐函数求导和微分。

二、教学目标1. 理解导数的定义，掌握基本导数公式和求导法则；2. 能够求解一元函数的一阶、二阶导数；3. 学会使用微分方法解决实际问题。

三、教学难点与重点1. 导数的定义和求导法则；2. 高阶导数的求解；3. 隐函数求导；4. 微分的应用。

四、教具与学具准备1. 投影仪；2. 微积分教材；3. 练习题；4. 计算器。

五、教学过程1. 实践情景引入：以物体运动的速度为例，引入导数的概念，引导学生思考如何求解速度的变化率。

2. 导数的定义：通过实例讲解导数的定义，解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

3. 基本导数公式：讲解基本导数公式，让学生掌握常见函数的导数。

4. 求导法则：介绍求导法则，包括和、差、积、商的导数法则，让学生学会求解一般函数的导数。

5. 高阶导数：讲解高阶导数的概念，让学生掌握求解高阶导数的方法。

6. 隐函数求导：介绍隐函数求导的方法，让学生学会求解隐函数的导数。

7. 微分：讲解微分的概念和方法，让学生学会使用微分解决实际问题。

8. 随堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。

六、板书设计1. 导数的定义；2. 基本导数公式；3. 求导法则；4. 高阶导数；5. 隐函数求导；6. 微分。

七、作业设计（1）f(x) = x²；（2）f(x) = x³；（3）f(x) = sin(x)。

（1）f(x) = (x² + 2x + 1)²；（2）f(x) = (sin(x))²。

（1）y = x² + 2x + 1；（2）y = sin(x)。

八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生掌握了导数的定义、基本导数公式、求导法则、高阶导数、隐函数求导和微分的方法，能够在实际问题中应用微积分知识；2. 拓展延伸：下一节课我们将学习一元函数的积分学，包括不定积分和定积分的概念和方法。

微积分讲解ppt课件

多元函数的表示方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义域
使多元函数有意义的自变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合。
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
齐次方程法
通过变量替换，将齐次方程转化为可分离变量的形式
一阶线性微分方程法
利用积分因子，将方程转化为可积分的形式
二阶常微分方程解法
可降阶的二阶微分方程
通过变量替换或分组，将方程降为一阶微分方程求解
二阶线性微分方程法
利用特征根的性质，求解二阶线性常系数齐次和非齐次微分方程
常系数线性微分方程组法
在经济学中的应用
边际分析
通过求导计算边际成本、边际收益等，为企业的决策提供依据。
弹性分析
研究价格、需求等经济变量之间的相对变化关系，微积分可用于计算弹性系数。
最优化问题
在资源有限的情况下，通过微积分求解最大化或最小化某一经济指标的问题。
在工程学中的应用
结构力学
分析建筑、桥梁等结构的受力情况和稳定性，微积分可用于求解复杂的力学方程。
通过消元法或特征根法，求解常系数线性微分方程组
05
多元函数微积分
多元函数的基本概念
多元函数的定义
设D为一个非空的n元有序数组的集合，f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组 (x1,x2,…,xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在 D上的n元函数。

2024版大学微积分课件(ppt版)

大学微积分课件(ppt 版)目录•微积分概述•极限与连续•导数与微分•积分学•微分方程•微积分在实际问题中的应用PART01微积分概述微积分的定义与发展微积分的定义微积分是研究函数的微分与积分的数学分支，微分研究函数在某一点的变化率，而积分则是研究函数在一定区间上的累积效应。

微积分的发展微积分起源于17世纪的物理学和几何学问题，经过牛顿、莱布尼兹等数学家的努力，逐渐发展成为一门独立的数学学科。

微积分的研究对象与意义研究对象微积分的研究对象是函数，包括一元函数和多元函数，主要研究函数的性质、图像、变化率以及函数间的相互关系等。

研究意义微积分在自然科学、工程技术、社会科学等领域有着广泛的应用，如求解物理问题、优化工程设计、分析经济数据等。

微积分的基本思想与方法基本思想微积分的基本思想是通过局部近似来研究函数的整体性质，即“以直代曲”、“以不变应万变”。

基本方法微积分的基本方法包括微分法和积分法。

微分法是通过求导数来研究函数的局部性质，如单调性、极值等；积分法则是通过求原函数来研究函数的整体性质，如面积、体积等。

PART02极限与连续极限的概念与性质01极限的定义：描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势。

02极限的性质：唯一性、局部有界性、保号性、四则运算法则。

03无穷小量与无穷大量：定义、性质及比较。

极限的运算法则与存在准则极限的四则运算法则加法、减法、乘法、除法。

极限存在准则夹逼准则、单调有界准则。

连续函数的概念与性质连续函数的定义函数在某一点连续的定义及性质。

间断点及其分类第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）、第二类间断点。

连续函数的性质局部性质（局部有界性、局部保号性）、整体性质（有界性、最值定理、介值定理）。

连续函数的四则运算加法、减法、乘法、除法。

初等函数基本初等函数及其性质，初等函数的连续性。

复合函数的连续性复合函数连续性的判断及证明。

连续函数的运算与初等函数PART03导数与微分导数的概念与几何意义导数的定义导数的几何意义可导与连续的关系描述函数图像在某一点处的局部变化率。

大学微积分课件(PPT版)

微分方程是包含未知函数及其导数的等式。
微分方程的解
满足微分方程的函数称为微分方程的解。
一阶微分方程
一阶线性微分方程
形如y'=f(x)y' = f(x)y'=f(x)y=f(x)的一阶微分方程，可以通过分离变量法求解。
一阶非线性微分方程
形如y'=f(y/x)y' = f(y/x)y'=f(y/x)的一阶微分方程，可以通过变量代换法求解。
定积分的计算
计算方法与技巧
定积分的计算是微积分中的重要技能。常用的计算方法包括换元法、分部积分法、牛顿-莱布尼兹公式等。通过这些方法，可以将复杂的定积分转化为易于计算的形式。
反常积分
概念与计算方法
VS
反常积分分为无穷积分和瑕积分两种类型。对于无穷积分，需要讨论其在有限的区间上收敛的情况；对于瑕积分，需要讨论其在某一点附近的收敛情况。反常积分的计算方法与定积分的计算方法类似，但需要注意收敛的条件。
极限与连续性
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某点附近的变化趋势的一种数学工具。对于函数$f(x)$，如果当$x$趋近于$a$时，$f(x)$的值趋近于某个确定的常数$L$，则称$L$为函数 $f(x)$在点$a$处的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性和局部有界性等性质。这些性质有助于我们更好地理解极限的概念和应用。
连续函数的图像
连续函数的图像是连续不断的曲线。在微积分中，我们经常需要研究连续函数的性质和变化规律，以便更好地解决实际问题。
03
导数与微分
导数的定义与性质
要点一
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。

大学微积分课件PPT幻灯片版

n 0 i 1
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度v v(t )是时间间隔 [T1 ,T2 ] 上 t 的一个连续函数，且 v(t ) 0，求物体在这段时间内所经过的路程
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．
(1)
d
x e
t 2 dt
dx d 1
(2)
1 e t 2 dt
dx d x
(3)
cosx t 2et 2 dt
dx 1
补充
如果 f (t ) 连续，a( x) 、b( x) 可导，
则F ( x)
b( x ) f (t )dt 的导数F ( x) 为 a ( x )
F ( x)
d b( x ) a( x ) f (t )dt dx
使
b a
f ( x)dx
积分中值公式
f ( )(b a).
(a b)
m(b a) 证
b f ( x)dx M (b a) a
m
1 b a
b f ( x)dx M
a
由闭区间上连续函数的介值定理知
在区间[a, b]上至少存在一个点，
f ()
1
b f ( x)dx,
使
b a
x
以[ xi1 , xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai
f (i )xi
曲边梯形面积的近似值为 n
A f (i )xi i1
当分割无限加细, 记小区间的最大长度或者( x ) x max{x1 , x2 ,xn } 趋近于零 ( x 0或者 0) 时，

山东大学《高等数学》课件-第2章导数与微分

其极限值即为函数f x在点x0处的导数
12
利用导数的定义求导数的步骤：
1. 求增量 2. 算比值 3. 取极限
y f x x f x
y x f (x) lim y
t0 x
13
利用导数的定义求几个基本初等函数的导数:
⑴常数函数: y C
解 ①求增量 y
y y f x
y y0 y
即反函数的导数等于直接函数的导数的倒数.
10
例2.2.6 已知 y arcsin x 求 y
解:设 x
且 sin
sin
y
y 为直接函数, cos y 0
在区间
I
y
2
,
2
内单调可导, y
所以在对应区间 Ix 1,1 内有
y
arcsin
x
1
sin y
1 cos
x3 4cos x ln5
x3 4cos x ln5
3x2 4sin x
f
2
f (x)
x 2
3
2
2
4sin
2
3 2
4
4.
6
例2.2.3 设 y tan x 求 y
解:
y tan x
sin
x
cos
sin x cos x sin xcos x
cos2 x
若 lim y x0 x
, 称y
f x
在点
x0 处导数为无穷大.
8
若
y
lim lim
x x00
x00
f x0 x f x0
x
f x0 0
lim y lim
x x00
x00

山东财经大学微积分课件 §2-5j

(3)
f ( x ) f (0) f (0) x
(4)
12
例3. 有一批半径为 1cm 的球,为了提高球面的光洁度,要镀上一层铜,厚度定为 0.01cm, 估计一下每只球需用铜多少克? (铜的密度是8.9 g / cm 3 ) 解只须求出镀层的体积. 它等于两个球体体积之差. 4 3 v R R0 1 R 0.01 3
第五节微分
微分的定义微分的几何意义微分公式与运算法则微分的应用
1
一、微分的定义引例. 一块正方形金属薄片受温度的影响, 其边长由 x 变到 x x, 问此薄片的 0 0 面积改变了多少? 面积的改变量：
x0
x x
S x
2
x0
S ( x0 x )2 x0 2 x0x ( x )2
5
函数 y f ( x ) 在任意点 x 处的微分,称为函数的微分, 记作 dy , 或 df ( x ). 即
dy f ( x )x
dx xx x
f ( x ) dy dx
“微商”
f( x) x
则
dy f ( x )dx
3
例1. 求函数 y x 当 x 2, x 0.02 时的微分. 解由 dy f ( x ) x 3x 2 x
dy
x 2
3 4 0.02 0.24
x 0.02
6 T P
y
tan f ( x0 )
QN y MQ x QP MQ tan
0
M
dy
Q
x0 x

x0
x
f ( x0 ) x dy
函数 y f ( x ) 在点 M ( x0 , y0 ) 处的微分, 是曲线的切线上点的纵坐标相应的增量. 当 | x | 很小时，y dy | 比 | x | 小得多， | 因此，在点M的邻近可用切线段近似代替曲线段.

大学微积分课件幻灯片版

不定积分的性质
包括线性性质、积分区间可加性、常数倍性质和积分与微分互逆性质。
基本积分公式与法
则
包括幂函数、三角函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的不定积分公式，以及分部积分法、换元积分法等基本积分法则。
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是求一个函数在闭区间上的积分值，表达形式为 ∫[a,b]f(x)dx，表示函数f(x)在区间[a,b]上的面积。
根据未知函数及其导数的次数划分
一阶微分方程及其解法
可分离变量法
通过变量分离，将微分方程转化为可积分的形式
齐次方程法
通过变量替换，将齐次方程转化为可分离变量的形式
一阶线性微分方程法
利用积分因子，将一阶线性微分方程转化为可积分的形式
二阶微分方程及其解法
二阶线性微分方程
具有常系数的二阶线性微分方程的通解结构
振动与波动方程
描述振动与波动现象的二阶线性微分方程
欧拉方程
通过变量替换，将欧拉方程转化为二阶线性微分方程进行求解
高阶微分方程的降阶法
通过变量替换或积分法，将高阶微分方程降阶为一阶或二阶微分方程进行求解
05
多元函数微积分学
多元函数的基本概念
01 02
多元函数的定义
设$D$为一个非空的$n$ 元有序数组的集合， $f$为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组$( x1,x2,…,xn)∈D$，通过对应规则$f$，都有唯一确定的实数$y$与之对应，则称对应规则$f$为定义在$D$上的$n$ 元函数。
三重积分的定义
设三元函数$f(x,y,z)$在可求体积的有界闭区域$Omega$上连续，将$Omega$任意分成$n$个小闭区域$Delta V_1,Delta V_2,…,Delta V_n$，记各小闭区域的直径中的最大值为$lambda $。若不论对$Omega $如何分割及如何选取点$(xi_i,eta_i,zeta_i)$，只要当$lambda to 0 $时，和式$sum_{i=1}^{n} f(xi_i,eta_i,zeta_i)Delta V_i $的极限存在且唯一，则称此极限为函数 $f(x,y,z) $在区域 $Omega $上的三重积分。

山东财经大学《微积分》课程考试大纲

《微积分》考试大纲第一章函数与极限1.1 集合掌握集合运算，理解区间、邻域的概念。

1.2 函数理解函数的概念，掌握函数的表示法,了解函数的奇偶性、单调性、周期性、有界性。

理解复合函数和分段函数的概念，了解隐函数和反函数的概念。

熟悉基本初等函数的性质及其图形。

理解初等函数的概念。

1.3 函数关系的建立与经济学中常用函数掌握常用的经济函数,会建立简单的应用问题的函数关系式。

1.4 数列的极限了解数列极限的概念和性质，会判定数列的敛散性。

1.5 函数极限了解函数极限（包括左、右极限）的概念和性质，会判定函数在给定的极限过程中是否存在极限。

1.6 无穷小与无穷大理解无穷小的概念及性质，了解无穷大的概念及无穷小与无穷大的关系。

1.7 极限的运算法则掌握极限的四则运算法则及复合函数极限的运算法则，会熟练运用法则求极限。

1.8 极限存在准则与两个重要极限理解极限存在的两个准则（单调有界数列有极限、夹逼定理），掌握利用两个重要极限求极限的方法。

1.9 无穷小的比较掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

1.10 函数的连续性理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），了解函数间断点的概念，会判断函数的连续性及间断点的类型。

了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理和有界性定理、零点存在定理和介值定理)，并会应用这些性质。

第二章导数与微分2.1 导数的概念理解导数的概念及函数的可导性与连续性之间的关系。

了解导数的几何意义与经济意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程。

2.2 求导法则掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则、反函数的求导法则。

会求分段函数的导数。

2.3 隐函数的导数和由参数方程确定函数的导数掌握隐函数求导法以及对数求导法；了解由参数方程确定函数的导数。

2.4 高阶导数了解高阶导数的概念，会求函数的n阶导数。

2.5 微分理解微分的概念，导数与微分之间的关系，以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

《微积分》课件

微分学主要研究函数在某一点附近的局部行为，包括切线、函数的变化率等；积分学则研究函数在某个区间上的整体行为，包括面积、体积等。
微积分的历史背景
01
微积分的发展可以追溯到古代数学，如希腊数学家阿基米德在求面积和体积时已经有了积分学的萌芽。
02
微积分的真正奠基人是牛顿和莱布尼茨，他们分别独立地发展出了微积分的基本理论，为后来的数学发展奠定了基础。
《微积分》PPT课件
contents
目录
• 微积分的定义与历史 • 微积分的基本概念 • 微积分的应用 • 微积分的解题技巧 • 微积分的重点与难点解析 • 微积分的习题与答案解析
01
微积分的定义与历史
微积分的定义
微积分是研究函数、极限和连续性的数学分支，通过微分和积分的方法来研究函数的性质和变化规律。
极限的运算性质与法则
1 2
极限的运算性质
极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则等。
极限的法则
极限的保号性、极限的局部有界性等。
3
注意事项
理解极限的运算法则和性质是解决极限问题的关键，需要注意运算过程中的等价变换和放缩技巧。
导数的几何意义与运算性质
导数的几何意义
切线的斜率、函数图像的变化率等。
习题一：极限的运算
$lim_{x to infty} frac{1}{x}$
判断下列叙述是否正确，并说明理由
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x}$
习题一：极限的运算
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x} = e$