山东财经大学 微积分课件 2.2

dy dx
x x0
f ( u0 ) ( x0 )
y f [ ( x )]
一般，若 y f (u ), u (x )
dy du f ( u ) ( x ) dx du dx
5
dy
例1. 求下列函数的导数：
1). y sin x , 2). y sin 2 x, 3). y ln tan x,
4
三、复合函数的求导法则
求下列函数的导数：
1). y sin x , 2). y sin x, 3). y ln tan x,
2 2
定理2.2.2 若 u (x ) 在点 x 可导， 0 而 y f (u )在点 u0 ( x0 ) 可导， 且其导数为： 则复合函数 y f [ ( x )] 在点 x 可导， 0
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小结
1）.对复合函数求导时,应先利用初等变换将函数化简,
然后再求导.这样可以简化计算.
2). 在求导过程中必须搞清函数是怎样复合的.
求导时由外到里逐层求导.
注意:一定要到底,不要遗漏 , 不要重复.
8
例3. y f (sin 解
1 x
)
求
y
1 x 1
2
y ( f (sin (cos 1 x )( 1
dy
y f { [ ( x )]}
dy du dv f ( u ) ( v ) ( x ) dx du dv dx
例2.
y ln cos( e ) 求
x
dy
dx x u cos v, v e x . 解 y ln cos( e ) y ln u, dy dy du dv 1 x ( sin v ) e dx du dv dx u x sin e x x x e e tan e . x cos e
2
解. 1). y sin x
2
y sin u, u x 2
dy
dy du cos u 2 x 2 x cos x 2 dx du dx
2
2). y sin dy dy dx du
y u , u sin x x du 2u cos x 2 sin x cos x sin 2 x dx
2
3). y ln tan x y ln u, u tan x 2 dy dy du 1 sec x 1 2 sec x dx du dx u tan x sin x cos x
6
说明
如,设 则
复合函数的求导法则可以推广到多个函数的情形.
y f (u ), u (v ), v ( x )
2
3、商的导数 设函数 u u(x ), v v ( x ) 在点 x 处可导，( v ( x ) 0) 则
(
u( x ) v( x )
)
u ( x )v ( x ) u ( x )v ( x ) v (x)
v ( x ) v (x)
2Baidu Nhomakorabea
2
说明
(
c v( x )
) c
1 x
)) f (sin 1 )
) (sin
1 x
)
注意:
x x x x 1 1 ( f (sin ))与 f (sin )的区别 x x
) f (sin
cos
1
f (sin
1 x
)
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第二节 求导法则
一、导数的四则运算 设函数 u u(x ), v v ( x ) 在点 x 处可导，则 1、代数和的导数
[ u( x ) v ( x )] u( x ) v( x )
说明 推广到有限个的情形. 如,
(u v w) u v w
1
2、乘积的导数 设函数 u u(x ), v v ( x ) 在点 x 处可导，则
3
二、反函数的导数 定理2.2.1 (反函数的导数) 若函数 y f ( x )在区间I 内单调、可导且 f ( x ) 0 , x
则其反函数 x ( y ) 在对应区间 I y 内可导，且有
dx
1 dy dy dx
即 ( y )
1 f ( x )
反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
[u ( x) v( x)] u( x) v( x) u ( x)v( x)
说明 推广到有限个的情形.
(u v w) uvw uvw uvw
特别地, ( cu )
cu
( C 为常数)
[ xf ( x )] f ( x ) xf ( x )