大数定律和中心极限定理

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1
时,
n
n i 1
Xi
依概率收敛于其数学期望,只要{ X n , n
1}
(
)
(A) 有相同的数学期望
(B)服从同一离散型分布
(C) 服从同一泊松分布
(D)服从同一连续型分布
例 2 设随机变量序列 X1, X 2 , , X n , 相互独立,且服从参数为 n 的指数分布 n 1 ,则下
p ( 0 p 1 ),则 fn P p , n
即 0 ,有
lim P
fA

p




1

lim
P

fA

p




0
.
n n

n n

此大数定律说明频率 概率的合理性.
(三)中心极限定理
1.独立同分布的中心极限定理(列维-林德伯格定理)
(二)考试要求
1.了解切比雪夫不等式. 2.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量序列的大 数定律). 3.了解棣莫弗-拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布)和列维-林德伯格定理(独立 同分布随机变量序列的中心极限定理),并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率(数 三).
面随机变量序列中不满足切比雪夫大数定律条件是( )
(A) X 1, X 2 , , X n , (C) X 1, 2 X 2 , , nX n ,
(B) X 1, 22 X 2 , , n2 X n ,
(D)
X1,
1 2
X 2,,
1 n
X n,
例 3 设 X 表示将一枚硬币随意抛掷 n 次“正面”出现的次数,则( )
设随机变量
独立同分布,且有期望和方差:
,
,则随机变量之和
的标准化变量
的分布函数
对于任意 x 满足
.
2.棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理(二项分布中心极限定理)
设随机变量
服从参数为
的二项分布,则对于任意

.
即当 充分大时,
近似服从
.
三、例题选讲
例 1 设 随 机 变 量 序 列 X1, X 2,, X n , 相 互 独 立 , 根 据 辛 钦 大 数 定 律 , 当 n
lim P
n
Xn a
=1,
则称序列 X 1, X 2 , , X n , 依概率收敛于 a ,记作
X n P a .
依概率收敛的序列有如下性质:
设 X n P a ,Yn Pb ,又设函数 g(x, y) 在点 (a, b) 连续,则
2.大数定律
g( X n ,Yn ) P g(a,b) .
第五章 大数定律和中心极限定理
一、内容与要求
(一)考试内容
切比雪夫(Chebyshev)不等式,切比雪夫大数定律,伯努利(Bernoulli)大数定律,辛钦 (Khinchine) 大 数 定 律 , 棣 莫 弗 - 拉 普 拉 斯 (DeMoivre-Laplace) 定 理 , 列 维 - 林 德 伯 格 (Levy-Lindberg)定理.
二、考点解析
(一)切比雪夫不等式
设随机变量 有
,则对
.
说明 D( X ) 越小, x 的概率越大,即 X 的取值集中在 E( X ) 附近的概率越大.
(二)大数定律
1.依概率收敛
定义 设 X 1, X 2 , , X n , 为一个随机变量序列, a 是一个常数,若对任意的 0 ,有
(A) lim
P

X

n

x


(x)
n n

(B)
lim
P
2
X

n

x

( x)
n n

(C)
lim
P

X

2n

x

( x)
n n

(D)
lim
P
2X

2n

x

( x)
n
n

(1)切比雪夫大数定律

相互独立,且
, 为常数,则对

.
特别 设 ,有
相互独立,且
,则对
.源自文库

依概率收敛于 ,记作:
.
此大数定律说明均值 期望的合理性. (2)辛钦大数定律(独立同分布大数定律)
设随机变量
独立同分布,且
,则序列
依概率收敛于 ,即
.
(3)伯努利大数定律(二项分布大数定律)
设 f A 是 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数,在每次试验中事件 A 发生的概率为
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