概率与数理统计 第五章-2-中心极限定理

n
i1
i1
lim
P
i
1
Xi
n
x
x
1
-t2
e 2 dt
(x) ，
n n
- 2
其中Φ(x)是标准正态分布N(0, 1)的分布函数。
n
lim
P
i 1
Xi
n
x
x
n n
-
1
- t2
e 2 dt
2
记
Xn
1 n
n k 1
Xk
，则有
E(Xn ) , D(Xn )
lim
P
X
n
14 14
2
/ 10
1
P
X
n 14 0.2
0
1 (0) 0.5.
例2 计算机在进行数字计算时，遵从四 舍五入原则。为简单计，现在对小数点后面
第一位进行舍入运算，则舍入误差X可以认 为服从[－0.5 , 0.5]上的均匀分布。若独立进 行了100次数字计算，求平均误差落在区间
3 20
“大数定律”和“中心极限定理”。
第二节 中心极限定理
在实际问题中, 许多随机现象是由大量 相互独立的随机因素综合影响所形成, 其中 每一个因素在总的影响中所起的作用是微小 的.数学家棣莫弗 (De Moivre) 在18世纪首先 提出并证明了这类大量相互独立的随机变量 之和的极限分布为正态分布 .
在这里，我们只介绍其中两个最基本 的结论。
1. 当n无限增大时，独立同分布随机变量“之 和”的极限分布是正态分布；
2. 当n 很大时，二项分布可用正态分布近似。
为方便，我们研究 n 个随机变量之和标 准化的随机变量
n
n
Xk E( Xk )
Yn k 1
k 1 n
D( Xk )
k 1
的极限分布。
概率论与数理统计
张保田 第五章 大数定律与中心极限定理
第五章 大数定律中心极限定理
概率论与数理统计是研究随机现象统计 规律性的学科。随机现象的统计规律性只有 在相同条件下进行大量的重复试验才能呈现 出来。
对随机现象的大量观测， 常采用极限 形式，由此导致了极限定理的研究。 极限 定理的内容很广泛, 最重要的有两种:
1 100 100 i1
Xi
.
0, 2
1. 12
根据中心极限定理
X
X 0 1
n 12
近似
20 3 X ~ N (0,1)
100
近似服从 N(0,1),于是
X
20
近似
3 X ~ N (0,1)
n
P{ 3 X 3}
20
20
P{ 3 20 3 20 3 X 3 20 3 }
20
20
x
x
n
n
例1 设一批产品的强度服从期望为14, 方差 为4的分布。每箱中装有这种产品100件。求 (1)每箱产品的平均强度超过14.5的概率； (2)每箱产品的平均强度超过期望14的概率。
解：n=100,设 Xi 是第 i 件产品的强度，则 E(Xi)=14, D(Xi)=4, i =1,2,…,100。
x
x
1
2
. n- t 2
e 2d
t
.
n / n - 2
※无论随机变量Xi服从什么分布，只要
独立同分布，当n很大时有： n
Xi n 近似
i 1
~ N (0,1)
1 n
n i 1
n
Xi
X
百度文库
/ n
/ n
近似
~ N (0,1)
近似
X ~ N(
n
近似
,
2
) n
,X
1 n
n i 1
Xi.
X i ~ N (n, n 2 )
定义2.1 设{Xn}是一相互独立的随机变量 序列，数学期望E(Xk)和方差D(Xk)(≠0) 都存， k=1,2, …, 如果对任意的x,都有
n
n
limP
n
Xi E( X k )
i 1
k 1 n
D( Xi )
i 1
x
x1
- 2
(x)
e
-
t2 2
dt
则称随机变量序列{Xn}服从中心极限定理。
(3) (3) 0.9973
2. 二项分布的极限分布
定理2.2 (棣莫佛——拉普拉斯定理):
设随机变量X1, X2, …, Xn, … 相互独立，
并且都 服从参数为 p 的两点分布(0<p<1) ，则
对任意 x∈(-∞,+∞)，有 E(Xi ) p.
n
lim
P
i 1
Xi
np
x
i 1
※无论随机变量Xi服从什么分布，只要独
立同分布，当n很大时有：
n
X i n 近似
i 1
~ N (0,1)
X
n
近似
~
N
(
,
2
n
)
P
1 n
n i 1
Xi
n
x
P
n i 1
Xi
n
x
(x)
/ n
n
P{X
x}
x
n
n 近似
Xi ~ N(n, n 2)
i1
P
n i1
Xi
,
3 20
上的概率。
解 设Xi是第i次计算的误差
则
Xi～ U[-0.5,0.5]
∴ E(Xi)=0,D(Xi)=[0.5-(-0.5)]2/12=1/12
解 设Xi是第i次计算的误差
则
Xi～ U[-0.5,0.5]
∴ E(Xi)=0,D(Xi)=1/12 i=1,2, ,100.
∴平均误差为 X
表明: 当n很大时，二项分布Yn标准化后的
每箱产品的平均强度为
X
1 100 100 i1
Xi
, 14,
2 4
X
1 100 100 i1
Xi
14, 2 4
根据定理1，有
(1) P{X 14.5}
1
14.5-
n
1
14.5 0.2
14
1 (2.5) 0.0062 ；
(2)
P{X
n
14}
P
X n 14 2 /10
n np(1 p)
x
D( X i
1
) t2
e2
2 p(1 p)
dt (x).
2
证明: ∵E(Xi)=p, D(Xi)=(1-p)p , i=1,2, …
由定理1得结论。
n
※ 由于 Yn Xi : B(n, p)
i 1
所以，lim
P
Yn np
x (x).
n np(1 p)
这就是中心极限定理。
这些定理在很一般的条件下证明了：无 论随机变量Xi服从什么分布，n个随机变量 的和X1+X2+…+Xn当n→∞时的极限分布是正 态分布。
利用这些结论，数理统计中许多复杂随 机变量的分布可以用正态分布近似，而正态 分布有许多完美的理论，从而可以获得既实 用又简单的统计分析。下面我们仅介绍其中 两个最基本的结论。
随机变量序列{Xn}满足什么条件，才服
从中心极限定理？
n
1．随机变量和 Xi 的极限分布
i 1
定理2.1 (列维——林德伯格定理)： 设随机变量X1, X2, …, Xn… 相互独立，服
从同一分布，且 E(Xi) =μ, D(Xi)=σ2>0，对任给
x ∈(-∞, +∞), 均有
n
n
E( Xi ) n, D( Xi ) n 2.