D中心极限定理

P a i1
n
b Φ(b) Φ(a)
例2. 设某食品用机器装袋,每袋净重的期望为100g,标准
差为4g,一箱内装100袋,求一箱净重大于10100g的概率.
解: 设 Xi 表示第 i袋食品的净重，i=1,2, …,100.
则 X1, X 2,L X100 相互独立, 且 E Xi 100, D Xi 16,
座位才能有99%的概率不会出现座位不够？
解: 设每天有 X 人用A工具去乙地
பைடு நூலகம்
则 X : B(1000,0.5) X np : N (0,1) npq
np 500
npq 250
设A工具需准备 x 个座位
P
X
x
P
X
np
x
np
0.99
npq npq
查表得 x np 2.33 x 536.8 npq
40
1 2.5 0.0062
二、De Moivre-Laplace 中心极限定理
(levy-Lindeberg 中心极限定理的特殊形式)
定理2: 设 un 是n重伯努利试验中事件A发生的次数，
P A p, 则对x R, 有
lim
P
n
un np x np(1 p)
x
1
t2
e 2 dt Φ(x)
第二节
第五章
中心极限定理
一、独立同分布中心极限定理 二、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理
引言
1.背景: 如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响
所造成的，而每一个因素在总影响中所起的作用并不大,
则这种随机变量通常服从或近似服从正态分布.
2.内容: 设相互独立的随机变量序列 X1, X 2L , X n,L 的数
(2) 利用拉普拉斯中心极限定理, 求被盗理赔用户大于14 户且不多于30户的概率近似值.
解: (1) 易知 X ~ B100,0.2, 即 PX k C1k000.2k0.8100k , k 0,1,L ,100
(2) 已知n=100, p=0.2 由拉普拉斯中心极限定理可知：
P14 X 30
100
而一箱食品的净重 X Xi,
i1
100
100
E X E i1 Xi 10000, D X D i1 Xi 1600,
由独立同分布的中心极限定理可知: X ~ N 10000,402
PX 10100 1 PX 10100
1
P
X
10000 40
10100 10000
定理1: 设相互独立的随机变量 X1，X 2,L , X n,L 服从相
同的分布,且 E( Xi ) , D(Xi ) 2 0
则对x R, 有
n
Xi n
lim
P
i1
n
n
x
1
x
t2
e 2 dt
Φ(x)
2
注: 当 n 比较大时，对任意的实数 a < b 有
n
Xi n
Φ
30 100 0.2 100 0.2 0.8
Φ
14 100 0.2 100 0.2 0.8
Φ(2.5) Φ(1.5) 0.927
例4. 由甲地到乙地有A、B两种交通工具，每个乘客
以1/2的概率选择其中一个；假设每天有1000名乘客同 时由甲地去乙地。 问每种交通工具上应设置多少个
2π
注：设 X ~ B(n, p), 若n比较大时，则对任意的a<b, 有
Pa
X
b
Φ
b np np(1 p)
Φ
a np
np(1
p)
例3. 某保险公司多年统计资料表明,在理赔用户中被盗 理赔用户占20%, 以X表示在随意抽查的100个理赔用户 中因被盗理赔的用户数,
(1) 写出X 的概率分布
学期望和方差都存在, 则当n 很大时
n
n
i1 Xi E i1 Xi ~ N (0,1)
n
D i1 Xi
3. 如何刻划：
n
P
i1
X
i
n E i1 Xi
x
x
n
n
D i1 Xi
一、Levy-Lindeberg 中心极限定理
(独立同分布的中心极限定理)