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中心极限定理(27页PPT)

中心极限定理(27页PPT)

电子科技大学
中心极限定理
例5.2.3 路边有一个售报亭, 每个过路人 在报亭买报的概率是 1/3, 求: 正好售出 100 份报纸时的过路人数在 280 到 300 之间的概 率。
解 设 X 是正好售出 100 份报纸时的过路人
数, Xi 是售出第 i 1 份报纸后到售出第 i 份报 纸时的过路人数, 则
n
P{Yn
y}
2
e 2 dt ( y)
称随机变量序列 {Xk}服从中心极限定理.
注1 随机变量序列 {Xk}服从中心极量
k 1
依分布收敛于标准正态分布随机变量X；
注2 解释了现实中哪些随机变量可看服从 正态分布；
电子科技大学
中心极限定理
若随机变量序列{Xk }，k = 1,2,…服从中心 极限定理，有
中心极限定理
§5.2 中心极限定理
一. 中心极限定理的定义与意义
定义5.2.1 设随机变量X, X1, X2, …的分布函 数分别为F( x ),F1( x ), F2( x ), …, 若极限式
lim
n
Fn
(
x)
F
(
x
)
在F( x )的每一个连续点上都成立，称随机变 量序列{Xk}, k = 1,2,…依分布收敛于X .
100
X Xi
i 1
电子科技大学
中心极限定理
并且随机变量 X1, X2, ···, X100 独立同分布,
具有分布律:
P{ X i
k}
1 (2)k1, 33
k 1,2,
因 1
E( X i ) 1 3, 3
2
D( X i )
3
(
1 3

第3章-第4节-中心极限定理

第3章-第4节-中心极限定理

i 1
10
例1 将n个观测数据相加时，首先对小数部分按“四舍五 入”舍去小数位后化为整数．试利用中心极限定理估计，
(1) 当n=1500时，舍入误差之和的绝对值大于15的概率； (2) n满足何条件时，能以不小于0.90的概率使舍入误差
之和的绝对值小于10．
解 设 Xi (i 1,2,, n) 是第 i 个数据的舍入误差； 由条件可以认为 X i (i 1,2,, n) 独立且都在区间
而 X i ~ B(1, p) , E( X i ) p , D( X i ) p(1 p) ,
由列维一林德伯格定理可知，对 x R,一 致 地 有
n
lim P( n np
Xi np
x) lim P( i1
x)
n np(1 n
x
lim P( i1
120)
0.999
48
48
48
查表得
k
120 48
这3n里.p1(，1n-pp=)=14280k,
141.5
.
所以若供电141.5千瓦，那么由于供电不足而影 响生产的可能性不到0.001，相当于8小时内约有半 分钟受影响，这一般是允许的.
23
例5 某产品次品率p = 0.05,试估计在1000件产品中次
品数在 40 ~ 60 之间的概率 .
解 次品数 X ~ B(1000, 0.05) ,
E( X ) np 1000 0.05 50 ,
D( X ) np(1 p) 50 0.95 47.5 ,
由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理,有
P{40
X
60}
60 Φ(
50 )
40 Φ(
50 )
47.5

大数定律及中心极限定理.ppt

大数定律及中心极限定理.ppt

高斯在研究误差理论时已经用到正态分布，以炮弹射击误
差为例，设靶心是坐标原点，多次射击的结 Y
果，炮弹弹着点为(X,Y)，它是二维随机变 量，都认为它服从正态分布，它的每一 个
M (X,Y)
y
分量X和Y服从正态分布，这到底为什么？ 要搞清误差是怎样？
一般来说，如果某个随机变量是由大量相互独立的随机因 素综合影响形成的，而其中每一项因素对总和的影响是“均 匀微小的”，那么可以断定这个随机变量服从或近似服从正 态分布中心极限定理是用极严格的数学推导来论证这一事 实。下面介绍中心极限定理的基本形式。
二、两个中心极限定理
定理3（同分布的中心极限定理）设随机变量X1, X2, …,X n…独立同分布,且E(Xk)= ,D(Xk)=2≠0，
n n
引人随机变量
Xk
1，在第k次试验中A发生 0，在第k次试验中A不发生, k
1，2，, n
n
因而 n
X
，
k
k 1
X
1，X
，
2
X
n
相互独立均服从两点分布，
EXk p，DXk p1 p，
由切比雪夫大数定律，有
1
lim
n
P
|
n
n
Xk
k 1
p
|
l i m P | n
n n
p | 1
X = X1 + X2 + X3 + X4 + ······
而且这些小误差可以看成彼此相互是独立的，因此要讨论 X的分布，就要讨论独立随机变量和的分布问题，中心极限 定理就是研究在什么条件下独立随机变量序列和的极限分布 服从正态分布的一系列定理的总称。由于正态分布在概率论 理论和应用中占有中心地位，因此这些定理称为中心极限定 理。

概率与数理统计 5.3 中心极限定理.ppt

概率与数理统计 5.3 中心极限定理.ppt
由德莫佛—拉普拉斯中心极限定理, 有
X ~ N (120, 48) (近似)
问题转化为求 a , 使
P(0 rX a) 99.9%
P(0 rX a) a / r 120 0 120 48 48
a / r 120 (17.32) 48 0
P(Xi k) p1 p k1 , p1/3 k 1,2,
(几何分布)
E( X i )

1 p
p1/ 3

3,
D(Xi )

1
p
p
2
p1/ 3

6
100
X1, X 2,, X100 相互独立, X X k
k 1
E( X ) 300, D( X ) 600
根据第二章知识若 X ~ N(, 2) 则X的标准化 随机变量
Y ( X EX ) / DX ( X ) / ~ N (0,1)
若X1, X2, …Xn为独立同分布的随机变量，
n
X i ~ N (, 2 ) ，则 X i ~ N (n, n 2 ) i 1
其标准化随机变量
X n X n1 Yn (n 1)
其中Xn是第n天该商品的价格.如果今天 的价格为100，求18天后该商品的价格 在 96 与 104 之间的概率.
解 设 X 0 表示今天该商品的价格, X 18为18
天后该商品的价格, 则
18
X18 X17 Y18 X16 Y17 Y18 X 0 Yi
0! 1!
3°用正态分布近似计算
PX 2 1 PX 2 1 PX 1
1 (1 np ) npq

大数定律和中心极限定理课件

大数定律和中心极限定理课件
决策制定
中心极限定理可以帮助我们在不确定 的情况下做出决策。例如，通过模拟 大量可能的结果并计算其分布，可以 评估不同决策的风险和收益。
04
大数定律与中心极限定理的 关联与区别
关联性分析
大数定律和中心极限定理都是概率论中 的重要定理，它们在某些方面存在关联。
大数定律描述了在大量独立重复试验中， 大数定律是中心极限定理的一种特例， 某一事件的相对频率趋于该事件的概率， 当随机变量数量趋于无穷时，中心极限
而中心极限定理则说明无论独立随机变 定理可以看作是大数定律的一种推广。 量的分布是什么，它们的和或积的分布
都趋于正态分布。
差异性分析
大数定律和中心极限定理在适用范围和表现形式 上存在差异。
大数定律的结论是相对频率趋于概率，而中心极 限定理的结论是随机变量和的分布趋于正态分布。
大数定律适用于大量独立重复试验中某一事件的 相对频率，而中心极限定理则适用于独立随机变 量的和或积的分布。
02
中心极限定理
定义
• 中心极限定理：在大量独立同分布的随机变量下，这些随机变 量的平均值的分布趋近于正态分布，即无论这些随机变量的分 布是什么，只要样本量足够大，其平均值的分布都将呈现出正 态分布的特征。
适用范 围
中心极限定理适用于大量独立同分布的随机变量，这些随 机变量的分布可以是离散的也可以是连续的。
在金融领域，中心极限定理也被广泛应用。例如，股票价格的波动可以看作是大 量投资者决策的独立同分布的随机变量，因此股票价格的平均值（即指数）的分 布也呈现出正态分布的特征。
03
大数定律与中心极限定理的 应用
在统计学中的应用
样本均值和总体均值的近似
大数定律表明，当样本量足够大时，样本均值趋近于总体均值，这为统计学中的参数估计提供了基础。

第五章 大数定律与中心极限定理 《概率论》PPT课件

第五章 大数定律与中心极限定理 《概率论》PPT课件

概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
2）中 心极限 定理表明，若 随 机 变 量 序 列
X 1 , X 2 , , X n 独立同分布，且它们的数学期
望及方差存在，则当n充分大时，其和的分布,
n
即 X k 都近似服从正态分布. (注意:不一定是 k 1
标准正态分布）
3）中心定理还表明：无论每一个随机变量 X k ,
概率论与数理统计
§5.1 大数定律
定理1（Chebyshev切比雪夫大数定律）
假设{ Xn}是两两不相关的随机
变量序列，EXn , DXn , n 1,2, 存在，
其方差一致有界，即 D(Xi) ≤L，
i=1,2, …， 则对任意的ε>0，
lim P{|
n
1 n
n i1
Xi
1 n
n i1
E(Xi ) | } 1.
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
现在我们就来研究独立随机变量之和所 特有的规律性问题.
在概率论中，习惯于把和的分布 收敛于正态分布这一类定理都叫做中心 极限定理.
下面给出的独立同分布随机变量序 列的中心极限定理, 也称列维——林德 伯格（Levy－Lindberg）定理.
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
大量的随机现象平均结果的稳定性
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
概率论与数理统计
§5.1 大数定律
一、大数定律
阐明大量的随机现象平均结果的稳定性的一系
列定理统称为大数定律。
定义1 如果对于任意 0, 当n趋向无穷时，事件
" Xn X " 的概率收敛到1，即

概率论与数理统计§中心极限定理

概率论与数理统计§中心极限定理
概率论与数理统计之中心 极限定理
• 引言 • 中心极限定理的基本概念 • 中心极限定理的证明 • 中心极限定理的应用 • 中心极限定理的扩展与推广 • 案例分析与实践应用 • 总结与展望
01
引言
主题简介
中心极限定理是概率论与数理统计中的重要概念，它描述了在独立同分布的随机 变量序列下，无论这些随机变量的分布是什么，它们的平均值的分布将趋近于正 态分布。
03
中心极限定理的证明
证明方法概述
方法一：基于特征函数的 证明
方法二：基于概率密度函 数的证明
ABCD
通过对特征函数的性质进 行分析，利用泰勒展开和 收敛性质，证明中心极限 定理。
通过分析概率密度函数的 性质，利用大数定律和收 敛定理，证明中心极限定 理。
重要极限公式
公式一： $lim_{{n to infty}} frac{S_n}{sqrt{n}} = N(0,1)$
中心极限定理的应用范围广泛，不仅限于金融、保险、医学等领域，还涉来研究的展望
01
随着大数据时代的到来，中心极限定理在处理大规模数据和复杂 随机现象方面的应用价值将更加凸显。未来研究可以进一步探索 如何优化中心极限定理的应用，提高其在实际问题中的适用性和 准确性。
02
随着数学和其他学科的交叉融合，中心极限定理与其他理 论或方法的结合应用将成为一个重要的研究方向。例如， 如何将中心极限定理与机器学习、人工智能等新兴技术相 结合，以解决更加复杂和具体的问题。
03
中心极限定理的理论基础和证明方法仍有进一步完善的空 间。未来研究可以深入探讨中心极限定理的数学原理，发 现新的证明方法和技巧，推动概率论与数理统计理论的进 一步发展。
07
总结与展望

大数定律和中心极限定理.ppt

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n
X i n
i 1
n
3
近似服从标准正态分布
于是所求概率为

P
1 n
n i 1
Xi




P

n i1
Xi
n

n

n

P i1 X i n
3n


2
3n 1

n


3

(2)当n 36, 1/ 6时,所求概率为
（1）保险公司一年的利润不少于6万元的概率；
（2）保险公司亏本的概率。
解 设参加保险的一万人中一年内的死亡的人数为X ,
则X ~ b10000,0.006,其分布律为
PX

k
1k0000
0.006k

0.994 10000k
k 0,1,2,,10000
lim n
P
n np
np1 p

x
x
1
t2
e2
dt

Φ

x
2π
当n充分大时,对任意a b,有
Pa n b P
a np
np1 p

n np
np1 p
b np
np1 p
Φ
第五章 大数定律和中心极限定理
第一节 第二节
大数定律 中心极限定理
第一节 大数定律
定义1设Y1,Y2 ,,Yn ,是一个随机变量序列, a是一个常
数, 若对任何正数 , 有
limP Yn a 1
n
则称序列Y1,Y2 ,,Yn ,依概率收敛于a,记为Yn Pa 依概率收敛的序列有如下性质： 设X n Pa,Yn Pb,又设g(x, y)在点(a,b)连续,则

大数定理与中心极限定理.26页PPT

大数定理与中心极限定理.26页PPT
谢谢！
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
大数定理与中心极限定 理.
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思

大数定律及中心极限定理PPT课件

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3
n) 1, 2
n 1,2
证明:{X n}服从大数定律.
证明： k 1,2, E
Xk

1 3 2
k

1 (3 2
k ) 0,
2
DX k

E
X
2 k

k3.
由切比雪夫不等式可得
相互独立
P

1 n
n k 1


1 n
n
EXk
k 1



lim
n
Fn
(
y)

lim
n
P(Yn

y) ( y)
例1.一加法器同时收到100个噪声电压Vk (k 1, 2,, 100),设它们是相互独立的随机变量, 且都在区间
100
(0,10)上服从均匀布, 记V Vk , 求P{V 520}的近似值. k 1
解 :易知E(Vk ) 5，D(Vk ) 100/12(k 1, 2, ,100).
由独立同分布的中心极限定理知
P{V 520} P{ V -100 5 520 -100 5 } 100/12 100 100/12 100
1 { 520 -100 5 ) 100/12 100
1- (0.693) 0.245.
练习： 某种电子元件40个，其寿命服从 参数为0.1(小时-1)的指数分布，让他们依次 工作, 求总工作时间不足380小时的概率。

1
D( 1 n n k 1
2
Xk)
1
n2
k3
k 1
n2 2
1
2
2

中心极限定理

中心极限定理

32 )
k1
E( Xk ) 0.1,
D( Xk ) 0.09
100 近似
X X i ~ N(10,
i
32 )
则由中心极限定理：
P{7
X
13}
P{
7
10 3
10 3
13
10 } 3
P{1 10 1}
3
2(1) 1 0.683
2.某工厂有100台车床彼此独立地工作着，
每台车床的实际工作时间占全部工作时间
是同分布，且有有限的数学期望E(Xi)=μ
和方差D(Xi)=σ²，
那么，当n充分大时，
n
Xi
i 1
近似
~
N(n, n 2 )
近似计算公式
n
Xk n
P(x1 k1 n
x2 )
( x2 ) ( x1)
特别地：
若X ~ B( n, p )，对于足够大的n，有
P{x1 X x2 }
P
P{2.5 X 100 0.8 1.5} 100 0.8 0.2
(1.5) (2.5) 0.9332 (1 0.9938) 0.927
3.在次品率为的一大批残品中，任意
抽取360件产品，利用中心极限定理
计算抽取的产品中次品件数在50与
70之间的概率
解：设抽取的产品中次品件数为X ~ B(360, 1 )
n 829
1.设射击命中率为0.1，连续独立射击100次，
X表示命中的次数，则用中心极限定理估算
P{7 X 13}
解：设Xk表示第k次命中的次数，则
E( Xk ) 0.1 D( Xk ) 0.09
Xk 0 1 pk 0.9 0.1

《概率论与数理统计》课件第五章大数定律及中心极限定理

《概率论与数理统计》课件第五章大数定律及中心极限定理
有极其重要的地位？
4.大样本统计推断的理论基础
是什么？
大数定律中心极限定理
随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的废品率
§5.1 大数定律
背景：1. 频率稳定性2. 大量测量结果算术平均值的稳定性
回顾
随机现象的主要研究方法
概率分布
01
证：_x001A__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B_,⋯, _x001A__x001B__x001B_, ⋯相互独立同分布，则_x001A__x001B__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯也相互独立同分布,由辛钦大数定律得证.
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律§5.2 中心极限定理
要点：用切比雪夫不等式估算概率独立同分布,用中心极限定理计算对于二项分布，当n很大时，计算
本章要解决的问题
1.为何能以某事件发生的频率
作为该事件的概率的估计？
2.为何能以样本均值作为总体
期望的估计？
3.为何正态分布在概率论中占
解：(1)设X表示一年内死亡的人数，则~(, )，其中=，=.%. 设Y表示保险公司一年的利润，=×−.需要求的是_x001A_<_x001B_.
由中心极限定理
_x001A_<_x001B_=_x001A_×−<_x001B_ =_x001A_>_x001B_=−_x001A_≤_x001B_
且，
由中心极限定理
解：设为第i个螺丝钉的重量， 相互独立同分布. 于是，一盒螺丝钉的重量为

大数定律-中心极限定理

大数定律-中心极限定理
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理
§5.1 大数定律
定义1 设Y1, Y2 …,Yn ,...为一随机变量序列，a是常数， 若对任意正数，有
lim
n
P{|Yn
a
|
}
1
则称随机变量序列Y1, Y2 ,…,Yn , ... 依概率收敛于a ，
记为:
Yn P a
性质：设 Xn P a, Yn P b , g(x, y)在点(a, b)连续,
n i 1
Xi
P
提醒：利用切比雪夫不等式证.
此定理表白: 相互独立具有相同期望和方差旳随机变 量X1, X2, …, Xn旳算术平均值依概率收敛于其数学期 望值 .
证
E(X)
E
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E(X i
)
μ
D(X)
D
1 n
n i 1
X
i
1 n2
n
σ2
D(X i )
➢ 贝努力大数定律是辛钦定理旳特殊情况.
§5.2 中心极限定理
在客观实际中有许多随机变量,它们是由 大量旳相互独立旳随机原因旳综合影响所 形成旳,而其中每一种别原因在总旳影响中 起到旳作用都是微小旳.这种随机变量往往 近似旳服从正态分布.这种现象就是中心极 限定理旳客观背景.
本节只简介三个常用旳中心极限定理.
Xi= -1, 第i次碰钉后小球从右落下.
则Xi服从两点分布， E(Xi) =0, D(Xi)=1
Yn=X1+X2+…+Xn 由中心极限定理知，
Yn~N(0,n) 由正态分布旳特征知，小球落在中间 旳概率远远不小于落在两边旳概率.

chap5大数定律及中心极限定理PPT课件

chap5大数定律及中心极限定理PPT课件

2021/3/12
15
请注意 :
Xn依概率收敛于a，意味着对任意给定的 0，
当n充分大时，事件Xn a 的概率很大，接近1于 ； 并不排除事件Xn a 的发生，而只是说他生发的
可能性很小.
依概率收敛比中 高的 等普 数通 学意义下 弱些，它具有定 某性 种 . 不确
2021/3/12
16
三、大数定律
2021/3/12
14
二、依概率收敛定义及性质
定义 设 Y 1 ,Y 2 , Y n , 是一个随机变量序列，
a是
一个常数 .若对于任意正数 ，有
ln i m P{Y |na|}1
则称Y1 序 ,Y2, 列 Yn, 依概率a.记 收为 敛于 Yn P a.
性质 设 X n P a， Y n P b,又设 g(x,函 y)在 点 (a,b)连续 g(X n ， ,Y n) 则 P g(a,b).
在切比雪夫不等式中取 0.01n，则
P(0.74X0.76) = P{ |X-E(X)| <0.01n}
n
1
D(X) (0.01n)2
1
0.187n5 0.000n12
1 1875 n
2021/3/12
10
依题意，取 118750.9 n
解得
n 187518750 10.9
即n 取18750时，可以使得在n次独立重复 试验中, 事件A出现的频率在0.74~0.76之间的 概率至少为0.90 .
Chap5 大数定律及中心极限定理
概率论与数理统计是研究随机现象统计 规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相 同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出 来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然 的法则，应该研究大量随机现象.
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大数定律与中心极限定理
第二节 中心极限定理
一、中心极限定理的意义
在实际问题中许多随机变量是由相互独立 随机因素的综合（或和）影响所形成的.
例如，炮弹射击的落点与目标的偏差，就受 着许多随机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结 构等）综合影响的. 每个随机因素对弹着点（随机 变量和）所起的作用都是很小的. 那么弹着点服从 怎样分布？
i 1 n
的分布情况.
D( Xi )
i 1
讨论Yn的极限分布是否为标准正态分布. 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正
态
分布这一类定理都叫做中心极限定理.
二、李雅普诺夫中心极限定理
1. 李雅普诺夫(Lyapunov)定理
设随机变量序列{Xi }(i 1, 2,L )相互独立，
EX i

i ,
100
依题意， E( X ) E( Xi ) E( Xi ) 200
i 1
i 1
100
100
D( X ) D( Xi ) D( Xi ) 169
i 1
i 1
三、勒维中心极限定理
例1 对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次轰炸命中 目标的炸弹数目是随机变量，其期望为2，方差为1.69. 求在100次轰炸中有180颗至220颗炸弹命中目标的概率.

e 2 dt ( x)
2
二、李雅普诺夫中心极限定理
注意：
n
近似
n
n

Xi
~
N (
i，

2 i
)
i 1
i 1
i 1
n
n
Xi i 近似
~ i 1
i 1
n
N (0，1)

2 i
i 1
二、李雅普诺夫中心极限定理
对于李雅普诺夫定理中的随机变量序列， 将其约束条件改为独立同分布，即

i 1
i 1 n



D( Xi ) i 1

n
n
Xi E( Xi )
Yn i1
i 1 n
D( Xi )
i 1
1
n
n
n
[E( Xi ) E( Xi )] 0
D( Xi )
i 1
i 1
i 1
n
n

Xi E( Xi )
DX i


2 i

,
i
1, 2,L
，则
n
n

n
n


lim
n
P

i 1
Xi
E(
i 1 n
Xi )


x


lim
n
P

i 1
Xi
n
i
i 1


x

D( Xi )



2 i


i 1


i 1

1
x t2
DYn

D

i 1
i 1 n


1
n
n
n
D[ Xi E( Xi )] 1

D( Xi ) i 1
D( Xi )

i 1
i 1
i 1
一、中心极限定理的意义
n
所以，欲求随机变量 X Xi 的分布，先求 i 1
n
n
Xi E( Xi )
标准化因子Yn i1
EXi , DXi 2 , i 1, 2,L ，则


lim
n
P


n i 1
n
Xi E( Xi )
i 1
n
D( Xi )
i 1



x




lim P n

n i 1
Xi n n 2


x
一、中心极限定理的意义
自从高斯指出测量误差服从 正态 分布之后，人们发现，正态分布在
高斯
自然界中极为常见.
如果一个随பைடு நூலகம்变量是由大量相互独立的随
机因素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种
综合影响所起的作用不大，则这种随机变量一般都 服从或近似服从正态分布.
一、中心极限定理的意义
如果将研究对象的整体设为X，影响因素为X

n i 1
n
Xi E( Xi )
i 1
n
D( Xi )
i 1



x




lim P n

n i 1
Xi n n 2


x
1
x t2

e 2 dt ( x)
2
三、勒维中心极限定理
三、勒维中心极限定理
三、勒维中心极限定理
20 20
解：设Xi -第i次运算中产生的误差，i=1,2, …,100
则诸Xi 独立，服从
Xi
:
U[ 1 , 1] ，
22
100次运算的平均误差为
X

1 100
100 i 1
Xi
三、勒维中心极限定理
依题意，
E(X
)

E

1 100
( x)
林德贝尔格—勒维 中心极限定理
三、勒维中心极限定理
2. 林德贝尔格－勒维（Lindeberg-Levy）定理
设随机变量序列{ Xi }(i 1, 2,L )独立同分布，
EXi , DXi 2 , i 1, 2,L ，则


lim
n
P

，
i
根据因素间独立与共同作用的本质属性，可以得出
n
X Xi. i 1
现在我们就来研究独立随机变量之和所
特有的规律性问题.
当n无限增大时，这个和的极限分布是什么
呢？
在什么条件下极限分布会是正态的呢？
一、中心极限定理的意义
考虑利用标准化因子
n
n

Xi E( Xi )
EYn

E
13
SUCCESS
THANK YOU
2020/1/10
三、勒维中心极限定理
例2 计算机在进行数学计算时，遵从四舍五入原则.
为简单计，现从小数点后第一位进行舍入运算，设
误差 X : U[ 1 , 1] . 若一项计算中进行了100次数字运 算，求平均误2差2落入 [ 3 , 3 ] 上的概率.
近似
由中心极限定理, X ~ N (200,169)
于是，
P(180 X 220) P(180 200 X 200 220 200)
13
13
13
P( 20 X 200 20) ( 20) ( 20) 0.87644
13 13 13
13
例1 对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次轰炸命中 目标的炸弹数目是随机变量，其期望为2，方差为1.69. 求在100次轰炸中有180颗至220颗炸弹命中目标的概率.
解：设Xi -第i次轰炸命中目标的炸弹数，i=1,2, …,10
100
则100次轰炸命中目标的炸弹总数为 X Xi
i 1
100
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