单叶双曲面与双曲抛物面直母线-资料
§4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
§4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线一、直纹曲面：柱面和锥面都可以由一族直线所构成. 由一族直线所构成的曲面叫做直纹面, 而构成曲面的那族直线叫做这个曲面的一族直母线. 柱面与锥面都是直纹面.二、直母线：1．单叶双曲面+－＝1是直纹面, 它有两族直母线,它们的方程分别为(λ, μ为参数, 且不全为零)与(λ', μ'为参数,且不全为零)注: 此处是把y项移到右边而得到的直母线方程; 同样也可把x项移到右边得到另一组直母线方程, 两组直母线方程的表达形式可能不一样, 但其方向矢量是平行的, 把它们化为标准方程后会发现它们表示同一组直母线. 双曲抛物面情况类似.2. 双曲抛物面－＝2z也是直纹面, 也有两族直母线,方程分别为(λ为参数) 与(λ'为参数)3. 单叶双曲面上两族直母线的大概分布情况如图4-16.4. 双曲抛物面上两族直母线的大概分布情况如图4-17.三、性质：1. 单叶双曲面上异族的任意两条直母线必共面, 而双曲抛物面上异族的任意两条直母线必相交.2. 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两条直母线总是异面直线, 而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一平面.3. 对于单叶双曲面和双曲抛物面上的每一点, 两族直母线中各有一条通过这一点.例1. 试求单叶双曲面+－z2＝1上通过点(2, －3, 1)的直母线.解:单叶双曲面+－z2＝1的两族直母线方程为与将点(2, －3, 1)代入上面的两组方程, 求得λ＝0 与λ': μ'＝1:1,代入直母线族的方程, 得过(2, －3, 1)的两条直母线为与即与例2. 求在双曲抛物面－＝z上平行于平面3x+2y－4z＝0的直母线.解:设双曲抛物面的一族直母线中与已知平面平行的直母线为它的方向矢量为 {－,,－}, 由已知条件有3×+2×+(－4)×＝0,解得u＝0, 从而求得满足条件的直母线为同理可得另一族直母线中满足条件的直母线为例3. 试证单叶双曲面＋－＝1的任意一条直母线在xOy坐标面上的射影,一定是其腰椭圆的切线.证明:只须对u族直母线情形证明成立即可. 设u族直母线中一条直线l的方程为l：则l在xOy坐标面上的射影直线l'可以看成是直线l在xOy坐标面上的射影柱面与xOy平面的交线l'：现只须证明l'与单叶双曲面的腰椭圆只交于一点即可, 从而l'与腰椭圆相切. 事实上由上式有代入腰椭圆方程得该式左端是一个完全平方式, 故方程只有一组解, 即l'与腰椭圆只有一个交点.例4. 求与两直线＝＝与＝＝相交, 而且与平面2x＋3y－5＝0平行的直线的轨迹.解: 设满足条件的直线l的方向矢量为{X, Y, Z}, 点P(x, y, z)是l上任意一点, 因l与两已知直线相交, 故有＝0,＝0.即有(y－2z＋2)X＋(3z－x＋3)Y＋(2x－3y－12)Z＝0,(－2y－2z＋8)X＋(2x+3z＋12)Y＋(2x－3y+24)Z＝0.又l与已知平面平行, 从而 2X+3Y＝0,由于X, Y, Z不全为零, 由以上三式得＝0,化简整理得－＝z.这是一双曲抛物面.例5. 求与下列三条直线与＝＝都共面的直线所构成的曲面.解: 设{X, Y, Z}是满足条件的直线l的方向矢量, P(x, y, z)是l上任意一点, 因l 与已知三直线都共面, 故有＝0, ＝0,＝0.或由于X, Y, Z不全为零, 从而有＝0,化简整理得x2+y2－z2＝1.这是一单叶双曲面.作业题：1. 试求双曲抛物面－＝2z在点(4, 0, 2)的直母线方程.2. 求通过直纹曲面z＝xy上点(1, 1, 1)的直母线方程.。
单叶双曲面与双曲抛物面的教法
单叶双曲面与双曲抛物面的教法
椭球-椭圆
双曲面-抛物面
(1) 双曲面：
1）定义：双曲面是单叶双曲面的特殊情况，由特定的二次多项式表示，它在三维空间中是一个曲面，它有二维和一维空间投影，它可以被椭
圆曲线拟合。
双曲面的特点是其曲率固定，且四条边界是正交的。
2）参数方程：双曲面的参数方程为
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$，其中$a,b,c$都
大于零。
3）特征：双曲面有两个极轴：$x$和$z$轴；它有两个椭圆曲线为投影：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$和
$\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
(2) 双曲抛物面：
1）定义：双曲抛物面是由特定的一次多项式表示的抛物面，在三维空
间构成一个双曲面，它与椭球有着类似的几何结构，双曲抛物面的特
点是它的抛物度恒定，边界曲线与xy平面的交点为椭圆。
2）参数方程：双曲抛物面的参数方程为$\frac{x^2}{a^2}-
\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$，其中$a,b,c$都大于零。
3）特征：双曲抛物面有两个极轴：$x$和$z$轴；它有两个椭圆曲线为投影：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$和$\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$。
空间解析几何-第3章 常见的曲面3
2017/1/4
直纹面的应用
2017/1/4
室外探索乐园——广东科学中心
解法二：
设过点（ 2,3， - 4）的直线方程为 x 2 lt y 3 mt z -4 nt l2 m2 n2 2 2 1 代入曲线方程得（ )t (l m n)t 0① 4 9 16 3 2 由命题3.6.（ 1 1）知过点（ 2,3， - 4）有且仅有两条直母线 ，故①为一关于 t的恒等式 l2 m2 n2 有 0 4 9 16 2 1 和l m n 0 3 2 2x z 0 x20 解得l : m : n 1 : 0 （ : - 2）或0 : 3： (-4） , 从而母线方程为 { 与{ y 3 0 4 y 3z 0
平面是直纹面
二次柱面和二次锥面都是直纹面。
其它的二次曲面中，只有单叶双曲面和双曲抛 物面是直纹面。
2017/1/4
单叶双曲面是直纹面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
含两个直母线系 直纹面在建筑学上有意义 例如，储水塔、电视塔等 建筑都有用这种结构的。
2017/1/4
空间解析几何
第3章 常见的曲面3
2017/1/4
本章主要内容
1 2 3 4 5 6 7 8 9 柱面 锥面 旋转曲面 曲线与曲面的参数方程 椭球面 双曲面（单叶双曲面，双叶双曲面） 抛物面（椭圆抛物面，双曲抛物面） 二次直纹面 作图
五种典型的 二次曲面
§3.6 直纹面
由一簇直线构成的曲面叫直纹面，其中的直线 叫直纹面的母线。
双曲抛物面（马鞍面）是直纹面
x2 y2 2 z 2 a b
含两个直母线系2017/1/4 Nhomakorabea双曲抛物面是直纹面
第二讲水工建筑中的常见曲面(二)
a‖ d‖ c‖
b‖
C. 渐变段断面的画法 断面——截断面的投影——截交线 带圆角的矩形
C. 渐变段断面的画法 断面——截断面的投影——截交线
带圆角的矩形
1 投影作图： 2 计算作图：
1‗（4‘） O‘
r
2 ‘（3‘）
L1 r L L- L1 h1 = h L L - L1 b b1 = L r1= r =Φ /2
第二讲 水工建筑中的常见曲面（二）
P198– P204
柱面
锥面
可展曲面
双曲抛物面（扭面）
直线面
柱状面 锥状面 不可展曲面√
螺旋面 单叶回转双曲面
曲线面 组合面
3、双曲抛物面（扭面）
（1）双曲抛物面的形成
一直母线沿交叉两直线移动，且始终平行一个导面而形成 的曲面。又称为扭曲面或扭面
图示扭面的形成： 1）AC 2 ）AB 母线；AB、CD 母线；AC、BD 导线；P面 导面 导线； Q面— 导面
4 3 1 2
4（3） 1 （ 2）
r
习题：p48
预习：P205– P211
旋转楼梯
画法：在两条螺旋线基础上加画素线
正螺旋面的应用——旋转楼梯
7、单叶回转双曲面
B
转向线
（双曲线）
形成：一直母线绕与其交 叉的轴线旋转而成。
3’ C‘ 2’
画法：
1）画母线（如AB—正平线） 、轴线 2）在母线上取一系列点 A、B、C、1、2、3 3）作这些点的轨迹圆的水平 投影和正面投影， 4）作轨迹圆正面投影的切线 既为单叶回转双曲面的主视转 向线。
1‘
A
O
1
2 C 3
5）水平投影需画出顶圆、底 圆及喉圆的投影，
4.7：单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
（5）
如果
那么由(5)知必有
这样就证明了曲面(1)是由u族直线所构成.
因此单叶双曲面(1)是直纹曲面.
同样可以证明由直线
（6）
(其中 为不等于零的任意实数)与另两直线(相当与 (6)中当 和 的情形)
现在我们来证明定理的前半部分，单叶双曲面上 异族的任意两直母线必共面.
证:
单叶双曲面的两个异族直母线方程分别为:
这两条直线共面的充分必要条件是(看p137, 例3)
四个方程的系数和常数项所组成的行列式为零.
所以单叶双曲面上异族的两直母线必共面.
定理 4.7.2 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任 意两直母线总是异面直线，而且双曲抛物面同族的全 体直母线平行于同一平面.
为了避免取极限，我们常把单叶双曲面(1)的u 族直母线写成
（4.7-1）
其中 不同时为零。当 时，各式除以 式子就化为(3)；当 时便化成(4)； 当 时便化成(4`).
我们虽然很弯曲, 但是我们都由直线构成, 你相信吗?
首先考虑单叶双曲面
（1）
其中 为正常数，
把（1）改写为
或者
（2）
(2)与(1)等价吗?
等价!
（2）
现在引进不等于零的参数u, 将上述方程写为:
改写为:
(2)/
(3)
(3)与(2)等价吗?
不等价!
对于给定的u, (3)表示什么曲线?
直线
（4）
与
（4）/
考虑到(3) 与(2)相比,漏掉了下面的两个方程组
（2）
(2)/
(1)
(3)
也就是说
(3)
与
直纹曲面及其性质
,取u的值,使得
y0 b
0.此
则由(3.4-5)便得
x0 a
z0 c
u(1
y0 ) b
,
x0 z0 1 1 y0 a c u b
所以点P0(x0,y0,z0)在直线(3.4-3)上．
若
x0 a
z0 c
0,则由(3.4-5)可得1
y0 b
0 ,故M0点在直线
下证u族直线(3.4-11)可以构成曲面(3.4-10),从而它是曲面 (3.4-10)的一族直母线.
易知,u族直线(3.4-11)中任何一条直线上的点都在曲面(3.4-
10)上；反过来,设(x0,y0,z0)是曲面(3.4-10)上的点,则有
a(x0 , y0 , z0 ) b(x0 , y0 , z0 ) c(x0 , y0 , z0 ) d (x0 , y0 , z0 ) , (3.4-12)
1
y b
．
引进不等于零的参数,并考察由(3.4-2)得到的方程组
x a
z c
u 1
y b
,
x a
z c
1 u
1
y b
,
(3.4-1) (3.4-2) (3.4-3)
与两方程组
x a
z c
0,
1
那么取u : w 的值,使得
从而有
a(x0 , y0 , z0 ) d (x0, y0, z0 ) u , c(x0 , y0 , z0 ) b(x0 , y0 , z0 ) w
ìïïíïïî
单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
－Chapter 4
§7 单叶双曲面与双曲抛物面 的直母线
Contents
一、直纹曲面的概念 二、单叶双曲面是直纹曲面 三、双曲抛物面是直纹曲面 四、单叶双曲面与双曲抛物面的性质
一、直纹曲面的概念
定义 由一族直线所生成的曲面叫做直纹曲面(ruled surface)， 生成曲面的那族直线叫做该曲面的一族直母线.
a,b, c 0
分析:
如果曲面 S 上存在一族直线， (1) 曲面 S 上的每个点必定在这个 族中的某一条直线上;
(2) 直线族中的每条直线都在曲面 S 上.
定理 单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 ， a,b, c
0
是直纹曲面.它有两族直母线：
w
x a
是直纹曲面。它有两族直母线：
w
x a
z c
u
1
y b
,
w2 u2
0
u
x a
z c
w 1
y b
,
（4.7-1）
与
t
x a
z c
v
1
y b
,
t2 v2
平面是直纹曲面； 柱面和锥面都是直纹曲面； 椭球面不是直纹曲面； 双叶双曲面不是直纹曲面； 椭圆抛物面不是直纹曲面.
例(教材P153)
求直线
：x 2
y 1
z 1 0
绕直线
l
:
二次直纹曲面讲义
单页双曲面和双曲抛物面 的直纹性的相同之处
? 对任意点每族直母线中各有唯 一一条直母线通过该点
? 两族直母线无公共直线
? 所有直母线都在两族中
单页双曲面和双曲抛物面 的直纹性的不同之处
? 单页双曲面异族直母线可能相交 也可能平行
? 双曲抛物面异族直母线都相交
? 单页双曲面同族的任意三条直母 线是都不会平行于同一平面
2 2
?
k2 b2
?
2z
??y ? k
为抛物线（对称轴平行 与z轴，开口为 z轴正向
大小形状与
k 无关，顶点为（
0,
k
,
-k 2b
2 2
）
顶点所在的抛物线方程 为????
y2 b2
?
2z）
??x ? 0
抛物线沿抛物线平行移动
双曲抛物面的截痕（用平行于yoz平面截）
双曲抛物面方程
x2 a2
?
y2 b2
? 15th Asian Games hosted by Qatar in December 2006
The world's first hyperboloid lattice 37-meter water tower by Vladimir Shukhov, All-Russian Exposition, Nizhny Novgorod, Russia, 1896
Félix Candela（结构建筑师）
Second Life (第二生命)
There are only 3 doubly ruled surfaces: The hyperboloid, hyperbolic paraboloid, and plane.
双曲面
3．单叶双曲回转面由一直母线绕一条与它交叉的直导线回转而形成的曲面。
如一直母线AB绕与其交叉的直导线OO为轴回转，则形成了单叶双曲回转面。
其投影如图9-15所示。
4．双曲抛物面由一直母线沿两条交叉的两直导线运动，运动中所有素线始终平行某一导平面而形成的曲面，如图9-16所示。
交叉两直线AB和CD为导线，P 为导平面，AC为直母线，它与导平面P平行，CP为铅垂面。
当直母线AC运动到A1 C1 位置时，仍保持与交叉两直线相交，且与导平面P平行，这样连续运动所形成的曲面即为一双曲抛物面。
该曲面用水平面截切得截交线为双曲线，如果正平面或侧平面截切得截交线为抛物线，故因此得名双曲抛物面。
图9-14锥状面图 9-15单叶双曲回转面的投影曲纹面以任意的平面曲线为母线绕回转轴旋转而形成的曲面称为曲纹面。
常见曲纹面有回转椭球面、回转抛物面等。
1．回转椭球面回转椭球面是椭圆绕其自身的长轴或短轴旋转而形成的曲面。
图 9-17所示的回转椭球面的投影，是绕长轴旋转形成的，正面投影是椭圆本身大小，而水平投影是以短轴为直径的圆。
2．回转抛物面回转抛物面是抛物线绕其对称轴旋转而形成的曲面。
回转抛物面的正面投影就是抛物线本身，而水平投影是圆，如图 9-18所示。
图 9-16 双曲抛物面图 9-17回转椭圆面 图9-18回转抛物面4.7单叶双曲面与双叶双曲面的直母线1、 求下列直纹面的直母线族方程： （1）（2）解：（1）从原方程得：x y z +-=axy z =222y z x -=-即：亦即：为了避免取极限，将上方程写成：（1）若将原方程变形为：，则可得到：（2）若令，，则（2）便是（1）原曲面的直母线族是（1），其中不全为零。
（2）原方程变形为：亦即：（1）y y z x z x ⋅-=-+))((⎩⎨⎧-=-=+⇔=--=+y t z x ty z x t z x yy z x )(⎩⎨⎧-=-=+sy t z x tyz x s )()(222x z y -=-⎩⎨⎧-=-=+ux z y v vxz y u )()()(21s t u -=)(21s t v +=∴t s ,ay x z=tay x z==⎩⎨⎧==∴t ay xt z由得： （2）（1）（2）即这原曲面的两组直母线族方程。
双叶双曲面和单叶双曲面
双叶双曲面和单叶双曲面
双叶双曲面和单叶双曲面如下：
一、曲率不同：
双叶双曲面的高斯曲率为正。
尽管它具有正曲率，但是具有另一适当选择的度量的双叶双曲面也可以用作双曲线几何的模型。
单叶双曲面的高斯曲率为负，两片双曲面的高斯曲率为正。
尽管它具有正曲率，但是具有另一适当选择的度量的两张双曲面也可以用作双曲线几何的模型。
二、定义不同：
双曲面是二次曲面，其可以被定义为三个变量中的二维多项式的点的集合的表面。
在二次曲面中，双曲面的特征在于不仅具有对称中心，而且让平面和其相交还能形成锥体、柱体等。
双曲面还具有三对垂直对称轴和三对垂直对称平面。
单叶双曲面，也称为双曲面。
它是一个连接表面，每个点都具有负高斯曲率。
这意味着任何点处的切线平面与双曲面相交成两条线，因此单叶双曲面是双重曲面。
，它具有两片双曲面，也称为椭圆双曲面。
表面有两个连接的部件，每个点都有正高斯曲率。
4.5.1：单叶双曲面PPT课件
x z 0 , a c
或
x
a
z c
0,
y b ;
y b ;
z
y o
x
当 h b 时，
截线变成两条直线
x z 0 , a c y b ;
或 x z 0 , a c y b ;
x2 z2
h2
a
2
c2
1 b2
,
y h.
z
x
h hb b
y
如果h b, 那么两条直线交于点(0,b,0), 如果 h b,那么两条直线交于(0,-b,0).
§ 4.5 双 曲 面
1. 单叶双曲面
定义 4.5.1 在直角坐标系下，方程
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
（4.5-1）
所表示的曲面叫做单叶双曲面，方程（4.5-1）叫做
单叶双曲面的标准方程，其中 a, b, c是任意的正常数.
现在我们从方程(4.4-1)出发来讨论椭球面的 一些最简单的图形性质.
（1）对称性
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
因为方程仅含有坐标的平方项，可见当 (x, y, z)
满足方程时， 点 (x,y,z) 也一定 满足，
其中正负号可任意选取， 所以单叶双曲面
关于三坐标平面， 三坐标轴及坐标原点都对称. （2）顶点 单叶双曲面与z轴不相交，
与x轴与y轴分别交于点 a ,0 ,0 与 (0 , b ,0 ),
a
2
y2 b2
1
h2 c2
z
z h,
两轴的端点分别为
y o
(a
1
h2 c2
,0,
h)与(0,b
二次曲面的直纹性
二次曲面的直纹性一 定义：由一组连续变化的直线形成的曲面称为直纹面，其中每条直线都称为它的母线。
注：柱面、锥面显然都是直纹面，但椭球面，双叶双曲面与椭圆抛物面均不是直纹面。
试问，单叶双曲面与双曲抛物面是否为直纹面？答案是肯定的。
二 单叶双曲面的直纹性: 设有单叶双曲面 1222222=−+cz b y a x （1） （1）等价于 （c z a x +）（c z a x −）=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+b y b y 11 （2） 即 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+c z a x ：⎟⎠⎞⎜⎝⎛+b y 1=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−b y 1：⎟⎠⎞⎜⎝⎛−c z a x （3） 对∀ λ≠0，方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=−+=+)1(1)()1()(b y cz a x b y c z a x λλ （4） 表示一直线，另外 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−=+010by c z a x （5） 及 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=−010by c z a x （6） 也表示直线。
显然由（4）—（6）构成的直线族中每一直线均在单叶双曲面（1）上。
再者对∀0M （0x ，0y ，0z ）∈（1） 有 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+b y 1b y 1c z a x c z ax 000000 注意1+b y 0与1-by 0不全为0 1°若1+b y 0≠0当时0c z a x 00≠+，令λ=0by 1c z a x 000≠++ 则 0M ∈（4） 当0c z a x 00=+时，则1-by 0 =0，则0M ∈（5） 2°若1+b y 0=0，则1-by 0≠0 当0c z a x 00≠− 取λ=cz a x b y 1000−−≠0 则0M ∈（4） 当0cz a x 00=−时，有0M ∈（6） ∴有：单叶双曲面是由直线族（4）-（6）构成的 ∴单叶双曲面是直纹面。
同理，由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=−−=+1(1)1(b y c z a x b y c z a x µµ μ≠0 （4′） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+010by c z a x （5′） 及⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−=−010by c z a x （6′） 组成的直线族也可构成单叶双曲面（1），为方便记忆，将（4）—（6）和（4′）-（6′）写成如下统一形式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=−′+′=+)1()(1()(b y u cz a x u b y u c z a x u u,u′不全为0 （7）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=−′−′=+)1()()1()(b y v cz a x v b y v c z a x v v，v′不全为0 （7′）分别称（7）（7′）为单叶双曲面（1）的u 族，v 族直母线。
4.7 直纹面
( x0 , y0 , z0 ) 满足方程(2)
的某一直线上 ∴单叶双曲面(1) 由直线族 (2) 构成
M ( x0 , y0 , z0 ) 在直线族(2)
x z x z 1 y 1 y a c a c b b x z a c
λ不同, 所表示的直线也不同. 当λ取遍一切实数时, 得到无数多条直线, 这些直线构成一直纹面. 求此直纹面
的方程.
2z x 2 y z 解 消去λ y 3 1 2 3 2 2z 2z z y x y 3 3 3 z 2 4 2 4 y z yz x 0 为所求直纹面方程. 3 9 3
1 a a 1 a k a 1 b b 1 b k b
L1 :
0 2 1 0
1 a a 1 b b
1 1 x y 2 b a x y z 0 a b
证明: 对于双曲抛物面, 属于同族的两条直母线 都是 异面的. x y 2 2 a b 2 y 证x 2 2 z x y x y 2 z λ族: 2 a b a b a b x y z 在其中任取两条 a b 1 1 1 1 x y 2k x y 2 b L1 : b a L2 : a k k k x y z 0 x y z 0
R
(5.9)
x y a b 2
R
(5.10)
x y z a b
例 求双曲抛物面 4x y z 过点 M (1, 1, 3) 的直母线方程.
2 2
解
2x y 2x y z 2x y 2x y z
单叶双曲面与双曲抛物面直母线
单叶双曲面与双曲抛物面的直母线DOI : 10. 13853 /j . cnki . i ssn. 1672 -3708. 2000. 06. 006 第年(X X 月卷第6期1o) 台州师专2 学报l f o a 侧T ll 2 u 知山2l o、N6 eO .l力a(U g J nee.e XX (e单叶双曲面与双曲抛物面的直母线董大伦台州师( 范专科学校数学系浙江临海,’31 7 仪旧: 摘要对单叶双曲面与双曲抛物而的直母线的一些性质作进一步的探讨得到儿个结果,。
关键词: 单叶双曲而; 双曲抛物而; 直母线中图分类号:8 2 1文献标识码:A文章编号:!7 o一7 5 l( l2 仪刃)肠一仪犯0一。
: 文【] 给出了单叶双曲面与双曲抛物面的直母线如下性质l单叶双曲面或双曲抛物面的任一条直母线向其同族的其他直母线所引的公垂线与这些直母线的交点必共面而且双曲抛物面的这些公垂线是一族共面的平行线本文沿用【] 中的记号及名称对直母线性质进一步深人探讨l, 。
,。
命题1单叶双曲面的任一条直母线向其同族的其他直母线所引的公垂线与这些直母线。
的交点轨迹是椭圆( 或圆): 证明设单叶双曲面的方程为护一十乒护一护止一一“(l)由〔l] 知直母线心. 护L X..1二e口二~,.下、+盯J , `“ 0 、了、`尹万`,=u o kl +下U b):l “ 0、丁“三、=ez1 _’工’向其同族其他直母线e r L lw 一X 住:.了/,.、+吸、乙矛Z 护了、.一 C一=u又l +下OuU笋u o( 兰u三)=I _土b所引公垂线的交点在平面加( 。
2 62e Z a Z+62。
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为方便我们将方程( 2 ) 简记作Z二。
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单叶双曲面的直母线的性质
单叶双曲面的直母线的性质
单叶双曲面的直母线，被广泛用作几何学上形状最核心的概念，在平面几何学中，用于表示复杂的曲线以及许多其他形状。
它被认为是三维空间中表面曲率最大的曲线，其中最重要的曲率有两个，一个是曲率系数，另一个是角度系数。
因此，它在几何学中被认为是一种特殊的曲线，具有它独特的性质。
单叶双曲面的直母线的形状由一个曲面的曲率决定，它的几何形状与它的曲率密切相关，是这个曲面上变形最小的子曲线。
该曲线本身就是一个局部结构，形状取决于曲面整体结构和曲面的曲率分布，并且每一个点处的曲率值都会发生变化，但它们在一定范围内也具有一定的相似性，能够表现出特定的形状特征。
单叶双曲面的直母线具有它独特的性质，它的母点（转折或半径点）是边缘上最大曲率值的点，它是一个与圆轴垂直的半径向量，并且球面线性曲率表示为等距射线取曲面上每个点处的曲率值，它与曲率比直接相关，这使得它可以方便地用来建立诸如应力和应变分布等几何参数。
单叶双曲面的直母线被广泛应用于决定复杂表面的曲率，也可以用作分析曲面的变形情况，同时也用于做计算几何的连接线，而且用于定义几何形状和构建复杂表面。
它的应用范围很广，不仅可以应用于实际制造，例如汽车制造中，还可以用于推理和几何学等理论研究，以提升精密制造的技术水平。
总之，单叶双曲面的直母线是一种具有巨大运用可能的特殊曲线，可以用来表示曲面的曲率和角度系数，并可以应用于实际制造和推理几何学研究，作为精密制造技术发展的主要基础。
从单叶双曲面直母线问题的研究谈研究性教学
从单叶双曲面直母线问题的研究谈研究性教学刘德金【摘要】This paper studies the uniqueness about u and v-family rectilinear generator of uniparted hyperboloid and the plane equation about intersection of the plane with the uniparted hyperboloid,next expounds that research teaching should be carried on with problems in basic course.%研究了单叶双曲面u族和v族直母线存在的唯一性问题和与单叶双曲面交于直母线的平面方程,在此基础上阐述了基础课应以问题为载体进行研究性教学.【期刊名称】《德州学院学报》【年(卷),期】2012(028)004【总页数】5页(P106-110)【关键词】单叶双曲面;直母线;平面;研究性教学【作者】刘德金【作者单位】德州学院数学系,山东德州253023【正文语种】中文【中图分类】O119教育部在2005年《关于进一步加强高等学校本科教学工作的若干意见》中明确提出：“要积极推动研究性教学，提高大学生的创新能力［1］.”这就明确了在高校实行研究性教学的设想，研究性教学也由此成为高校教学改革的中心问题之一.高校如何进行研究性教学，不少学者认为研究性教学就是以课程内容和学生的学识积累为基础，以“问题”为中心，以小课题研究或项目的设计为教学的切入点，创设一种类似研究的情境或途径，引导学生自己发现问题、研究问题、发现新知识［2，3］.笔者对此非常赞同，认为它尤其适用于基础课的研究性教学.本文拟结合单叶双曲面直母线问题的研究谈谈在解析几何教学中以问题为载体实施研究性教学的做法.文献［4］中研究了单叶双曲面、双曲抛物面的直母线，分别给出了它们的两族直母线方程，并研究了直母线的性质.对单叶双曲面证明了它是由直线族构成的，这两族直线分别叫做单叶双曲面的u族直母线和v族直母线.问题1 以上两族直母线是由（1）式变形为得到的.不难想到把方程（1）变形为也可写出另两族直线方程并且容易证明这两族直线也都构成单叶双曲面.那么，p族、r族直线与u族直母线和v族直母线有什么关系？问题2 单叶双曲面上是否存在直线，它不是由上述方法得到的？问题3 由文献［4］知，用平行平面束截单叶双曲面时可以截出一族平行椭圆或截出一族双曲线.因此单叶双曲面可看作由椭圆构成的，也可看作是双曲线构成的.既然单叶双曲面是由直线构成，那么怎样的平面可以与单叶双曲面相交于直线？进一步地，怎样的平面束与单叶双曲面交出u族直母线或v族直母线？结论1 r族直线正是单叶双曲面⑴的u族直母线；而p族直线正是单叶双曲面（1）式的v族直母线.证明以u族直线中直线为轴的平面束方程为即将r族直线方程整理为（3）中第一式表示的平面过u族中直线的充要条件是存在不全为零的λ、μ使得所以因为u、w不全为零，所以λ＝μ；（3）中第二式表示的平面过u线的充要条件是存在不全为零的λ′、μ′使得所以因为u、w不全为零，所以λ′＝－μ′.λ＝μ时，（4）式变为因为u－w、u＋w不全为零，所以或时，（5）变为因为不全为零，所以或所以对于不全为零的u、v确定的u族直母线中的直线，只要在r族直线中取或，这时r族直线方程中第一式和第二式表示的平面都过这条u族的直线，这说明u族直母线中每条直线是r族中的直线.同法可证r族中每条直线也是u族中的直线.故r族直线就是u族直母线.同理可证，p族直线就是v族直母线.结论2 单叶双曲面上只要有直线，则它一定是u族或v族直母线中的直线.证明若一直线是单叶双曲面（1）式上的直线，则它一定与xoy平面相交，并且交点在腰椭圆上.因此，这样的直线方程可设为，其中（x0，y0，0）是腰椭圆上的点，即经过点（x0，y0，0）的u族中的直线为经过点（x0，y0，0）的v族中的直线为要证（6）式是u族或v族直母线中的直线，只须证明（6）式一定是（8）式或（9）式即可.因为（6）式、（8）式和（9）式都过腰椭圆上的点（x0，y0，0），所以这又只需证（6）式的方向与（8）式或（9）式的方向平行即可.事实上，（6）在单叶双曲面（1）上，则对于任意t有由（7）式因为t是任意的，所以由此得而（8）式的方向向量为（9）式的方向向量为由此可见，方向（10）式平行于单叶双曲面u族中直母线的方向（11）式或v族中直母线的方向（12）式.结论3 与单叶双曲面（1）式相交于直线的平面方程是其中t、v不全为零，w、u不全为零.证明如果平面与单叶双曲面相交于直线，由结论2知这直线一定是直母线，所以这样的平面一定是以直母线为轴的平面束中的平面.以u族直母线中直线为轴的平面束方程是其中w、u不全为零，t、v是不全为零的任意实数.将其整理即得（13）式.以v族直母线中直线为轴的平面束方程是其中t、v不全为零，w、u是不全为零的任意实数.整理也得（13）式.结论4 每个与单叶双曲面相交于直线的平面一定与单叶双曲面相交于两条直母线，其中一条是u族直母线中的直线，另一条是v族直母线中的直线.结论5 以每一条u族直母线中直线为轴的每个平面束中的平面与单叶双曲面相交的另一直线构成v族直母线；以每一条v族直母线中直线为轴的每个平面束中的平面与单叶双曲面相交的另一直线构成u族直母线.结论6 与单叶双曲面交于直线的平面构成有轴平面束“族”，它的方程就是（13）式，以直母线为轴的每个平面束都是这“族”中的平面束.单叶双曲面是一种具有特殊结构的二次曲面，它在许多方面有应用［5］.单叶双曲面直母线是二次曲面研究中的一个重要内容.单叶双曲面直母线问题涉及向量运算，直线、平面的方程和位置关系，直线与曲面、平面与曲面的关系.以上三个问题环环相扣，步步深入，形成一个较好的问题链，贴近教材内容，接近学生水平，是教材内容的延伸和深入，设计这样的问题供学生思考、探讨，具有实际可操作性.对于学生理解和掌握单叶双曲面直母线的知识，对于学生学习能力的培养有现实意义. 对于问题1，后两族直母线与已知的u族和v族直母线的关系应该说不是可轻易做出判断的.比较好理解的探讨结论的方法是，不妨先猜测p族就是u族直母线或v族直母线，然后设法证明.如果得到证明，就说明猜测正确；若证明不成，则结合证明遇到的情况看是否可列举p族中有一直线不在u族直母线中、也不在v族直母线中，从而说明p族直线是不同于u族或v族的直母线.同样的道理可以考虑r 族.朝什么方向猜测，采用什么样的方法去证明猜测，证明时直母线的方程采用单参数还是双参数，这些都值得琢磨和用心选择.问题2是问题1的继续，由结论2的证明可知，实际结论2包含了结论1的内容.不过我们在教学中先提出问题1，在问题1研究的基础上再提出问题2，这样使问题的提出更自然，与教学内容衔接更紧，更贴近学生的水平.问题3的研究是对教学中介绍的平行截割法的反思，这对认识曲面的结构和研究曲面的方法有重要意义.教学中，不事先给出结论，而是让学生或引导学生探索问题的答案.鼓励学生有不同猜测、用不同的方法去证明猜测.这过程中包含了根据对单叶双曲面知识的理解和直观认识对结论的猜测和对证明猜测方法的尝试，也包含了证明探索中遇到挫折后的分析、反思、坚持或纠正.这过程需要不断选择和判断，使学生经历研究中的沟沟坎坎，体会研究中的酸甜苦辣.这样做，即使获得否定的结果也同样能体现探索的意义和价值，使学生的认识不断得到修正，从中获得思维的训练和兴趣、素养、能力的提高，培养了创新意识，获得满足感和成就感.单叶双曲面可研究的问题还有许多，如是否存在一族平行平面，它与单叶双曲面总是相交于直线？通过上述三个研究问题的启示，让学生考虑：对双曲抛物面有什么问题可以研究？除此以外，也曾推荐关于单叶双曲面的教研论文给在上述问题研究中表现出兴趣的同学阅读学习，满足了学习上比较活跃、渴望创新的学生的需求，丰富了学生的课余生活.学生进入大学后，已不满足于教师的照本宣科，希望教师有自己的“东西”.实施研究性教学，用类似于科学研究的方式，引导学生去探究问题、获取新知识，使学生领悟如何发现问题、提出问题，怎样寻求解决问题的途径和方法.这种教学活动既是展现知识创新的过程，也是对学生进行科学研究的初步训练过程，既展示了教师的风采，又满足了学生的求知欲，有利于培养学生的创新能力，能够为学生后来的毕业论文写作或毕业设计打下很好的铺垫.在解析几何课程中实施研究性教学，学生表现出浓厚的兴趣和参与热情，虽说是第一学期的课，但到最后撰写毕业论文，仍有越来越多的学生选择解析几何中的课题.现代学习方式特别强调问题在学习活动中的重要性.一方面强调通过问题来进行学习；另一方面又通过学习来生成问题.这种以问题为中心特征的学习方式体现了当代教育的价值取向.“问题”是研究性教学的载体，研究性教学，一是以问题为切入点，二是以“问题研究”的方式来展开教学.因此提出引人入胜、有研究意义的“问题”，是组织好研究性教学的首要环节，无论是曾被解决了的问题，还是新涌现出来的问题，或许都能成为一个好的研究性教学的题材.教师作为课堂研究性教学中的“设计者”，对教学内容本身进行研究是特别需要的，否则教学只能是就事论事、照本宣科.课堂教学中实施研究性教学，关键是教师要有求新、创新的意识，有“问题意识”，要经常性地琢磨，积累问题，这样才能设计出适合学生探索又具有一定意义的问题，才可能把自己对问题的思考渗透到教学中.需要注意的是，设计的问题应贴近学科和课程的精髓、体现该学科的“思想”，有适合学生自主思考和探索的“抓手”，问题的大小、繁简、难易适宜，能够激发学生学习兴趣和探究热情.研究性教学，问题的解决不一定在课堂上完成，可以留待课下探讨.对研究性的问题期待每位学生参与，但不要奢求每个学生都能给出完整答案.对学生的探讨要及时给以批阅，给出评价，给以鼓励.研究性教学不只是研究型学校的事，一般普通高校也可以，不只是专业课、后继课的事，基础课也可以.关键是以生为本，因材施教.只要各门课程都渗透、各个教师都重视，就一定能达到培养学生创新能力的目的.【相关文献】［1］教育部.关于进一步加强高等学校本科教学工作的若干意见（教高〔2005〕1号）［Z］.2005.［2］陈雅芳.当代大学教师的教学理念［J］.中国大学教学，2003，（1）：20－22.［3］彭先桃.大学研究性教学的理念探析［J］.教育导刊，2008，（3）：56－58.［4］吕林根，许子道.解析几何（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2002.［5］蔡国梁，李玉秀，等.直纹曲面的性质及其在工程中的应用［J］.数学实践与认识，2008，（8）：98－102.。
§47单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
§4.7单叶双曲面与双曲抛物面的直母线一.直纹曲面的概念:直纹曲面的概念:由一族直线所构成的曲面叫做直纹曲面.直母线的概念:,构成直纹曲面的那族直线叫做这曲面的一族直母线.显然,柱面和锥面都是直纹曲面.二.单叶双曲面的直母线定理 单叶双曲面Σ 1222222=−+c z b y a x 是直纹曲面,它有两族直母线u 族直母线： ⎪⎩⎪⎨⎧−=−+=+)1()(1()(1221b yu c z a x u b yu c z a x u l u 其中21,u u不全为零.v 族直母线： ⎪⎩⎪⎨⎧+=−−=+)1()()1()(1221b y v c z a x v b yv c za x v l v 其中21,vv不全为零.证明:由单叶双曲面方程 1222222=−+c z b y a x 得 2222221b y c z a x −=− 有 )1)(1())((b yb yc za xc za x+−=+− 设 21:)1(:)()(:)1(u u b yc za x c z a xb y =−−=++ 所以有 ⎪⎩⎪⎨⎧−=−+=+)1()()1()(1221b y uc za xu b yu c z a x u l u 其中21,u u 不全为零.对于21,u u 一组确定的值,u l 表示一条直线,当21,u u 变化取不同的值时, u l 就确定了一族直线.下证直线族u l 中的任何一条直线上的点都在曲面Σ上.设点),,(1111z y x P 是满足u l 的点,则⎪⎩⎪⎨⎧−=−+=+)1()()1()(1111212111by u c z a x u b y u c z a x u )1()(2212122122121by u u c z a x u u −=− 所以 1221221221=−+cz b y a x 因此,满足u l 方程的点在曲面Σ上,所以直线族u l 中的任何一条直线上的点都在曲面Σ上.再证点),,(0000z y x P 是单叶双曲面Σ上的任一点,则1220220220=−+c z b y a x 有 )1)(1())((000000by b y c z a x c z a x +−=+− 不妨设010≠+by (因为b y 01+与b y 01−不可能同时为零,否则有b y =0和b y −=0,所以0=b ,这与0>b 矛盾) ①若000≠+cz a x ,取21,u u ′′使得 )1()(02001by u c z a x u +′=+′ 则有 )1()(01002by u c z a x u −′=−′ 所以),,(0000z y x P 在直线族u l 中的一条直线u l ′上 ②若000=+c z a x ,则010=−by 即 ⎪⎩⎪⎨⎧=−=+010000b y c z a x所以),,(0000z y x P 在直线族u l 中的一条直线上.因此曲面Σ上的任一点在直线族u l 中的某一条直线上.这就证明了曲面Σ由直线族u l 构成,因此单叶双曲面Σ是直纹曲面,而u l 是曲面的一族直母线,称为u 族直母线 同理可设 21:)(:)1()1(:)(v v cz a x b y b y c z a x =+−=+− 所以有 ⎪⎩⎪⎨⎧+=−−=+)1()()1()(1221b y v cz a x v b y v c z a x v l v 其中21,v v 不全为零. 定理:单叶双曲面上有两族直母线,每一族都能产生整个曲面,在曲面上每一点都是的两条不同的直母线经过.推论:对于单叶双曲面上的点,两族直母线中各有一条通过这点.三.双曲抛物面的直母线定理 双曲抛物面Σz by a x 22222=−是直纹曲面,它有两族直母线为 u 族直母线： ⎪⎩⎪⎨⎧=−=+z b y a x u u b y a x l u )(2; v 族直母线： ⎪⎩⎪⎨⎧=+=−z by a x v v b y a x l v )(2 证明 由z by a x 22222=−得,z b y a x b y a x ⋅=−+2))((, 设 u by a x z b y a x =−=+)(:2:)( 所以有 ⎪⎩⎪⎨⎧=−=+z by a x u ub y a x l u )(2 同理可得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=−z by a x v vb y a x l v )(2 定理:双曲抛物面上有两族直母线,每一族都能产生整个曲面,在曲面上每一点都是的两条不同的直母线经过.推论:对于双曲抛物面上的点,两族直母线中各有一条通过这点.四.单叶双曲面与双曲抛物面的直母线的性质1.单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面,而双曲抛物面上异族的任意两直母线必相交.2.单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线总是异面直线,而且双曲抛物面上同族的全体直母线平行于同一平面.。
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u
x a
z c
w 1
y b
,
（4.7-1）
与
t
x a
z c
v
1
y b
,
t2 v2
0
v
x a
z c
t
1
y b
,
（4.7-2）
对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过这点.
解析几何
定理 双曲抛物面
x2 a2
y2 b2
解析几何
例2
试证明双曲抛物面
x2 a2
by22
上2z的a两b直母线直交时，其交点必
在一双曲线上.
例3 已知空间两异面直线间的距离为 2，a 夹角为 ，2 过这两直线
分别作平面，并使这两平面相互垂直，求这样的两平面交线的轨 迹.
解析几何
例求直线 ：x y绕 直z1线
21 0
l旋: x转所y 得z的旋转曲面的方程.
单叶旋转双曲面
解析几何
二、单叶双曲面是直纹曲面
单叶双曲面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
a,b,c 0
分析:
如果曲面 S 上存在一族直线，
定理4.7.1 单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面，而双曲抛 物面上异族的任意两直母线必相交. 定理4.7.2 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线总 是异面直线，而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一平 面.
解析几何
例1 求过单叶双曲面 x2 y2 上z的2 点1 的直6母, 2,8线 的方程.
(1) 曲面 S 上的每个点必定在这个 族中的某一条直线上;
(2) 直线族中的每条直线都在曲面 S 上.
解析几何
定理
单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 ， a,b,c
0
是直纹曲面.它有两族直母线：
w
x a
z c
u
1
y b
,
w2 u2
0
解析几何
§4.7 单叶双曲面 与双曲抛物面的直母线
解析几何
一、直纹曲面的概念
定义 由一族直线所生成的曲面叫做直纹曲面(ruled surface)， 生成曲面的那族直线叫做该曲面的一族直母线.
平面是直纹曲面； 柱面和锥面都是直纹曲面； 椭球面不是直纹曲面； 双叶双曲面不是直纹曲面； 椭圆抛物面不是直纹曲面.
u
x a
z c
w 1
y b
（4.7-1）
与
t
x a
z c
v
1
y b
,
t2 v2
0
v
x a
z c
t
1
y b
.
（4.7-2）
推论1 对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线
通过这点.
解析几何
三、双曲抛物面是直纹曲面z
O x
2z ，
是直纹曲面.它有两族直母线：
a,b 0
x a
y b
2u,
u
x a
y b
z,
u
R
（4.7-3）Βιβλιοθήκη 与x ay b
2v,
v
x a
y b
z,
v
R
.
（4.7-4）
对于双曲抛物面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过该点.
解析几何
四、单叶双曲面与双曲抛物面的性质
9 4 16
分析: 单叶双曲面 x2 y2 z2 1 的两族直母线方程为：
9 4 16
w
x 3
z 4
u 1
y 2
,
与
u
x 3
z 4
w 1
y 2
t
x 3
z 4
v 1
y 2
,
v
x 3
z 4
t
1
y 2
.
将（6，2，8）代入上述直母线族方程，求得 w , u , t , v.
y
解析几何
双曲抛物面
x2 a2
y2 b2
2z
a,b 0
解析几何
定理 单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 ， a,b, c
0
是直纹曲面。它有两族直母线：
w
x a
z c
u
1
y b
,
w2 u2
0