单叶双曲面与双曲抛物面直母线-资料
§4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
§4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线一、直纹曲面：柱面和锥面都可以由一族直线所构成. 由一族直线所构成的曲面叫做直纹面, 而构成曲面的那族直线叫做这个曲面的一族直母线. 柱面与锥面都是直纹面.二、直母线：1．单叶双曲面+－＝1是直纹面, 它有两族直母线,它们的方程分别为(λ, μ为参数, 且不全为零)与(λ', μ'为参数,且不全为零)注: 此处是把y项移到右边而得到的直母线方程; 同样也可把x项移到右边得到另一组直母线方程, 两组直母线方程的表达形式可能不一样, 但其方向矢量是平行的, 把它们化为标准方程后会发现它们表示同一组直母线. 双曲抛物面情况类似.2. 双曲抛物面－＝2z也是直纹面, 也有两族直母线,方程分别为(λ为参数) 与(λ'为参数)3. 单叶双曲面上两族直母线的大概分布情况如图4-16.4. 双曲抛物面上两族直母线的大概分布情况如图4-17.三、性质：1. 单叶双曲面上异族的任意两条直母线必共面, 而双曲抛物面上异族的任意两条直母线必相交.2. 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两条直母线总是异面直线, 而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一平面.3. 对于单叶双曲面和双曲抛物面上的每一点, 两族直母线中各有一条通过这一点.例1. 试求单叶双曲面+－z2＝1上通过点(2, －3, 1)的直母线.解:单叶双曲面+－z2＝1的两族直母线方程为与将点(2, －3, 1)代入上面的两组方程, 求得λ＝0 与λ': μ'＝1:1,代入直母线族的方程, 得过(2, －3, 1)的两条直母线为与即与例2. 求在双曲抛物面－＝z上平行于平面3x+2y－4z＝0的直母线.解:设双曲抛物面的一族直母线中与已知平面平行的直母线为它的方向矢量为 {－,,－}, 由已知条件有3×+2×+(－4)×＝0,解得u＝0, 从而求得满足条件的直母线为同理可得另一族直母线中满足条件的直母线为例3. 试证单叶双曲面＋－＝1的任意一条直母线在xOy坐标面上的射影,一定是其腰椭圆的切线.证明:只须对u族直母线情形证明成立即可. 设u族直母线中一条直线l的方程为l：则l在xOy坐标面上的射影直线l'可以看成是直线l在xOy坐标面上的射影柱面与xOy平面的交线l'：现只须证明l'与单叶双曲面的腰椭圆只交于一点即可, 从而l'与腰椭圆相切. 事实上由上式有代入腰椭圆方程得该式左端是一个完全平方式, 故方程只有一组解, 即l'与腰椭圆只有一个交点.例4. 求与两直线＝＝与＝＝相交, 而且与平面2x＋3y－5＝0平行的直线的轨迹.解: 设满足条件的直线l的方向矢量为{X, Y, Z}, 点P(x, y, z)是l上任意一点, 因l与两已知直线相交, 故有＝0,＝0.即有(y－2z＋2)X＋(3z－x＋3)Y＋(2x－3y－12)Z＝0,(－2y－2z＋8)X＋(2x+3z＋12)Y＋(2x－3y+24)Z＝0.又l与已知平面平行, 从而 2X+3Y＝0,由于X, Y, Z不全为零, 由以上三式得＝0,化简整理得－＝z.这是一双曲抛物面.例5. 求与下列三条直线与＝＝都共面的直线所构成的曲面.解: 设{X, Y, Z}是满足条件的直线l的方向矢量, P(x, y, z)是l上任意一点, 因l 与已知三直线都共面, 故有＝0, ＝0,＝0.或由于X, Y, Z不全为零, 从而有＝0,化简整理得x2+y2－z2＝1.这是一单叶双曲面.作业题：1. 试求双曲抛物面－＝2z在点(4, 0, 2)的直母线方程.2. 求通过直纹曲面z＝xy上点(1, 1, 1)的直母线方程.。
单叶双曲面与双曲抛物面的教法
单叶双曲面与双曲抛物面的教法
椭球-椭圆
双曲面-抛物面
(1) 双曲面：
1）定义：双曲面是单叶双曲面的特殊情况，由特定的二次多项式表示，它在三维空间中是一个曲面，它有二维和一维空间投影，它可以被椭
圆曲线拟合。
双曲面的特点是其曲率固定，且四条边界是正交的。
2）参数方程：双曲面的参数方程为
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$，其中$a,b,c$都
大于零。
3）特征：双曲面有两个极轴：$x$和$z$轴；它有两个椭圆曲线为投影：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$和
$\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
(2) 双曲抛物面：
1）定义：双曲抛物面是由特定的一次多项式表示的抛物面，在三维空
间构成一个双曲面，它与椭球有着类似的几何结构，双曲抛物面的特
点是它的抛物度恒定，边界曲线与xy平面的交点为椭圆。
2）参数方程：双曲抛物面的参数方程为$\frac{x^2}{a^2}-
\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$，其中$a,b,c$都大于零。
3）特征：双曲抛物面有两个极轴：$x$和$z$轴；它有两个椭圆曲线为投影：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$和$\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$。
空间解析几何-第3章 常见的曲面3
2017/1/4
直纹面的应用
2017/1/4
室外探索乐园——广东科学中心
解法二：
设过点（ 2,3， - 4）的直线方程为 x 2 lt y 3 mt z -4 nt l2 m2 n2 2 2 1 代入曲线方程得（ )t (l m n)t 0① 4 9 16 3 2 由命题3.6.（ 1 1）知过点（ 2,3， - 4）有且仅有两条直母线 ，故①为一关于 t的恒等式 l2 m2 n2 有 0 4 9 16 2 1 和l m n 0 3 2 2x z 0 x20 解得l : m : n 1 : 0 （ : - 2）或0 : 3： (-4） , 从而母线方程为 { 与{ y 3 0 4 y 3z 0
平面是直纹面
二次柱面和二次锥面都是直纹面。
其它的二次曲面中，只有单叶双曲面和双曲抛 物面是直纹面。
2017/1/4
单叶双曲面是直纹面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
含两个直母线系 直纹面在建筑学上有意义 例如，储水塔、电视塔等 建筑都有用这种结构的。
2017/1/4
空间解析几何
第3章 常见的曲面3
2017/1/4
本章主要内容
1 2 3 4 5 6 7 8 9 柱面 锥面 旋转曲面 曲线与曲面的参数方程 椭球面 双曲面（单叶双曲面，双叶双曲面） 抛物面（椭圆抛物面，双曲抛物面） 二次直纹面 作图
五种典型的 二次曲面
§3.6 直纹面
由一簇直线构成的曲面叫直纹面，其中的直线 叫直纹面的母线。
双曲抛物面（马鞍面）是直纹面
x2 y2 2 z 2 a b
含两个直母线系2017/1/4 Nhomakorabea双曲抛物面是直纹面
第二讲水工建筑中的常见曲面(二)
a‖ d‖ c‖
b‖
C. 渐变段断面的画法 断面——截断面的投影——截交线 带圆角的矩形
C. 渐变段断面的画法 断面——截断面的投影——截交线
带圆角的矩形
1 投影作图： 2 计算作图：
1‗（4‘） O‘
r
2 ‘（3‘）
L1 r L L- L1 h1 = h L L - L1 b b1 = L r1= r =Φ /2
第二讲 水工建筑中的常见曲面（二）
P198– P204
柱面
锥面
可展曲面
双曲抛物面（扭面）
直线面
柱状面 锥状面 不可展曲面√
螺旋面 单叶回转双曲面
曲线面 组合面
3、双曲抛物面（扭面）
（1）双曲抛物面的形成
一直母线沿交叉两直线移动，且始终平行一个导面而形成 的曲面。又称为扭曲面或扭面
图示扭面的形成： 1）AC 2 ）AB 母线；AB、CD 母线；AC、BD 导线；P面 导面 导线； Q面— 导面
4 3 1 2
4（3） 1 （ 2）
r
习题：p48
预习：P205– P211
旋转楼梯
画法：在两条螺旋线基础上加画素线
正螺旋面的应用——旋转楼梯
7、单叶回转双曲面
B
转向线
（双曲线）
形成：一直母线绕与其交 叉的轴线旋转而成。
3’ C‘ 2’
画法：
1）画母线（如AB—正平线） 、轴线 2）在母线上取一系列点 A、B、C、1、2、3 3）作这些点的轨迹圆的水平 投影和正面投影， 4）作轨迹圆正面投影的切线 既为单叶回转双曲面的主视转 向线。
1‘
A
O
1
2 C 3
5）水平投影需画出顶圆、底 圆及喉圆的投影，
4.7：单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
（5）
如果
那么由(5)知必有
这样就证明了曲面(1)是由u族直线所构成.
因此单叶双曲面(1)是直纹曲面.
同样可以证明由直线
（6）
(其中 为不等于零的任意实数)与另两直线(相当与 (6)中当 和 的情形)
现在我们来证明定理的前半部分，单叶双曲面上 异族的任意两直母线必共面.
证:
单叶双曲面的两个异族直母线方程分别为:
这两条直线共面的充分必要条件是(看p137, 例3)
四个方程的系数和常数项所组成的行列式为零.
所以单叶双曲面上异族的两直母线必共面.
定理 4.7.2 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任 意两直母线总是异面直线，而且双曲抛物面同族的全 体直母线平行于同一平面.
为了避免取极限，我们常把单叶双曲面(1)的u 族直母线写成
（4.7-1）
其中 不同时为零。当 时，各式除以 式子就化为(3)；当 时便化成(4)； 当 时便化成(4`).
我们虽然很弯曲, 但是我们都由直线构成, 你相信吗?
首先考虑单叶双曲面
（1）
其中 为正常数，
把（1）改写为
或者
（2）
(2)与(1)等价吗?
等价!
（2）
现在引进不等于零的参数u, 将上述方程写为:
改写为:
(2)/
(3)
(3)与(2)等价吗?
不等价!
对于给定的u, (3)表示什么曲线?
直线
（4）
与
（4）/
考虑到(3) 与(2)相比,漏掉了下面的两个方程组
（2）
(2)/
(1)
(3)
也就是说
(3)
与
直纹曲面及其性质
,取u的值,使得
y0 b
0.此
则由(3.4-5)便得
x0 a
z0 c
u(1
y0 ) b
,
x0 z0 1 1 y0 a c u b
所以点P0(x0,y0,z0)在直线(3.4-3)上．
若
x0 a
z0 c
0,则由(3.4-5)可得1
y0 b
0 ,故M0点在直线
下证u族直线(3.4-11)可以构成曲面(3.4-10),从而它是曲面 (3.4-10)的一族直母线.
易知,u族直线(3.4-11)中任何一条直线上的点都在曲面(3.4-
10)上；反过来,设(x0,y0,z0)是曲面(3.4-10)上的点,则有
a(x0 , y0 , z0 ) b(x0 , y0 , z0 ) c(x0 , y0 , z0 ) d (x0 , y0 , z0 ) , (3.4-12)
1
y b
．
引进不等于零的参数,并考察由(3.4-2)得到的方程组
x a
z c
u 1
y b
,
x a
z c
1 u
1
y b
,
(3.4-1) (3.4-2) (3.4-3)
与两方程组
x a
z c
0,
1
那么取u : w 的值,使得
从而有
a(x0 , y0 , z0 ) d (x0, y0, z0 ) u , c(x0 , y0 , z0 ) b(x0 , y0 , z0 ) w
ìïïíïïî
单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
－Chapter 4
§7 单叶双曲面与双曲抛物面 的直母线
Contents
一、直纹曲面的概念 二、单叶双曲面是直纹曲面 三、双曲抛物面是直纹曲面 四、单叶双曲面与双曲抛物面的性质
一、直纹曲面的概念
定义 由一族直线所生成的曲面叫做直纹曲面(ruled surface)， 生成曲面的那族直线叫做该曲面的一族直母线.
a,b, c 0
分析:
如果曲面 S 上存在一族直线， (1) 曲面 S 上的每个点必定在这个 族中的某一条直线上;
(2) 直线族中的每条直线都在曲面 S 上.
定理 单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 ， a,b, c
0
是直纹曲面.它有两族直母线：
w
x a
是直纹曲面。它有两族直母线：
w
x a
z c
u
1
y b
,
w2 u2
0
u
x a
z c
w 1
y b
,
（4.7-1）
与
t
x a
z c
v
1
y b
,
t2 v2
平面是直纹曲面； 柱面和锥面都是直纹曲面； 椭球面不是直纹曲面； 双叶双曲面不是直纹曲面； 椭圆抛物面不是直纹曲面.
例(教材P153)
求直线
：x 2
y 1
z 1 0
绕直线
l
:
二次直纹曲面讲义
单页双曲面和双曲抛物面 的直纹性的相同之处
? 对任意点每族直母线中各有唯 一一条直母线通过该点
? 两族直母线无公共直线
? 所有直母线都在两族中
单页双曲面和双曲抛物面 的直纹性的不同之处
? 单页双曲面异族直母线可能相交 也可能平行
? 双曲抛物面异族直母线都相交
? 单页双曲面同族的任意三条直母 线是都不会平行于同一平面
2 2
?
k2 b2
?
2z
??y ? k
为抛物线（对称轴平行 与z轴，开口为 z轴正向
大小形状与
k 无关，顶点为（
0,
k
,
-k 2b
2 2
）
顶点所在的抛物线方程 为????
y2 b2
?
2z）
??x ? 0
抛物线沿抛物线平行移动
双曲抛物面的截痕（用平行于yoz平面截）
双曲抛物面方程
x2 a2
?
y2 b2
? 15th Asian Games hosted by Qatar in December 2006
The world's first hyperboloid lattice 37-meter water tower by Vladimir Shukhov, All-Russian Exposition, Nizhny Novgorod, Russia, 1896
Félix Candela（结构建筑师）
Second Life (第二生命)
There are only 3 doubly ruled surfaces: The hyperboloid, hyperbolic paraboloid, and plane.
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u
x a
z c
w 1
y b
,
（4.7-1）
与
t
x a
z c
v
1
y b
,
t2 v2
0
v
x a
z c
t
1
y b
,
（4.7-2）
对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过这点.
解析几何
定理 双曲抛物面
x2 a2
y2 b2
解析几何
例2
试证明双曲抛物面
x2 a2
by22
上2z的a两b直母线直交时，其交点必
在一双曲线上.
例3 已知空间两异面直线间的距离为 2，a 夹角为 ，2 过这两直线
分别作平面，并使这两平面相互垂直，求这样的两平面交线的轨 迹.
解析几何
例求直线 ：x y绕 直z1线
21 0
l旋: x转所y 得z的旋转曲面的方程.
单叶旋转双曲面
解析几何
二、单叶双曲面是直纹曲面
单叶双曲面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
a,b,c 0
分析:
如果曲面 S 上存在一族直线，
定理4.7.1 单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面，而双曲抛 物面上异族的任意两直母线必相交. 定理4.7.2 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线总 是异面直线，而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一平 面.
解析几何
例1 求过单叶双曲面 x2 y2 上z的2 点1 的直6母, 2,8线 的方程.
(1) 曲面 S 上的每个点必定在这个 族中的某一条直线上;
(2) 直线族中的每条直线都在曲面 S 上.
解析几何
定理
单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 ， a,b,c
0
是直纹曲面.它有两族直母线：
w
x a
z c
u
1
y b
,
w2 u2
0
解析几何
§4.7 单叶双曲面 与双曲抛物面的直母线
解析几何
一、直纹曲面的概念
定义 由一族直线所生成的曲面叫做直纹曲面(ruled surface)， 生成曲面的那族直线叫做该曲面的一族直母线.
平面是直纹曲面； 柱面和锥面都是直纹曲面； 椭球面不是直纹曲面； 双叶双曲面不是直纹曲面； 椭圆抛物面不是直纹曲面.
u
x a
z c
w 1
y b
（4.7-1）
与
t
x a
z c
v
1
y b
,
t2 v2
0
v
x a
z c
t
1
y b
.
（4.7-2）
推论1 对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线
通过这点.
解析几何
三、双曲抛物面是直纹曲面z
O x
2z ，
是直纹曲面.它有两族直母线：
a,b 0
x a
y b
2u,
u
x a
y b
z,
u
R
（4.7-3）Βιβλιοθήκη 与x ay b
2v,
v
x a
y b
z,
v
R
.
（4.7-4）
对于双曲抛物面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过该点.
解析几何
四、单叶双曲面与双曲抛物面的性质
9 4 16
分析: 单叶双曲面 x2 y2 z2 1 的两族直母线方程为：
9 4 16
w
x 3
z 4
u 1
y 2
,
与
u
x 3
z 4
w 1
y 2
t
x 3
z 4
v 1
y 2
,
v
x 3
z 4
t
1
y 2
.
将（6，2，8）代入上述直母线族方程，求得 w , u , t , v.
y
解析几何
双曲抛物面
x2 a2
y2 b2
2z
a,b 0
解析几何
定理 单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 ， a,b, c
0
是直纹曲面。它有两族直母线：
w
x a
z c
u
1
y b
,
w2 u2
0