旋转曲面、柱面和二次曲面
几种常用的二次曲面与空间曲线
1. 指出下列方程的图形:
方程 x5
平面解析几何中 空间解析几何中 平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面
x2 y2 9 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆
以 z 轴为中心轴的 圆柱面
y x 1 斜率为1的直线 平行于 z 轴的平面
55
例4：求抛物柱面 x 2y2 和平面 x z 1
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
y2 b2
1
• 椭圆锥面:
x2 a2
y2 b2
z2
53
3、几种常用的空间曲线
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
54
思考与练习
解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
x2 a2
y2 z2 c2
1
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 a2
z c
2 2
1
x
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
20
二、柱面
z
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
M
解:在 xoy 面上，
表示圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0), 过此点作 x
o y
S : x2 z2 2 py
例如:将yoz平面上的抛物线C: y2 2 pz
x
绕z轴旋转一周所产生的抛物面为:
z
S : x2 y2 2 pz
(整理)柱面锥面旋转曲面与二次曲面
第4章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的准线为：⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。
解：（1）从方程⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(222=-+++--z y y z 即：0235622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。
（2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线⎩⎨⎧==c z yx 的直线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=z z t y y tx x zz t y y tx x 000000 而0M 在准线上，所以⎩⎨⎧=+--+=-++-+--02225)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：02688823222=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。
2、设柱面的准线为⎩⎨⎧=+=z x z y x 222，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。
解：由题意知：母线平行于矢量{}2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z z yy tx x tz z y y tx x 2200000而0M 在准线上，所以：⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*******22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为())34,31,31(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为)1513,1511,152(0--M ，圆的方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++++07598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。
常用的二次曲面方程及其图形
双叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 a2 b c
图形
标准方程
x2 y 2 1a 0，b 0 a2 b2
y2 x2 1a 0，b 0 a2 b2
F1 c， 0
焦点坐标
a, b, c
F2 c， 0
F1 0， c
F2 0，c
c 2 a 2 b 2 c a 0，c b 0
x 2 y 2 x1 x 2 y 2 2 pz1
2
3)
z1 =z 时，得到：
x2 y2 z 2 p 2 p
3、 双曲抛物面（鞍型曲面）
方程为：
x2 y2 z （p 与 q 同号） 2 p 2q
4、 双曲面
方程为： 单叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 a2 b c
1、 椭圆球
x 方程为： a
曲线为：
2 2
y2 z2 2 2 1 b c
-------------------（1）
1） 2）
由方程（1）可知
x2 y2 z2 1 ， 1 ， 1， b2 c2 a2
其与三个坐标平面的交线为：
x2 y2 2 1 a2 b
z=0
x2 z2 1 a2 c2
1） 当 z=0 时，为过原点的圆，圆点在原点上。
x2 y2 2 1 a2 b
2）
当用平行与 z=0 的平面 z= z1 截双曲面时，
x2 y2 z2 2 2 1 a2 b c
Z= z1
z1 2 x2 y2 1 a2 b2 c2
-------------椭圆
3）
当 y=0 时，在 xoz 平面上为一双曲线
解析几何第四版知识题目解析第四章
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的准线为：⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。
解：（1）从方程⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(222=-+++--z y y z即：0235622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。
（2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线⎩⎨⎧==cz yx 的直线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=z z t y y tx x zz t y y t x x 000000 而0M 在准线上，所以⎩⎨⎧=+--+=-++-+--02225)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：02688823222=--+--++z y x xy z y x此即为要求的柱面方程。
2而0M 在准线上，所以：⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x消去t ，得到：010*******22=--+++z x xz z y x此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解：过又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{}1,1,1的直线方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=t z z t y y tx x tz z t y y tx x 111111 将此式代入准线方程，并消去t 得到：013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x此即为所求的圆柱面的方程。
4.1柱面
0 4 4 1 1 0 1 2 2 2 2 1
2 2
2
2 2 (1) 2 22
117 . 3
现设 P( x, y, z ) 为圆柱面上的任意点,那么 即
y 1 z 3 z 3 x 1 x 1 y 1 1 2 2 2 2 1
.
圆柱面的参数方程:
与上一节介绍的球面的参数方程一样,母线平行于轴 的圆柱面的参数方程在计算机绘图及数学分析课中 的重积分计算等应用上也是非常有效的. 在圆柱面的轴上任取一点作为坐标原点,轴的方向平 行于z轴建立直角坐标系. 设圆柱面上任一点到轴线 的距离为常数r, P( x, y, z )是圆柱面上任意一点,过P的 母线与准线圆交于M,那么 OP OM MP (r cos )i (r sin ) j uk .
故得圆柱面的参数方程是：
x r cos , y r sin , z u.
z
x
P u O r M
y
其中 , u 为参数, 0 , u
f ( x, y ) 0, z 0.
设 P( x, y, z ) 是柱面上的任意一点,过点P的母线与准线的交点为 M ( x1 , y1 , z1 ).那么 x x1 0,
y y 0, 1 z z1 u , f ( x , y ) 0, 1 1 z1 0.
2 2 2
AP d.
2 2 (1) 2 22
117 . 3
化简得所求圆柱面的方程为：
《解释几何-第四版》第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 讲解与习题柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
F1 ( x, y ) 0 F2 ( x, z ) 0
(2)
那么（2）与（1）是两个等价的方程组，也就 是（2）表示的曲线与（1）是同一条曲线。从而 曲面 F1 ( x, y) 0 与曲面 F2 ( x, z) 0 都通过已知曲线（1） 同理方程 F3 ( y, z) 0 也通过已知曲线（1）。 我们把曲面 F1 ( x, y) 0 称为空间曲线（1）对xOy坐 标面的射影柱面，而曲线
F ( x, y) 0 (1) z0 作准线，z轴的方向 0, 0,1 为母线的方向，来建立 柱面方程。 任取准线上的一点 M1 ( x1, y1, z1 ) ，过 M1 的母线 方程为 xx y y zz
1
0
1
0
1
1
即
x x1 y y1
(2)
又因为点
第四章
柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
主要内容
1、柱面 2、锥面 3、旋转曲面 4、椭球面 5、双曲面 6、抛物面 7、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
第一节
柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫 柱面的母线. F1 ( x, y, z ) 0 设柱面的准线为 F ( x, y, z ) 0 (1) 2 母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)为准线 上一点，则过点M1的母线方程为 x x1 y y1 z z1 (2) X Y Z
f ( x 2 y 2 , z ) 0
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0绕 z 轴旋
转一周的旋转曲面方程.
高等数学-几种常见的二次曲面
母线 平行于 z 轴;
准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
y x l1
x z l3
z l2 y
母线 平行于 y 轴;
x
准线 xoz 面上的曲线 l3.
y
9
注:柱面方程与坐标面上的曲线方程容易混淆,应该
例如 :
11
下面我们重点讨论母线在坐标面,旋转轴是坐标轴 的旋转曲面.
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
z
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有 f ( y1, z1) 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
求旋转曲面方程C时，平面
z oy
27
z
4. 椭圆锥面
z
x2 a2
y2 b2
z2
( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
y2 (bt)2
1,
zt
①
xx
o yy
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换
绕 y 轴旋转时得旋转曲面方程:
o
f ( y, x2 z2 ) 0
y
例3. 旋转抛物面
x
特点:母线C为抛物线,旋转轴L为抛物线的对称轴。
例如:将yoz平面上的抛物线C: z2 2 py
绕 y 轴旋转一周所产生的抛物面为:
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
主要内容 1、柱面 、 2、锥面 、 3、旋转曲面 、 4、椭球面 、 5、双曲面 、 6、抛物面 、
第一节
柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 所形成的曲面称为柱面. 叫柱面的准线 准线， 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫 柱面的母线 母线. 柱面的母线 F1 ( x , y , z ) = 0 设柱面的准线为 F ( x , y , z ) = 0 (1) 2 母线的方向数为X,Y,Z。如果 1(x1,y1,z1)为准线 母线的方向数为 。如果M 为准线 上一点，则过点M 上一点，则过点 1的母线方程为 x − x1 y − y1 z − z1 = = (2) X Y Z
z = ay
z
z = a(± x 2 + y 2 )
y x
平方得: z2 = a2 ( x2 + y2 ) 该旋转曲面叫做圆锥面, 其顶点在原点.
将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程． 生成的旋转曲面的方程．
x z （1）双曲线 2 − 2 = 1分别绕 x 轴和 z 轴； ） a c
第三节 旋转曲面
一、. 旋转曲面 1、 定义 以一条平面曲线 绕其平面上的一 、 定义: 以一条平面曲线C绕其平面上的一 条直线旋转一周所成的曲面叫做旋 条直线旋转一周所成的曲面叫做 旋 转曲面, 这条定直线叫旋转曲面的 转曲面 轴. 曲线C称为放置曲面的母线 曲线 称为放置曲面的母线 称为放置曲面的 纬线
即
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕z 轴旋
转一周的旋转曲面方程 转一周的旋转曲面方程. 旋转曲面方程
柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
第四章柱面·锥面·旋转曲面与二次曲线教学目的:1.掌握消去参数法，能运用此法熟练地求出一般柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.能识别母线平行于坐标轴的柱面方程,顶点在坐标原点的锥面方程,旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程.掌握求这些特殊位置的特殊曲面方程的方法,并能识别曲面的大致形状.3.掌握平行截线法,能运用此法讨论二次曲面的方程,认识曲面的形状.4.掌握椭球面、双曲面与抛物面的标准方程与主要性质.5.了解单叶双曲面与双曲抛物面的直纹性,并能掌握求直母线的方法.6.能根据给定条件,较准确地作出空间区域的简图.重点难点:1.柱面、锥面、旋转曲面的定义和一般方程的求法是重点,寻找柱面、锥面、旋转曲面的准线是难点.2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程、性质与形状是重点,一般二次曲面方程的灵活多样是难点.3.二次直纹面的性质及直母线方程求法是重点,证明单叶双曲面与双曲抛物面的一些性质难点.4.空间区域的作图是重点,其中在作空间区域时,分析并作出几个曲面的交线是难点.§4.1柱面一.柱面的定义空间中由平行于定方向且与定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫柱面.柱面的方向:定方向;准线:定曲线;母线:一族平行线中的每一条直线.柱面由其准线和定方向唯一确定,但对于一柱面,准线不唯一.二.柱面的方程在空间直角坐标系下,柱面准线Γ方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F(1)母线的方向数X,Y,Z.即 {}Z Y X v ,,=(2)任取柱面准线Γ上一点),,(1111z y x M 则过此点的母线方程为Zz z Y y y X x x 111-=-=- 且有0),,(1111=z y x F ,0),,(1112=z y x F .从而消去参数111,,z y x 最后得到一个三元方程0),,(=z y x F ，这就是以⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F 为准线, 母线的方向数X,Y,Z 的柱面方程.三.例题讲解例1.柱面的准线方程为⎪⎩⎪⎨⎧=++=++2221222222z y x z y x 母线的方向数为－1,0,1.求这柱面的方程.解 设),,(1111z y x M 是准线上的点,那么过),,(1111z y x M 的母线为101111z z y y x x -=-=--, 且 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++2221212121212121z y x z y x (1) 设t z z y y x x =-=-=--101111,那么 ,1t x x +=y y =1,t z z -=1, 代入(1)得⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=-+++2)(2)(21)()(222222t z y t x t z y t x 可得 0)(2=-t z ,即 z t = 求得柱面方程为 1)(22=++y t x . 例 2. 已知圆柱面的轴为 21211-+=--=z y x ,点(－1,－2,1)在此圆柱上, 求这柱面的方程.解法一 因为圆柱面的母线平行于其轴,所以母线的方向数即为轴的方向数－1,－2,－2.若能求出圆柱面的准线圆,问题即解决了.空间的圆总可以看成是某一球面与一平面的交线, 此圆柱面的准线圆可以看成是以轴上的点(0,－1,－1)为中心, 点(0,－1,－1)到已知点(－1,－2,1)的距离14=d 为半径的球面14)1()1(222=++-+z y x 与过知点(－1,－2,1)且垂直于轴的平面0322=---z y x 的交线,即准线圆的方程为⎩⎨⎧=---=-+-+032214)1()1(222z y x z y x设),,(111z y x 为准线圆上的点,那么14)1()1(212121=++-+z y x ,0322111=---z y x 且过的),,(111z y x 母线为221111--=--=-z z y y x x .消去参数111,,z y x 即得所求的圆柱面方程 0991818844558222=-+--++++z y yz xz xy z y x .解法二 将圆柱面看成是动点到轴线等距离的点的轨迹,这里的距离就是圆柱面的半径.轴的方向矢量为{}2,2,1--=v ,轴上的定点为)1,1,0(0-M ,而圆柱面上的点为)1,2,1(1-M ,所以{}2,3,110-=M M ,因此)1,2,1(1-M 到轴的距离为3117==d 再设),,(z y x M 为圆柱上任意点,那么有3117==d 即 3117)2()2(1211121221122222=-+-+--+-++--+-y x x x z y 化简整理得 0991818844558222=-+--++++z y yz xz xy z y x .定理4.1.1 在空间直角坐标系中，只含两个元（坐标）的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元(坐标)的同名坐标轴。
几种常见的二次曲面 曲面方程的概念
柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
o
x
x
抛物柱面
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕
y 轴和
z 轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
旋 转
椭
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
球 面
（3）抛物线
y
2
2 pz绕
z 轴；
x 0
x2 y2 2 pz 旋转抛物面
15
三、柱面
在平面坐标系 x2 y2 1表示中心在原点的单位圆
如图 设 M( x, y, z),
z
d M1(0, y1, z1)
M F( y, z) 0
(1) z z1
（2）点 M 到 z 轴的距离
o
y
x
d x2 y2 | y1 |
将 z z1, y1 x2 y2 代入
F( y1, z1) 0
10
将 z z1, y1 x2 y2 代入 F( y1, z1) 0
F x, y2 z2 0.
12
例5.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为
的圆锥面方程.
解:在yoz面上,直线 L的方程为
z y cot
z
L
M (0, y, z)
绕 z 轴旋转时, 圆锥面的方程为
z x2 y 2 cot
y
令a cot ,两边平方 x
得方程 F x2 y2 , z 0,
大学高数第七章7-5曲面方程
x z （1）双曲线 2 2 1分别绕 x 轴和 z 轴； a c
x2 y2 z2 绕 x 轴旋转 2 1 2 a c x y z 2 1 绕 z 轴旋转 2 a c
2 2 2
2
2
旋 转 双 曲 面
( hyperboloid )
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-1 -0.5 0
1
0.5 1
0
M (0, y , z ) f ( y, z ) 0 M
d
1 1 1
y
d
x y | y1 |
2 2 2
x
2
将 z z1 , y1 x y 代入
f ( y1 , z1 ) 0
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z z1 , y1 x 2 y 2 代入 f ( y1 , z1 ) 0 将
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面。 这条定曲线C叫 柱面的准线 (directrix) ,动直 线L叫柱面的母 线(generatrix).
观察柱面的形 成过程:
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柱面举例
z
z
y 2x
2
平面
o
y
o
y
x
x
y x
抛物柱面
( Cylinder of the second order parabolic )
实轴与 x 轴相合， 虚轴与 z 轴相合.
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与平面 y y1 ( y1 b) 的交线为双曲线.
2 x2 z2 y1 2 2 1 2 b 双曲线的中心都在 y 轴上. a c y y 1
柱面锥面二次曲线
(a
x2 1 h2
y2
c2 )2 (b 1 h2
zh
1 c2 )2
无论h取何值，此方程组总表示在平面: z h
上的椭圆，它的两半轴为：a 1 h2 c2 与b 1 h2 c2
此时椭圆的两轴端点（± a 1 h2 c2 ，0， h）与
（0， ±b 1 h2 c2 ， h）分别在两条主截线（双
曲线）上，且所在平面与腰椭圆平行.
所表示的曲面，叫做单叶双曲面, 做单叶双曲面的标准方程.
此方程叫
方程
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
与
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
表示的曲面也是单叶双曲面.
二、性质
1. 对称性
x2 y2 z2 1(a,b, c 0) a2 b2 c2
中心 ：坐标原点（1个）;
主轴 ：x轴、y轴和z轴（3条）;
§4.1 柱面
定义4.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动 的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线叫
柱面的准线，
母线
动直线叫柱面
的母线.
观察柱面的形
成过程:
准
线
柱面举例：
z
M(x, y, z)
M1( x, y,0)
z
•
• x2 2y
平面
o
y
o
y
x
抛物柱面 x
y x
抛物柱面方程：
x2 2y
平面方程：
相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面形状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
柱面锥面旋转曲面与二次曲面
第10页/共31页
例1、柱面的准线方程为
x2 y 2 z 2 1 2x2 2 y 2 z 2 2
而母线的方向数为-1，0，1，求这柱面的方程。
例2 已知圆柱面的轴为
x y 1 z 1 1 2 2
点 （M11，-2，1）在此圆柱面上，求这个圆柱面
的方程
第11页/共31页
例3 柱面的准线是xoy平面的圆周(中心在原点，半径 为1),母线平行于直线l：x y z,求此柱面方程。
重点难点：柱面方程的求法.
空间曲线在坐标面上投影
第6页/共31页
一. 概念
z
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
解:在 xoy 面上， 在圆C上任取一点
平行 z 轴的直线 l ,
M
表示圆C,
M1(x, y,0) , 过此点作
Co
M1
y
x
z 对任意 , 点M (x, y, z)
l
的坐标也满足方程
x2 y2 R2
例1: 方程 y2 =2x 表示.母线平行于 z 轴的柱面,
它的准线是xoy面上的抛物线y2 =2x,
该柱面叫做抛物柱面.
z
y
y2 =2x
o
x
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例2: 方程 xy = 0表示.
母线平行于 z 轴的柱面, 它的准线是xoy面上的直线xy = 0, 所以它是过z轴 的平面.
z
o
y
xy = 0
解: 联立两个方程消去 z ,得
2x2 4( y1)2 1 2
这是母线平行于z 轴的椭圆柱面,两球面的交线C在xOy面上的投影 曲线方程为
2 x 2 4 ( y 1 ) 2 1
2
高等数学7.4曲面及其方程
设柱面的准线方程：F（x, y) 0, z 0,母线 / / z轴，求柱面方程
z
解：柱面上M ( x, y, z)，则准线上M（0 x0 , y0 , z0 )，
M
使得MM0 / / z轴 ，从而x x0 , y y0
由于F（x0 , y0 ) 0,从而F（x, y) 0
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线(即截痕)的形状, 然后加以综合, 从而 了解曲面的全貌．
二次曲面
曲面方程
旋转曲面
柱面
二次曲面
(1) 椭球面
z
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
O y
1 用坐标面z = 0 , x = 0和 x y = 0去截割,分别得椭圆
x
2
a2
柱面
例3
以曲
线
x a
2 2
z2 c2
1
为母线,
y 0
绕 z 轴旋转而成的曲面方程为
x2 y2 a2
z2 c2
1，
即
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1 ——
旋 转 单 叶双曲面
二次曲面
曲面方程
旋转曲面
柱面
例3
以曲线
x2 a2
z2 c2
1 为母线,
y 0
o
的点都在S上;
x
y
那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲面 S叫做方程F (x, y, z) =0的图形 .
曲面方程
旋转曲面
柱面
曲面及其方程 柱面、锥面、旋转曲面
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二、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线. 观察柱面的形 成过程:
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考察方程 F(x,y)=0 F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面
(不含z)
z
0 2
过原点和椭圆上任一点的直线的方向向量为 v {a cos , b sin , c }
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过原点和椭圆上任一点的直线族方程为：
x0 y0 z0 t a cos b sin c
即
x (a cos )t y (b sin )t z ct
y
x G ( y , z ) 0 准线 是 yoz 面上的曲线 z x 0 方程 H ( z , x ) 0 表示 柱面， l3 母线 平行于 y 轴; H ( z, x) 0 x 准线是 xoz 面上的曲线 y 0
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y
椭圆柱面
第六节
第七章
曲面及其方程
一、基本概念 二、柱面、锥面、旋转曲面 三、二次曲面
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一、基本内容
曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程 F ( x , y , z ) 0 有下述关系：
(1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程；
(2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 F ( x , y , z ) 0 就叫做曲面 S 的 方程，而曲面 S 就叫做方程的图形.
旋转曲面、柱面和二次曲面
旋转曲面、柱面和二次曲面一、旋转曲面定义 一条曲线C 绕一条直线l 旋转所得的曲面称为旋转曲面。
l 称为轴，C 称为母线。
设旋转轴为z 轴，母线C 在yOz 平面上，其方程为⎩⎨⎧==00),(x z y f ，则旋转曲面的方程为0),(22=+±zy x f 。
坐标平面上的一条曲线绕该坐标面上的一条坐标轴旋转所得旋转曲面方程的求法：在该曲线在坐标平面上的方程中，保留与旋转轴同名的变量不动，而把另一个变量换成与旋转轴不同名的另两个变量的平方和的平方根。
例1 母线⎩⎨⎧==02:2x pzy C 绕z 轴旋转所得的旋转曲面方程为pz y x 222=+，这个曲面称为旋转抛物面。
例 2 母线⎪⎩⎪⎨⎧==-01:2222y c z a x C 绕z 轴旋转所得旋转曲面方程为122222=-+c z a y x ，这个曲面称为旋转单叶双曲面；绕x 轴旋转所得旋转曲面方程为122222=+-cz y a x 这个曲面称为旋转双叶双曲面。
二、柱面定义 一条直线l 沿着一条空间曲线C 平行移动所形成的曲面称为柱面。
l 称为母线，C 称为准线。
定理 在空间直角坐标系中，只含两个元的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元的同名坐标轴。
椭圆柱面：12222=+b y a x 双曲柱面：12222=-by a x 抛物柱面：px y 22=三、二次曲面(1) 椭圆锥面：22222z b y a x =+ (2) 椭球面：1222222=++cz b y a x(3) 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x (4) 双叶双曲面：1222222=--cz b y a x(5) 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 (6) 双曲抛物面：z by a x =-2222。
旋转曲面方程与柱面方程
球面图形如图
第四节 二次曲面
二、二次曲面
2.椭球面方程
中心在原点且关于坐标 轴对称的椭球面方 程为
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
2
第四节 二次曲面
二、二次曲面
2.椭球面方程
椭球面的图形
第四节 二次曲面
二、二次曲面
2.椭球面方程
z
椭球面的画法
a x
c
O
b
y
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
1.旋转曲面方程
给定 yOz 面上一条平面曲线 f ( y，z) 0 绕 z 轴旋转一周得到的旋转 曲面方程为
f ( x y ，z ) 0
2 2
绕 y 轴旋转一周得到的旋转 曲面方程为
f ( y， x z )0
2 2
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
2 2 2
第四节 二次曲面
四、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ习
3.求 经 过 点 (1 ， 2， 3)且 平 行 于 平 面 x yz2 0的平面方程．
4.单叶双曲面方程
单叶双曲面 的图形如图
第四节 二次曲面
二、二次曲面
4.单叶双曲面方程
类似地，由方程
x y z 2 2 1 2 a b c
2 2 2
x y z 2 2 2 1 a b c 所表示的曲面也叫做单叶双曲 面．
2
2
2
第四节 二次曲面
二、二次曲面
5.双叶双曲面方程
1.旋转曲面方程
y2 z2 例 将 yOz 面 上 的 椭圆 2 2 1分别绕y 轴 b c 和 z 轴旋转一周 ，求 所 生 成 的 旋 转 曲 面 方 的 程．
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旋转曲面、柱面和二次曲面
一、旋转曲面
定义 一条曲线C 绕一条直线l 旋转所得的曲面称为旋转曲面。
l 称为轴，C 称为母线。
设旋转轴为z 轴，母线C 在yOz 平面上，其方程为⎩
⎨⎧==00
),(x z y f ，则旋转曲
面的方程为0),(2
2=+±
z
y x f 。
坐标平面上的一条曲线绕该坐标面上的一条坐标轴旋转所得旋转曲面方程的求法：在该曲线在坐标平面上的方程中，保留与旋转轴同名的变量不动，而把另一个变量换成与旋转轴不同名的另两个变量的平方和的平方根。
例1 母线⎩
⎨⎧==02:2x pz
y C 绕z 轴旋转所得的旋转曲面方程为
pz y x 222=+，这个曲面称为旋转抛物面。
例 2 母线⎪⎩⎪
⎨⎧==-0
1:2222y c z a x C 绕z 轴旋转所得旋转曲面方程为
122
2
22=-+c z a y x ，这个曲面称为旋转单叶双曲面；绕x 轴旋转所得旋转曲面方程为12
2
222=+-c
z y a x 这个曲面称为旋转双叶双曲面。
二、柱面
定义 一条直线l 沿着一条空间曲线C 平行移动所形成的曲面称为柱面。
l 称为母线，C 称为准线。
定理 在空间直角坐标系中，只含两个元的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元的同名坐标轴。
椭圆柱面：12222=+b y a x 双曲柱面：122
22=-b
y a x 抛物柱面：px y 22=
三、二次曲面
(1) 椭圆锥面：2
2222z b y a x =+ (2) 椭球面：1222222=++c
z b y a x
(3) 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x (4) 双叶双曲面：122
2222=--c
z b y a x
(5) 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 (6) 双曲抛物面：z b
y a x =-22
22。