完整版排列组合问题之捆绑法 插空法和插板法

行测答题技巧：排列组合问题之捆绑法，插空法和插板法

“相邻问题”捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再

考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。

例1 •若有A、B、C、D E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，贝U有多少排队方法?

【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“ A，B”、C D E “四个人”进行排列，有■<

种排法。又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有I种排法。根据分步乘法原理，总的排法有I -种

例2.有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法

共有多少种？

【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有丄种排法；又3

本数学书有丄种排法，2本外语书有雹种排法；根据分步乘法原理共有排法.<■'I - -- I 种。

【王永恒提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑” 起来的大元素内部的顺序问题。解题过程是“先捆绑，再排列”。

“不邻问题”插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将

问题解决的策略。

例3.若有A、B、C、D E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？

【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。首先将C、D E三个人排列,

有「「种排法；若排成D C E，则D C E “中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：〜D C E ,此时可将 A B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有q种插法。由乘法原理，共有排队方法：匚二 :-。

例4.在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？

【解析】：直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目

去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有「种方法；再用另一个节目去插8个空位，有种方法；用最后一个节目去插9个空位，有」：.方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为匚-.,=504种。

例4.一条马路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯，为了节约用电，

可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？

【解析】：若直接解答须分类讨论，情况较复杂。故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插7个空位，共有'种方法（请您想想为什么不是八），因此所有不同的关灯方法有'_「种。

【王永恒提示】：运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”。解题过程是“先排列，再插空”。

练习：一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添加进去2个新节目，有多少种安排方法？（国考2008-57）

A. 20 B . 12 C . 6 D . 4

插板法是用于解决“相同元素”分组问题，且要求每组均“非空”，即要求

每组至少一个元素；若对于“可空”问题，即每组可以是零个元素，又该如何解

题呢？下面先给各位考生看一道题目：

荀现有山人主全斫匡化謙全制分蛤？个班级■每班至少1令謙.门共有多少冲不同的分法？

『輕析】题目中球的分法共三娄：

第一抵仃1入班毎介取徐到2人球’瓦余」个吸毎班分到1代球.花分江邮歡为

第二类：H I九址廿到3人議・1个班分到2令誅.其余裟个班毎尿廿到1 其莎法种数

第三無有丨个班分到4牛球，耳余的白个班每班分到1个球•其分法祎款G・

所乩1（］个球分第7个班.每班至少一个球的分法种豔曲+ + =S4:

从上面解贏过程廉看’对这董问题谨疔分类计算，比较畫琐.若是上题中球的数目幔密处

理起来辂更加困难，園此我怕需要寻求一种箫的摸式解决问题，我怕创设这样一种盡般關傅境

-------------- 妊枫“

将皿个相同的球排成一ft io个球之阖出现了9个空務现在養丫］用把io 牛球隔成有序

刖了份，毎牛班级依欢按班级序兮分到然应位蟹前儿个琢C可14*. 2 个、彳仁4个）-卞丈于这样府盘銀杯拦板”弁电物骷的方法秫之丸插般注』

白上述升桁可扛.分隸的方法实葫上为挡扳的把泄；圍起徃9令空桜2中捷人右个

”拦矿G个拦版可耙球分为J绘人瓦方法种監为

时上述问题的分折可看到，这种插板法解决起来非常简单.但同时也提醛各位考生, 这类间题模型的适用前提相当严榕.必绩同时清足以卜*牛釦牛：

①師要分的元富2碱完全巴汀1;

②所要分的元素必须分完，决不允许有剩余

③参与分元素的每组至少分到 1 个，决不允许出现分不到元素的组

下面再给各位看一道例题：

例2.有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有( ) 种不同方法.

A.35

B.28

C.21

D.45

【解析】这道题很多同学错选C,错误的原因是直接套用上面所讲的“插板法”，而忽略了“插板法”的适用条件。例2和例1的最大区别是：例1的每组元素都要求“非空”,而例 2 则无此要求,即可以出现空盒子。

其实此题还是用“插板法”,只是要做一些小变化,详解如下：

書4

设損把这畠卒球一牛接一人排起耒・即00000000 .共形成9令空档〔比时的空档包括中

鹿7个空档祁前堆2个空栏）,然后用2个捞桩把这8 r球分成3红先摊第一今拦板.©于叮驭有空套.疟以脊9个空档町以捱；淳扭第二个扳.脊⑷仝空料可以擢.但宙于两个恢是利I分的f也

璃是说当两个担极殂邻时.虽然是两种掘注.但9^10

宪际上是L种分注人所以共誉■拓种.

«X Cl）己知方K.r-_:-r = 20.求这个方程时巫髮篡曾前牛監.

（2）己拓方程“尸一妙求这个方程的乍玄勒蒙僭的个数.

【阿硏】⑴将20分成20个I*孔出来：M I M I I [ i I 1 M I i ] I ] 1 I在这2U 金数申间的沖金空中抚入2令板子”路如分成3部分，每一部井对应r”的伞范・按顺序持成2* r=: 7 = s 即是jE蟹数罐•故正整数離的个数为绘•拳法非常简单.

（2）比題羽毁2的莫法乏全宠|一谒齐位考生自己考.喙」K

从以上例题的分析来看.在利用鼻插枫法■解决这种相同元素排列粗合问题时.一縫要注恿"空"与H TS M的加匚防止菲人卑瞅仇3冏曲述唱比软・町以很明显地看J「笠与样不空”的区另阮

杯非空“問题提皈达题/康豐为：没百刃个嗤碍沦頁・分成刖S"）红挫鲤至少一个元委的分塩方法共柑V；杆可空"□題疋祝法忙題氐担为，SHJ”个巧门元衰. 分戚亠处小緒WJfhffi方法甚

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练习：有10钗创九分只步瓷岂毎步可口迈[级d級或』裁台炉・有名少冲芒浓亍f答黨为G）

夹板定理。10台阶看错10个球，10个球摆成一排，中间共有9个空格。要8步走完，就

相当于9个空格里放7个板，把10个球分成8分。（每个空格最多一个板，7个板无论怎