高中数学完整讲义——排列与组合5.排列组合问题的常见模型

1．基本计数原理 ⑴加法原理

分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++L 种不同的方法．又称加法原理．

⑵乘法原理

分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法．又称乘法原理．

⑶加法原理与乘法原理的综合运用

如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．

分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2． 排列与组合

⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）

排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出

m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．

排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+L ，m n +∈N ，，并且m n ≤．

全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=．

⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．

组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．

组合数公式：(1)(2)(1)!

C !!()!

m n

n n n n m n m m n m ---+==-L ，,m n +∈N ，并且m n ≤． 组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：1

1C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）

⑶排列组合综合问题

知识内容

排列组合问题的常见模型1

解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1．特殊元素、特殊位置优先法

元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；

2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．

3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．

4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．

5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．

6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，

从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有1

1m n C --．

7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！

8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．

1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径： ①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；

③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数． 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．

2．具体的解题策略有：

①对特殊元素进行优先安排；

②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；

④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面． ⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．

排队问题

【例1】 三个女生和五个男生排成一排

⑴ 如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ ⑵ 如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ ⑶ 如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？

典例分析

【例2】6个人站成一排：

⑴其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？

⑵其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？

⑶其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？

⑷其中甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？

【例3】7名同学排队照相．

⑴若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？

⑵若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不

同的排法？

⑶若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？

⑷若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？

【例4】6个队员排成一排，

⑴共有多少种不同的排法？

⑵若甲必须站在排头，有多少种不同的排法？

⑶若甲不能站排头，也不能站排尾，问有多少种不同的排法？