调和级数证明方法

调和级数是指形如1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...的级数。证明调和级数的方法有多种，下面介绍其中两种常见的证明方法：比较判别法和积分判别法。

1. 比较判别法：

比较判别法是通过将给定级数与一个已知的更简单的级数进行比较，来判断该级数的敛散性。

考虑调和级数1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...，我们可以观察到对于所有的n，有1/n ≤ 1。

因此，我们可以将每一项1/n都与1进行比较。由于1是一个收敛的级数（p级数，其中p>1），根据比较判别法，我们可以得出调和级数也是收敛的。

2. 积分判别法：

积分判别法是利用函数的积分性质来判定级数的敛散性。

考虑调和级数1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...，我们可以定义函数f(x) = 1/x，其中x > 0。

然后，我们可以将级数转换为积分形式，即求函数f(x)在区间[1, ∞)上的定积分。

∫(from 1 to ∞) (1/x) dx = ln(x)|_(from 1 to ∞) = ln(∞) - ln(1) = ∞。由于定积分为无穷大，根据积分判别法，我们可以得出调和级数是发散的。

综上所述，通过比较判别法，我们可以证明调和级数是收敛的；而通过积分判别法，我们可以证明调和级数是发散的。