让学生爱上数论,探索数论难题

让学生爱上数论，探索数论难题

摘要：数系在高中数学的教学中主要是讲解复数的引入。在这一部分教学中，引导学生充分思考，自由发挥，增加对超越数论知识的接触，了解数论发展的历史，从而激发学生对数论知识的求知欲和探索欲。

关键词：数系；数论；学习兴趣

数论在数学史上产生较晚，在十五世纪末十六世纪初才渐有雏形，但到十九世纪，已经发展成为一个有着强大理论体系的数学分支学科。而对于高中生的学习来说，素数的学习将知识面由有原先接触到的初等数论扩大到了高等数论的范畴中。如何引领学生充分理解课本知识，鼓励有志于此的学生对数论难题发起挑战，也是我们高中数学教学的一个艰巨任务。

一、数论前沿理论与高中数学课程

数论，顾名思义，是研究数字特性的一个数学分支学科。数论产生的早期主要是由欧几里得关于素数无穷多个的证明，欧几里得发现的求最大公约数的辗转相除法以及中国南北朝时期发现的的

孙子定理。之后，由于生产生活水平的限制，人们并不需要更多地理论去支持生产，于是数论理论一度停滞不前，直到由费马，梅森，欧拉，高斯等人的发展，他们研究数论的主要目标是素数，主线思想是寻找素数的通项公式。数学家发现初等数论无法解决这一问题，于是数论发展成了更多分支。

高中数学的数系学习中引入了复数的概念，这是在学生已有的数系知识中添加的全新内容。在学习复数之前，学生对数的认识仅限于实数范围。学生对于数的认识还表现在日常所能接触的范围内，尽管诸如π、2、e等一系列无理数的存在对于学生的理解有一定的难度，但它们都可以结合现实生活中的实例来分析理解。

哥德巴赫猜想作为数论伟大猜想，曾在我国引起很大关注。我国著名数学家陈景润在1966年发表了《表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》，在国际上引起了轰动，在对哥德巴赫猜想研究中具有里程碑式的意义。他所发表的成果被称为陈氏定理。对于哥德巴赫猜想的工作还使他成为1978年中国自然科学奖一等奖的获得者之一。而在之后的几年中，也有很多人事投身该事业的研究。

二、引发学生兴趣，探索数论难题

1.打好基础，掌握知识

初中时候学生就已经对实数系有比较深刻的了解。实数包括有理数和无理数。其中有理数就包括整数和分数，无理数也就是无限不循环小数。在引入复数概念之前，首先要保证学生对实数域范围内的数要分类准确，理解清晰，比如2、3、e、π、0.3.、79等数字到底是属于哪个范畴内。在学生充分理解了之后，就可以通过引入一元二次方程中解得问题来启发学生的思维。这里的教学应该以学生的思路为主，学生会回忆相关一元二次方程根个数判定的相关

问题。提问式的教学在这里会起到意想不到的效果，让学生思考为什么有些方程没有或者只有一个实数根。这样的教学更能引发学生的兴趣，也会让学生记忆深刻。复数是指能写成a+bi形式的数，a、b为实数，i表示虚数单位，也就是-1。

例题1：若复数z满足z（1+i）=1-i（i是虚数单位），则其共轭复数z= 。

解析：z=1i1i=（1i）2（1i）（1i）=-i，

∴z=i.这个例题要求基础知识要记牢，对于共轭复数的概念不能出现记忆偏差。

2.正确引导，增加信心

在这一部分的学习中，由于复数本身的特性，导致学生可能会不容易理解。这样就要求我们更加耐心的指导。建立平面直角坐标系，来表示复数的平面。教学中，应该由浅入深，先讲解清楚概念，再进行四则运算练习。在四则运算中，加减法的运算不容易出错，而乘除法的运算还有一定难度。

例题2：复数32i23i-32i23i= 。

解析：32i23i-32i23i=（32i）（23i）（23i）（23i）-（32i）（23i）（23i）（23i）=13i13-13i13=i+i=2i。这里复数乘除法的运算，教师可以类比根式，二者对比进行，他们同样需要对分母进行处理。在无理数分式中，这一过程叫做分母有理化；而在复数运算中，是将分母化成实数。

在学生学习新知识的过程中，我们要牢牢抓住每个学生的好奇心，鼓励学生通过思考提出所要解决的问题，首先要鼓励学生质疑。关于复数，学生一定会有很多问题，例如“那-1开4次方怎么办”或者“能否建立由3-1表示一个基本单位的数域”之类的问题。我们应该鼓励这样的思考，要宽容的对待学生提出的每一个问题，不论是“奇思妙想”，还是“胡思乱想”，都要采取鼓励的态度，使学生信心百倍。尤其对于数论方面的知识，很多思考的火花，就是一个伟大的猜想。在这一部分可以启发学生，复数可以用一个复平面来表示，他的横纵坐标都是实数，还可以鼓励学生考虑如果是一个立体的区域，或者四维空间的情况下，又会有什么发现。这样学生会觉得自己是一个知识的探索者，而不仅仅是一个知识的接收者。

3.拓展视野，放眼未来

毋庸置疑，对于不同层次的学生，教学方法不尽相同。对于学习数学很困难的学生，我们要尽可能教会他们如何解题，如何理解；而对于热爱数学，甚至是投身数学探索行列的学生，我们要多加引导，使他们保持对数学学习的兴趣。在这一部分的教学中引入棣莫佛定理：对于复数z=r（cosθ+isinθ），有zn=rn[cos（nθ）+isin （nθ）]，其中n为正整数。将棣莫佛定理于欧拉公式相联系，让学生感受到数学的神奇之处。数学的教学不仅仅在于让学生学会一个知识，更重要的是兴趣的培养。在这部分知识的学习中，要让学生了解，数学并不是一个死板教条的课程，在历史上也存在这很多

不足，也是在很多数学家不断地努力下，才将整个关于数的体系发展为现在较为完善的水平。在远古时期，为了满人们生活的需求，自然数就应运而生；随着时代发展，出现了正负数之分，后来由于除法的产生，还有了分数、小数；

关于几何图形圆的深入研究后有了圆周率、关于勾股定理计算下又出现了平方根。最后，随着科学技术的发展，原先的实数理论已经不能完全适应计算的需求，于是数学家们又创造出一种自然界中不存在的数——复数。对于学生的思考，我们应该多给于肯定，并鼓励他们继续思考。复数之于数论的知识并不限于i=-1这样一个简单地表示，鼓励学生更多地了解和学习才能拓展视野，教好课程。

数论中的很多问题一直困扰着人们，一代又一代很多数学大师在不断地探索中摸索前行。高中数学教师担负起培养人才的重任，只有在教学中不断总结经验，了解学生心理，激发学生对数学学习的热情，才能真正起到抛砖引玉的作用。数系的扩充这部分内容的教学，是一个合理的契机，作为教师应该好好把握，激发学生对数论知识的兴趣。（作者单位：四川省南江县长赤中学）参考文献

[1] 数系的扩充与复数的引入热点问题直击[j].苗兆峰，中学生数理化（高二版），2012（03）.

[2] 关于初等数论课堂教学的思考[j].汤敏，高师理科学刊，