第十章 回归分析
回归分析预测法
工资
850 840 830 820 810 800 795 790 785
某车间工人的基本情况
生活 支出 600 590
590
食用支出 比例%
20.0 22.0
22.5
年龄
30 29 45
观察可见工时量大， 工资数额大，同时 又影响着生活支 出……。
587
23.0 26
此表中，工资与工时，
585
23.5 22 工资（收入）与生活
r＜0，表明现象呈负直线相关。
相关关系的分析 1.｜r｜＜ 0.3，视为无相关； 2.0.3≤｜r｜＜0.5，为低度相关； 3.0.5 ≤ ｜r｜＜ 0.8，为显著相关； 4.｜r｜≥0,8，一般称为高度相关。
（二）自变量的预测值必须比因变量的预测值 精确或容易求得。
（三）要正确的选择回归方程的形式。
函数关系：现象之间存在的完全对应的依存关
现 系。 象 间
Y=f（x）
的 关
如： c 2R
M PQ
系 相关关系：数量上存在依存关系，但依存关
系不确定。
（一）相关关系的特点 1.现象间确实存在数量上的相互依存关系。
【例】人的身高与体重之间；农作物的产量与施肥 量之间的关系。
2.现象间数量上的不确定、不严格的依存关系。
简化法：rn xy x ynx2x2
n
y2
y
2
相关系数的取值 (1)r的取值范围为－１≤r≤1。 (2)｜r｜越接近于1，表明关系越密切；
｜r｜越接近于0，表明关系越不密切。 (3)r=+1或r=-1，表明两现象完全相关。 (4)r=0，表明两变量无直线相关关系。 (5)r＞0，表明现象呈正直线相关；
统计学(回归分析)习题
统计学第三次作业（第十章相关与回归分析）计算题1. 为研究年收入水平Y （单位：万元）与受教育程度X （单位：年）之间的关系，现抽取一个包括20个人的随机样本，得到：22239, 72.61, ()422.95()34.83, ()()106.74ttttttX Y X X Y Y X X Y Y ==-=-=--=∑∑∑∑∑试根据以上数据：(1) 计算年收入水平与受教育程度的样本相关系数；(2) 拟合简单线性回归方程，并对回归系数的经济意义作解释； (3) 预测受教育年限为16年时，平均年收入是多少？2. 为研究零食中脂肪含量X （单位：克）与热量Y （单位：卡路里）之间的关系，随机抽查了16种点心食品，得到的数据如下：22189, 3461, 2799907717, 49526, 16tt t tt t X Y X YX Y n ======∑∑∑∑∑试根据以上数据：（1）计算热量与脂肪含量的样本相关系数；（2）拟合热量与脂肪含量的简单线性回归方程，并计算回归方程的决定系数以反映拟合效果；（3）若某糖果条包装上标明含有3克脂肪，预测其含有的热量。
3. 有8个同类企业的生产性固定资产年均价值和工业增加值的资料如下：要求：（计算必须有公式和过程）（1）计算相关系数，说明两变量相关的方向和程度；（2）建立以工业增加值为因变量的直线回归方程，说明方程参数的经济意义；（3）在0.05的显著性水平下，用F检验检验线性回归效果是否显著？（0.05(1,6) 5.987F=）（4）确定生产性固定资产为1100万元时，工业增加值的估计值。
4. 根据甲企业2004年每月的产品销售额Y与广告费支出X数据（单位：元），计算出其估计的回归方程为ŷ=31.98+1.68X，估计结果中R2＝0.923，F＝230.78，自变量系数的t检验值为3.587；另有一企业乙也进行了同样情况的分析，已知∑X=50, ∑Y=110.8, ∑X2=294, ∑Y2=1465.0, ∑XY=654.9,要求：(1)确定乙企业产品销售额Y与广告费支出X的线性回归方程，并说明βˆ1的含义；(2)若已知乙企业的回归结果中R2＝0.847，F＝302.5，自变量系数的t检验值为1.7689，试根据所学知识对甲、乙两企业所建立的线性回归方程的优劣进行综合分析。
第十章 直线回归与相关分析
115 125 128 143 132 121 129 112 120 130 125.5
135 137 128 127 155 132 148 117 134 132 134.5
图10-2 NaCl含量对单位叶面积干物重影响的散点图
Y . X X
含义是：对于变量X的每一个值，都有一个Y 的分布，这个分布的平均数就是该线性函数。
ˆ a bX Y
回归截距 与x值相对应的依变量y的点估计值
此方程称为Y对X的直线回归方程(linear regression equation)，画出的直线称为回归线 （ regression line）。
ˆ Y a bx
ˆi ) 2 L ( yi y
i 1 n
Y
最小
编号 1 2 3 4 5 血球体积x /mm3 45 52 56 48 42 红血球数y /106 6.53 6.30 9.52 7.50 6.99 6 7 8 9 10 编号 血球体积x /mm3 35 58 40 39 50 红血球数y /106 5.90 9.49 6.20 6.55 8.72
n n
整理后得：
an b xi yi i1 i1 n n n a xi b xi2 xi yi i1 i1 i1
解正规方程得：
x y ( x )( y ) / n b x ( x ) / n ( x x)( y y) = S S ( x x)
第二节：一元线性回归 1 散点图的绘制
2 一元正态线性回归模型 3 直线回归方程的参数估计和回归方 程的建立 4 直线回归的假设检验
5 直线回归的方差分析
6 直线回归的意义( 自学）
第十章_logit回归
第十章 logitic 回归本章导读：Logitic 回归模型是离散选择模型之一，属于多重变数分析范畴，是社会学、生物统计学、临床、数量心理学、市场营销、会计与财务等实证分析的常用方法。
10.1 logit 模型和原理Logistic 回归分析是对因变量为定性变量的回归分析。
它是一种非线性模型。
其基本特点是：因变量必须是二分类变量，若令因变量为y ，则常用y=1表示“yes ”，y=0表示“no ”。
[在发放股利与不发放股利的研究中，分别表示发放和不发放股利的公司]。
自变量可以为虚拟变量也可以为连续变量。
从模型的角度出发，不妨把事件发生的情况定义为y=1，事件未发生的情况定义为0，这样取值为0、1的因变量可以写作：⎩⎨⎧===事情未发生事情发生01y 我们可以采用多种方法对取值为0、1的因变量进行分析。
通常以P 表示事件发生的概率（事件未发生的概率为1-P ），并把P 看作自变量x 的线性函数。
由于y 是0-1型Bernoulli 分布，因此有如下分布：P=P （y=1|x ）：自变量为x 时y=1的概率，即发放现金股利公司的概率1-P=P （y=0|x ）：自变量为x 时y=0的概率，即不发放现金股利公司的概率 事件发生和不发生的概率比成为发生比，即相对风险，表现为PP odds -=1.因为是以 对数形式出现的，故该发生比为对数发生比（log odds ），表现为)1ln(P P odds -=。
对数发生比也是事件发生概率P 的一个特定函数，通过logistic 转换，该函数可以写成logistic 回归的logit 模型：)1(log )(log PP P it e -= Logit 一方面表达出它是事件发生概率P 的转换单位；另一方面，它作为回归的因变量就可以自己与自变量之间的依存关系保持传统回归模式。
根据离散型随即变量期望值的定义，可得：E(y)=1(P)+0(1-P)=P进而得到x P y E 10)(ββ+==因此，从以上分析可以看出，当因变量的取值为0、1时，均值x y E 10)(ββ+=总是代表给定自变量时y=1的概率。
数学建模——线性回归分析实用教案
数学建模——线性回归分析实用教案一、教学内容本节课选自《数学建模与数学实验》教材第十章“回归分析”中的第一节“线性回归分析”。
具体内容包括线性回归模型的建立、参数估计、模型的检验及运用，重点探讨变量间线性关系的量化表达和预测分析。
二、教学目标1. 理解线性回归模型的基本概念，掌握线性回归方程的建立和求解方法。
2. 学会运用最小二乘法进行线性回归参数的估计，并能解释其实际意义。
3. 能够对线性回归模型进行显著性检验，评估模型的可靠性。
三、教学难点与重点难点：线性回归方程的求解方法，最小二乘法的原理及运用，模型的显著性检验。
重点：线性回归模型的建立，参数估计，模型的运用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备，投影仪，黑板。
2. 学具：计算器，教材，《数学建模与数学实验》。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）展示一组数据，如某商品的需求量与价格之间的关系，引导学生思考如何量化这种关系。
2. 理论讲解（15分钟）介绍线性回归模型的基本概念，引导学生了解线性关系的量化表达。
讲解线性回归方程的建立，参数估计方法，强调最小二乘法的作用。
3. 例题讲解（15分钟）选取一个实际例子，演示如何建立线性回归模型，求解参数，并进行模型检验。
4. 随堂练习（10分钟）学生分组讨论，根据给出的数据，建立线性回归模型，求解参数，进行模型检验。
六、板书设计1. 黑板左侧：线性回归模型的基本概念，参数估计方法。
2. 黑板右侧：例题解答过程，模型检验步骤。
七、作业设计1. 作业题目：给出一组数据，要求学生建立线性回归模型，求解参数，进行模型检验。
讨论线性回归分析在实际问题中的应用。
2. 答案：线性回归模型参数的求解过程及结果。
模型检验的统计量及结论。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生掌握线性回归分析的基本方法，但部分学生对最小二乘法的理解仍需加强。
2. 拓展延伸：探讨非线性回归模型的建立和应用。
引导学生了解其他数学建模方法，如时间序列分析、主成分分析等。
生物统计学：第10章 多元线性回归分析及一元非线性回归分析
H0 : 1 2 k 0 H A : 至少有一个i 0
拒绝H0意味着至少有一个自变量对因变量是有影 响的。
检验的程序与一元的情况基本相同，即用方差
胸围X2 186.0 186.0 193.0 193.0 172.0 188.0 187.0 175.0 175.0 185.0
体重Y 462.0 496.0 458.0 463.0 388.0 485.0 455.0 392.0 398.0 437.0
序号 体长X1 胸围X2 体重Y 11 138.0 172.0 378.0 12 142.5 192.0 446.0 13 141.5 180.0 396.0 14 149.0 183.0 426.0 15 154.2 193.0 506.0 16 152.0 187.0 457.0 17 158.0 190.0 506.0 18 146.8 189.0 455.0 19 147.3 183.0 478.0 20 151.3 191.0 454.0
R r Y•1,2,,k
yp yˆ p
,
p 1,2,, n
对复相关系数的显著性检验，相当于对整个回 归的方差分析。在做过方差分析之后，就不必再检 验复相关系数的显著性，也可以不做方差分析。
例10.1的RY·1，2为：
RY •1,2
24327 .8 0.9088 29457 .2
从附表（相关系数检验表）中查出，当独立
表示。同样在多元回归问题中，可以用复相关系数表 示。对于一个多元回归问题，Y与X1，X2，… ，Xk 的线性关系密切程度，可以用多元回归平方和与总平 方和的比来表示。因此复相关系数由下式给出，
应用回归分析 第十章
第10章 含定性变量的回归模型10.1 一个学生使用含有季节定性自变量的回归模型，对春夏秋冬四个季节引入4个0-1型自变量，用SPSS 软件计算的结果中总是自动删除了其中的一个自变量，他为此感到困惑不解。
出现这种情况的原因是什么？ 答：假如这个含有季节定性自变量的回归模型为：其中含有k 个定量变量，记为x i 。
对春夏秋冬四个季节引入4个0-1型自变量，记为D i ，只取了6个观测值，其中春季与夏季取了两次，秋、冬各取到一次观测值，则样本设计矩阵为：显然，(X,D)中的第1列可表示成后4列的线性组合，从而(X,D)不满秩，参数无法唯一求出。
这就是所谓的“虚拟变量陷井”，应避免。
当某自变量x j 对其余p-1个自变量的复判定系数2j R 超过一定界限时，SPSS 软件将拒绝这个自变量x j 进入回归模型。
称Tol j =1-2j R 为自变量x j 的容忍度（Tolerance ），SPSS 软件的默认容忍度为0.0001。
也就是说，当2j R ＞0.9999时，自变量x j 将被自动拒绝在回归方程之外，除非我们修改容忍度的默认值。
而在这个模型中出现了完全共线性，所以SPSS 软件计算的结果中总是自动删除了其中的一个定性自变量。
10.2对自变量中含有定性变量的问题，为什么不对同一属性分别建立回归模型，而采取设虚拟变量的方法建立回归模型？答：原因有两个，以例10.1说明。
一是因为模型假设对每类家庭具有相同的斜率和误差方差，把两类家庭放在一起可以对公共斜率做出最佳估计；二是对于其tt t t kt k t t D D D X X Y μαααβββ++++++=332211110 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000110010110001010010010100011)(616515414313212111k k k k k k X X X X X X X X X X X XD X,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k βββ 10β⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321ααααα他统计推断，用一个带有虚拟变量的回归模型来进行也会更加准确，这是均方误差的自由度更多。
伍德里奇《计量经济学导论》(第5版)笔记和课后习题详解-第10章 时间序列数据的基本回归分析【圣才出
第10章时间序列数据的基本回归分析10.1复习笔记一、时间序列数据的性质时间序列数据与横截面数据的区别：（1）时间序列数据集是按照时间顺序排列。
（2）时间序列数据与横截面数据被视为随机结果的原因不同。
①横截面数据应该被视为随机结果，因为从总体中抽取不同的样本，通常会得到自变量和因变量的不同取值。
因此，通过不同的随机样本计算出来的OLS估计值通常也有所不同，这就是OLS统计量是随机变量的原因。
②经济时间序列满足作为随机变量是因为其结果无法事先预知，因此可以被视为随机变量。
一个标有时间脚标的随机变量序列被称为一个随机过程或时间序列过程。
搜集到一个时间序列数据集时，便得到该随机过程的一个可能结果或实现。
因为不能让时间倒转重新开始这个过程，所以只能看到一个实现。
如果特定历史条件有所不同，通常会得到这个随机过程的另一种不同的实现，这正是时间序列数据被看成随机变量之结果的原因。
（3）一个时间序列过程的所有可能的实现集，便相当于横截面分析中的总体。
时间序列数据集的样本容量就是所观察变量的时期数。
二、时间序列回归模型的例子1．静态模型假使有两个变量的时间序列数据，并对y t和z t标注相同的时期。
把y和z联系起来的一个静态模型（staticmodel）为：10 1 2 t t t y z u t nββ=++=⋯，，，，“静态模型”的名称来源于正在模型化y 和z 同期关系的事实。
若认为z 在时间t 的一个变化对y 有影响，即1t t y z β∆=∆，那么可以将y 和z 设定为一个静态模型。
一个静态模型的例子是静态菲利普斯曲线。
在一个静态回归模型中也可以有几个解释变量。
2．有限分布滞后模型（1）有限分布滞后模型有限分布滞后模型（finitedistributedlagmodel，FDL）是指一个或多个变量对y 的影响有一定时滞的模型。
考察如下模型：001122t t t t ty z z z u αδδδ--=++++它是一个二阶FDL。
时间序列数据的基本回归分析
pe：个人税收减免的实际美元金额；
ww2：在1941-1945年间为1（第二次世界大战）；
pill：从避孕药开始用于控制生育的1963年后一直为1
文件：FERTIL3.RAW
命令：sum pe
Total
SS
12959.7886 13032.6443
25992.4329
df
MS
5 2591.95772 64 203.635067
69 376.701926
Number of obs =
F( 5, 64) =
Prob > F
=
R-squared
=
Adj R-squared =
Root MSE
=
在时间序列高斯-马尔可夫假定TS.1-TS.5下，以X为 条件， 的条ˆj 件方差为：
Var(ˆj X ) 2 [SSTj (1 R2j )], j 1, , k
其中， SST是j 的xtj 总平方和， 为R2j 由 对x j所有其他 自变量回归得到的 R2
定理10.3（ 2的无偏估计）
少？
定义的3个虚拟变量： befile6：在开始调查前的六个月为1； affile6：表示开始调查后的六个月； afdec6：代表调查结束并确认构成倾销行为后的六个月； 因变量chnimp：从中国进口的数量（取对数形式）； 解释变量包括：（1）化工产量指标chempi；（2）石油
1、pet，pet-1和pet-2是联合显著的，F统计量的p值为 0.012。 命令：test pe pe_1 pe_2
因此，pe的确对gfr有影响，但我们并没有足够好的 估计值判断这种影响是即期的，还是存在一期或者两 期的滞后（或都有一些）。
简单回归分析-沈晓丽
表10-1 14名健康中年妇女的基础代谢与体重的测量值
编号
1 2 3 4 5 6 7
基础代谢 （kj/d）
4175.6 4435.0 3460.2 4020.8 3987.4 4970.6 5359.7
体重 （kg）
50.7 53.7 37.1 51.7 47.8 62.8 67.3
编号
8 9 10 11 12 13 14
4800
4300
Yˆ abx
3800
3300
2800 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
体重(kg)
利用回归方程，只要给定一个40-60岁的健康妇女的体重值，
就可估计出该体重个体的基础代谢值的平均值。
h
Ｙˆ
11
基础代谢(kJ/d)
线性回归关系的特点：
5800
5300 4800
h
5
线性回归（linear regression ）又称简单回归
（simple regression ） ：讨论两个变量间的数量依存关
系的统计方法，即研究一个变量如何随另一个变量变化 的常用方法。
两个变量：
因变量dependent variable 反应变量 response variable
：非独立的、受其它变量影响的变量，常用“Y”表 示。
在所有直线中找出 Y Yˆ 2 （残差平方和，记为 SS残差 ）达最小值时所对应的直线作为回归线。
h
21
回归参数的估计方法：
按照最小二乘法原则，可得到：
n
（１b ） i1( Xi( XiX )X Y (i) 2Y)＝ L Lx x y x ,(i1,2,..n).,
（２）a Y bX
第10章时间序列数据的基本回归分析
第10章时间序列数据的基本回归分析时间序列数据是指按时间顺序排列的一系列观测值，具有时间依赖性的特点。
在时间序列数据中，我们通常会面临许多问题，如预测未来的走势、分析变量间的关系等。
回归分析是一种用来建立变量间关系的统计方法，因此在时间序列数据中，同样可以使用回归分析方法来建立变量间的关系模型。
在进行时间序列数据的基本回归分析时，我们首先需要确定一个主要的解释变量（自变量）和一个被解释变量（因变量）。
主要的解释变量用来解释被解释变量的变化，从而确定它们之间的关系。
然后，我们需要对数据进行可视化和统计分析，以了解数据的特征和趋势。
首先，我们可以使用时间序列图来可视化数据的变化趋势。
时间序列图是一种按照时间顺序展示数据的图表，通过观察时间序列图，我们可以判断数据是否存在趋势、季节性或周期性等特征。
如果数据存在明显的趋势，我们可以使用线性回归模型来建立变量间的关系。
如果数据存在明显的季节性或周期性，我们可以使用季节性模型或周期模型来建立变量间的关系。
此外，我们还可以通过自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）来判断数据是否存在自相关性。
然后，我们可以使用普通最小二乘法（OLS）来估计回归模型的参数。
OLS是一种通过最小化观测值与模型估计值之间的差异来估计参数的方法。
对于时间序列数据，我们需要进行数据的平稳化处理，以确保模型的有效性。
常见的平稳化方法包括差分法和对数变换法。
通过平稳化处理后，我们可以得到平稳时间序列数据，然后应用OLS方法来估计模型的参数。
最后，我们可以使用统计检验来评估回归模型的拟合程度和显著性。
常见的统计检验包括F检验和t检验。
F检验用来评估模型的整体显著性，而t检验用来评估模型的各个参数的显著性。
如果模型的F检验和t检验显著，则说明回归模型能够很好地解释因变量的变化，并且模型参数是统计显著的。
总结起来，时间序列数据的基本回归分析包括确定主要的解释变量和被解释变量、可视化和统计分析数据、估计回归模型的参数、以及评估模型的拟合程度和显著性。
第十章 简单回归分析
在医学研究中，经常需要研究两个变量之间 的相互关系和相互依存关系，如血糖与胰岛 素水平、年龄与血压等，把这种统计分析方 法叫做双变量关系的统计。
相关 ---- 变量间在数量上的相互关系 回归 ---- 变量间在数量上的依存关系
第一节 线性回归
一、基本概念 1.直线回归(linear regression) ：当一变量随 另一变量有规律的依存变化时，此依存变化 的数量关系称为直线回归关系。 直线回归是回归分析中最基本、最简单的 一种，故又称为简单回归或简单线性回归。
表10-1 21例肝癌病人血清胆固醇与甘油三脂相关性研究
病人序号
血清胆固醇
甘油三脂
1
3.89
1.71
2
3.41
1.01
3
5.70
0.97
4
6.84
1.78
5
2.93
1.25
6
3.98
0.70
7ห้องสมุดไป่ตู้
4.23
1.33
8
4.43
0.72
9
2.58
0.34
10
4.40
1.24
11
3.77
1.00
12
3.42
0.79
n 21
3. 计算 lXX 、lYY 及 lXY
lXX
X 2 ( X )2 363 .33 85.012 / 21 19.20 n
lYY 23.12 20.892 / 21 2.34
lXY
87.82
85.01 20.89 21
3.26
4. 求回归系数和截距a值：
b lXY 3.26 0.1698 lXX 19.20
第10章 回归分析
7
解： 依题意，实验次数n＝5，y～x为一元线性关系y=a+bx。根据最小二乘 法原理，有：
i 1 2 3 4 5
xi 2 4 5 8 9 28
yi 2.01 2.98 3.50 5.02 5.07 18.58
x i2 4 16 25 64 81 190
yi2 4.04 8.88 12.25 25.20 25.70 76.07
xiyi 4.02 11.92 17.50 40.16 45.63 119.23
解得a＝1.155，b＝0.4573。 因此关系式为：y＝1.155+0.4573x。
如果用简化算法，则有：
故关系式为：y=1.155+0.4573x，即两种计算方法结果是一致的。 可见，根据实验数据建立回归方程，可采用最小二乘法，基本步骤为： ① 根据实验数据画出散点图； ② 确定经验公式的函数类型； ③ 通过最小二乘法得到正规方程组； ④ 求解正规方程组，得到回归方程的表达式。 其实①②两点正是第9章建立数学模型的过程，所以建立数学模型是回 归分析的前提。
13
[例10-2] 试用相关系数检验法对例10-l中得到的经验公式进行显著性检验 （α＝0.05）。 解：
当α＝0.05，n＝5时，查得相关系数临界值 r0.05，3＝0.8783。所以r＞r, f， 所得的经验公式有意义。
14
应当指出的是，相关系数r有一个明显的缺点：即它接近于1的程度与实 验数据组数n有关。当n较小时，｜r｜容易接近于1；当n较大时，｜r｜ 容易偏小。特别是当n＝2时，因两点确定一条直线，｜r｜总等于1。所 以，只有当实验次数n较多时，才能得出真正有实际意义的回归方程。
2
回归分析的主要内容: 确定回归方程，检验回归方程的可信性 10.2 一元线性回归分析 10.2.1 一元线性回归方程的建立 一元线性回归分析又称直线拟合，是处理两个变量x和y之间关系的方法。 所谓一元是指只有一个自变量x，因变量y在某种程度上是随x变化的。 设有一组实验数据，实验值为 (xi, yi) (i=1，2，…，n)。若x，y符合线性关 系，或已知经验公式为直线形式，就可拟合为直线方程，即：
线性回归分析
注意: 逐步添加法或逐步剔除法, 都应当强调“逐步” . 不 能一次按照各个变量的统计量的值 fj 的显著性概率 p 是否 小于等于选定的显著性水平 , 来决定是否作为 Y 的自变 量. 因为每添加或剔除一个变量, 都会引起所有回归系数的 变化和统计量的值 fj 的变化. 一次处理会造成误判, 只有逐 步处理, 才是恰当的.
= ( 1, 2, …, k)T
若估计出, ˆ (ˆ1, ˆ2 ,, ˆk )T 则有 Yˆ Xˆ
所以
Y Yˆ e
于是有 Y Yˆ e Xˆ e
两边左乘XT, 得 X T Y X T Xˆ X T e
由几何解释XT e , 故有XTe = 0, 所以可以求出:
Y 1 2X u
其中 ˆ1, ˆ2 为1， 2 的估计值, 则 Y 的计算值Ŷ, 可以
用下式表达:
Yˆ ˆ1 ˆ2 X
所要求出待估参数 ˆ1, ˆ2, 要使 Y 与其计算值Ŷ之间 的“误差平方和”最小. 即： 使得
Q
(Y
Yˆ
2
)
ei2
(4) u ~ N(0, 2u In )
(5) E(XTu) =0 , 或者, X 为确定矩阵
1 X12 X1k
X
1 1
X 22
X n2
X2k
X nk
(6) 秩 ( X ) = k, ( k<n)
2. 普通最小二乘法估计式
在模型中, 代入样本观测值之后, 可得
人均收入X
这两个变量之间的不确定关系，大致可以用下式表示：
Y 1 2 LnX u
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回归分析是研究变量间相关关系的一种有力工具, 它主要讨论如下几个方面的问题: (1)利用观察数据拟合系统的真实模型,也就是 从数据出发建立变量间相关关系的近似数学表达式, 即所谓经验公式. (2)运用经验公式作出预测及控制,并估计这种 预测或控制的可靠性程度. 本章重点介绍一元线性回归,并对可化为线性回 归的非线性问题作一些简略介绍.
从图中易见,虽然这些点是散乱的,但大致分布 在一条直线附近,即产量和生产费用之间大致成线性 关系.但各点不完全在一条直线上,这是由于Y 还受 到其他一些随机因素的影响,故该产品生产过程中生 产费用和产量的数据可假设有如下的结构形式: 其中 ε i 是测试误差,它反映了变量之间的不确定关 系. 一般地,假设x与Y之间的相关关系可表示为 Y = a + bx + ε (10.1) 2 ε 其中a,b为未知常数, 为随机误差且 ε ~ N(0,σ ) , σ 2未知,x 与Y 的这种关系称为—元线性回归模型. y = a + bx 称为回归直线,b称为回归系数,此时
SSE = l yy blxy
σ
σ
1.F检验法 由定理2,当 H 0为真时,取检验统计量 由给定显著性水平 α ,查表得 Fα (1, n 2),根 据试验数据 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), , ( xn , yn ) 计算值F,若 F > Fα (1, n 2) 时,拒绝 H 0 ,即回归效果显著; 若F ≤ Fα (1, n 2) 时,接受 H 0 ,即回归效果不显 著. 2.相关系数检验法 由第四章可知,相关系数的大小可以表示随机 变量线性关系的密切程度.对于线性回归中的变量
第十章 回归分析
第一节 一元线性回归
一,一元线性回归模型 二,最小二乘估计 三,线性回归的显著性检验 四,预测与控制
第二节 可线性化的一元非线性回归
回归方法是讨论多个变量之间相互关系的一种数 学方法,是数理统计的常用方法之一. 变量之间的相互关系是事物相互依赖,相互制约 在数量方面的反映.这种关系可分为两类:一类是确 定性关系,确定性关系是指变量之间的关系可以用函 数关系来表达;另一类是非确定性关系,非确定性关系 虽表示变量之间具有一定的依赖性,但不象函数关系 那样具有确定性.例如,农作物的单位面积产量与施 肥量之间有密切关系,但这种关系并不是确定性的, 即使在同一地区,同一时期,相同耕地面积内施同样 多的肥料, 其粮食产量也不会完全相同.这是因为单 位面积产量还受到许多其他因素及一些无法控制的随 机因素的影响.
第一节 一元线性回归
一,一元线性回归模型 设随机变量Y与变量x之间存在某种相关关系. 这里,自变量x是普通变量,它可以精确测量.比 如,粮食产量Y与施肥量x之间的相关关系,此处施 肥量是普通变量,可以精确测量,而粮食产量是随 机变量,收获之前不能准确预言.为了寻找两个变 量Y与x之间的关系,我们对于变量x取定一组不完 全相同的值,作n次独立实验,得到n组数据: ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), , ( xn , yn ) , 其中 y i 是 x = x i时随机变量Y的观测结果,将n组数据
SSR F= ~ F (1, n 2) SSE /(n 2)
(10.7)
x与Y,取检验统计量
R=
∑ (x
i =1
n
i
x )(Yi Y )
2
∑ (x
i =1
n
i
x)
∑ (Y Y )
i =1 i
n
=
2
lxY lxx lYY
通常称R为样本相关系数.类似于随机变量间的相 关系数,R的取值
r= lxy lxy lxy
设 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), , ( xn , yn ) 是一组样本的观察值, ( yi a bxi )2 来刻划点( xi , yi ) 与直线 y = a + bx 用数量 之间的偏差,于是:
( yi a bxi ) 2 ∑
n
就刻划了直线 y = a + bx 与n个观察点的总的接近程度, 这个量随a,b而变化,即是a,b的二元函数,记为
Q (a, b) = ∑ ε = ∑ ( yi a bxi ) 2
n n
i =1
称为偏差平方和.
i =1
2 i
i =1
由极值原理,未知参数a,b满足下列方程组
n Q a = 2∑ ( yi a bxi ) = 0 i =1 n Q = 2∑ ( yi a bxi ) xi = 0 b i =1
如果由样本得到式(10.1)中a,b的估计值 a, b , 则称 y = a + bx 为拟合直线或经验回归直线. 对于一元线性回归模型,最基本的工作就是解决 σ 下列一些问题:第一,利用样本对未知参数a,b, 2 进行估计;第二,对回归模型作显著性检验;第三, 当 x = x0 时对Y的取值作预测,即对Y作区间估计. 二,最小二乘估计 现在我们用最小二乘法来估计模型(10.1)中的 未知参数a,b.
S= SSE n2
可以证明,随机变量 y0 y0 T= ~ t ( n 2) 1 ( xn x ) 2 S 1+ + n l xx
l yy = ∑ ( yi y ) = ∑ yi2 ny 2 = 98.30
2 i =1 i =1 8 8
在例2中已求得 b = 0.90,
lxx = 115.05, lxy = 102.99,故
SSR = b 2lxx = 93.19,
F=
SSE = l yy SSR = 5.11
SSR 6SSR 93.19 × 6 = = = 109.42 SSE /(8 2) SSE 5.11
反映了自变量x与随机变量Y之间的线性相关关系. 对于给定的显著性水平 α ,查相关系数表得 rα (n 2) , 根据试验数据 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), ( xn , yn ) 计算R的值r, 当 | r | > rα (n 2)时,拒绝 H 0,即回归效果显著;
当 | r | ≤ rα (n 2)时,接受 H 0 ,即回归效果不显著. 例3 分别用F检验法和相关系数检验法检验例2 中的回归效果是否显著, = 0.01 . α 解 假设 H 0 : b = 0 ,
3 7.2
4.5
7.5
9.1 10.5
12
5.6
7.8 10.1 10.8 13.5 16.5
为了研究这些数据所蕴含的规律性,将产量x作 为横坐标,生产费用y作为纵坐标,在xoy坐标系中 作出散点图(见图10-1-1).
y 15
10 5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
பைடு நூலகம்
9
10
11
12
x
(图10-1-1)
(10.2)
lxy = ∑ ( xi x )( yi y ) = ∑ xi yi nx y lxx = ∑ ( xi x ) = ∑ xi2 nx 2
2 i =1 i =1 i =1 n i =1 n
n
n
则
a = y bx ,
b = lxy / lxx
(10.3)
l 称 lxy为x,y的离差乘积和,xx为x的离差平方和,
称式(10.2)或式(10.3)为a,b的最小二乘估计. 例2 在例1中求经验回归直线. 解 根据所给数据计算如下:
xi2 = 428.81 , ∑
i =1 8
∑x y
i =1 i
8
i
= 592.08
1 8 x = ∑ xi = 6.2625 , 8 i =1
i =1 8
1 8 y = ∑ yi = 9.7625 8 i =1
从而 l = 8 x 2 nx 2 = 428.81 8 × 6.262 = 115.0588, ∑i xx
lxy = ∑ xi yi nx y = 592.08 8 × 6.26 × 9.76 = 102.9788.
i =1
故由式(10.3)得
= lxy = 102.99 = 0.90, b lxx 115.05 a = y bx = 9.7625 0.90 × 6.2625 = 4.13
i =1 i =1
再由总离差平方和分解公式有 (10.6) 式(10.4),(10.5),(10.6)给出了SST,SSR 和SSE的计算方法. 在介绍检验方法之前,先给出下面定理: 定理1 定理 在线性模型假设下,当 H 0 成立时,SSR与SSE 相互独立,且 SSE SSR 2 ~ χ (n 2) , 2 ~ χ 2 (1) 2
求得经验回归直线为 y = 4.13 + 0.9 x
三,线性回归的显著性检验 若假设 Y = a + bx + ε 符合实际,则b不应为零, b 因为如果,则 Y = a + ε ,就认为Y与x之间不存在线 性回归关系.所以Y = a + bx 是否合理,归结为对假设:
H 0 : b = 0, H1 : b ≠ 0
整理得:
n n na + ∑ xi b = ∑ yi i =1 i =1 n n n 2 x a + ∑ xi b = ∑ xi yi ∑ i i =1 i =1 i =1
称此方程为正规方程组,解正规方程组得
a = y bx n ∑ ( xi x )( yi y ) i =1 b = n ∑ ( xi x )2 i =1 1 n 1 n y 其中 x = n ∑ xi , = n ∑ yi .若记 i =1 i =1
r=
lxy lxx l yy
=
102.99 115.05 98.30
= 0.9684
查表,得 F0.01 (1, 6) = 13.75, r0.01 (6) = 0.834 ,由于