2017年北京中考数学一模26题-“探索型”专题

图1
D
C
B
A
2017年北京中考数学一模26题 “探索型”专题
西城26．阅读下列材料：
某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源以后，在初始温度20℃下加热水箱中的水；当水温达到设定温度80℃时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到20℃时，再次自动加热水箱中的水至80℃时，加热停止；当水箱中的水温下降到20℃时，再次自动加热，……，按照以上方式不断循环.
小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究，发现水温y 是时间x 的函数，其中y （单位：℃）表示水箱中水的温度，x （单位：min ）表示接通电源后的时间. 下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1接通电源后 的时间x （单位：min ）
0 1 2 3 4 5 8 10 16 18 20 21 24 32 … 水箱中水的温度
y
（单位：℃）
20 35 50 65
80
64
40
32
20
m 80 64 40 20 …
m 的值为 ；（2）① 当0≤x ≤4时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ； 当4＜x ≤16时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ；
② 如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当0
≤x ≤32时，温度y 随时间x 变化的函数图象；
（3）如果水温y 随时间x 的变化规律不变，预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源 min.
东城26. 在课外活动中，我们要研究一种凹四边形——燕尾四边形的性质.
定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做
凹四边形（如图1）.
y x
383640
34
80604020O
2
32
302826
24
22
2018
16
1412
10
8
6
4
D C
B
A
D
C
B A D C
B
A
（1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号） ；
○
1 ○
2 ○
3 定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）.
特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形.
小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究. 下面是小洁的探究过程，请补充完整：
（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形性质的猜想，并选取其中的一条猜
想加以证明；
（3）如图2，在燕尾四边形ABCD 中，AB =AD =6，BC =DC =4，∠BCD =120°，求燕尾四边形ABCD
的面积（直接写出结果）. 朝阳26. 有这样一个问题：探究函数()
2
6
2y x =
-的图象与性质．
小华根据学习函数的经验，对函数()
2
6
2y x =
-的图象与性质进行了探究.
下面是小华的探究过程,请补充完整: (1)函数()
2
6
2y x =
-的自变量x 的取值范围是 ；
x … -3
-2
-1
12 1 3 72 4 5 6 7 … y
…
625 38 23 32
83
6
6
83
32 23 38
m
…
（3）如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质： .
x
y –1–2
–3
1
2
3
4
5
6–1–2
1
234
5O 房山26.小东根据学习函数的经验，对函数()
2
4
11
y x =
-+的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：
（1）函数()2
411y x =-+的自变量x 的取值范围是 ； （2）下表是y 与x 的几组对应值.
x … 2-
1-
12
- 0 12
1 32
2 52
3
4 … y
…
25
45
1613
2
165
4
165
2
1613
45
m
…
表中m 的值为________________；
（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点. 根据描出的点，画出函数()
2
4
11
y x =
-+的大致图象； （4）结合函数图象，请写出函数()
2
4
11
y x =
-+
的一条性质：______________________________. （5）解决问题：如果函数()
2
4
11
y x =
-+与直线y=a 的交点
有2个，那么a 的取值范围是______________ .
顺义26．某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数()2
26
4-+-=
x x y 的图象和性质进行了探究，探
究过程如下，请补充完整：
（1）该函数的自变量x 的取值范围是 ；
（2）同学们先找到y 与x 的几组对应值，然后在下图的平面直角坐标系xOy 中，描出各对对应值为
坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质： ．
平谷26．有这样一个问题：探究函数+2y x x =-+的图象与性质．
小军根据学习函数的经验， 对函数+2y x x =-+的图象与性质进行了探究． 下面是小军的探究过程， 请补充完整：
（1）函数+2y x x =-+的自变量x 的取值范围是 ； （2）下表是y 与x 的几组对应值
x ﹣2 ﹣1.9 ﹣1.5 ﹣1 ﹣0.5
0 1 2 3 4 …
y 2 1.60 0.80
0 ﹣0.72 ﹣1.41
﹣0.37
0.76 1.55 …
在平面直角坐标系xOy 中， 描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点， 画出该函数的图象；
y
x
–3
–2–11
234–2
–1
1
2
3
4
5
O
（3）观察图象，函数的最小值是 ；
（4）进一步探究，结合函数的图象， 写出该函数的一条．．性质（函数最小值除外）： ．
门头沟26.在一节数学实践课上，老师出示了这样一道题，
如图26-1，在锐角三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对边分别是a 、b 、c , 请用a 、c 、∠B 表示2
b .
经过同学们的思考后，
甲同学说：要将锐角三角形转化为直角三角形来解决，并且不能破坏∠B ，因此可以经过点A ，作AD ⊥BC 于点D ,如图26-2，大家认同；
乙同学说要想得到2
b 要在Rt △ABD 或Rt △ACD 中解决；
丙同学说那就要先求出AD =________,BD =_______；(用含c ，∠B 的三角函数表示) 丁同学顺着他们的思路，求出2
b =AD 2+DC 2=_____________(其中2
2sin
cos 1αα+=)；
c
b
B
c b
D B
请利用丁同学的结论解决如下问题：
如图26-3，在四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=︒,60BAD ∠=︒,4,5AB AD ==. 求AC 的长（补全图形，直接写出结果即可）.
海淀26．有这样一个问题：探究函数2
22
x y x =-的图象与性质．
下面是小文的探究过程，请补充完整：
（1）函数2
22
x y x =-的自变量x 的取值范围是 ；
（2）下表是y 与x 的几组对应值．
如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．
①观察图中各点的位置发现：点1A 和1B ，2A 和2B ，3A 和3B ，4A 和4B 均关于某点中心对称，则该点的坐标为 ；
②小文分析函数2
22
x y x =-的表达式发现：当1x <时,该函数的最大值为0，则该函数图象在
直线1x =左侧的最高点的坐标为 ；
（3）小文补充了该函数图象上两个点（1124-，），（39
24
，）， ①在上图中描出这两个点，并画出该函数的图象；
x =1 26-3
图1 图2 图3 图4
②写出该函数的一条性质：________________ ．
丰台26．【问题情境】
已知矩形的面积为a （a 为常数，0>a ），当该矩形的长为多少时，它的周长
最小?最小值是多少? 【数学模型】
设该矩形的长为x ，周长为y ，则y 与x 的函数表达式为⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=x a x y 2()0>x ．
【探索研究】
小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数x
x y 1
+=的图象性质． （1）结合问题情境，函数x
x y 1
+
=的自变量x 的取值范围是0>x ， 下表是y 与x 的几组对应值．
②画出该函数图象，结合图象，得出当x =______时，y 有最小值，y 最小=________； 【解决问题】
（2）直接写出“问题情境”中问题的结论．
石景山26．（1）定义：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁， 这样的四边形叫做凹四边形．如图1，四边形ABCD 为凹四边形．
（2）性质探究：请完成凹四边形一个性质的证明．
已知：如图2，四边形ABCD 是凹四边形． 求证：BCD B A D ∠=∠+∠+∠． （3）性质应用：
A
B
D
如图3，在凹四边形ABCD 中，BAD ∠的角平分线与BCD ∠的角平分线交于 点E ，若140ADC ∠=°，102AEC ∠=°，则B ∠= °． （4）类比学习：
如图4，在凹四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是边AD ，AB ，BC ，CD 的中点，顺次连接各边中点得到四边形EFGH ．若AB AD =，CB CD =， 则四边形EFGH 是 ．（填写序号即可） A ．梯形
B ．菱形
C ．矩形
D ．正方形
通州26．已知y 是x 的函数，自变量x 的取值范围是x >0，下表是y 与x 的几组对应值.
x … 1 2 4 5 6 8 9 … y
…
3.92
1.95
0.98
0.78
2.44
2.44
0.78
…
小风根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y 与x 之间的变化规律，对该函数的图象和性质进行了探究.
下面是小风的探究过程，请补充完整：
（1）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象；
（2）根据画出的函数图象，写出：
①x =7对应的函数值y 约为______________.
②该函数的一条性质：______________________________________________________.
怀柔26．已知y 是x 的函数，下表是y 与x 的几组对应值.
x 2 3 4 5 6
7 … y
1
2 3
2
5
…
图象和性质进行了探究.
y x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
–1–21234–1
–2
O
下面是小聪的探究过程，请补充完整:
(1)根据上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，
写出该函数的表达式: ;
(2)该函数自变量x的取值范围是 ;
(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点的位置（近似即可），
根据描出的点，画出该函数的图象;
(4)根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质: .
西城26．解：（1）50； ············································································ 1分
（2）①答案不唯一. 如：当0≤x ≤4时，1520y x =+；
当4＜x ≤16时，320
y x
=
； ······································································································· 3分 ②
（3）56.
············································································································ 5分
东城26．解：
（1）○
2. …………1分 （2）它是一个轴对称图形；两组邻边分别相等；一组对角相等；一条对角线所在的直线垂直平分另一条
对角线等等. …………3分
已知：如图，在凹四边形ABCD 中，AB =AD ，BC =DC. 求证：∠B =∠D. 证明：连接AC .
∵AB=AD,CB=CD,AC=AC ， ∴△ABC ≌△ADC.
∴∠B =∠D. …………4分
（3）燕尾四边形ABCD 的面积为…………5分
朝阳26.解:（1）x ≠2
（2）当x =7时，y =
625
.
∴625
m =
.
（3）该函数的图象如下图所示：
E D C B A
x
y
–1–2
–3
1
2
3
4
5
6–1–2
12345O
（4）答案不唯一,如：函数图象关于直线x =2对称. 房山26.（1）全体实数 ------1分 （2）m=52 ------2分
（3）------3分 （4）以下情况均给分：
①图象位于第一、二象限 ②当x =1时，函数有最大值4. ③图象有最高点（1，4） ④x >1时，y 随x 增大而减小 ⑤x <1时，y 随x 增大而增大 ⑥图象与x 轴没有交点
⑦图象与y 轴有一个交点 ⑧图象关于直线x =1对称 …… ------4分 （5）0<a <4 ------5分
顺义26．解：（1）自变量x 的取值范围是 2x ≠． …………………………………… 1分
（2）
………………………… 3分
（3）该函数的一条性质是：函数有最大值(答案不唯一）． …………………… 5分
平谷26．（1）2x ≥-； ................................................................................ .. (1)
（2）该函数的图象如图所示； (3)
（3） .......................................................................................... ..... 4 （4）该函数的其它性质:当20x -≤<时，y 随x 的增大而减小； (5)
门头沟26.（1）sin AD C
B =⋅,cos BD
C B =⋅.…………2分 （2）2
2
2
2cos b a c ac B =+-⋅ . …………3分 （3）补全图形正确 . ……………………4分 结果：AC = ……………………5分
海淀26．（1）1x ≠；-----------------------------------------------------------------------------------1分 （2）①（1，1）；----------------------------------------------------------------------------------- 2分 ②（0，0）；---------------------------------------------------------------------------------- 3分 （3）①
------------------------------------------- 4分
②该函数的性质：
（ⅰ）当x ＜0
时，y 随x 的增大而增大；
当0≤x ＜1时，y 随x 的增大而减小； 当1＜x ＜2时，y 随x 的增大而减小； 当x ≥2时，y 随x 的增大而增大．
（ⅱ）函数的图象经过第一、三、四象限．
（ⅲ）函数的图象与直线x =1无交点，图象由两部分组成． （ⅳ）当x >1时，该函数的最小值为1．
……
（写出一条即可）-------------------------------------------------------------------- 5分
E
图1
图2
丰台26. 解：（1）①m = 4；…………………………………………………………………………1分 ②图象如图. ……………………………………………………………………2分
1；2. …………………………………………………………………………4分 （2）根据小彬的方法可知，
当x
a
x =
时，y 有最小值，即a x =时，a y 4=最小．…………………5分
石景山26．（2）证法一：
连接AC 并延长到点E ，如图1．
∵13B ∠=∠+∠，24D ∠=∠+∠，…………… 1分 ∴1+234B D ∠∠=∠+∠+∠+∠．
即BCD B BAD D ∠=∠+∠+∠． …………… 2分 证法二：
延长DC 交AB 于点E ，如图2．
∵1BCD B ∠=∠+∠，1A D ∠=∠+∠，………… 1分 ∴BCD D A B ∠=∠+∠+∠． ………… 2分 （3）64°． ………… 4分
（4）C ． ………… 5分
通州26．（1）过点；符合函数概念………………………………..(3分) （2）答案需和图形统一 ………………………………..(5分)
怀柔26．2x -……………………………2分
(2)x ≥2; ……………………………3分 (3) 如图：……………………………4分
(4) x ≥2时，函数图形y 随x 的增大而增大. ……………………………5分
y=x+
1x
O
y
x
1
243124
3E
4
3
21D
B C
1E
A
B C。