清华大学2019年自主招生数学试题

清华大学自主招生数学试题1. 一个四面体棱长分别为6，6，6，6，6，9，求外接球的半径.2. 求值：1221(1sin )x x dx --⎰.3. 已知P 为单位圆上一动点，(0,2)A ，(0,1)B -，求2||||AP BP ⨯的最大值.4. AB 为圆O 的直径，CO AB ⊥，M 为AC 中点，CH MB ⊥，则下列选项正确的是（ ） A. 2AM OH = B. 2AH OH = C. △BOH ∽△BMA D. 忘记5. {1,2,3,,15}A =⋅⋅⋅，{1,2,3,4,5}B =，f 是A 到B 的映射，若满足()()f x f y =，则称有序对(,)x y 为“好对”，求“好对”的个数最小值.6. 若对c ∀∈R ，,a b ∃，使得()()()f a f b f c a b-=-成立，则称函数()f x 满足性质T ，下列函数不满足性质T 的是（ ） A. 32()33f x x x x =-+ B. 21()1f x x =+ C. 1()x f x e += D. ()sin(21)f x x =+7. 已知||||1a b ==r r ，12a b ⋅=r r，()()0c a c b --=r r r r ，若||1d c -=u r r ，求||d u r 的最大值.8. 椭圆22162x y +=，过(2,0)F 的直线交椭圆于A 、B 两点，点C 在直线3x =上，若 △ABC 为正三角形，求△ABC 的面积.9. 圆224x y +=上一点00(,)x y 处的切线交抛物线28y x =于A 、B 两点，且满足90AOB ∠=︒，其中O 为坐标原点，求0x .10. 设a 为44444444各位数字和，b 是a 的各位数字之和，c 为b 的各位数字之和，求c 的值.11. 实数x 、y 满足22(2)1x y +-≤的最大值和最小值.12. 在三棱柱111ABC A B C -中，已知90ABC ∠=︒，6AB =，1BC BB ==动点P 在线段1B C 上，求1A P BP +最小值.13. 若集合A 、B 是正整数的一个二划分，则（ ） A. 集合A 中不存在三项等差，集合B 中不存在无穷项等差 B. 集合A 中不存在三项等比，集合B 中不存在无穷项等比 C. 忘了 D. 忘了14. 数列{}n a 满足：13a =，2134n nn a a a +=-+，则（ ） A. {}n a 单调递增 B. {}n a 无上界 C. 忘了 D. 11lim 11nn i ia →∞==-∑15. 若正实数a 、b 满足(8)20ab a b +=，则3a b +的最小值为16. 设()|1||3|f x x x =-+-，()2x g x e =，求()()f x g x +最小值.17. 设,x y ∈N ，则方程113100x y +=的解的个数为18. 令2222cossin 55k k k z i ππ--=+（1,2,3,4,5i =），若()i i j i ja z z ≠=-∏，则（ ） A. 134125a a a = B. 5123455a a a a a = C. 224125a a = D. 15a =19. 若实数x 、y 满足338610x y xy ++-=，求3x y 的范围.参考答案1. 设6AB AC AD BC BD =====，9CD =，易知△BCD 的外接圆1O半径为1r =， 同理可得△ACD 的外接圆2O的半径为2r =， 设外接圆的圆心为O，易知2OO =则外接球半径R ===2.11122221111(1sin )(cos2)2x x dx x dx x xdx ----=+⎰⎰⎰，由分部积分法可知： 222211cos2sin 2(sin 2sin 222x xdx x d x x x xdx ==-⎰⎰⎰）21=(sin 22sin 2)2x x x xdx -⎰ 2211(sin 2cos2)(sin 2cos2cos2)22x x xd x x x x x xdx =+=+-⎰⎰ 21sin 2(sin 2cos2)22x x x x x =+- ∴12211111(1sin )((sin 22cos2))2332x x dx --=+-+⎰11(sin 22cos2)34=-+.3. 设(cos ,sin )P αα，在222||||(1sin )]S AP BP αα=⨯=+-整理得：S =由三元均值不等式可知：8S ≤=, 当且仅当1sin 2α=时，等号成立，则2||||AP BP ⨯的最大值为.4. 设圆O 的半径为2，易知BM =BH =AM CM ==，BC = 在△OBH 与△ABM中，由余弦定理可知：264410cos 32OH ABM +-∠==，解得：OH =，2AM OH ≠，选项A 错误，在△AHC 中，由中线定理可知：216841010AH +=+，解得：AH =， 则2AH OH =，选项B 正确，而BO BH OH BM BA MA ===，∴△BOH ∽△BMA ，选项C 正确，综上：选B ，C.5. 情形一：当只对应B 中1个元素时，此时“好对”有1515225⨯=对，情形二：当只对应B 中2个元素时，设有1a 组()()f x f y =，1b 组()()f x f y =，则此时 “好对”有2211a b +对，且1115a b +=，则由柯西不等式可知：2221111()22522a b a b ++≥=， 情形三：当只对应B 中3个元素时，设有2a 组()()f x f y =，2b 组()()f x f y =，2c 组()()f x f y =，则此时“好对”有222222a b c ++对，且22215a b c ++=， 则由柯西不等式可知：2222222222()753a b c a b c ++++≥=，依次可得：易知当对应B 中5个元素时，此时“好对”的最小值为45，当且仅当A 中每3个元素对应B 中一个元素时，等号成立，则“好对”的个数的最小值为45. 6. ∵c ∀∈R ，,a b ∃，使得()()()f a f b f c a b-=-，则()f x 的值域是()f x '值域的子集，A 选项：2()363[0,)f x x x '=-+∈+∞，()f x ∈R ，满足题意，B 选项：222()(1)x f x x '=-+，令tan x α=，则1()sin 2(1cos2)2g ααα=-+， 当sin2α，cos20α>时，则由四元均值不等式可知：22341cos22sin 2(1cos 2)27()(1cos2)27()34αααα++=⨯-≤⨯，当且仅当1cos22α=时，等号成立，∴()[88f x '∈-，()(0,1]f x ∈，满足题意， ∵()g α为奇函数，C 选项：1()x f x e +'=，()f x ∈R ，()f x '∈R ，不满足题意，D 选项：()2cos(21)f x x '=+，()[1,1]f x ∈-，()[2,2]f x '∈-，不满足题意， 综上：选A ，B.7. 建立平面直角坐标系，且(1,0)a =r ，1(22b =r ，易知点c r 的终点的轨迹方程为2231()(444x y -+-=，又||1d c -=u r r ，∴此时max 13||1222d +=++=u r . 8. 设直线:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点为E ，联立22236x my x y =+⎧⎨+=⎩，整理可得：22(3)420m y my ++-=，则AB =，而26|3||3|3E EA x m =-=-=+，而AB EA =，解得：21m =，∴26442ABC S AB ===V ，则△ABC 的面积为2.9. ∵90AOB ∠=︒，∴直线AB 恒过定点(8,0)，而切线方程为00:4AB l xx yy +=， 则084x =，解得：012x =. 10. ∵4444444444441000444410000<<，则444434444lg 444444444⨯<<⨯， 则9(444441)9159993a <⨯⨯+⨯=，情形一：当a 的位数为6，则149441b ≤++⨯=， 情形二：当a 的位数小于6，则5945b ≤⨯=， 由情形一和情形二可知：45b ≤，情形三：当a 的位数为2位时，则3912c ≤+=， 情形四：当a 的位数1位数时，则9c ≤， 由情形三和情形四可知：12c ≤，又44447(mod9)≡，371(mod9)≡，则444444443148144447(7)77(mod9)≡≡⨯≡， 而444444447(mod9)a b c ≡≡≡≡，∴7c =.11. 情形一：当0x =时，此时P ==情形二：当0x >时，此时1P +=易知：)y x ∈+∞，令tan y x α=，[,)32ππα∈，则2sin()6P πα=+∈，情形三：当0x <时，此时1P +=易知：(,y x ∈-∞，令tan y x β=，(,]23ππβ∈--，则2sin()6P πα=-+∈，综上：P 的最小值为1，最大值为2.。