2019年北京清华大学自主招生数学理科试题Word版

2019年清华大学自主招生数学（理科）试题

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-的整数部分为a ，小数部分为b 。 （1）求,a b ；（2）求222ab a b ++

；（3）求()2lim n n b b b →∞++L L 。

2．（1）,x y 为实数，且1x y +=，求证：对于任意正整数n ，222112n n n x y -+≥

。 （2）,,a b c 为正实数，求证：

3a b c x y z

++≥，其中,,x y z 为,,a b c 的一种排列。

3．请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列，并证明你的结论。

4．已知椭圆22

221x y a b

+=，过椭圆左顶点(),0A a -的直线L 与椭圆交于Q ，与y 轴交于R ，过原点与L 平行的直线与椭圆交于P ，求证：AQ 2OP ，AR 成等比数列。

5．已知sin cos 1t t +=，设cos sin s t i t =+，求2()1n f s s s s =+++L L 。

6．随机挑选一个三位数I

（1）求I 含有因子5的概率；（2）求I 中恰有两个数码相等的概率。

7．四面体ABCD 中，AB CD =，AC BD =，AD BC =

（1）求证：四面体每个面的三角形为锐角三角形；

（2）设三个面与底面BCD 所成的角分别为,,αβγ，求证：cos cos cos 1αβγ++=。

8．证明当,p q 均为奇数时，曲线222y x px q =-+与x 轴的交点横坐标为无理数。

9．设1221,,,n a a a +L L 均为整数，性质P 为： 对1221,,,n a a a +L L 中任意2n 个数，存在一种分法可将其分为两组，每组n 个数，使得两组所有元素的和相等。求证：1221,,,n a a a +L L 全部相等当且仅当1221,,,n a a a +L L 具有性质P 。