《高等数学》第五章 向量与空间解析几何

设 M1 x1, y1, z1 、 M 2 x2 , y2 , z2 为空间两个点（见图 5-7） ，通过 M 1 、 M 2 各作 三个分别垂直于三条坐标轴的平面，这六个平面组成一个以 M 1 、 M 2 为对角线的长
方体，由此可得 d M1M 2
即
2
2 2 2 2 d M1M 2 x2 x1 y2 y1 z2 z1 ，
在 y 轴上： z x 0 ，点的坐标为 Q(0, y,0) ；
z B(0,y,z) r M y Q(0,y,0) A(x,y,0)
在 z 轴上： x y 0 ，点的坐标为 R(0, 0, z ) .
C(x,0,z) O x P(x,0,0)
图5-6
9
一、空间直角坐标系
第五 章 向量与空间解析几何
z
Ⅲ Ⅳ
Ⅱ Ⅰ
0
图5-4
Ⅷ
▲▲▲ x
y
Ⅵ Ⅴ
6
一、空间直角坐标系
第五 章 向量与空间解析几何
对于空间一点 M ，过点 M 作三个平面分别垂直于 x 轴、 y 轴和 z 轴，它们 x 轴、 y 与 x 轴、 y 轴和 z 轴的交点依次为 P 、 Q 和 R （见图 5-5） ， 这三点在 轴和 z 轴上的坐标为 x 、 y 和 z ，则这组有序数 x 、 y 和 z 称为点 M 的坐标，
4、自由向量：只与大小、方向有关，而与起点无关的向量称为自 由向量.
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一、空间直角坐标系
第五 章 向量与空间解析几何
过空间一个定点 O ，作三条互相垂直的数轴（见图 5-2） ，它们都以 O 为原
点且具有相同的长度单位，这三条数轴分别称为 x 轴（横轴） 、 y 轴（纵轴） 、z 轴 （竖轴） 、统称坐标轴. 其正向符合右手规则（见图 5-3）. 这样的三条坐标轴就
2 2
2
即 M 2 M 3 M 3 M1 ，因此该三角形是等腰三角形.
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一、空间直角坐标系
第五 章 向量与空间解析几何
例 2 在 z 轴上求与两点 A 4,3,1 和 B 3,5, 2 等距离的点.
解 设所求点的坐标为 M 0,0, z ， 由 AM BM ，即
组成了空间直角坐标系.
z 竖轴
z
原点O
y 纵轴
x
O
y
横轴 x
图5-2
图5-3
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一、空间直角坐标系
第五 章 向量与空间解析几何
三条坐标轴中的两条可确定一个平面称为坐标面：xOy, yOz, zOx 平面，它们 把空间分成了八个卦限，在 xOy 面上逆时针依次为Ⅰ、Ⅱ、III、IV 卦限，下面依 次为 V、VI、VII、Ⅷ表示，如图 5-4 所示.
第五 章 向量与空间解析几何
Advanced mathematics
第五章
向量与空间解析几何
高等数学
人民邮电出版社
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第五 章 向量与空间解析几何
第五章
内容导航
第一节 向量及其运算 第ຫໍສະໝຸດ Baidu节 平面及其方程 第三节 直线及其方程 第四节 曲面与曲线
2
课 前 导 读
既有大小又有方向的物理量称为向量. 在数学上可用有向线段来表 示向量，其长度表示向量的大小，其方向（箭头）表示向量的方向.

2

0 4 0 1 z 7
2 2 2
3 0 5 0 2 z ，
2 2
记为 M x, y, z .
z
z y x ▲▲▲
图5-5
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一、空间直角坐标系
第五 章 向量与空间解析几何
反之，已知一有序数组 x 、 y 和 z ，我们可以在 x 轴、 y 轴和 z 轴上分别取 坐标为 x 的点 P ，坐标为 y 的点 Q ，坐标为 z 的点 R ，过三个点分别作垂直于 x 轴、 y 轴和 z 轴的三个平面，它们相交于一点 M ，这 M 即为以 x 、 y 和 z 为坐标 的点，所以通过直角坐标系，我们建立了空间点 M 与有序数组 x 、 y 和 z 的一一 对应关系，见图 5-6.
证
M1M 2 M 2M3
7 4 1 3 2 1
2 2
2
14 ，
5 7 2 1 3 2
2 2
2
6， 6，
M 3 M1
4 5 3 2 1 3
R z r O x P M y Q
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图5-6
一、空间直角坐标系
我们先来看几个特殊点的坐标： 在 xOy 平面上： z 0 ，故对应点的坐标为 A( x, y,0) ；
第五 章 向量与空间解析几何
在 yOz 平面上： x 0 ，故对应点的坐标为 B(0, y, z) ； 在 zOx 平面上： y 0 ，故对应点的坐标为 C ( x,0, z) . 在 x 轴上： y z 0 ，点的坐标为 P( x,0,0) ； R(0,0,z)
z z 2 M
1
x2 x1 y2 y1 z2 z1
2 2
2
.
z1
M2
图5-7
x
▲▲▲
x2
x1 O
y1
y2 y
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一、空间直角坐标系
第五 章 向量与空间解析几何
例 1 证明以点 M1 4,3,1 、 M2 7,1,2 及 M3 5,2,3 为顶点的三角形是等腰 三角形.
1、 向量的表示： 以 M 1 为起点，M 2 为终点的有向线段表示的向量记为 M1M 2 ，有时也用一个黑体字母（书写 时，在字母上面加一箭头）来表示（见 图 5-1） ，如 a 或 a .
e M1 a M2
图5-1
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课 前 导 读
2、向量的模： 向量的大小（数学上有向线段的长度）叫做向量的 模，记作 a ， M1M 2 .模为 1 的向量称为单位向量，记作 e . 模为 0 的向 量称为零向量，记作 0 . 零向量的方向可以看作是任意方向. 3、向径： 以原点 O 为始点，向一点 M 引向量 OM ，这个向量叫 做点 M 对于点 O 的向径，记作 r ，即 r OM .