集合与常用逻辑用语

故阴影部分表示的集合是(－∞，0)∪(1,2].
答案 D
查缺补漏
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6. 已 知 集 合 A ＝ {x|x<a} ， B ＝ {x|1<x<2} ， 且
A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是 ( C A.a≤1 解析 B.a<1 C.a≥2 ) D.a>2
∵B＝{x|1<x<2}，∴∁RB＝{x|x≤1，或x≥2}，
②若B≠∅，如图所示，
则m＋1≤2m－1，即m≥2.
－2≤m＋1， 由B⊆A得 2m－1≤5.
解得－3≤m≤3.
又∵m≥2，∴2≤m≤3.
由①②知，当m≤3时，A∪B＝A.
易错点2 对命题的否定不当致误
例2
ax＋10 已知 M 是不等式 ≤0 的解集且 5 M， ax－25
则 a 的取值范围是________.
D.∀x∈R，x2－2x＋1<0 解析 特称命题的否定为全称命题.
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4. 已知 p ：关于 x 的函数 y ＝ x2 － 3ax ＋ 4 在 [1 ，＋ ∞) 上是增函数， q ： y＝ (2a － 1)x 为减函数，若 p 且 q 为 真命题，则a的取值范围是(
2 A.a≤ 3 1 B.0<a< 2
集合与常用逻辑用语
要点回扣
易错警示
查缺补漏
要点回扣 1. 集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在
解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性.
[问题1] 集合A＝{a，b，c}中的三个元素分别表示某 一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是 A ( ) A．等腰三角形 C．直角三角形 B．锐角三角形 D．钝角三角形
查缺补漏
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9.设U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m>0}，
B ＝ {(x ， y)|x ＋ y － n≤0} ，那么点 P(2,3)∈A∩( ∁ UB) 的充
m>－1，n<5 要条件是____________.
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错解
(－∞，－2)∪(5，＋∞)
找准失分点
5 M，把x＝5代入不等式，原不等式不成立， 5a＋10 有两种情况：① >0；②5a－25＝0，答案中 5a－25 漏掉了第②种情况.
正解
方法一
∵5
M，
5a＋10 ∴ >0 或 5a－25＝0， 5a－25
∴a<－2或a>5或a＝5， 故填a≥5或a<－2.
错解
若A⊆C，则∁UC⊆∁UA，又B⊆∁UC，
∴A∩B＝∅，故填“充要”.
找准失分点
没有理解充分条件的概念，p⇒q只能得到p是q的充 分条件，必要性还要检验q⇒p是否成立. 正解 若 A⊆C ，则 ∁ UC⊆ ∁ UA ，当 B⊆ ∁ UC 时，可得
A∩B＝∅；
若A∩B＝∅，不能推出B⊆∁UC，故填“充分不必要
”
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1.(2014· 北京 ) 已知集合 A ＝ {x|x2 － 2x ＝ 0} ， B ＝ {0,1,2} ，
则A∩B等于( B ) A.{0} 解析 B.{0,1} C.{0,2} D.{0,1,2}
∵A＝{x|x2－2x＝0}＝{0,2}，B＝{0,1,2}，
∴A∩B＝{0，2}.
4. 对于含有 n 个元素的有限集合 M ，其子集、真子集、
非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,
2n－2.
[ 问 题 4] 满 足 {1,2} M⊆{1,2,3,4,5} 的 集 合 M 有
________ 个. 7
5.注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借 助 Venn 图解题，描述法常借助数轴来运算，求解
充要条件判断不准
易错点1 忽视空集致误 例1 已 知 集 合 A ＝ {x|x2 － 3x － 10≤0} ， B ＝ {x|m ＋ 1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A.求实数m的取值范围． 错解 ∵x2－3x－10≤0，∴－2≤x≤5，
∴A＝{x|－2≤x≤5}．
由A∪B＝A知B⊆A，
－2≤ m＋1 ∴ 2m－1≤ 5
A.(－∞，0)∪(1，＋∞)
B.(－∞，0]∪(1,2)
C.(－∞，0)∪(1,2)
D.(－∞，0)∪(1,2]
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解析
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由题意得A＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，
B＝(1，＋∞)，
图中的阴影部分表示的集合是[A∩(∁UB)]∪[(∁UA)∩B]， 而A∩(∁UB)＝(－∞，0)，(∁UA)∩B＝(1,2]，
又∵A＝{x|x<a}，且A∪(∁RB)＝R，
利用数轴易知应有a≥2，故选C.
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7.已知集合
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3wenku.baidu.com
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2 y 2 U＝R，A＝x|x ＋ ＝1 ，B＝{y|y＝x＋1， 4
(－∞，－1)∪(2，＋∞) x∈A}，则(∁ UA)∩(∁UB)＝______________________. 解析 A＝{x|－1≤x≤1}＝[－1,1]，B＝{y|y＝x＋1，
充分不必要 条件. 是“N⊆M”的___________
8.要注意全称命题的否定是特称命题 ( 存在性命题 ) ，
特称命题 ( 存在性命题 ) 的否定是全称命题 .如对 “a ， b 都是偶数 ” 的否定应该是 “a ， b 不都是偶数 ” ，
而不应该是 “a ， b 都是奇数”. 求参数范围时，常
)
1 D. <a<1 2
1 2 C. <a≤ 2 3
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1 2 p⇔a∈－∞， ，q⇔a∈ ，1， 3 2
1 2 ∴ a∈ ， . 3 2
答案 C
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5.如果全集U＝R，A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|y＝ln(x －1)}，则图中的阴影部分表示的集合是( )
f1≤0， 则 f3≤0，
解得
2 x∈－1， . 3 2 的取值范围是(－∞，－1)∪ ，＋∞. 3
则实数 x
答案
2 (－∞，－1)∪ ，＋∞ 3
易错警示
易错点1 忽视空集致误
易错点2
易错点3
对命题的否定不当致误
3.遇到 A∩B＝ ∅ 时，你是否注意到 “ 极端 ” 情况：
A＝∅ 或B＝∅ ；同样在应用条件 A∪B＝ B⇔A∩B＝
A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况. [ 问题 3] 设集合 A ＝ {x|x2 － 5x ＋ 6 ＝ 0} ，集合 B ＝
{x|mx － 1 ＝ 0} ，若A∩B＝ B ，则实数m组成的集合 1 1 {0， ， } 是___________. 2 3
与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想.
[ 问题 8]
若存在 a∈[1,3] ，使得不等式 ax2 ＋ (a －
2)x － 2>0 成 立 ， 则 实 数 x 的 取 值 范 围 是
____________. 解析 不等式即(x2＋x)a－2x－2>0，
设f(a)＝(x2＋x)a－2x－2. 研究“任意a∈[1,3]，恒有f(a)≤0”.
a1<0时，0<q<1.
q>1时，若a1<0，则{an}为递减数列. 故 “q>1” 是 “{an} 为递增数列 ” 的既不充分也不必
要条件，故选D.
答案 D
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3.命题“∃x∈R，x2－2x＋1<0”的否定是( C )
A.∃x∈R，x2－2x＋1≥0
B.∃x∈R，x2－2x＋1>0 C.∀x∈R，x2－2x＋1≥0
x∈A}＝[0,2]，
( ∁ UA)∩( ∁ UB) ＝ ∁ U(A∪B) ＝ ( － ∞ ，－ 1)∪(2 ，＋
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8. 设 P 、 Q 为两个非空实数集合，定义集合 P ＋ Q ＝ {a ＋ b|a∈P ， b∈Q} ，若 P ＝ {0,2,5} ， Q ＝ {1,2,6} ， 8 则P＋Q中的元素有________ 个.
时要特别注意端点值.
[问题5] 已知全集I＝R，集合A＝{x|y＝ 1－x }，
集合B＝{x|0≤x≤2}，则(∁IA)∪B等于( C )
A.[1，＋∞) B.(1，＋∞) C.[0 ，＋ ∞) D.(0 ，＋
6.“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件， 又否定其结论；而 “ 命题 p 的否定 ” 即：非 p ，只是否 定命题p的结论. [问题6] 已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a＝b.该命题 的否命题和命题的否定分别是___________.
方法二
若5∈M，
5a＋10 则 ≤ 0， 5a－25
∴(a＋2)(a－5)≤0且a≠5，
∴－2≤a<5， ∴5 M时，a<－2或a≥5.
答案 (－∞，－2)∪[5，＋∞)
易错点3 充要条件判断不准
例3
设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使
得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的________条件.
10.已知条件p：x2＋2x－3>0，条件q：x>a，且綈p 是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围为 [1，＋∞) __________. 解析 由x2＋2x－3>0可得x>1或x<－3，
“綈p是綈q的充分不必要条件”等价于“q是p的充
分不必要条件”，故a≥1.
2. 描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义 ——
抓住集合的代表元素 .如： {x|y＝ lg x}—— 函数的定义 域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——
函数图象上的点集.
[问题2] 集合A＝{x|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，
∅ 则A∩B＝________.
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2.(2014· 北 京 ) 设 {an} 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 ， 则
“q>1”是“{an}为递增数列”的(
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
)
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
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解析 {an}为递增数列，则a1>0时，q>1；
答案
否命题：已知实数 a、b，若|a|＋|b|≠0，则a≠b；
命题的否定：已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a≠b
7.要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是
指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不
必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A. [ 问题 7] 设集合 M ＝ {1,2} ， N ＝ {a2} ，则 “a ＝ 1”
，即－3≤m≤3，
∴m的取值范围是－3≤m≤3.
找准失分点
B ⊆A ， B 可以为非空集合， B 也可以是空集．漏掉 对B＝∅的讨论，是本题的一个易失分点．
正解
∵A∪B＝A，
∴B⊆A.
∵A＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}．
①若B＝∅，则m＋1>2m－1， 即m<2，故m<2时，A∪B＝A；