2019年宿迁市中考数学试题及答案

2019年江苏省宿迁市中考数学试卷及答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）2019的相反数是（）
A．B．﹣2019C．﹣D．2019
2．（3分）下列运算正确的是（）
A．a2+a3＝a5
C．a6÷a3＝a2
B．（a2）3＝a5
D．（ab2）3＝a3b6
3．（3分）一组数据：2、4、4、3、7、7，则这组数据的中位数是（）A．3B．3.5C．4D．7
4．（3分）一副三角板如图摆放（直角顶点C重合），边AB与CE交于点F，DE ∥BC，则∠BFC等于（）
A．105°B．100°C．75°D．60°
5．（3分）一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积是（）
A．20πB．15πC．12πD．9π
6．（3分）不等式x﹣1≤2的非负整数解有（）
（ （
A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
7．
（3 分）如图，正六边形的边长为 2，分别以正六边形的六条边为直径向外作
半圆，与正六边形的外接圆围成的 6 个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是
（ ）
A ．6 ﹣π
B ．6 ﹣2π
C ．6 +π
D ．6 +2π
8． 3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 ABCD 的顶点 A 与原点 O 重合，
顶点 B 落在 x 轴的正半轴上，对角线 AC 、BD 交于点 M ，点 D 、M 恰好都在
反比例函数 y ＝ （x ＞0）的图象上，则
的值为（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．
二、填空题，（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，不需写出解答过程， 请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．
（3 分）实数 4 的算术平方根为 ． 10．
（3 分）分解因式：a 2﹣2a ＝ ．
11． 3 分）宿迁近年来经济快速发展，2018 年 GDP 约达到 275000000000 元．将
275000000000 用科学记数法表示为
．
12．
（3 分）甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为 2.07 米，方差分别是 S 甲
2、
（
（
S
乙
2，且S
甲
2＞S
乙
2，则队员身高比较整齐的球队是．
13．（3分）下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为．
14．（3分）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，朝上一面的点数是3的倍数的概率是．
15．3分）直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为．16．3分）关于x的分式方程+＝1的解为正数，则a的取值范围是．17．（3分）如图，∠MAN＝△60°，若ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线A N上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是．
18．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．
三、解答题（本大题共10题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
1 1
19．
（8 分）计算：（ ）﹣ ﹣（π﹣1）0+|1﹣
20．
（8 分）先化简，再求值：（1+ ）÷
|．
，其中 a ＝﹣2．
21．
（8 分）如图，一次函数 y ＝kx +b 的图象与反比例函数 y ＝﹣ 的图象相交于
点 A （﹣1，m ）、B （n ，﹣1）两点．
（1）求一次函数表达式；
（△2）求 AOB 的面积．
22．
（8 分）如图，矩形 ABCD 中，AB ＝4，BC ＝2，点 E 、F 分别在 AB 、CD 上，
且 BE ＝DF ＝ ．
（1）求证：四边形 AECF 是菱形；
（2）求线段 EF 的长．
23．（10 分）为了解学生的课外阅读情况，七（ ）班针对“你最喜爱的课外阅读
书目”进行调查（每名学生必须选一类且只能选一类阅读书目），并根据调查
结果列出统计表，绘制成扇形统计图．
男、女生所选类别人数统计表
类别
文学类
史学类
科学类
哲学类
男生（人）
12
m
6
2
女生（人）
8
5
5
n
根据以上信息解决下列问题
（1）m＝，n＝；
（2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为°；
（3）从选哲学类的学生中，随机选取两名学生参加学校团委组织的辩论赛，请用树状图或列表法求出所选取的两名学生都是男生的概率．
24．（10分）在△Rt ABC中，∠C＝90°．
（1）如图①，点O在斜边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，与边AC相切于点F．求证：∠1＝∠2；
（2）在图②中作⊙M，使它满足以下条件：
①圆心在边AB上；②经过点B；③与边AC相切．
（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）
（
25．
（10 分）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是
某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图 ②是其示意图，其中 AB 、CD
都与地面 l 平行，车轮半径为 32cm ，∠BCD ＝64°，BC ＝60cm ，坐垫 E 与点 B 的距离 BE 为 15cm ．
（1）求坐垫 E 到地面的距离；
（2）根据经验，当坐垫 E 到 CD 的距离调整为人体腿长的 0.8 时，坐骑比较舒 适．小明的腿长约为 80cm ，现将坐垫 E 调整至坐骑舒适高度位置 E'，求 EE ′ 的长．
（结果精确到 0.1cm ，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）
26． 10 分）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为 40 元（市场管理部门规定，
该种玩具每件利润不能超过 60 元），每天可售出 50 件．根据市场调查发现，
销售单价每增加 2 元，每天销售量会减少 1 件．设销售单价增加 x 元，每天售 出 y 件．
（1）请写出 y 与 x 之间的函数表达式；
（2）当 x 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润 2250 元？
（
（3）设超市每天销售这种玩具可获利 w 元，当 x 为多少时 w 最大，最大值是
多少？
27．（12 分）如图△①，在钝角
ABC 中，∠ABC ＝30°，AC ＝4，点 D 为边 AB
中点，点 E 为边 BC 中点，将△BDE 绕点 B 逆时针方向旋转 α 度（0≤α≤180）．
（1）如图②，当 0＜α＜180 时，连接 AD 、△CE ．求证： BDA ∽△BEC ；
（2）如图③，直线 CE 、AD 交于点 G ．在旋转过程中，∠AGC 的大小是否发 生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；
（△3）将 BDE 从图①位置绕点 B 逆时针方向旋转 180°，求点 G 的运动路程．
28． 12 分）如图，抛物线 y ＝x 2+bx +c 交 x 轴于 A 、B 两点，其中点 A 坐标为（1，
0）
，与 y 轴交于点 C （0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接 AC ，点 P 在抛物线上，且满足∠P AB ＝2∠ACO ．求点 P 的坐标；
（3）如图②，点 Q 为 x 轴下方抛物线上任意一点，点 D 是抛物线对称轴与 x 轴的交点，直线 AQ 、BQ 分别交抛物线的对称轴于点 M 、N ．请问 DM +DN 是 否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
参考答案
一、选择题1．B．2．D．3．C．4．A．5．B．6．D．7．A．8．A．二、填空题
9．答案为：2．
10．答案为：a（a﹣2）．
11．答案为：2.75×1011．
12．解：∵S
甲2＞S
乙
2，
∴队员身高比较整齐的球队是乙，
故答案为：乙．
13．解：设“△”的质量为□x，“”的质量为y，
由题意得：，
解得：，
∴第三个天平右盘中砝码的质量＝2x+y＝2×4+2＝10；
故答案为：10．
14．解：∵骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，点数为3的倍数的有2个，∴掷得朝上一面的点数为3的倍数的概率为：＝．
故答案为：．
15．解：直角三角形的斜边＝所以它的内切圆半径＝
故答案为2．
＝13，＝2．
16．解：去分母得：1﹣a +2＝x ﹣2，
解得：x ＝5﹣a ，
5﹣a ＞0， 解得：a ＜5，
当 x ＝5﹣a ＝2 时，a ＝3 不合题意， 故 a ＜5 且 a ≠3．
故答案为：a ＜5 且 a ≠3．
17．解：如图，过点 B 作 BC 1⊥A N ，垂足为 C 1，BC 2⊥AM ，交 A N 于点 C 2
在 △Rt ABC 1 中，AB ＝2，∠A ＝60°
∴∠ABC 1＝30°
∴AC 1＝ AB ＝1，由勾股定理得：BC 1＝
在 △Rt ABC 2 中，AB ＝2，∠A ＝60°
∴∠AC 2B ＝30°
∴AC 2＝4，由勾股定理得：BC 2＝2 ，
，
当△ABC 是锐角三角形时，点 C 在 C 1C 2 上移动，此时
故答案为： ＜BC ＜2 ．
＜BC ＜2 ．
18．解：由题意可知，点F 是主动点，点 G 是从动点，点 F 在线段上运动，点 G
也一定在直线轨迹上运动
将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG
从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上
作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值
作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，
则CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝
故答案为．
三、解答题
19．解：原式＝2﹣1+
＝．
20．【解答】解：原式＝
﹣1
×
＝，
当a＝﹣2时，原式＝＝﹣．
21．解：（1）把A（﹣1．m），B（n，﹣1）代入y＝﹣，得m＝5，n＝5，∴A（﹣1，5），B（5，﹣1），
把A（﹣1，5），B（5，﹣1）代入y＝kx+b得
△S AOD+S
，解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+4；
（2）x＝0时，y＝4，
∴OD＝4，
∴△AOB的面积＝
△BOD
＝×4×1+＝12．
22．（1）证明：∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，
∴CD＝AB＝4，AD＝BD＝2，CD∥AB，∠D＝∠B＝90°，∵BE＝DF＝，
∴CF＝AE＝4﹣＝，
∴AF＝CE＝＝，
∴AF＝CF＝CE＝AE＝，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：过F作FH⊥AB于H，
则四边形AHFD是矩形，
∴AH＝DF＝，FH＝AD＝2，
∴EH＝﹣＝1，
∴EF＝＝＝．
23．解：（1）抽查的总学生数是：（12+8）÷40%＝50（人），
m＝50×30%﹣5＝10，n＝50﹣20﹣15﹣11﹣2＝2；
故答案为：20，2；
（2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为360°×
故答案为：79.2；
（3）列表得：
男1男2女1女2
＝79.2°；
男1﹣﹣男2男1女1男1女2男1
男2男1男2﹣﹣女1男2女2男2
女1男1女1男2女1﹣﹣女2女1
女2男1女2男2女2女1女2﹣﹣
由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中所选取的两名学生都是男生的有2种可能，
∴所选取的两名学生都是男生的概率为
24．解：（1）证明：如图①，连接OF，
＝．
∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC，
∵∠C＝90°，
∴OE∥BC，
∴∠1＝∠OFB，
∵OF＝OB，
∴∠OFB＝∠2，
∴∠1＝∠2．
（2）如图②所示⊙M为所求．①
①作∠ABC平分线交AC于F点，
②作BF的垂直平分线交AB于M，以MB为半径作圆，即⊙M为所求．
证明：∵M在BF的垂直平分线上，
∴MF＝MB，
∴∠MBF＝∠MFB，
又∵BF平分∠ABC，
∴∠MBF＝∠CBF，
∴∠CBF＝∠MFB，
∴MF∥BC，
∵∠C＝90°，
∴FM⊥AC，
∴⊙M与边AC相切．
25．解：（1）如图1，过点E作EM⊥CD于点M，
由题意知∠BCM＝64°、EC＝BC+BE＝60+15＝75cm，∴EM＝ECsin∠BCM＝75sin64°≈67.5（cm），
则单车车座E到地面的高度为67.5+32≈99.5（cm）；（2）如图2所示，过点E′作E′H⊥CD于点H，
由题意知E′H＝80×0.8＝64，
则E′C＝＝≈71，1，
∴EE′＝CE﹣CE′＝75﹣71.1＝3.9（cm）．
26．解：（1）根据题意得，y＝﹣x+50；
（2）根据题意得，（40+x）（﹣x+50）＝2250，
解得：x
1
＝50，x
2
＝10，
∵每件利润不能超过60元，
∴x＝10，
答：当x为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元；
（3）根据题意得，w＝（40+x）（﹣x+50）＝﹣x2+30x+2000＝﹣（x﹣30）2+2450，
∵a＝﹣＜0，
∴当x＜30时，w随x的增大而增大，
∴当x＝20时，w
增大
＝2400，
答：当x为20时w最大，最大值是2400元．
27．解：（1）如图②中，
由图①，∵点D为边AB中点，点E为边BC中点，
∴DE∥AC，
∴
∴
＝
＝
，
，
∵∠DBE＝∠ABC，
∴∠DBA＝∠EBC，
∴△DBA∽△EBC．
（2）∠AGC的大小不发生变化，∠AGC＝30°．
理由：如图③中，设AB交CG于点O．
∵△DBA∽△EBC，
∴∠DAB＝∠ECB，
∵∠DAB+∠AOG+∠G＝180°，∠ECB+∠COB+∠ABC＝180°，∠AOG＝∠COB，
∴∠G＝∠ABC＝30°．
（3）如图③﹣1中．设AB的中点为K，连接DK，以AC为边向右作等边△ACO，连接OG，OB．
以O为圆心，OA为半径作⊙O，
∵∠AGC＝30°，∠AOC＝60°，
∴∠AGC＝∠AOC，
∴点G在⊙O上运动，
以B为圆心，BD为半径作⊙B，当直线与⊙B相切时，BD⊥AD，∴∠ADB＝90°，
∵BK＝AK，
∴DK＝BK＝AK，
∵BD＝BK，
∴BD＝DK＝BK，
∴△BDK是等边三角形，
∴∠DBK＝60°，
∴∠DAB＝30°，
∴∠DOG＝2∠DAB＝60°，
∴的长＝＝，
观察图象可知，点G的运动路程是的长的两倍＝．
28．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（1，0），C（0，﹣3）
∴解得：
∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3
（2）①若点P在x轴下方，如图1，
延长AP到H，使AH＝AB，过点B作BI⊥x轴，连接BH，作BH中点G，连接并延长AG交BI于点F，过点H作HI⊥BI于点I
∵当x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1
∴B（﹣3，0）
∵A（1，0），C（0，﹣3）
∴OA＝1，OC＝3，AC＝，AB＝4
∴△Rt AOC中，sin∠ACO＝，cos∠ACO＝
∵AB＝AH，G为BH中点
∴AG⊥BH，BG＝GH
∴∠BAG＝∠HAG，即∠P AB＝2∠BAG
∵∠P AB＝2∠ACO
∴∠BAG＝∠ACO
∴△Rt ABG中，∠AGB＝90°，sin∠BAG＝
∴BG＝AB＝
∴BH＝2BG＝
，y H ＝﹣
∵∠HBI +∠ABG ＝∠ABG +∠BAG ＝90°
∴∠HBI ＝∠BAG ＝∠ACO
∴△Rt BHI 中，∠BIH ＝90°，sin ∠HBI ＝
，cos ∠HBI ＝
∴HI ＝ BH ＝ ，BI ＝
BH ＝
∴x H ＝﹣3+ ＝﹣
，即 H （﹣
设直线 AH 解析式为 y ＝kx +a
∴
解得：
∴直线 AH ：y ＝ x ﹣
，﹣ ）
∵
解得： （即点 A ），
∴P （﹣ ，﹣
）
② 若点 P 在 x 轴上方，如图 2，
在 AP 上截取 AH'＝AH ，则 H'与 H 关于 x 轴对称
∴H'（﹣
， ）
设直线 AH'解析式为 y ＝k'x +a'
∴
解得：
∴直线 AH'：y ＝﹣ x +
∵
∴P （﹣
，
解得：
）
（即点 A ），
综上所述，点 P 的坐标为（﹣ ，﹣ ）或（﹣ ， ）．
（3）DM +DN 为定值
∵抛物线 y ＝x 2+2x ﹣3 的对称轴为：直线 x ＝﹣1
∴D （﹣1，0），x M ＝x N ＝﹣1
设 Q （t ，t 2+2t ﹣3）（﹣3＜t ＜1）
设直线 AQ 解析式为 y ＝dx +e
∴
解得：
∴直线 AQ ：y ＝（t +3）x ﹣t ﹣3
当 x ＝﹣1 时，y M ＝﹣t ﹣3﹣t ﹣3＝﹣2t ﹣6
∴DM ＝0﹣（﹣2t ﹣6）＝2t +6
设直线 BQ 解析式为 y ＝mx +n
∴
解得：
∴直线 BQ ：y ＝（t ﹣1）x +3t ﹣3
当 x ＝﹣1 时，y N ＝﹣t +1+3t ﹣3＝2t ﹣2
∴DN ＝0﹣（2t ﹣2）＝﹣2t +2
∴DM +DN ＝2t +6+（﹣2t +2）＝8，为定值．。