八年级数学正方形教学设计

一、教学目的

1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．

2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．

二、重点、难点

1．教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．

2．教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．

3．难点的突破方法：

本节的主要容是正方形概念、性质和判定方法．重点是正方形定义．

正方形学生在小学阶段已有初步了解，生活中应用很广，其时正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，和特殊的菱形，学好正方形有助于巩固矩形、菱形各自特有的性质和判定．

学生在小学学过了正方形，他们知道正方形的四个角都是直角，四条边相等，正方形的面积等于它的边长的平方，本节课的教学是加深学生的理论认识，拓宽学生的知识面，如何使学生理解为什么正方形的四个角都是直角，四条边相等，拓宽了正方形对角线性质的知识．在教学中可以让学生动手从一矩形纸中折出一个正方形，培养学生实践能力．另外，通过对正方形定义和性质的讲解，培养学生类比思想、归纳思想、转化思想和隔离方法．

(1)掌握正方形定义是学好本节的关键．正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：

正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．教学时要结合教科书中P100中的图19.2－14，具体说明正方形与矩形、菱形的关系．这些关系是教学的一个难点，也是教学容的重点和关键，要结合图形或者教具，或用简单的集合关系图，使学生把正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系搞清楚．这些概念重叠交错，不易搞清楚，在教学这些容时进度可稍放慢些．

(2)因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，不仅有平行四边形的所有性质，也有矩形和菱形的特殊性质，所以讲正方形性质的关键是在复习矩形、菱形的基础上进行总结．可以将正方形的性质总结如下：

边：对边平行，四边相等；

角：四个角都是直角；

对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．

还要让学生注意到：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．要使学生熟悉这些最基本的容．

（3）对于怎样判定一个四边形是正方形，因为层次比较多，不必分析的太具体，只要强调能判定一个四边形是矩形，又能判定这个矩形也是菱形，或者先判定四边形是菱形，再判定这个菱形也是矩形，就可以判定这个四边形是正方形，实际上就是根据正方形定义来判定．

（4）正方形的性质和判定是本大节讲的平行四边形、菱形、矩形的性质与判定的综合．可以通过本节的教学总结、归纳前面所学的容．还可以通过本节的教学，澄清学生存在的一些模糊概念．

三、课堂引入

1．做一做：用一长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．

学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？

正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：

2．【问题】正方形有什么性质？

由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．

所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．

四、例习题分析

例1(教材P100的例4) 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．

已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AC=BD，AC⊥BD，AO = CO = BO = DO(正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分)．

∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，

并且△ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO．

例2(补充) 已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB 上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．

求证：OE = OF．

分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE =∠DOF = 90°，AO = DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO =∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠AOE =∠DOF = 90°，AO = DO(正方形的对角线垂直平分且相等)．又DG⊥AE，∴∠EAO+∠AEO =∠EDG+∠AEO = 90°．

∴∠EAO =∠FDO，∴△AEO≌△DFO．

∴OE = OF．

例3(补充)已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．求证：四边形PQMN是正方形．

分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM = DN，用同样的方法证AN = DP．即可证出MN = NP．从而得出结论．证明：∵PN⊥l1，QM⊥l1，∴PN∥QM，∠PNM = 90°．

∵PQ∥NM，∴四边形PQMN是矩形．

∵四边形ABCD是正方形

∴∠BAD =∠ADC = 90°，AB = AD = DC(正方形的四条边都相等，四个角都是直角)．

∴∠BAM+∠DAN = 90°．

又∠NDA+∠DAN = 90°，∴∠BAM =∠NDA，∴△ABM≌△DAN．∴AM = DN，同理AN = DP．

∴AM+AN = DN+DP，即MN = PN．

∴四边形PQMN是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)．