解三角形_课件PPT

在△ABC 中，有 A＋B＋C＝π，即：sinA＝sin(B ＋C)， ∴2sinAcosB＋sinA＝0. ∵sinA≠0，∴cosB＝－12⇒B＝23π. (2)由余弦定理有： b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，
19＝52－2ac(1－12)⇒ac＝6.
由aac＋＝c6＝5 ⇒ac＝＝32 或ac＝＝23.，
理 A＋B＋C＝π.利用公式 cosA＝b2＋2cb2c－a2， cosB＝a2＋2ca2c－b2，cosC＝a2＋2ba2b－c2，可将有 关三角形中的角的关系化为边的关系，然后充
分利用代数知识来解决问题．
例2 在三角形 ABC 中，a、b、c 分别是角 A、 B、C 对边的长，且满足ccoossBC＝－2ab＋c. (1)求角 B 的值； (2)若 b＝ 19，a＋c＝5，求 a、c 的值．
例1 在△ABC 中，若bcccoossBC＝11＋＋ccooss22BC，试判 断三角形的形状． 【解】 由已知11＋ ＋ccooss22CB＝22ccooss22BC＝bcccoossBC，
∴ccoossCB＝bc.
以下可有两种解法．
法一：(利用正弦定理边化角)： 由正弦定理得bc＝ssiinnBC.∴ccoossCB＝ssiinnBC， 即 sinCcosC＝sinBcosB，即 sin2C＝sin2B， ∵B，C 均为△ABC 的内角， ∴2C＝2B，或 2C＋2B＝180°， ∴B＝C，或 B＋C＝90°， 所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
同理，cos∠PAC＝723－x x， 由于 cos∠PAB＝cos∠PAC， 即3x＋5x32＝723－x x，解得 x＝1372(km)． (2)作 PD⊥a，垂足为 D.在 Rt△PDA 中， PD＝PAcos∠APD＝PAcos∠PAB ＝x·3x＋ 5x32＝3×13752＋32≈17.71 (km)．
例4 如图所示，a是海面上一条南北方向的 海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点, 另两个监测点B、C分别在A的正东方向20 km 处和54 km处，某时刻，监测点B收到发自静 止目标P的一个声波，8 s后监测点A、20 s后 监测点C相继收到这一信号，在当时的气象条 件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
例3 在△ABC 中，sinA＋cosA＝ 22，AC＝2， AB＝3，求 tanA 的值和△ABC 的面积．
【思路点拨】 由已知可把角A算出来，再求 tanA，并求出sinA，直接代入面积公式即可.
【解】 ∵sinA＋cosA＝ 2cos(A－45°)＝ 22， ∴cos(A－45°)＝12. 又∵0°<A<180°，∴A＝105°. ∴tanA＝tan(45°＋60°)＝1t－ant4a5n°4＋5°ttaann6600°°＝－ 2－ 3，
cosA<cosB. (2)在△ABC 中，∠A＋∠B＋∠C＝π，∠A＋∠B＝ π－∠C，∠A＋2 ∠B＝π2－∠2C，则 cos(A＋B)＝－ cosC， sin(A＋B)＝sinC，sinA＋2 B＝cosC2.
(3)在△ABC 中，a2＋b2<c2⇔π2<C<π，a2＋b2＝c2c2⇔cosC>0⇔0<∠C<π2.
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专题探究精讲
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判断三角形形状 判断三角形的形状，一般有以下两种途径： (1)将已知条件统一化成边的关系，用代数方法 求解； (2)将已知条件统一化成角的关系，用三角方法 求解． 在解三角形时的常用结论有：
(1) 在 △ ABC 中 ， ∠ A> ∠ B⇔ a>b ⇔ sinA>sinB ⇔
即静止目标 P 到海防警戒线 a 的距离约为 17.71
km.
【名师点评】 由实际出发，构建数学模型是 解应用题的基本思路．如果涉及三角形问题， 我们可以把它抽象为解三角形问题，进行解答, 之后再还原成实际问题，即
法二：(利用余弦定理角化边)：
∵bc＝ccoossCB. a2＋b2－c2
再由余弦定理得a2＋2ca2b－b2＝bc， 2ac
即(a2＋b2－c2)c2＝b2(a2＋c2－b2)，
∴a2c2－c4＝a2b2－b4，即 a2b2－a2c2＋c4－b4＝0， ∴a2(b2－c2)＋(c2－b2)(c2＋b2)＝0， 即(b2－c2)(a2－b2－c2)＝0， ∴b2＝c2，或 a2－b2－c2＝0， 即 b＝c，或 a2＝b2＋c2， ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
【解】 (1)依题意，PA－PB＝1.5×8＝12 (km)， PC－PB＝1.5×20＝30 (km)． 因此 PB＝(x－12) km，PC＝(18＋x) km. 在△PAB 中，AB＝20 km， cos∠PAB＝PA2＋2PAAB·A2－B PB2＝x2＋2022－x·20x－122 ＝3x＋ 5x32.
正、余弦定理的综合应用
(1)在解三角形时，常常将正弦定理与余弦定理 结合使用，要注意恰当地选择定理，简化运算 过程，提高解题速度，同时，要注意与平面几 何中的有关性质、定理结合起来，挖掘题目中 的隐含条件．
(2)利用正弦、余弦定理证明有关三角形的三 角函数恒等式和判定三角形的类型，主要是 将已知条件中的边、角关系转化为角的关系 或边的关系．一般地，利用公式a＝2RsinA， b＝2RsinB，c＝2RsinC可将边的关系转化为 角的三角函数关系，然后利用三角函数恒等 式进行化简，其中往往用到三角形内角和定
【思路点拨】 (1)ccoossBC＝－2ab＋c
三角函数关系 值．
cosB 的值―→B 的
(2)利用余弦定理找出 a、c 的关系．
【解】 (1)由正弦定理有：sinaA＝sinbB＝sincC＝ 2R⇒a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC， 代入ccoossBC＝－2ab＋c，得ccoossBC＝－2sinsAin＋BsinC， 即：2sinAcosB＋sinCcosB＋sinBcosC＝0， 2sinAcosB＋sin(C＋B)＝0.
(1)设A到P的距离为x km，用x表示B、C到P 的距离，并求x的值； (2)求静止目标P到海防警戒线a的距离．(结果 精确到0.01 km)
【思路点拨】 (1)PA、PB、PC长度之间的关 系可以通过收到信号的先后时间建立起来； (2)作PD⊥a，垂足为D，要求PD的长，只需要 求出PA的长和cos∠APD，即cos∠PAB的 值．由题意，PA－PB，PC－PB都是定值，因 此，只需要分别在△PAB和△PAC中，求出 cos∠PAB，cos∠PAC的表达式，建立方程即可.
sinA＝sin(45°＋60°)
＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝
2＋ 4
6 .
又 AC＝2，AB＝3，
∴S△ABC＝12AC·AB·sinA＝12×2×3×
2＋ 4
6
＝34( 2＋ 6)．
解三角形在实际问题中的应用
(1)三角形中的边角关系是最基本的数量关系， 而正、余弦定理又是反映三角形这种数量关系 最重要的两个定理，它们在天文测量、航海和 地理测量等问题中有着广泛的应用． (2)解决实际问题时，先将实际问题中的数量关 系归结为数学问题，利用已学过的几何图形的 性质，作必要的辅助线，将已知元素、未知元 素集中到同一个三角形中，正确地选择正弦定 理、余弦定理，使解题过程简洁，按照题目中 已有的精确度进行计算，并注明单位．
【名师点评】 易误点：(1)中考生盲目地利 用余弦定理把角的三角函数转化为边，导致 计算量加大；(2)中不能利用(1)中所求的值寻 找等式关系．
求三角形面积
求三角形的面积常与正弦定理、余弦定理、三 角函数、函数的有关知识紧密地联系在一起， 是高考中的常见题型． 常用三角形面积公式： (1)S△ABC＝12aha＝12bhb＝12chc. (2)S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.