专题二：动力学临界极值问题

专题二：动力学中的临界极值问题
1．当物体的运动从一种状态转变为另一种状态时必然有一个转折点，这个转折点所对应的状态叫做临界状态；在临界状态时必须满足的条件叫做临界条件．用变化的观点正确分析物体的受力情况、运动状态变化情况，同时抓住满足临界值的条件是求解此类问题的关键．
2．临界或极值条件的标志
(1)有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；
(2)若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点
往往就是临界状态；
(3)若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界
点；
(4)若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是要求收尾加速度或收尾速度．
3．动力学中的典型临界条件
(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F N＝0.
(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．
(3)绳子断裂与松驰的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松驰的临界条件是：F T＝0.
(4)加速度变化时，速度达到最大的临界条件：当加速度变化为a＝0时．
例1如图所示，质量为m＝1 kg的物块放在倾角为θ＝37°的斜面体上，斜面体质量为M＝2 kg，斜面体与物块间的动摩擦因数为μ＝0.2，地面光滑，现对斜面体施一水平推力F，要使物块m相对斜面静止，试确定推力F的取值范围．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)
例2如图所示，物体A叠放在物体B上，B置于光滑水平面上，A、B质量分别为m A＝6 kg，m B＝2 kg，A、B 之间的动摩擦因数μ＝0.2，开始时F＝10 N，此后逐渐增加，在增大到45 N的过程中，则() A．当拉力F<12 N时，物体均保持静止状态
B．两物体开始没有相对运动，当拉力超过12 N时，开始相对运动C．两物体从受力开始就有相对运动
D．两物体始终没有相对运动
质疑与反思：
（1）、若m A =2Kg ，m B =6Kg ，则：
（2）、若F 作用于B 物体，则：
变式训练1如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m 、2m 和3m 的三个木块，其中质量为2m 和3m 的木块间用一不可伸长的轻绳相连，轻绳能承受的最大拉力为F T .现用水平拉力F 拉质量为3m 的木块，使三个木块以同一加速度运动，则以下说法正确的是( )
A ．质量为2m 的木块受到四个力的作用
B ．当F 逐渐增大到F T 时，轻绳刚好被拉断
C ．当F 逐渐增大到1.5F T 时，轻绳还不会被拉断
D ．当轻绳刚要被拉断时，质量为m 和2m 的木块间的摩擦力为F T
变式训练2如图所示，水平桌面光滑，A 、B 物体间的动摩擦因数为μ(可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，A 物体质量为2m ，B 和C 物体的质量均为m ，滑轮光滑，砝码盘中可以任意加减砝码．在保持A 、B 、C 三个物体相对静止共同向左运动的情况下，BC 间绳子所能达到的最大拉力是( )
A ．.12
μmg B ．μmg C ．2μmg
D ．3μmg
变式训练3光滑水平面上并排放置质量分别为m 1＝2 kg 、m 2＝1 kg 的两物块，t ＝0时刻同时施加两个力，其中F 1＝2 N 、F 2＝(4－2t ) N ，方向如图所示．则两物块分离的时刻为( )
A ．1 s
B ．1.5 s
C ．2 s
D ．2.5 s
变式训练4一弹簧一端固定在倾角为37°的光滑斜面的底端，另一端拴住质量为m 1＝4 kg 的物块P ，Q 为一重物，已知Q 的质量为m 2＝8 kg ，弹簧的质量不计，劲度系数k ＝600 N /m ，系统处于静止，如图所示．现给Q 施加一个方向沿斜面向上的力F ，使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前0.2 s 时间内，F 为变力，0.2 s 以后，F 为恒力，求：力F 的最大值与最小值．(sin 37°＝0.6，g ＝10 m/s 2)
专题二：动力学中的临界极值问题
1．当物体的运动从一种状态转变为另一种状态时必然有一个转折点，这个转折点所对应的状态叫做临界状态；在临界状态时必须满足的条件叫做临界条件．用变化的观点正确分析物体的受力情况、运动状态变化情况，同时抓住满足临界值的条件是求解此类问题的关键．
2．临界或极值条件的标志
(1)有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；
(2)若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起
止点往往就是临界状态；
(3)若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临
界点；
(4)若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是要求收尾加速度或收尾速度．
3．动力学中的典型临界条件
(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F N＝0.
(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．
(3)绳子断裂与松驰的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松驰的临界条件是：F T＝0.
(4)加速度变化时，速度达到最大的临界条件：当加速度变化为a＝0时．
例1如图所示，质量为m＝1 kg的物块放在倾角为θ＝37°的斜面体上，斜面体质量为M＝2 kg，斜面体与物块间的动摩擦因数为μ＝0.2，地面光滑，现对斜面体施一水平推力F，要使物块m相对斜面静止，试确定推力F的取值范围．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)
审题指导此题有两个临界条件：当推力F较小时，物块有相对斜面向下运动的可能性，
此时物块受到的摩擦力沿斜面向上；当推力F较大时，物块有相对斜面向上运动的可能性，
此时物块受到的摩擦力沿斜面向下．找准临界状态是求解此题的关键．
解析(1)设物块处于相对斜面向下滑动的临界状态时的推力为F1，此时物块受力分析如
图所示，取加速度的方向为x轴正方向．
对物块，
水平方向有F N sin θ－μF N cos θ＝ma1
竖直方向有F N cos θ＋μF N sin θ－mg＝0
对M、m整体有F1＝(M＋m)a1
代入数值得：a1＝4.8 m/s2，F1＝14.4 N
(2)设物块处于相对斜面向上滑动的临界状态时的推力为F2，对物块受力分析如图，在水平方向有
F N′sin θ＋μF N′cos θ＝ma2
竖直方向有F N′cos θ－μF N′sin θ－mg＝0
对整体有F2＝(M＋m)a2
代入数值得a2＝11.2 m/s2，F2＝33.6 N
综上所述可知推力F的取值范围为：14.4 N≤F≤33.6 N
答案14.4 N≤F≤33.6 N
例2如图所示，物体A叠放在物体B上，B置于光滑水平面上，A、B质量分别为m A＝6 kg，m B＝2 kg，A、B 之间的动摩擦因数μ＝0.2，开始时F＝10 N，此后逐渐增加，在增大到45 N的过程中，则()
A．当拉力F<12 N时，物体均保持静止状态
B．两物体开始没有相对运动，当拉力超过12 N时，开始相对运动
C．两物体从受力开始就有相对运动
D．两物体始终没有相对运动
答案 D
解析当A、B间的静摩擦力达到最大静摩擦力，即滑动摩擦力时，A、B才会发生相对运动．此时对B有：F fmax ＝μm A g＝12 N，而F fmax＝m B a，a＝6 m/s2，即二者开始相对运动时的加速度为6 m/s2，此时对A、B整体：F ＝(m A＋m B)a＝48 N，即F>48 N时，A、B才会开始相对运动，故选项A、B、C错误，D正确．
质疑与反思：
(1)、若m A =2Kg ，m B =6Kg ，则： (2)、若F 作用于B 物体，则：
变式训练1如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m 、2m 和3m 的三个木块，其中质量为2m 和3m 的木块间用一不可伸长的轻绳相连，轻绳能承受的最大拉力为F T .现用水平拉力F 拉质量为3m 的木块，使三个木块以同一加速度运动，则以下说法正确的是( )
A ．质量为2m 的木块受到四个力的作用
B ．当F 逐渐增大到F T 时，轻绳刚好被拉断
C ．当F 逐渐增大到1.5F T 时，轻绳还不会被拉断
D ．当轻绳刚要被拉断时，质量为m 和2m 的木块间的摩擦力为F T
答案 C
解析 质量为2m 的木块受重力、地面的支持力、轻绳的拉力、木块m 的压力和摩擦力五个力作用，选项A 错误；当轻绳达到最大拉力F T 时，对m 和2m 整体，F T ＝3ma ，再对三个木块整体，F ＝(m ＋2m ＋3m )a ，得到F
＝2F T ，选项B 错误，C 正确；对木块m ，由F f ＝ma ，得到F f ＝13
F T ，选项D 错误． 变式训练2如图所示，水平桌面光滑，A 、B 物体间的动摩擦因数为μ(可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，A 物体质量为2m ，B 和C 物体的质量均为m ，滑轮光滑，砝码盘中可以任意加减砝码．在保持A 、B 、C 三个物体相对静止共同向左运动的情况下，BC 间绳子所能达到的最大拉力是( )
A.12
μmg B ．μmg C ．2μmg
D ．3μmg 答案 B
解析 因桌面光滑，当A 、B 、C 三者共同的加速度最大时，F BC ＝m C a 才能最大．这时，A 、B 间的相互作用力F AB 应是最大静摩擦力2μmg ，对BC 整体来讲：F AB ＝2μmg ＝(m B ＋m C )a ＝2ma ，a ＝μg ，所以F BC ＝m C a ＝μmg ，选项B 正确．
变式训练3光滑水平面上并排放置质量分别为m 1＝2 kg 、m 2＝1 kg 的两物块，t ＝0时刻同时施加两个力，其中F 1＝2 N 、F 2＝(4－2t ) N ，方向如图所示．则两物块分离的时刻为( )
A ．1 s
B ．1.5 s
C ．2 s
D ．2.5 s
答案 D
解析 两物块未分离时，设m 1与m 2之间的作用力为F ，对m 1：F －F 1＝m 1a ；对m 2：F 2－F ＝m 2a .两个物块分离时，F ＝0，即有：－F 1＝m 1a ，F 2＝m 2a .代入数据得t ＝2.5 s ，选项D 正确．
变式训练4一弹簧一端固定在倾角为37°的光滑斜面的底端，另一端拴住质量为m 1＝4 kg 的物块P ，Q 为一重物，已知Q 的质量为m 2＝8 kg ，弹簧的质量不计，劲度系数k ＝600 N /m ，系统处于静止，如图所示．现给Q 施加一个方向沿斜面向上的力F ，使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前0.2 s 时间内，F 为变力，0.2 s 以后，F 为恒力，求：力F 的最大值与最小值．(sin 37°＝0.6，g ＝10 m/s 2)
解析 从受力角度看，两物体分离的条件是两物体间的正压力为0.从运动学角度看，一起运动的两物体恰好分离时，两物体在沿斜面方向上的加速度和速度仍相等．
设刚开始时弹簧压缩量为x 0
则(m 1＋m 2)g sin θ＝kx 0 ①
因为在前0.2 s 时间内，F 为变力，0.2 s 以后，F 为恒力，所以在0.2 s 时，P 对Q 的作用力为0，由牛顿第二定律
知
kx 1－m 1g sin θ＝m 1a ②
前0.2 s 时间内P 、Q 向上运动的距离为
x 0－x 1＝12
at 2 ③
①②③式联立解得a＝3 m/s2
当P、Q开始运动时拉力最小，此时有
F min＝(m1＋m2)a＝36 N
当P、Q分离时拉力最大，此时有
F max＝m2(a＋g sin θ)＝72 N．
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。