二面角求取的常用方法

2.如图 ABCD是正方形，PD┻ 平面ABCD,则
(1)面PAB与面ABCD所成二面
角的平面角是___P_A__D_,
(角2的)面平P面BC角与是面_A_B_CP_D_所C_D_成, 二面
P
(3)面PAD与面PCD所成的二面
角的平面角_____A__D,C
D
C
(4)面PAC与面ACD所成的二面
点P在二面角内，PA⊥ 于A点，PB⊥于B
点，PA= 2 2,PB= 4, P到棱 l的距离为 4 2，
求二面角的大小.

B O
l
P

A
例 4 如图，已知A、B是120的二面角—l—棱l上的两
点，线段AC，BD分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l ，
AC=2，BD=1，AB=3，求（1）线段CD的长。 （2）CD与
角的平面角是_____P__O.D
A
(5)面PAC与面ABCD所成的二
面角的平面角是 __P_O_D或_ _.POB
O B
例1 过O点引三条射线OG，OE,OF,
GOE EOF FOG 60 ,求二面角E-OG-F大小
例1 过O点引三条射线OG，OE,OF,
GOE EOF FOG 60 ,求二面角E-OG-F大小
A
β
上的点A向平面α作垂线。
Oα B
◆由点O向二面角的棱作垂 线，垂足为B,连接AB。
l
◆∠ABO即为所求。
例3.如图，二面角 l 的平面角小于90, 点P
在二面角内，PA⊥ 于A点，PB⊥于B点，
PA= 2 2,PB= 4, P到棱 l的距离为 4 2， 求二面
角的大小.
例3.如图，二面角 l 的平面角小于 90,
ιO
A
p
A
B
pβ
α
B
A
ι
β
B
p
α
ιO
A
基础练习
1.判断下列命题的真假： （1）两个相交平面组成的图形叫做二面角；( 假 )
（2）角的两边分别在二面角的两个面内，则这个角是二 面角的平面角 ;( 假 ) （3）二面角的平面角所在平面垂直于二面角的棱;(真 )
(4)二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个 面内作射线所成角的最小角；( 假 ）
复习 1：半平面的定义 2：二面角的定义，画法，表示方法 3：二面角的平面角定义（满足的条件） 4：二面角的大小范围 5：作二面角平面角的常用方法
5、作二面角的平面角的常用方法
①、点P在棱上 —定义法 ②、点P在一个半平面上 —三垂线定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法
三种方法的联系？
α lβ
所成角正弦 （3）CD与BD所成角
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例 4 如图，已知A、B是120的二面角—l—棱l上的两
点，线段AC，BD分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l ， AC=2，BD=1，AB=3，求（1）线段CD的长。（2）CD与 所成角正弦 （3）CD与AB所成角
解连：结（CO1、）D在O,平则面∠内OA，C就过是A作二A面O角⊥l —，l使—AO的=平BD面, 角， l
二面角的计算：
1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的角 3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
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作二面角的平面角的常用方法
①、点P在棱上 —定义法 ②、点P在一个半平面上 —三垂线定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法
三种方法的联系？
α lβ
p
A
B
pβ
α
B
A
ι
β
B
p
α

l B

D
C
A
H
O
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3. 直线AB与直二面角α-l-β的两个半平面分别交于A、
B两点，且A、B l. 如果直线AB与α、β所成的角
分别是θ1、θ2，则θ1+θ2的取值范围是(
)D
(A) 0 θ1 θ2 π
(B)
θ1

θ2

π 2
(C)
θ1

θ2

π 2
(D) 0

θ1

θ2

π 2
即 ∠OAC ＝120，
B
∵BD⊥l ∴ AO∥BD，∴四边形ABDO为矩形,
C
D
∴ DO∥ l ，∵ AC⊥l ，AO⊥l，AC AO A
AO
∴ l ⊥平面CAO ∴ CO⊥l ∴ CO⊥DO
∵ BD=1 ∴ AO=1，在△OAC中，AC=2，
∴ CO2 AC 2 AO2 2AO AC COS120 7
在Rt △COD中，DO=AB=3
CD CO 2 DO 2 7 32 4
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例 4 如图，已知A、B是120的二面角—l—棱l上的两
点，线段AC，BD分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l ，
AC=2，BD=1，AB=3，求（1）线段CD的长。 （2）CD与
所成角正弦 （3）CD与AB所成角
B
B
α
lA
1
O
2
1
M
β
O
M
解: 过B作BM⊥ ，垂足为M，连结AM。则∠BAM=30º。过M作
MO⊥ l 于O，连结BO，则BO⊥ l 。 ∠BOM为所求二面角的平面
角。又 Rt△AOB中，AB=2， ∠BAO=45º，∴OB= 2。Rt△ABM 中，AB=2，∠BAM= 30º， ∴BM=1。∴ sin ∠BOM= 2 ，
∴ ∠BOM= 45º。
2
过程有问题吗？
练习、已知锐二面角－ l－ ，A为面内一点，A到
的距离为 2 3 ，到 l 的距离为 4，求二面角 － l－
的大小。
A

D
O
l
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归纳
三垂线法：
利用三垂线定理及其逆定理通过证明线线垂 直，找到二面角的平面角,关键在于找面的垂线。
步骤 ：
◆ 在平面内β找不同于棱
G A
O
BE
C F
例2:锐二面角 l 中,AB , AB 2, A l, AB 与l
成 45角,与 成 30角，求二面角 l 的大小。
例2:锐二面角 l 中，AB , AB 2, A l, AB与 l
成 45角,与 成 30角，求二面角 l 的大小。