判定平行四边形五种方法

判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明.

一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别

例1 如图1,在平行四边形ABCD中,E、F在对角线AC上,

且AE=CF,试说明四边形DEBF是平行四边形.

分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD.

解：连接BD交AC于点O.

因为四边形ABCD是平行四边形,

所以AO=CO,BO=DO. 又AE=CF,

所以AO-AE=CO-CF,即EO=FO.

所以四边形DEBF是平行四边形.

二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别

例2 如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由.

分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别.

解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF=BC=1,AB=FC=1,

所以四边形ABCF是平行四边形.

同样可知四边形FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形.

因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边形.

三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别

例3 如图3，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE,DF∥BE，试说明四边形ABCD是平行四边形.

分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ADF≌△CBE，由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等” 的条件.

解：因为DF∥BE，所以∠AFD=∠CEB.

因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE.又DF=BE, 所以△ADF≌△CBE，所以AD=BC，∠DAF=∠BCE，

所以AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形

. 图1

图2

A

B C D

E

F

图3

四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别 例4 如图4，在平行四边形ABCD 中，∠DAB 、∠BCD 的平分线分别交BC 、AD 边于点E 、F ，则四边形AECF 是平行四边形吗？为什么？

分析：由平行四边形的性质易得AF ∥EC ，又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.

解：四边形AECF 是平行四边形.

理由：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，∠DAB =∠BCD ，

所以AF ∥EC .又因为∠1=

21∠DAB ，∠2=2

1

∠BCD ， 所以∠1=∠2.因为AD ∥BC ，所以∠2=∠3，

所以∠1=∠3，所以AE ∥CF . 所以四边形AECF 是平行四边形.

判定平行四边形的五种方法

平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。 一、 两组对边分别平行

如图1，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD =CE ，连结DE 并延长至点F ，使EF =AE ，连结AF 、BE 和CF

(1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；

(2)判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。

解：（1）选证△BDE ≌△FEC 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴BC =AC ，∠ACD =60°

∵CD =CE ，∴BD =AE ，△EDC 是等边三角形 ∴DE =EC ，∠CDE =∠DEC =60° ∴∠BDE =∠FEC =120°

又∵EF =AE ，∴BD =FE ，∴△BDE ≌△FEC （2）四边形ABDF 是平行四边形

理由：由（1）知，△ABC 、△EDC 、△AEF 都是等边三角形

∵∠CDE =∠ABC =∠EF A =60° ∴AB ∥DF ，BD ∥AF

A

F

B

D

C

E 图1

A

B

C D

E F

图4

1

3

2

点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证

截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平

行四边形。

二、一组对边平行且相等

例2已知：如图2，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连结BG并延长交

DE于F

(1)求证：△BCG≌△DCE；

(2)将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判

断四边形E′BGD是什么特殊四边形？并说明理由。

分析：（2）由于ABCD是正方形，所以有AB∥DC，又通过旋转CE=AE′已知CE=CG，所以E′A=CG，这

样就有BE′=GD，可证E′BGD是平行四边形。

解：（1）∵ABCD是正方形，

∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE，△BCG≌△DCE

（2）∵△DCE绕D顺时针

旋转90°得到△DAE′，

∴CE=AE′，∵CE=CG，∴CG=AE′，

∵四边形ABCD是正方形

∴BE′∥DG，AB=CD

∴AB-AE′=CD-CG，即BE′=DG

∴四边形DE′BG是平行四边形

点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相

等，即可得这个四边形是平行四边形

三、两组对边分别相等

例3如图3所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC 为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE，等

边△BCF。

求证：四边形DAEF是平行四边形；

分析：利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组

对边分别相等，从而四边形DAEF是平行四边形。

解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形

∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠FBA=60°

∴∠DBF=∠ABC

又∵BD=BA，BF=BC ∴△ABC≌△DBF

∴AC=DF=AE 同理△ABC≌△EFC

∴AB=EF=AD