判定平行四边形五种方法
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判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明.
一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别
例1 如图1,在平行四边形ABCD中,E、F在对角线AC上,
且AE=CF,试说明四边形DEBF是平行四边形.
分析:由于已知条件与对角线有关,故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD.
解:连接BD交AC于点O.
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AO=CO,BO=DO. 又AE=CF,
所以AO-AE=CO-CF,即EO=FO.
所以四边形DEBF是平行四边形.
二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别
例2 如图2,是由九根完全一样的小木棒搭成的图形,请你指出图中所有的平行四边形,并说明理由.
分析:设每根木棒的长为1个单位长度,则图中各四边形的边长便可求得,故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别.
解:设每根木棒的长为1个单位长度,则AF=BC=1,AB=FC=1,
所以四边形ABCF是平行四边形.
同样可知四边形FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形.
因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边形.
三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别
例3 如图3,E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AE=CF,DF=BE,DF∥BE,试说明四边形ABCD是平行四边形.
分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形,但仔细观察可知,由已知条件可得△ADF≌△CBE,由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等” 的条件.
解:因为DF∥BE,所以∠AFD=∠CEB.
因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF,即AF=CE.又DF=BE, 所以△ADF≌△CBE,所以AD=BC,∠DAF=∠BCE,
所以AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形
. 图1
图2
A
B C D
E
F
图3
四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别 例4 如图4,在平行四边形ABCD 中,∠DAB 、∠BCD 的平分线分别交BC 、AD 边于点E 、F ,则四边形AECF 是平行四边形吗?为什么?
分析:由平行四边形的性质易得AF ∥EC ,又题目中给出的是有关角的条件,借助角的条件可得到平行线,故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.
解:四边形AECF 是平行四边形.
理由:因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AD ∥BC ,∠DAB =∠BCD ,
所以AF ∥EC .又因为∠1=
21∠DAB ,∠2=2
1
∠BCD , 所以∠1=∠2.因为AD ∥BC ,所以∠2=∠3,
所以∠1=∠3,所以AE ∥CF . 所以四边形AECF 是平行四边形.
判定平行四边形的五种方法
平行四边形的判定方法有:(1)证两组对边分别平行;(2)证两组对边分别相等;(3)证一组对边平行且相等;(4)证对角线互相平分;(5)证两组对角分别相等。下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。 一、 两组对边分别平行
如图1,已知△ABC 是等边三角形,D 、E 分别在边BC 、AC 上,且CD =CE ,连结DE 并延长至点F ,使EF =AE ,连结AF 、BE 和CF
(1)请在图中找出一对全等三角形,并加以证明;
(2)判断四边形ABDF 是怎样的四边形,并说明理由。
解:(1)选证△BDE ≌△FEC 证明:∵△ABC 是等边三角形, ∴BC =AC ,∠ACD =60°
∵CD =CE ,∴BD =AE ,△EDC 是等边三角形 ∴DE =EC ,∠CDE =∠DEC =60° ∴∠BDE =∠FEC =120°
又∵EF =AE ,∴BD =FE ,∴△BDE ≌△FEC (2)四边形ABDF 是平行四边形
理由:由(1)知,△ABC 、△EDC 、△AEF 都是等边三角形
∵∠CDE =∠ABC =∠EF A =60° ∴AB ∥DF ,BD ∥AF
A
F
B
D
C
E 图1
A
B
C D
E F
图4
1
3
2
点评:当四边形两组对边分别被第三边所截,易证
截得的同位角相等,内错角相等或同旁内角相等时,可证四边形的两组对边分别平行,从而四边形是平
行四边形。
二、一组对边平行且相等
例2已知:如图2,在正方形ABCD中,G是CD上一点,延长BC到E,使CE=CG,连结BG并延长交
DE于F
(1)求证:△BCG≌△DCE;
(2)将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′,判
断四边形E′BGD是什么特殊四边形?并说明理由。
分析:(2)由于ABCD是正方形,所以有AB∥DC,又通过旋转CE=AE′已知CE=CG,所以E′A=CG,这
样就有BE′=GD,可证E′BGD是平行四边形。
解:(1)∵ABCD是正方形,
∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE,△BCG≌△DCE
(2)∵△DCE绕D顺时针
旋转90°得到△DAE′,
∴CE=AE′,∵CE=CG,∴CG=AE′,
∵四边形ABCD是正方形
∴BE′∥DG,AB=CD
∴AB-AE′=CD-CG,即BE′=DG
∴四边形DE′BG是平行四边形
点评:当四边形一组对边平行时,再证这组对边相
等,即可得这个四边形是平行四边形
三、两组对边分别相等
例3如图3所示,在△ABC中,分别以AB、AC、BC 为边在BC的同侧作等边△ABD,等边△ACE,等
边△BCF。
求证:四边形DAEF是平行四边形;
分析:利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组
对边分别相等,从而四边形DAEF是平行四边形。
解:∵△ABD和△FBC都是等边三角形
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠FBA=60°
∴∠DBF=∠ABC
又∵BD=BA,BF=BC ∴△ABC≌△DBF
∴AC=DF=AE 同理△ABC≌△EFC
∴AB=EF=AD