第五章 递归函数论

定义：设有一个二元函数A(x,y)和一个一元函数f(x)利 用它们作如下函数：
g(0)= f(0) g(1)= A g(0)f(1)=A f(0)f(1) g(2)= A g(1)f(2)= A2 f(0)f(1)f(2) …… g(n+1)= A g(n)f(n+1) = An+1 f(0)f(1)f(2)…f(n+1)
2
第五章 递归函数论
5.1 数论函数和数论谓词 5.2 函数的构造 5.2.1 迭置法 5.2.2 算子法 5.2.3 原始递归函数
5.2.2 算子法
定义：设新函数在某一变元组处的值与诸旧函
数的n 个值有关，如果n 随新函数的变元
组的变化而变化，则称该新函数是由旧
函数利用算子而得。
一、迭函算子
当n 0 当n 1
其中，函数B(x，y)为 ×(SI21，I22)，是已知函数。 书上少S，这里假定乘法×已定义
(2)含参数的原始递归式
g (u1 , u 2 ,, u k ,0) A(u1 , u 2 ,, u k ) g (u1 , u 2 ,, u k , n 1) B(u1 , u 2 ,, u k , n, g (u1 , u 2 ,, u k , n))
若把A(x,y)固定，而把函数f(x)看作为被改造函数， 则称g(n)是由旧函数f(x)利用迭函算子A而得。
迭函算子
g(0)=f(0) g(n+1)= A g(n)f(n+1)
g(n)
A
g(n+1)
f(n+1)
迭加算子、迭乘算子
迭加算子：取A为加法，将An+1记为
xn
x n

f ( x) f (0) f (1) f (n)
故函数h(x1，x2，x3)是由函数h1、h2、h3、h4
对f作(4，3)迭置而得。
例
下面的迭置化为(m，n)标准迭置:
h(x1,x2,x3)=f(3,g1(x1,2),g2(x1,x2),x3)
解：h(x1,x2,x3)=f(h1,h2,h3,h4)
其中，
h1(x1,x2,x3)=S3OI31(x1,x2,x3) h2(x1,x2,x3)=g1(I31(x1,x2,x3),S2OI32(x1,x2,x3)) h3(x1,x2,x3)=g2(I31(x1,x2,x3)，I32(x1,x2,x3)) h4(x1,x2,x3)=I33(x1,x2,x3)
a 4
二、凑合定义法
假设数论语句A1、A2、…、Ak， 对任何一个变元组
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(X1，X2，…，Xn)，有且仅有一个语句Ai成立。
令:
f1 ( x1 , x n ) f 2 ( x1 , x n ) h( x 1 , x n ) f ( x , x ) n k 1 当A1 (x1 , x n )为真 当A 2 (x1 , x n )为真 当A k (x1 , x n )为真
例 将下列凑合定义化为迭置
f ( x1 ), h ( x1 , x 2 ) g( x 2 ), 当x1 x 2时， 当x1 x 2时。
h ( x1 , x 2 ) f(x1 )Nct(x 1 x 2 ) g (x 2 )Nct(x 1 x2) f(x1 )Nct(x2 x1 0) g(x 2 )Nct(x x 2 0) 1 1 f(x1 )NN (x 2 x1 ) g (x 2 )NN (x1 1 x2 ) f(x1 )N(x2 x1 ) g (x 2 )N(x1 1 x2 )
(1) 不含参数的原始递归式
g (0) a g (n 1) B(n, g (n))
其中，a为一常数，B(x，y)为已知函数。
阶乘函数n!
1 n! n(n 1)!
不含参数的原始递归式表示：
g (0) 1 g (n 1) (n 1)n! (n 1) g (n) SI21 (n, g (n)) I 22 (n, g (n)) B(n, g (n))
二、原始递归函数的构造过程
原始递归函数的例子:
f(x,y)=x+y
f(x,y)=xy f(x,y)= min(x，y) f(x,y)= max(x，y) f(x, y)= x y
f(x)=Nx
f(x)=rs(x,2)
f(x)=D(x)
f(x,y)=x y
其中，B=SI33为函数的迭置。
例
f(x,y)=xy
可用原始递归表示如下：
f ( x,0) 0 f ( x, y 1) xy x f ( x, y) x B( x, y, f ( x, y))
其中，B为+(I33，I31)，它为函数的迭置。
例(p60)
f (n) g ( x)
第五章 递归函数论
5.1 数论函数和数论谓词 5.2 函数的构造 5.2.1 迭置法 5.2.2 算子法 5.2.3 原始递归函数
派生法
——利用旧函数构造新函数的方法 迭置法 派生法 算子法
5.2.1 迭置法
已知函数f(x), g(x), h(x, y), f1(x),f2(x)，可以作
复合函数如下：
x n
书上错 可用原始递归表示如下： f(x,n) f (0) g (0)
f (n 1) g ( x) g (n 1) f (n) g (n 1) B(n, f (n)) x n
其中，B为+(I22，g(SI21))，它为函数的迭置。
例(p60)
g(f(x))
f(g(x)) h(f(x), g(x)) h(f1(x),f2(x)) ……
——函数的迭置(合成)
迭置与非迭置的例子
设有函数S(x)， S2(x)=S(S(x)), S3(x)=S(S(S(x))), …… 考察:
a
✔ S (x)=S(S(… (S(x)) … )
a
考察：
Sy(x)=S(S(… (S(x)) … )
✘
y
其中, a为常数。
迭置法
定义：设新函数在某一变元处的值与诸旧函数的 n个值有关，如果n不随新函数的变元组的 变化而变化，则称该新函数是由旧函数利 用迭置而得。
一、(m，n)标准迭置
定义：设有一个m元函数f(y1,…,ym)，有m个n元函数
g1(x1,…,xn)、 … … 、gm(x1,…,xn)， 令：
h2(x1,x2)=S2OI22(x1,x2)
h3(x1,x2)=g (I22(x1,x2))
故函数h(x1，x2)是由函数h1、h2、h3对f作 (3，2)迭置而得。
例
下面的迭置化为(m，n)标准迭置:
h(x1,x2,x3)=f(3,g1(x1,2),g2(x1,x2),x3)
解：h(x1,x2,x3)=f(h1,h2,h3,h4)
h(x1，…，xn)=f(g1，…，gm)
称之为(m，n)标准迭置。
并称函数h是由m个g对f作(m，n)迭置而得， 简记为：
h= f(g1，…，gm)
例
下面的迭置化为(m，n)标准迭置:
h(x1,x2)=f(x1,2,g(x2))
解：h(x1,x2)=f(h1,h2,h3)
其中，
h1(x1,x2)=I21(x1,x2)
迭乘算子：取A为乘法，将An+1记为

x n
f ( x) f (0) f (1) f (n)
xn
二、原始递归式
标准形式: (1) 不含参数的原始递归式的标准形式 (2) 含参数的原始递归式的标准形式
例(递归式) 阶乘函数
1 n! n(n 1)!
当n 0 当n 1
称h为由旧函数f1、…、fk及数论语句A1、…、Ak利 用凑合定义而得到的新函数。
化凑合定义为迭置
h(x1,…,xn)= f1(x1 ,…, xn)Nct A1(x1 ,…, xn)
+ f2(x1 ,…, xn)Nct A2(x1 ,…, xn)
+…… + fk(x1 ,…, xn)Nct Ak(x1 ,…, xn) 注意：这里仅当Ai(x1,…,xn)为真时, ct Ai(x1 ,…, xn)= 0 进而， Nct A1(x1 ,…, xn)=1 显然, 有 Nct A1(x1 ,…, xn)+ …+ Nct Ak(x1 ,…, xn)=1
例 (p58)试用凑合定义法定义函数lm(x，3)，并 把它化为迭置。
解：
x lm( x,3) 3x
当x为3的倍数 当x不为3的倍数
根据凑合定义法知： lm(x,3)= xNct(x为3的倍数)+3xNct(x不为3的倍数) = xN(N2 rs(x，3))+3x N (N rs(x，3)) = xN3rs(x，3)+3x N2 rs(x，3) = xNrs(x，3)+3x N2 rs(x，3) = xNrs(x，3)+xN2 rs(x，3)+2 x N2rs(x，3) = x+2 x N2 rs(x，3)
其中，
h1(x1,x2,x3)=S3OI31(x1,x2,x3) h2(x1,x2,x3)=g1(I31(x1,x2,x3),S2OI32(x1,x2,x3)) h3(x1,x2,x3)=g2(I31(x1,x2,x3)，I32(x1,x2,x3)) h4(x1,x2,x3)=I33(x1,x2,x3)
故函数h(x1，x2，x3)是由函数h1、h2、h3、h4
对f作(4，3)迭置而得。
例(6分) 下面的迭置化为(m，n)标准迭置:
h( x1, x2 , x4 , x5 ) f (a, g1( x5 ,4), x2 , g2 ( x1, x4 ))
h( x1 , x2 , x4 , x5 ) f ( S 0 I 41 , g1 ( I 44 , S 0 I 41 ), I 42 , g 2 ( I 41 , I 43 ))
可用原始递归表示如下：
f (0) 1 f ( x 1) 0 OI21 ( x, f ( x)) B( x, f ( x))
其中，B=OI21为函数的迭置。
例
f(x, y)= x y
f ( x) rs( x,2)
可用原始递归表示如下：
f (0) rs(0,2) 0 f ( x 1) rs( x 1,2) Nrs ( x,2) Nf ( x) B( x, f ( x))
书上错 f(x+1,2)
其中，B=N I22。
例
f(x)=Nx
2 2
例 将下列凑合定义化为迭置
f ( x1 ), h ( x1 , x 2 ) g( x 2 ), 当x1 x 2时， 当x1 x 2时。
h ( x1 , x 2 ) f(x1 )Nct(x 1 x 2 ) g (x 2 )Nct(x 1 x2 ) f(x1 )Nct(x x 2 0) g(x 2 )Nct(x x 2 0) 1 1 f(x1 )NN2 (x1 x 2 ) g(x 2 )NN(x1 x2 ) f(x1 )N(x1 x 2 ) g(x 2 )N (x1 x2 )
例 (p60) f(x,y)=x+y
f(x,y) 可用含参数x的原始递归表示如下：
f ( x,0) x f ( x, y 1) x y 1 f ( x, y) 1 SI33 ( x, y, f ( x, y )) B( x, y, f ( x, y))
其中， A(u1,u2, …,uk)、B(u1,u2,…,uk,x,y)为已知函数。
第五章 递归函数论
5.1 数论函数和数论谓词 5.2 函数的构造 5.2.1 迭置法 5.2.2 算子法 5.2.3 原始递归函数
一、原始递归函数的构造方法
(1) 本原函数为原始递归函数；
(2) 对已建立的原始递归函数使用迭置而得的 函数仍为原始递归函数； (3) 对已建立的原始递归函数使用原始递归式 而得的函数仍为原始递归函数。 原始递归函数——由本原函数出发，利用迭置和 原始递归式而得的函数。