应用平面向量基本定理解题题型归纳上课讲义

平面向量基本定理常用题型归纳

何树衡 刘建一

平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且仅有一对实数21,λλ使得=2211e e λλ+

平面向量基本定理是正交分解和坐标表示的基础，它为“数”和“形”搭起了桥梁，在向量知识体系中处于核心地位.笔者对近十年高考有关平面向量基本定理题目作了系统研究，认为大致分为以下题型：

一、基本题型随处可见

1.1直接利用21,λλ唯一性求解

例1：在直角坐标平面上，已知O 是原点，)2,2(),4,2(--=-=，若

y x 3=+，求实数x,y 的值

解：)2422()2,2()4,2(y x y x y x y x ---=--+-=+，

)2,4(-=-=OA OB AB ⎩⎨

⎧=---=-6

2412

22y x y x ∴⎩⎨

⎧=-=3

3

y x

即x 为－3，y 为3.

1.2构建三角形，利用正余弦定理求解

例2：如图，平面内有三个向量,,，其中OB OA 与夹角为120º，OC OA 与的夹角为30º

321===，若),(R OB OA OC ∈+=μλμλ,则λ= ，

μ= .

解：过C 作CD ∥OB 交OA 的延长线于D ，在Rt △ODC 中，

=

μ=2

二、共线问题常考常新

2.1感受平面内三点共线的结论在解题中简明快捷。

常用结论：点O 是直线l 外一点，点A ，B 是直线l 上任意两点，求证：直线上任意一点P ，存在实数t ，使得关于基底{OA,OB}的分析式为OB t OA t OP +-=)1(

反之，若OB t OA t OP +-=)1(则A ，P ，B 三点共线

（特别地令t =

21,2

1

21+=称为向量中点公式）

例3：在△ABC 中，NC AN 3

1=，P 是BN 上的一点，若m 11

+=，则

实数m 的值为

解：∵NC AN 3

1=

，∴41

=

∵B,P,N 三点共线，∴ AN m AB m AP )1(-+= 又∵m 11

8+

=，∴m =113

2.2感受向量数形二重性在证明平面几何中独特魅力

例4：在平行四边形OACB 中，BD=31BC ，OD 与BA 相交于E ，求证：BE=4

1

BA 证明：如图，设E′是线段BA 上的一点，且BE′=41

BA ，只需证E ，E′重合即可

设=，=，a BD 31

=，a b OD 31+=

OE =OD a b b a b a b BA b BE OB 4

3

)31(43)3(41)(4141'=+=+=-+=+=+

∴O,E′,D 三点共线 ∴E,E′重合，∴BE=

4

1BA

三、区域问题渐成热点 由平面内三点共线定理拓展可以研究区域问题，为解决线性规划问题画出可行域提供理论上依据和操作上的便利，也可以解决向量中类似于点所在位置问题.

定理：设O,A,B 为平面内不共线的三个定点，动点C 满足

),(R y x y x ∈+=，记直线OA ，OB ，AB 分别为l OA ,l OB ,l AB ，平面被分成如图

7个部分(Ⅰ—Ⅶ)，得出结论表(1)，表(2)

表(2)

在近十年高考题中，区域问题常以下面两种题型出现.

3.1动点所在位置定，判断系数满足条件

例5：如图，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分，Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包括边界)，若21OP b OP a OP +=，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数a,b 满足（ ）

A ．a>0,b>0

B ．a>0,b<0

C ．a<0,b>0

D ．a<0,b<0

答案：B

例6：如图OM ∥AB ，点P 在射线OM ，射线OB 及AB 的延长线围成的阴影部分内（不含边界）运动，且OB y OA x OP +=，则x 的取值范围是 ，当x=－2

1

时，y 的取值范围是 .

31

解：①设OS ∥

2

AB ，过S 作OB 平行线交AB 延长线于T ，则的终点P 只能在线段ST 上（不包括端点）

②由区域V 性质得x <0,0

1

21)(2121+-=-==，

此时y =

2

1

,当T 在AB 的延长线上时，由表(2)得C 在线段AB 延长线上时x <0,y >0且x +y =1 ∴=－21+OB y , －21+y =1 ∴y =23 即21

3

3.2系数满足条件定，判断动点所在位置 例

7：平面上定点

A 、B

满足2=⋅==OB OA ，则点

{1,≤+

+=μλμλ}(R ∈μλ,)A ．22

B ．23

C ．42

D 答案：D

解：令与x 轴的非负半轴重合，在第一象限内

Ⅱ P 2 P 1

O Ⅲ Ⅰ

Ⅳ

∠AOB=2 ∴∠AOB=

3

π

∵在第一象限，λ>0,μ>0 ∴μ

λ+

=∴λ+μ≤1 P点形成图形的面积为S△AOB

=sin∠AOB=

2

1

×2×2×sin

3

π

=3,同理S△A′OB=3

∴S A′B′AB=43

巩固练习及参考答案

1.已知)

22

,

15

(

),

4,3(

),

2,1(=

=

=，若μ

λ+

=，求λ，μ

2.已知△ABC和点M满足0

=

+

+MC

MB

MA，若存在实数m使得m

=

+成立，则m=( )

A．2 B．3 C．4 D．5

3.如右图，在△ABC中，点M是BC的中

点，点N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN

相交于点P，求AP:PM的值.

4.已知平行四边形ABCD，点P为四边形内

部或者边界上任意一点，向量

y

x+

=，则O≤x≤

2

1

, O≤y≤

3

2

的

概率是（）

A．

3

1

B．

3

2

Ｃ．

4

1

D．

2

1

参考答案：1.λ=3，μ=4 2. B 3. 3：1 4. A

参考文献：

[1]卫福山.平面向量中一个重要定理的多角度研究[J],中学数学研究，2014,(9).

[2]殷华.一道向量题的研究学习[J],中学数学研究，2014,(10).

[3]舒跃进.平面向量基本定理的相关性质及应用[J],数学通讯，2007,(7).