几何与代数各章知识点概述

几代复习指导目录第一部分行列式第二部分矩阵的运算第三部分矩阵的初等变换和矩阵的秩第四部分向量组的线性相关性和向量组的秩第五部分线性方程组第六部分相似矩阵和矩阵的特征值、特征向量第七部分实对称矩阵和二次型第八部分空间解析几何第一部分 行列式一．定义1．定义 设()ijn nA a ⨯=，则121212(,)12,(1)n n ni i i i i ni i i i A a a a τ=-∑是!n 项代数和；不同行，不同列；正、负号。

【例1】32241342a a a a 是不是4阶行列式中展开式中的项，正、负号是什么？不是【例2】512312123122x x x xxx中34,x x 的系数。

345,10x x -2．注：（1）. 对角线法则一般地不再成立。

举例。

（2）. 记住上、下三角阵的行列式。

二．性质1． 性质（1） 行列式的基本性质； （2） 按行（列）展开； （3） 乘法定理。

2． 需记住的结果：（1） Vandermonde 行列式；（2） 分块上、下三角阵的行列式。

3． 例：【例3】已知()33123A ααα⨯=，()33122323232B αααααα⨯=+-+，2A =，求B 。

1232312321327277714B A αααααααααααα=+-+=+-=-==【例4】已知120200561,350350461A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

求31A B -。

4． 注：（1） 矩阵的加法、数乘之后的行列式； （2） 容易出现的错误：1103272537212--r r ；*0*07/2,7253722112r r r r --;（3） 分块矩阵的行列式.三．计算1． 典型方法：（1） 化成低阶行列式； （2） 化成三角形行列式。

2． 注：很少直接用定义计算；应先化简，后计算。

3． 例【例5】13141516；【例6】2013312102312314-；【例7】12341111111111111111λλλλ++++，1234,,,λλλλ均不为零；【例8】111222a a nnn a+++；【例9】123112211132345122341n n nn n n n n n n------；【例10】n a bb c a b D cca=；第二部分 矩阵的运算一．矩阵的乘法1． 运算规律【例1】1221230101⎛⎫-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，()312012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，()312102⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， ()312102n⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

【例2】假设e 是n 维非零列向量，TA E ee =-。

证明：A 是对称矩阵，且21TA A e e =⇔=。

2． 应当注意的问题（1） 矩阵记号与行列式记号的差别；（2） 单位矩阵（用E 或I 表示）的每个元素都等于1吗？ 不是 （3） 矩阵乘法含有非零零因子，因而乘法消去律不成立；【例3】 01010N ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

【例4】 s n A ⨯满足满足什么条件时，由AB AC =就能推出B C =？ ()s n r A n ⨯=（4） 矩阵乘法不可交换，因而一些代数恒等式不再成立。

【例5】平方差公式。

【例6】二项式定理。

【例7】设100100A λλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求n A 。

【例8】与对角阵可交换的矩阵是否一定是对角阵？不一定，任意方阵与单位阵都是可交换的。

二．可逆矩阵1． 可逆的条件（1） 行列式不为零； （2） 秩等于阶数；（3） 存在另一矩阵使它们的乘积是单位阵； （4） 特征值全不为零。

2． 逆矩阵的计算（1） 利用伴随矩阵：一般只对低阶矩阵，如二阶矩阵用这种方法。

但要注意二阶矩阵的伴随矩阵是如何定义的。

（2） 利用初等变换：要注意避免过繁的运算。

【例9】求矩阵的逆矩阵321230312A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭3． 重要性质，如（1） 可逆矩阵肯定不是零因子；（2） 11AA --=；（3） 对于方阵A ，若存在矩阵B 使得AB E =，则A 是可逆的，且1A B -=； （4） 111()AB B A ---=。

【例10】已知3A O =，证明E A -是可逆的，并求其逆。

【例11】已知223A A E O +-=。

（1） 证明：A 可逆，并求1A -； （2） 2A E +可逆，并求其逆；【问题】：假设n 阶矩阵A 满足223A A E O +-=。

证明矩阵A 及A E +均可逆，并分别求1A -及1()A E -+；证明：若A E ≠，矩阵3A E +肯定不可逆。

4． 伴随矩阵（1） 定义； 如求矩阵a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭的伴随矩阵（2） **AA A A A E ==； （3） 若A 可逆，则*1A A A -=。

【例12】已知123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求*A 。

【例13】假设2n ≥，证明1*n A A-=。

5． 矩阵方程各种类型的矩阵方程，正确化简成标准形式，正确求解。

标准形式的矩阵方程的求解可以先求逆矩阵，再求乘积得解，或直接有初等变换求解。

可以进行验算！【例14】设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵B 满足**2ABA BA E =+，求B 。

三．矩阵的分块运算（1） 分块矩阵的乘法规则的成立是有条件的：小矩阵间的运算要有意义，或左边的因子的列的分法与右边的因子的行的分法一致●1112111221222122A A B B AB A A B B ⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭； ● 1100kk k n n A A A A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 【例15】求1000100nλλ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭。

【例16】已知矩阵A O M C B ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中,B C 是可逆矩阵，求1M -。

（2） 注意：不能滥用分块。

如：行列式；伴随矩阵等。

第三部分 矩阵的初等变换和矩阵的秩一．概念（1） 讨论什么问题可以用初等行、列变换。

有时只能用行变换，不能用列变换； 求相抵标准型要同时用初等行、列变换。

解方程组，求逆矩阵，求极大无关组都只能用初等行变换，不能用列变换。

（2） 行向量组等价的矩阵一定是等价的。

等价的矩阵的行向量组等价吗？ 等价的矩阵的行向量组不一定等价，因为等价的矩阵可能做了初等列变换。

【例１】 讨论矩阵的秩12312323k A k k -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭二．初等变换与矩阵乘法（1） 初等变换与初等矩阵的乘积；【例2】已知44A ⨯可逆，交换其第一、三两行的得矩阵B ，求1AB -。

（2） 矩阵的等价标准形r E o o o ⎛⎫⎪⎝⎭； （3） 若()s n r A r ⨯=，则一定存在可逆矩阵,s s n n P Q ⨯⨯，使得r E O A P Q OO ⎛⎫=⎪⎝⎭。

【例4】 证明矩阵的满秩分解定理，分解成秩为1的矩阵的和。

（4） 用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵，解矩阵方程。

三．矩阵的运算与秩（1）()()Tr A r A =（2）()()()r A B r A r B +≤+ （3）()(),()r AB r A r B ≤（4）()()()s n n t r A B r A r B n ⨯⨯≥+- （3） 若s n n t A B O ⨯⨯=，则()()r A r B n +≤【例4】假设n n A ⨯满足2A E =，证明：()()r A E r A E n ++-=。

【例5】假设A 是s n ⨯矩阵，且()r A n =。

若AX AY =，则必有X Y =。

【例6】假设2n >，A 是n n ⨯矩阵。

证明*,()()1()10,()1n r A nr A r A n r A n =⎧⎪==-⎨⎪<-⎩如果，如果如果。

第四部分向量组的线性相关性和向量组的秩一．什么叫线性相关、线性无关？什么叫向量组的极大无关组，秩？重要结论。

（1） 定义；（2） 简单性质：含零向量的向量组一定线性相关等；两个向量线性相关当且仅当其分量成比例；问题：如果三个向量中的任意两个向量的分量都不成比例，是否线性无关？不一定，可能有某一行可以由其他两行线性表示。

（3） 向量组的秩与矩阵的秩的关系；（4） 定理：2s ≥时，12,,,s ααα线性相关⇔存在某个j 使得j α可以由其余1s -个向量线性表示。

（5） 定理：若12,,,s ααα线性无关，12,,,,s ηααα线性相关，则η可以由12,,,s ααα线性表示。

（6） 定理：若12,,,t βββ可以由12,,,s ααα线性表示，且t s >，则12,,,tβββ线性相关。

（7） 定理：12,,,s ααα线性无关⇔12(,,,)s r s ααα=。

（8） 定理：假设向量组12,,,s ααα线性无关，并且1122j j j sj s k k k βααα=+++，1j s ≤≤记()ijs sK k ⨯=。

则12,,,s βββ线性无关⇔K 可逆；二．如何判别？（1） 线性表示， 线性相关性【例1】 设向量()1124Tα=-，()T 5122-=α，()3210Ta α=，()T c b 1=β. 问：当参数c b a ,,满足什么条件时1．β能用321,,ααα线性表示？2．β不能用321,,ααα线性表示？【例2】已知向量组321,,ααα，321,,βββ之间有关系：,211ααβ-= 322ααβ-=， 133ααβ-=证明：321,,βββ肯定线性相关.【例3】求k ，使得向量组1231122,2,123k ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性相关。

【例5】设t ηηη,,,21 是齐次线性方程组θ=Ax 的线性无关的解向量，β不是其解向量。

证明：t ηβηβηββ+++,,,,21 也线性无关.【例5】 设321,,ααα线性无关，112,k βαα=+ 223l βαα=+，331βαα=+。

问：,k l 满足什么条件时123,,βββ线性无关？（2） 极大无关组和秩定理：如果12,,,t βββ可以由12,,,s ααα线性表示，则12(,,,)t r βββ≤12(,,,)s r ααα定理：如果12(,,,)s r r ααα=，则12,,,s ααα中任意r 个线性无关的向量都是其一极大无关组。

【例6】若向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110,12,101321αααk ，则当参数k 取什么值时，321ααα,,线性相关；这时求这个向量组的一个极大无关组。

【例7】求给定向量组的极大无关组（3）注意辨别对错【例7】若12,,,s ααα线性相关，则1α可由2,,s αα线性表示？错，不一定【例8】若有全为零的数12,,,s k k k 使得1122s s k k k αααθ+++=，则()()()()()123451102,2111,1213,1122,1012T TTTT ααααα=-=-=-==12,,,s ααα线性无关。