六年级奥数讲义

第一讲立体图形及展开

同学们在五年级所学习的立体图形主要是长方体和正方体，从这一讲开始我们将一起研究数学竞赛中经常出现的有关长方体和正方体的问题，帮助大家提高观察能力和空间想像能力，以及掌握解答问题的技巧和方法。这一讲我们进一步研究长方体和正方体的特征及展开图

例题选讲

例1:图1所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点F、点G分别与哪个点重合?

【分析与解答】为了研究方便，我们将正方体六个面

分别标上序号1、2、3、4、5、6，如果将l作为底面，

那么4就是后面，5为右面，6为前面，2则是左面，3

就是上面，(如图2)。从图中不难看出点F与点N，重

合，点G与点S重合。还有一种方法就是动手制作一张

展开图，折一折，结果就一目了然了，同学们不妨试

试吧!

例2:一只小虫从图l所示的长方体上的A点出发，沿长

方体的表面爬行，依次经过前面、上面、后面、底面，

最后到达P点。请你为它设计一条最短的爬行路线。

【分析与解答】因为小虫在长方体的表面爬行，所

以我们可以将长方体的前、后、上、下西个面展开成

平面图形(如图2)。又因为在平面上“两点之间的线段

长度最短”，所以连接AP，则线段AP为小虫爬行的最短路线。

练习与思考

1.如图所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果

将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点B、点D分别与哪个点

重合?

2.如图所示的是一个棱长3厘米的正方体木块，一只蚂蚁从A点沿表面

爬向B点。请画出蚂蚁爬行的最短路线。问：这样的路线共有几条?

3.将一张长方形硬纸片，剪去多余部分后，折叠成一个棱长为l厘米的正方体。这张长方形硬纸片的面积最小是多少平方厘米?

4.一块长方形的铁皮，长28厘米，在这块铁皮的四角各剪下一个边长为4厘米的小正方形，然后通过折叠、焊接做成一个无盖的长方体盒子。已知这个盒子的容积是960立方厘米，求原来长方形铁皮的面积。

5.如图所示的是一个正方体木块的表面展开图，若在正方体的各面填上数，使其对面两数之和为7，则A、B、c处填的数各是多少?

6.如图所示的10个展开图中，哪些可以做成完整的正

方体?

7.图(1)是一个正方体，图(2)是这个正方体的一个平面展开

图，图(3)、图(4)、图(5)也是这个正方体的平面展开图，但

每一个展开图上都有四个面上的图案没画出来，请你给补上。

8.如图所示的是一个长方体，四边形APQC、是长方体的一个截面(即过长方体上4点A、P、Q、C的平面与长方体相交所得到的图形)，P、Q分别为棱A1B1、B1C1，

的中点，请在此长方体的平面展开图上，标出线段AC、cQ、QP、PA。

第二讲长方体和正方体的表面积

在数学竞赛中，有许多问题涉及到长方体和正方体表面积的计算。这些知识不仅有趣而且具有一定的实用性和思考价值。解答长方体和正方体表面积的问题时，需要同学们具备较强的观察能力、作图能力以及空间想像能力，另外还要掌握一些解题的思路和技巧。

例题选讲

例1:一个长方体，前面和上面的面积之和是88平方厘米，这个长方体的长、宽、高是以厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的表面积。

【分析与解答】要求长方体的表面积，就要求长方体的长、宽、高。根据题意，前面与上面的面积之和是88平方厘米，也就是长×高+长x宽=88，即长×(高+宽)=88因为长、宽、高都是质数，我们把88分解质因数得88=1l×2×2×2，依题意，11不能分成两个质数和，经试验，有两种情况符合条件，(1)ll×(3+5)：88 (2)2×(41+3)一88，因此长方体的表面积可以有两种情况。

解：88—11×2X2×2，2×2×2：3+5，11×2×2—41+3。长方体的表面积：(1)(11×3+1l ×5+5×3)×2=206(平方厘米)(2)(2×3+2x4l+41×3)×2—422(平

方厘米)

例2:如图，将3个表面积都是24平方米的正方体木块粘成一个长方

体，求这个长方体的表面积。

【分析与解答】仔细观察图形，不难看出3个正方体块粘成1个长方

体，共有2个粘接处，每一处都有2个面粘在一起，两处共粘去4个面，因此粘成的长方体的表面积等于(6×3—4)个面的面积，即24÷6×(6 x3—4)=56(平方厘米)。

例3:如图所示的是用19个棱长为1厘米的正方体堆起来的立体图形，其中

有一些正方体看不见，那么这个立体图形的表面积是多少?

【分析与解答】仔细观察图形，虽然这个立体图形是不规则的，但是从前

面看到的面与从后面看到的面个数是相等，同理从左、右看到的面个数是

相等的，从上、下看到的面是一致的，所以这个立体图形的表面积等于(前

面十上面+左面)×2，即(10+9+8)×2=54(平方厘米)。

练习与思考

1.有一个长方体，前面和上面两个面面积和为209平方厘米，并且长、宽、高都是以厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的表面积。

2.将两个长都是8厘米，6厘米，高都是5厘米的长方体拼成一个大长方体，那么这个大长方体表面积最大是多少平方厘米?

3.如图所示的是由17个边长是1厘米的小正方体拼成的立体图形，求它的

表面积。

4.有一个长方体,长是8厘米,宽是4 厘米，高是6厘米，把它截成棱长是2厘米的若干个小正方体，这些小正方体表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米?

5.如图，正方体木块的表面积是36平方分米，把它沿虚线截成体积相等的8个小正方体木块，这时表面积增加多少平方分米?

6.如图，有一个边长是5厘米的立方体，如果它的左上方截去一个边

长分别是5厘米，3厘米2厘米的长方体。那么，它的表面积减少多少

平方厘米?

7.如图，有一个长4厘米：宽和高都是3厘米的长方体，以A为底打一个

上下直穿的长方体洞，以B为底打一个前后直穿的长方体洞，以C为底

打一个左右穿通的长方体洞，所得立体图形的表面积是多少?

8.如图，有一个棱长是1米的正方体木块。沿水平方向锯2次，竖直锯3次，再横着锯4次，共得到大大小小的长方体小木块60块，求这60块长方体表面积的和。

9.用10个长7厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体木块拼成一个大长方体，拼成的大长方体表面积最小是多少?

第三讲长方体和正方体的体积

前一讲，我们研究了长方体和正方体表面积的计算，其实在数学竞赛中，有关长方体和正方体体积的知识也很重要。学习这一讲的知识更需要我们具备较强的观察能力和空间想像能力。

例题选讲

例1:如图，一个长方体木块，从上部和卞靠分别截去高2厘米和3厘米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了100平方厘米，原来长方体的体积是多少立方