双曲线结论性归纳

双曲线结论性归纳

一.双曲线于矩形相交

基本题：如图，已知反比例函数y ＝k x

图象的一支曲线经过矩形OABC 的边AB 、BC 的中点E 、F ，且四边形OEBF 的面积为4．则反比例函数的解析式 .

变式1：如图，A 、M 是反比例函数图象上的两点，过点M 作直线MB ∥x 轴，交y 轴于点B ；过点A 作直线AC ∥y 轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．BM ∶DM ＝8∶9，当四边形OADM 的

面积为274

时，k ＝ . 变式2：如图，反比例函数y ＝k x

(x ＞0)的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 相交于点D 、E ．若四边形ODBE 的面积为6，则k 的值为 .

变式3：如图所示，正比例函数y ＝kx 与反比例函数y ＝m x

的图象交于点A (－3，2)． （1）试确定上述正比例函数与反比例函数的解析式；

（2）根据图象回答，在第二象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？

（3）P (m ，n )是反比例函数图象上的一动点，其中－3＜m ＜0，过点P 作直线PB ∥x 轴，交y 轴于点B ，过点A 作直线AD ∥y 轴，交x 轴于点D ，交直线PB 于点C ．当四边形OACP 的面积为6时，请判断线段BP 与CP 的大小关系，并说明理由．

变式4：直角梯形OABC 中，BC ∥OA ，∠OAB ＝90°，OA ＝4，腰AB 上有一点D ，AD ＝2，四

边形ODBC 的面积为6，建立如图所示的直坐标系，反比例函数y ＝m x

（x ＞0）的图象恰好经过点C 和点D ，则CB 与BD 的比值是 .

变式5：如图，直线y ＝－x +1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，P （a ，b ）为双曲线y ＝12x

(x ＞0)上的一点，PM ⊥x 轴于M ，交AB 于E ，PN ⊥y 轴于N ，交AB 于F ．

（1）用含a ，b 的代数式表示E 、F 两点的坐标及△EOF 的面积；

（2）△EOF 与△BOE 是否相似？如果相似，请证明；如果不相似，请说明理由；

（3）无论点P 在双曲线第一象限部分上怎样移动，证明∠EOF 是一个定值．

二.双反比例函数图像共存

基本题：如图，两个反比例函数y 1＝5x 和y 2＝3x ，在第一象限内的图象依次是C 1和C 2，设点P 在C 1上，PC ⊥x 轴于点C ，交C 2于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交C 2于点B ，则四边形P AOB 的面积为 .

变式题：两个反比例函数y ＝k 1x 和y ＝k 2x

（k 1＞k 2＞0）在第一象限内的图象如图，P 在C 1上，作PC 、PD 垂直于坐标轴，垂线与C 2交点为A 、B ，则下列结论，其中正确的有 .

①△ODB 与△OCA 的面积相等；

②四边形P AOB 的面积等于k 1－k 2

③P A 与PB 始终相等；

④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．

探讨：对于④你能得出PD PB ＝PC PA 这样一般性的结论吗？

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三.直线与双曲线交于两点

基本题：如图，已知直线y ＝－x +m 与双曲线y ＝k x

（x ＞0）相交于C 、D 两点，且点C 的坐标为（3，1）

（1）求m 的值和双曲线的解析式；

（2）CD AB

＝ . （2）过点D 作DE ⊥x 轴于E ，过点C 作CF ⊥y 轴于F ，连结EF ，你能有何发现？

变式1：如图，A 、B 是反比例函数y ＝k x 上两点，AC ⊥y 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，AC ＝BD ＝14

OC ，S 四边形ABD C ＝14，则k ＝ ▲ .

变式2：

（1）探究归纳：如图1，已知△ABC 与△ABD 的面积相等，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．

（2）结论应用：①如图2，点M ，N 在反比例函数y ＝k x

(k ＞0，x ＞0)的图象上，过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ．证明：MN ∥EF ．

②如图3，点M ，N 在反比例函数y ＝10x

的图象上，且M （2，m ），N 是第三象限内反比例函数y ＝10x

的图象上一动点．过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作EF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ．说明MN ∥EF ．并求当四边形MEFN 的面积为12时点N 的坐标．

变式3：已知：如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线y ＝kx ＋b 与x 轴、y 轴分别

交与点A 、B ，与双曲线y ＝m x

相交于C 、D 两点，且点D 的坐标为（1，6）. （1）当点C 的横坐标为2时，试求直线AB 的解析式，并直接写出CD AB

的值为 . （2）如图2，当点A 落在x 轴的负半轴时，过点C 作x 轴的垂线，垂足为E ，过点D 作y 轴的

垂线，垂足为F ，连接EF .

①判断ΔEFC 的面积和ΔEFD 的面积是否相等，并说明理由；

②当CD AB

＝2时，求tan ∠OAB 的值.

变式4：如图，在直角坐标平面内，反比例函数y ＝m x

（x ＞0，m 是常数）的图象经过点A （1，8）． （1）求m 的值；

（2）过点A 的直线l 与反比例函数y ＝m x

图象相交于另一点B （a ，b ），其中a ＞1．过点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴的垂线，垂足为D ，BD 与AC 相交于P 点，连接AD ，DC ，CB ．

①如果直线l 与反比例函数y ＝m x

图象的交点B 的横坐标为8，求△ABD 的面积； ②若四边形ABCD 的面积为4，求点B 的坐标；

③是否存在点B （a ，b ），使得四边形ABCD 为平行四边形；若存在，试求直线l 的函数解析式；若不存在，请说明理由．