全国中考数学一元二次方程压轴题

3．（2015•宜昌，第22题10分）全民健身和医疗保健是社会普遍关注的问题，2014年，某社区共投入30万元用于购买健身器材和药品．

（1）若2014年社区购买健身器材的费用不超过总投入的，问2014年最低投入多少万元

购买药品？

（2）2015年，该社区购买健身器材的费用比上一年增加50%，购买药品的费用比上一年减少，但社区在这两方面的总投入仍与2014年相同．

①求2014年社区购买药品的总费用；

②据统计，2014年该社区积极健身的家庭达到200户，社区用于这些家庭的药品费用明显减少，只占当年购买药品总费用的，与2014年相比，如果2015年社区内健身家庭户数增加的百分比与平均每户健身家庭的药品费用降低的百分比相同，那么，2015年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的，求2015年该社区健身家庭的户数．

4．（2015•湘潭，第24题8分）阅读材料：用配方法求最值．

已知x，y为非负实数，

∵x+y﹣2≥0

∴x+y≥2，当且仅当“x=y”时，等号成立．

示例：当x＞0时，求y=x++4的最小值．

解：+4=6，当x=，即x=1时，y的最小值为6．

（1）尝试：当x＞0时，求y=的最小值．

（2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，n年的保

养、维护费用总和为万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=）？最少年平均费用为多少万元？

18.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0．

（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；

（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求实数m的值．

19.（2015·湖北省咸宁市，第19题8分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；

（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．

20.（2015•黄石第20题，8分）解方程组．

．请阅读下列材料：

问题：已知方程x2＋x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．

解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝y

2

．

把x＝y

2

代入已知方程，得(

y

2

)2＋

y

2

－1＝0．

化简，得y2＋2y－4＝0．

故所求方程为y2＋2y－4＝0．

这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．

请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）；（1）已知方程x2＋x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：___________________；

（2）已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．

例5．已知关于x的一元二次方程x2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca＝0，且a＞b ＞c＞0．

（1）若方程有实数根，求证：a，b，c不能构成一个三角形的三边长；

（2）若方程有实数根x0，求证：b＋c＜x0＜a；

（3）若方程的实数根为6和9，求正整数a，b，c的值．

例6．已知方程x2＋2ax＋a－4＝0有两个不同的实数根，方程x2＋2ax＋k＝0也有两个不同的实数根，且其两根介于方程x2＋2ax＋a－4＝0的两根之间，求k的取值范围．

．（8分）（2014•杭州模拟）阅读下列材料：求函数的最大值．

解：将原函数转化成x的一元二次方程，得．

∵x为实数，∴△==﹣y+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值为4．

根据材料给你的启示，求函数的最小值．

2014•亳州一模）端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元．

（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出只粽子，利润为元．（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？

（2002•甘肃）某企业1998年初投资100万元生产适销对路的产品，1998年底将获得的利润与年初的投资的和作为1999年初的投资，到1999年底，两年共获利润56万元，已知1999年的年获利率比1998年的年获利率多10个百分点（即：1999年的年获利率是1998年的年获利率与10%的和）．求1998年和1999年的年获利率各是多少？

2．已知△ABC的三边长为a、b、c，关于x的方程x2－2(a＋b)x＋c2＋2ab＝0有两个相等的实数根，又sin A、sin B是关于x的方程(m＋5)x2－(2m－5)x＋m

－8＝0的两个实数根．

（1）求m的值；

（2）若△ABC的外接圆面积为25π，求△ABC的内接正方形的边长．

3．已知关于x的方程x2－(m＋n＋1)x＋m＝0（n≥0）的两个实数根为α、β，且α≤β．

（1）试用含有α、β的代数式表示m和n；

（2）求证：α≤1≤β；

（3）若点P（α，β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A

（1，2），B（1

2

，1），C（1，1），问是否存在点P，使m＋n＝

5

4

？若存在，求

出点P的坐标；若不存在，请说明理由．