直线与二次曲线概要
直线与二次曲线
专题五 直线与二次曲线直线与二次曲线问题是高中数学的重点内容，根据对近几年高考试题分析，本专题分值均占全卷的20%—25%，且选择题，填空题，解答题均有涉及到，是高考的重，热点问题。
这一专题在高考中占有一定的地位，主要呈现在以下几个方面：1． 考直线与圆的有关基本概念，基本方法多以选择题或填空题的形式出现，基本属于中，低档题，有时也分散在解答题目中，特别是近年出现的线形规划，解析几何与向量结合等是常考的试题。
2． 考查圆锥曲线的基本概念，标准方程与几何性质等基础知识，以及处理有关问题的基本技能，基本方法，也常以选择题和填空题目形式出现。
3． 直线与二次曲线的位置关系，圆锥曲线与有关知知识综合问题常以压轴题或中难度题目的形式出现，性质，基本概念，基础知识常以新的知识为载体，附以新的情景，考察学生的综合应用知识灵活解决问题的能力。
考点一 （直线与圆）例1：已知坐标平面内，A242m m -+），B （1，2m —6）（m ∈R ），则直线AB 的倾斜角取值范围（ ）例2：设x ，y 满足约束条件 4335251x y x y x -≤-+≤≥ 分别求：（1） Z=y x最大值，最小值。
（2） Z=∣x-4y+1∣的最大值，最小值例3：有定点P （6，4）及定直线L ：y=4x ，点Q 是在直线L 上第一象限内的点，直线P ，Q 交x 轴的正半轴于M ，问点Q 在什么位置时，△OMQ 的面积最小考点二（二次曲线的概念及性质）例1：在平面直角坐标系中，若方程222(21)23m x y y x y +++=-+表示的曲线为椭圆，求实数m 的取值范围。
例2：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左右焦点分别为F 1，F 2，以F 1为顶点，F 2为焦点的抛物线交椭圆第二象限于P ，椭圆离心率为e ，且∣PF 1∣=e ∣PF 2∣，求e 的值。
例3：椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(,0)x y m n m n-=>有公共焦点F 1，F 2，P 是它们一个公共点。
认识平面曲线直线抛物线和双曲线
认识平面曲线直线抛物线和双曲线认识平面曲线：直线、抛物线和双曲线平面曲线是数学中的一个重要概念，在几何学和微积分等领域有广泛的应用。
平面曲线可以分为不同种类，其中最基本的三种类型是直线、抛物线和双曲线。
本文将详细介绍这三种平面曲线的特点和性质。
一、直线直线是最简单的曲线类型，它的特点是始终保持相同的斜率。
直线可以通过两点或一点和斜率来确定其方程。
直线方程的一般形式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
斜率为正表示直线向上倾斜，而斜率为负则表示直线向下倾斜。
斜率为零时，直线为水平线，斜率不存在时，直线为垂直线。
直线具有以下性质：1. 直线是无限延伸的，没有起点和终点。
2. 直线上的两点可以确定一条直线。
3. 直线上的所有点的坐标满足直线方程。
4. 直线的斜率决定了其倾斜方向和程度。
二、抛物线抛物线是一种平面曲线，其形状像一个U或者倒U。
抛物线的方程一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
抛物线的开口方向取决于系数a的正负性，当a大于0时，抛物线开口向上，当a小于0时，抛物线开口向下。
抛物线具有以下性质：1. 抛物线是关于y轴对称的，即对于任意点(x, y)，如果点在抛物线上，那么点(-x, y)也在抛物线上。
2. 抛物线的焦点表示为(F, p)，其中p为焦距，具有以下性质：- 焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线(y = -(p/2))的距离。
- 抛物线上任意一点到准线的距离等于该点到焦点的距离。
3. 抛物线上的点分布对称，以抛物线的顶点为中心，对称轴为x = -b/2a。
三、双曲线双曲线是一种平面曲线，其形状类似于两个离心率大于1的对称的弯曲线段。
双曲线的方程一般形式为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b 为正常数。
双曲线具有以下性质：1. 双曲线与两条渐近线无限靠近但永远不会相交。
2. 双曲线具有两个分支，分别呈现对称性。
3. 双曲线的焦点和准线的关系与抛物线相似，其中焦点到双曲线上任意一点的距离与该点到准线的距离之差等于常数。
二次曲线的定义
a13 a23 a33 u3
u1 u2 u3 0
展开, 得 T Aijuiu j 0. 且Aij Aji ,| Aij || aij |2 0.
注：本定理提供了二次曲线的点坐标、线坐标方程互化方法。
推论4 若 bij = αAij ( α ≠ 0 )，则 S ≡∑aijxixj= 0 与 T ≡∑bijuiuj = 0 表示同一条二次曲线。
AB(B, E, D, A) AB(D, A, B, E).
由二级曲线的射影定义，这两个射影点列的对应点连线以 及点列的底共六条直线属于同一条二级曲线，这六条直线恰好 是已知两个三点形的六条边。结论成立。
注：本题的逆命题成立。
二次曲线的射影定义
六、二阶曲线与二级曲线的统一
定理3(Maclaurin) 一条非
定义3 在射影平面上，称 两个射影线束对应直线交点的 集合为一条二阶曲线。
定义3′ 在射影平面上，称 两个射影点列对应点连线的集 合为一条二级曲线。
思考：试研究本定义是如何包含退化二次曲线的。
提示：考虑透视对应、射影变换的情况。
二次曲线的射影定义
例1 求由两个射影线束 x1 – λx3 = 0, x2 – μx3 = 0 ( λ + μ = 1) 生 成的二阶曲线方程。
二次曲线的射影定义
注1. S, T 均为高等代数中的实三元二次型。从代数上看，S = 0和T = 0 为相同的代数对象；从几何上看，它们是同一几何对象 的不同描述，因此统称为二次曲线。
注2. 在需要时，S = 0和T = 0 均可写为矩阵格式：
a11 a12 a13 x1
S
( x1 ,
x2 ,
推论1′ 平面上五直线(其中 无三线共点)唯一确定一条非 退化二级曲线。
曲线及其方程知识点总结
曲线及其方程知识点总结一、直线的方程1. 斜率和截距法直线的方程可以用斜率和截距来表示。
直线的斜率是指直线上一点的纵坐标和横坐标的变化率，截距是指直线和y轴或x轴相交的坐标。
若直线的斜率为m，截距为b，则直线的方程可以表示为y=mx+b或者x=my+b。
2. 两点式直线的两点式表示了通过两个已知点的直线方程。
若已知直线上两点A(x1, y1)和B(x2,y2)，则直线的方程可以表示为(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)。
3. 截距式直线的截距式表示了直线和坐标轴的截距关系。
若已知直线的x轴截距为a，y轴截距为b，则直线的方程可以表示为x/a+y/b=1。
二、曲线的方程1. 二次曲线二次曲线的一般方程可以表示为Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0。
其中A、B、C、D、E、F为常数。
二次曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线等。
- 圆的方程圆的一般方程可以表示为(x-h)^2+(y-k)^2=r^2。
其中(h,k)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。
- 椭圆的方程椭圆的一般方程可以表示为(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1。
其中(h,k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示椭圆在x轴和y轴的半轴长。
- 双曲线的方程双曲线的一般方程可以表示为(x-h)^2/a^2-(y-k)^2/b^2=1。
或者(x-h)^2/a^2-(y-k)^2/b^2=-1。
其中(h,k)表示双曲线的中心坐标，a和b分别表示双曲线在x轴和y轴的半轴长。
- 抛物线的方程抛物线的一般方程可以表示为y=ax^2+bx+c或者x=ay^2+by+c。
其中a不等于0。
抛物线的开口方向取决于系数a的正负性。
2. 极坐标方程极坐标方程是一种表示曲线的方程，它使用极坐标系下的极径r和极角θ来表示曲线上任意一点的位置。
极坐标方程可以表示为r=f(θ)，其中f(θ)为极坐标方程的极坐标函数。
三、参数方程参数方程是一种用参数的形式表示曲线的方程。
二次曲线的定义PPT课件
注2. 在需要时，S = 0和T = 0 均可写为矩阵格式：
a11 a12 a13 x1
S
( x1 ,
x2 ,
x3
)
a12
a22
a23
x2
0,
a13 a23 a33 x3
或 S XAX 0. ( A A, 秩( A) 1)
注3. 由对偶原则，我们一般仅讨论二阶曲线，其结论均可对 偶地适用于二级曲线。
u1 u2 u3 0
展开, 得 T Aijuiu j 0. 且Aij Aji,| Aij || aij |2 0.
这里Aij是aij的代数余子式.
注：本定理提供了二次曲线的点坐标、线坐标方程互化方法。
推论4 若 bij = αAij ( α ≠ 0 )，则 S ≡∑aijxixj= 0 与 T ≡∑bijuiuj = 0 表示同一条二次曲线。
分别以AM, BM截得
O(A, B, P, M ).
AM (A, B, K, M ) BM (A, B, K, M ).
注意到 M M , AM (A, B, K, M ) BM (A, B, K, M ).
从而对应点的连线共点，即 AA′, BB′, KK′ 共点于 S。
但是 S OAOB 为定点，故当 M 变动时，KK′ 经过定点 S，即
解 令 A x1 0, B x3 0; A x2 0, B x3 0.
利用定理1的证明，此二射影线束
AB 0
A
B
0
生成的二阶曲线的方程为
aAA dBB bAB cAB 0
(2)
由 λ + μ = 1 得 a = 0, b = c = 1, d = –1 , 代入上式得
x1x3 x2x3 x32 0,
二次曲线的一般式-概述说明以及解释
二次曲线的一般式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述二次曲线是数学中重要的曲线类型之一。
它由二次方程所表示，是平面上的曲线。
在二次曲线上，点到定点的距离与点到定直线的距离的比值恒定，这是二次曲线独特的性质之一。
二次曲线广泛应用于几何学、物理学、工程学和计算机图形学等领域。
在几何学中，二次曲线的性质和特点被用于解决许多关于曲线的问题，如焦点、直径、切线和法线等。
在物理学中，二次曲线的运动方程被用于描述抛物线运动或者椭圆轨道等运动问题。
在工程学中，二次曲线常用于设计道路、桥梁和建筑物的曲线部分，以达到美观和结构稳定的目的。
在计算机图形学中，二次曲线被广泛应用于绘制曲线和曲面，用于创建平滑的图形效果。
本文将深入探讨二次曲线的一般式，包括其定义、性质和特点。
我们将介绍二次曲线的一般形式，并重点讨论其中的关键概念和公式。
通过学习二次曲线的一般式，读者能够更好地理解二次曲线的特性，并能够应用这些知识解决相关问题。
接下来的章节将按照以下结构展开：首先，我们将介绍二次曲线的定义和一般形式，包括其方程和基本图形。
然后，我们将深入研究二次曲线的性质和特点，例如焦点、直径和切线等。
最后，我们将总结二次曲线的一般式，并探讨其应用和意义。
在本文的剩余部分，读者将逐步了解二次曲线的复杂性和多样性，以及它们在数学和实际应用中的作用。
无论读者是初学者还是对二次曲线较为熟悉的人，本文都将为他们提供全面而深入的知识，帮助他们更好地理解和运用二次曲线的一般式。
文章1.2文章结构部分的内容可以如下编写：文章结构是指文章的整体组织和布局方式，在本文中分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分是文章的开端，概述了二次曲线的一般式的主题和背景，引起读者的兴趣。
其中，1.1小节对二次曲线的概念和定义进行解释，确保读者了解文章所涉及的数学概念。
1.2小节则介绍了本文的文章结构，提供了整篇文章的脉络，为读者理解文章内容奠定基础。
最后，1.3小节明确了本文的目的，即探究二次曲线的一般式，并说明了相关探究的意义。
第08章 二次曲线
5.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，根据下
列条件，求椭圆方程：
(3)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2,0)；
(4)焦点为(-3,0)和(3,0)，且离心率 =
答案:(3) + =
(4) + =
或
+
=
.
知识点3：根据已知条件求椭圆的方程
知识点2：已知椭圆的方程求椭圆的相关参数
4.已知椭圆方程是 + = ,求椭圆的长轴长、短
轴长焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率.
答案:椭圆长轴长2a=1,短轴长 =
,焦距
=
椭圆长轴顶点坐标(0, ± ),
短轴顶点坐标(± , ),焦点坐标(, ± )
,
且长轴长、焦距、短轴长成等差数列.
(1)求椭圆标准方程;
+
;
答案: (1)或
(2)3或
= 的离心率 =
，则实数
;
知识点7：求椭圆的离心率或离心率的取值范围
16.(1)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则这个椭圆
的离心率e=
.
(2)已知 , 是椭圆的两个焦点，若以 为直径
的圆与椭圆没有公共点，则椭圆的离心率的取值
6.已知椭圆 过点M（4,0）,且与椭圆 : + = 有公
共焦点，则椭圆 的标准方程是_________________.
答案:
+
直线与二次曲线
直线与二次曲线黄梅县第五中学 李旭东二次曲线是高中数学中的重点和难点内容，还是高考必考内容，且比重大。
下面是我多年任教二次曲线的一点心得。
直线与二次曲线的题型可分为四个部分解决:一.弦长问题例1.设椭圆6x 2+2y 2=12中有一内接三角形PAB,过O,P 的直线的倾斜角为,0k k BP ,AP ,3BP AP =+π的斜率符合直线 (1)试证过A,B 的直线的斜率是定值; (2)求ΔPAB 面积的最大值.解:).3,1(P ),3,1(P 12y 2x 6x 3y :OP )1(2122--=+=得代入将.3x x y y k :03y 1x 3y 1x ,01x 3y 1x 3y A B AB AB 22112211=--==+++++=--+--相乘得将06b bx 32x 6:,12y 2x 6,b x 3y :AB )2(2222=-++=++=得代入为不妨设|,b |21d :AB P , b 3416|x x |)3(1|AB |2B A 2=-=-+=∴的距离为到 .6b .3b )b 12(63S 22APB ±=≤-=∴∆此时 例2.,2 B ,A C ),0,3(B )0,3(A 值为两点的距离的差的绝对到动点和已知点- 点C 的轨迹与直线y=x －2交于D ，E 两点，求线段DE 的长。
答案：(1)设点C （x ，y ），则|CA|－|CB|=±2根据双曲线的定义，可知点C 的轨迹是双曲线，依题意，设其方程为： 2b ,1a ,32c 2,2a 2,12y a x 22222=====-得由12y x C 22=-∴的轨迹方程是点6x 4x ,2x y 12y x )2(222=-+⎪⎩⎪⎨⎧-==-得由∵△＞0，∴直线与双曲线有两个交点D 、E ， 设D(x 1，y 1)，E （x 2，y 2），则x 1+x 2=﹣4，x 1x 2=﹣6…54x x 4)x x (2)y y ()x x (|DE |21221221221=-+=-+-=∴二.对称问题例3.在以O 为原点的直角坐标系中，点A(4,-3)为ΔOAB 的直角顶点.已知|AB|=2|OA|,且点B 的坐标大于零。
初中数学曲线知识点总结
初中数学曲线知识点总结一、直线直线是最简单的曲线之一，其方程一般为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
直线的斜率k表示直线上的任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值，斜率为正表示直线上升，为负表示下降，斜率为0表示水平直线，而斜率不存在则表示垂直直线。
通过斜率和截距我们可以画出直线的图像，判断直线的方向和位置。
二、抛物线抛物线是一种二次函数的图像，其一般方程为y = ax^2 + bx + c。
抛物线可以向上开口，也可以向下开口，开口方向由二次项系数a的正负决定。
如果a>0，则抛物线向上开口；如果a<0，抛物线向下开口。
抛物线的顶点坐标可以通过公式(-b/2a, c-b^2/4a)计算得到。
抛物线还有对称轴和焦点等概念，这些都是建立在抛物线的基本方程上。
三、双曲线双曲线是一种具有两个分支的曲线，其一般方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1或者x^2/a^2 -y^2/b^2 = -1。
双曲线图像的特点是两个分支分别朝两个方向无限延伸，两个分支之间有一个对称中心。
双曲线的焦点、渐近线等概念可以通过双曲线的方程计算得到。
四、椭圆椭圆是一种闭合曲线，其一般方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
椭圆的图像是一个圆形，长轴和短轴可以通过方程中a和b的取值计算得到。
椭圆的焦点和离心率等概念都可以通过椭圆的方程来计算确定。
五、其他曲线除了上述几种常见的曲线外，还有一些其他类型的曲线，如圆、双曲线、悬链线等。
这些曲线都有各自的方程和特点，需要通过数学方法进行计算和分析。
总结：初中数学曲线知识点涉及到多种曲线的方程、图像和特点，掌握这些知识可以帮助学生解决数学问题，理解数学原理。
通过对直线、抛物线、双曲线、椭圆等曲线的学习，可以提高学生对数学的认识和理解能力，为高中数学学习打下坚实的基础。
因此，初中学生应该认真学习这些数学曲线知识，多做练习，深入理解曲线的性质和特点。
§2 二次曲线的类型概要
6°1 , 2 , 3 , 异号,则同于形式:
x x 1 ' a 24 y y 2 z' z 则有 ' 1 x2 2 y2 2a34 z a44 0.
'
a14
(2.8)
x" x' " ' y y ' a z " z ' 44 2a 34 那么(2.8)化简为:
由代数知识知道(参见附录)，实对称矩阵可用正交 矩阵对角化。即对实对称矩阵 A ，存在正交矩阵T，使 T T A T 为对角矩阵，且对角线上的元素为A 的特征值 1 , 2 , 3 , 即方程:
A E 0
的根,它们全为实数.因此:
1 T T AT 2 . 3
2 ( x, y, z ) a12 x a22 y a23 z,
3 ( x, y, z ) a13 x a23 y a33 z,
4 ( x, y, z ) a14 x a24 y a34 z,
则有:
( x, y, z ) x1 ( x, y, z ) y2 ( x, y, z ) z3 ( x, y, z ).
(2.11) 中至少有一个不为0,作变换:
通过此变换,(2.11)可化简成形式:
2 x 2 py. 14°
抛物柱面
（2） a24 a 34 0 ' 15° 1 与 a44异号,则同于形式:
2 2
x a 0. 一对平行平面 ' a 16° 1 与 44 同号,则同于形式: 2 2 x a 0. 一对虚的平行平面 ' a 17° 44 0 , 则同于形式:
冲刺高考数学直线与二次曲线的位置关系
冲刺高考数学直线与二次曲线的位置关系在高考数学中，直线与二次曲线的位置关系一直是一个重点和难点。
理解并掌握这部分内容，对于我们在高考中取得优异成绩至关重要。
首先，我们来了解一下什么是直线和二次曲线。
直线，大家都不陌生，用一般式可以表示为 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0（其中 A、B 不同时为0）。
而二次曲线呢，常见的有圆、椭圆、双曲线和抛物线。
比如圆的标准方程是（x a)²＋（y b)²＝ r²，椭圆的标准方程有两种形式：焦点在 x 轴上时是 x²/a²＋ y²/b²＝ 1（a ＞ b ＞ 0），焦点在 y 轴上时是y²/a²＋ x²/b²＝ 1（a ＞ b ＞ 0）。
双曲线的标准方程也有两种：焦点在x 轴上时是 x²/a² y²/b²＝ 1，焦点在 y 轴上时是 y²/a² x²/b²＝ 1。
抛物线则有多种形式，比如 y²＝ 2px（p ＞ 0）表示开口向右的抛物线。
那么直线与这些二次曲线的位置关系究竟如何判断呢？这就需要用到一些数学方法和技巧。
对于直线与圆的位置关系，我们通常可以通过比较圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小来判断。
如果 d ＞ r，直线与圆相离；如果 d＝ r，直线与圆相切；如果 d ＜ r，直线与圆相交。
举个例子，如果圆的方程是（x 2)²＋（y 3)²＝ 4，直线方程是 2x ＋ y 5 ＝ 0，那么圆心坐标是（2, 3)，半径 r ＝ 2。
根据点到直线的距离公式，可以算出圆心到直线的距离 d ＝｜2×2 ＋ 3 5| ／√（2²＋ 1²) ＝ 2 ／√5。
因为 2 ／√5 ＜ 2，所以直线与圆相交。
接下来看看直线与椭圆的位置关系。
直线和二次曲线
O
2、DDA算法(Digital Differential Analyzer)
DDA算法是建立在微分方程的基础上。 由 ( x A , y A ) 到 ( x B , y B ) 的直线段满足的微分方程为：
dx dt x B x A dy yB y A dt
因此有
2 k
3、 逐点比较法
（1）算法的基本思想： 在绘制直线的过程中，每绘制一个点，就与原直 线进行比较，根据比较的结果决定下一步的走向，这 样一步一步逼近直线。保证要绘制的点尽可能的靠近 直线而不发生远离直线的趋向。
偏差判别 选择象素点 终点判别 否 结束
偏差计算
（2）绘制思路 由当前点到下一个点的走法 是只在X方向或Y 方向走一步。
pk F ( xk 1, yk 0.5) ( xk 1) 2 ( yk 0.5) 2 r 2
( xk , y k )
( x k 1 , y k 1 )
yk 1
以此来判断下一步 ( x k 1 , y k 1 )的点如何取。 是 ( x k 1, y k ) 还是 ( xk 1, y k 1) 。
计算机图形学
武汉大学电子信息学院 王泉德 qdwang@
第二章 直线
在光栅显示器的荧光屏上生成一个图形，实质上是往帧缓存寄存器 的相应单元中填入数据。 计算机生成图形时，需要绘制大量的直线，设计快速有效的直线绘 制算法意义重大。 一般来讲，水平、垂直直线和对角线能准确地画出，但要准确绘制 一条斜线并不容易。 在光栅显示器上画（x1, y1）到（x2, y2）的直线，实质上是确定 最佳逼近直线的象素序列。
F2 Y2 X A YA X 2 1* 7 5 *1 2
二次曲线在数学中的性质
二次曲线在数学中的性质二次曲线是数学中一个重要的概念，它在几何学和代数学中都有广泛的应用。
二次曲线由二次方程定义，通常表示为Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0。
在这篇文章中，我们将探讨二次曲线的性质，包括它的形状、焦点、对称性以及与坐标轴的关系。
首先，我们来讨论二次曲线的形状。
根据二次方程的系数，二次曲线可以是椭圆、抛物线或双曲线。
当系数A、B和C都不为零时，二次曲线是椭圆。
椭圆是一个闭合的曲线，它的形状类似于一个圆或椭圆形。
当系数A和C相等，而系数B为零时，二次曲线是抛物线。
抛物线是一个开口向上或向下的曲线，它具有对称性和无限延伸性。
当系数A和C有相反的符号时，二次曲线是双曲线。
双曲线有两个分支，它们的形状类似于一个开口向左或向右的抛物线。
其次，我们来讨论二次曲线的焦点。
焦点是二次曲线的一个重要属性，它在椭圆和双曲线中起着关键的作用。
对于椭圆和双曲线，焦点是曲线上到两个定点的距离之和等于常数的点。
这个常数被称为焦距。
焦点与曲线的形状和位置有关，它可以帮助我们确定二次曲线的几何特性。
接下来，我们来探讨二次曲线的对称性。
二次曲线可以具有对称轴，它是曲线的一个轴线，将曲线分成两个对称的部分。
对称轴可以是垂直于x轴或y轴的直线，也可以是倾斜的直线。
对称轴的位置和方向取决于二次曲线的方程。
通过找到对称轴，我们可以更好地理解二次曲线的形状和特性。
最后，我们来讨论二次曲线与坐标轴的关系。
二次曲线与x轴和y轴的交点称为顶点。
顶点是二次曲线的一个重要特征，它可以帮助我们确定曲线的位置和方向。
当二次曲线是抛物线时，顶点是曲线的最高点或最低点。
当二次曲线是椭圆或双曲线时，顶点是曲线的中心点。
总结起来，二次曲线在数学中有着重要的性质。
通过了解二次曲线的形状、焦点、对称性以及与坐标轴的关系，我们可以更好地理解和分析二次曲线的特性。
这些性质在几何学、代数学以及应用数学中都有广泛的应用，帮助我们解决各种实际问题。
二次曲线知识点
椭圆的倾斜角为α的焦点弦 双曲线的倾斜角为α的焦点
长｜AB｜=
弦长｜AB｜=
半径为r的圆中，弦心距为d 或圆心角为α的弦长易由勾 股定理或三角函数的定义求 得
特别地，过焦点与长轴（或实轴）垂直的弦称为椭圆（或 双曲线）的通径，其长为
已知P（x',y'）在二次曲线L：Ax²+Cy²+Dx+Ey+F=0 上，则过P的L的切线方程为：
一般方程：圆心（-D/2，E/2）,半径
一般方Байду номын сангаас：化为标准方程计算即可
准线方程 离心率 焦半径 光学性质
e=c/a，0<e<1，e越大椭圆 e=c/a，e>1，e越大双曲线
越扁
开口越大
设P(x0,y0）为椭圆上一 设P(x0,y0）为双曲线上一
点，则左焦半径｜PF1｜ 点，则左焦半径｜PF1｜=-
=a+ex0，右焦半径｜PF2｜ a-ex0，右焦半径｜PF2｜
定义
二次曲线知识点小总结
圆
椭圆（焦点在x轴上）
双曲线（焦点在x轴上）
平面内与定点（圆心）距离 等于定长（半径）的点的轨 迹
第一定义：平面内与两个定 点F1、F2的距离之和为常数 （大于｜F1F2｜）的点的轨 迹 第二定义：平面内到一个定 点（焦点）和一条不经过此 点的定直线（此侧准线）的 距离之比为常数e（0<e<1） 的点的轨迹
=a-ex0
=a-ex0
从椭圆一焦点发出的光线， 经椭圆反射，过另一焦点
从双曲线的一个焦点发出的 光线，经双曲线反射，反射 光线的反向延长线过另一焦
设直线y=kx+m与二次曲线f（x，y）=0（圆，椭圆，双曲线，抛物线均可）交于A（x1，y1），B（x2，y 韦达定理以及下列公式可求得弦长：
第18讲 直线与二次曲线(含详解)
数学高考综合能力题选讲18直线与二次曲线题型预测直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重．主要涉及弦长、弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．范例选讲例1．已知双曲线G 的中心在原点，它的渐近线与圆2210200x y x +-+=相切．过点()4,0P -作斜率为14的直线l ，使得l 和G 交于,A B 两点，和y 轴交于点C ，并且点P 在线段AB 上，又满足2PA PB PC ⋅=．（Ⅰ）求双曲线G 的渐近线的方程； （Ⅱ）求双曲线G 的方程；（Ⅲ）椭圆S 的中心在原点，它的短轴是G 的实轴．如果S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，求椭圆S 的方程．讲解：（Ⅰ）设双曲线G 的渐近线的方程为：y kx =，则由渐近线与圆2210200x y x +-+=相切可得：2551k k =+．所以，12k =±．双曲线G 的渐近线的方程为：12y x =±．（Ⅱ）由（Ⅰ）可设双曲线G 的方程为：224x y m -=．把直线l 的方程()144y x =+代入双曲线方程，整理得2381640x x m ---=．则8164, 33A B A B mx x x x ++==- （＊）∵ 2PA PB PC ⋅=，,,,P A B C 共线且P 在线段AB 上，∴ ()()()2P A B P P C x x x x x x --=-，即：()()4416B A x x +--=，整理得：()4320A B A B x x x x +++= 将（＊）代入上式可解得：28m =．所以，双曲线的方程为221287x y -=． （Ⅲ）由题可设椭圆S 的方程为：()22212728x y a a+=>．下面我们来求出S中垂直于l 的平行弦中点的轨迹．设弦的两个端点分别为()()1122,,,M x y N x y ，MN 的中点为()00,P x y ，则2211222222128128x y ax y a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩． 两式作差得：()()()()121212122028x x x x y y y y a-+-++=由于12124y y x x -=--，1201202,2x x x y y y +=+= 所以，0024028x y a-=， 所以，垂直于l 的平行弦中点的轨迹为直线24028x ya-=截在椭圆S 内的部分．又由题，这个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，所以，211122a =．所以，256a =，椭圆S 的方程为：2212856x y +=．点评：解决直线与圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐标轴上（也即化线段的关系为横坐标（或纵坐标）之间的关系）是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题，常常用到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具）．例2．设抛物线过定点()1,0A -，且以直线1x =为准线．（Ⅰ）求抛物线顶点的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若直线l 与轨迹C 交于不同的两点,M N ，且线段MN 恰被直线12x =-平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y kx m =+，试求m 的取值范围．讲解：（Ⅰ）设抛物线的顶点为(),G x y ，则其焦点为()21,F x y -．由抛物线的定义可知：12AF A x ==点到直线的距离＝． 所以，2242x y +=．所以，抛物线顶点G 的轨迹C 的方程为：2214y x += ()1x ≠． （Ⅱ）因为m 是弦MN 的垂直平分线与y 轴交点的纵坐标，由MN 所唯一确定．所以，要求m 的取值范围，还应该从直线l 与轨迹C 相交入手．显然，直线l 与坐标轴不可能平行，所以，设直线l 的方程为1:l y x b k=-+，代入椭圆方程得：222241240k bxx b k k ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭由于l 与轨迹C 交于不同的两点,M N ，所以，()22222441440b k b k k ⎛⎫+∆=--> ⎪⎝⎭，即 ()222410 0k k b k -+>≠．（＊）又线段MN 恰被直线12x =-平分，所以，2212241M N bk x x k ⎛⎫+==⨯- ⎪+⎝⎭．所以，2412k bk +=-．代入（＊）可解得：()33 022k k -<<≠． 下面，只需找到m 与k 的关系，即可求出m 的取值范围．由于y kx m =+为弦MN 的垂直平分线，故可考虑弦MN 的中点01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭．在1:l y x b k=-+中，令12x =-，可解得：2011412222k y b k k k k +=+=-=-． 将点1,22P k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入y kx m =+，可得：32k m =-．所以，3333044m m -<<≠且． 从以上解题过程来看，求m 的取值范围，主要有两个关键步骤：一是寻求m与其它参数之间的关系，二是构造一个有关参量的不等式．从这两点出发，我们可以得到下面的另一种解法：解法二．设弦MN 的中点为01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则由点,M N 为椭圆上的点，可知：22224444M M N N x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩． 两式相减得：()()()()40M N M N M N M N x x x x y y y y -++-+=又由于01121, 2, 2MN M N M N M N y y x x y y y x x k -⎛⎫+=⨯-=-+=- ⎪-⎝⎭＝，代入上式得：02y k =-． 又点01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在弦MN 的垂直平分线上，所以，012y k m =-+．所以，001324m y k y =+=．由点01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在线段BB ’上（B ’、B 为直线12x =-与椭圆的交点，如图），所以，'0B B y y y <<．也即：033y -<<． 所以，3333044m m -<<≠且 BB ＇ＭＮＰ点评：解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式，有时借助图形的几何性质更为方便．涉及弦中点问题，利用韦达定理或运用平方差法时（设而不求），必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法．从构造不等式的角度来说，“将直线l 的方程与椭圆方程联立所得判别式大于0”与“弦MN 的中点01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆内”是等价的．。
§5.1 二次曲线与直线的相关位置
§5.1 二次曲线与直线的相关位置一、位置关系平面上二次曲线与直线的位置关系有三种：相交（实交点或虚交点），相切，相重（直线在二次曲线上）.二、判别方法设二次曲线为：F(x, y)≡a11x2 + 2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0, ①过点(x0, y0)且具有方向X:Y的直线为②将②代入①得Φ(X, Y)t2+2[F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y]t+ F(x0, y0)=0则①与②的相关位置如下：1. Φ(X, Y)≠0, 设∆=[F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y]2-Φ(X, Y)⋅F(x0, y0).(1) ∆>0时，直线②与二次曲线①有两个不同的实交点；(2) ∆=0时，直线②与二次曲线①有两个相互重合的实交点；(3) ∆<0时，直线②与二次曲线①交于两个共轭的虚点.2. Φ(X, Y)=0,(1) F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y≠0时，直线②与二次曲线①有唯一的实交点；(2) F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y=0, 而F(x0, y0)≠0时，直线②与二次曲线①没有交点；(3) F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y = F(x0, y0)=0时，直线②全部在二次曲线①上.例1. 求直线x-y-1=0与二次曲线2x2-xy-y2-x-2y-1=0的交点.解: F1(x, y) =2x-y-, F2(x, y)= -x-y-1,F(x, y) =2x2-xy-y2-x-2y-1,将直线x-y-1=0化为参数形式得X : Y = 1 : 1, (x0, y0) 为 (1, 0),因为Φ(1, 1)=0, F1(x0, y0)=F1(1, 0)=, F2(x0, y0)=F2(1, 0)= -,F (1, 0)=0, ∆=0,所以直线在二次曲线上，即直线上所有点均为交点.例2. 试决定k的值，使得(1) 直线x-y+5=0与二次曲线x2-3x+y+k=0交于两个不同的实点；(2) 直线与二次曲线x2+3y2-4xy-y=0交于一点；(3) 直线x-ky-1=0与二次曲线y2-2xy-(k-1)y-1=0交于两个相互重合的实点；(4) 直线与二次曲线2x2+4xy+ky2-x-2y=0有两个共轭虚交点.解：(1) 化直线方程为代入曲线方程整理得t 2 - 2t + k + 5 = 0,因为直线与二次曲线交于两个不同的实点，从而应有∆=(-2)2 - 4(k+5) = 4 -4 (k + 5) > 0,解得k < -4.(2) 将直线方程的表达式代入二次曲线方程并化简得(k2-4k+3)t2 + (-4k2+8k-5)t + (3k2-5k+1)=0,因为直线与二次曲线交于一点，所以k2-4k+3=0 且-4k2+8k-5≠0,解得k=1或3.(3) 化直线方程为代入二次曲线方程并化简得(1-2k)t2-(1+k)t-1=0,因为直线与二次曲线交于两个相互重合的实点，所以∆=(1+k)2+4(1-2k)=0且1-2k≠0,解得k=1或5.(4) 将直线方程表达式代入二次曲线方程并化简得(k-2)t2+(5-2k)t+(k+3)=0,因为直线与二次曲线交于两个共轭虚点，所以∆=(5-2k)2-4(k-2)(k+3)<0 且k-2≠0解得k >.作业题：求直线与下列二次曲线的交点.1. 2x2-2xy +y2-2x=0.2. x2-y2-x-y+1=0.。
高中几何知识解析二次曲线的分类及性质
高中几何知识解析二次曲线的分类及性质二次曲线在高中几何学中是一个重要的概念，它们在代数和几何之间建立了联系。
本文将解析二次曲线的分类及其性质，帮助读者更好地理解和应用这一知识。
一、二次曲线的分类二次曲线是由二次方程定义的。
一般来说，二次方程的标准形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a≠0。
根据二次曲线的方程的系数，我们可以将二次曲线分为以下三种情况：1. 抛物线当a>0时，二次曲线是一个抛物线。
具体而言，a的正负决定了抛物线的开口方向。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
此外，当二次方程无实根时，抛物线完全位于x轴的上方或下方；当二次方程有一个实根时，抛物线与 x 轴相切；当二次方程有两个实根时，抛物线与 x轴相交于两点。
2. 椭圆当a和b的系数符号都相同且不为零时，二次曲线是一个椭圆。
椭圆的形状可以通过a和b的值来确定，其中a决定了椭圆的纵轴长度，b决定了椭圆的横轴长度。
若a>b，椭圆的长轴与y轴平行；若a<b，椭圆的长轴与 x 轴平行。
椭圆的中心为坐标原点(0,0)。
3. 双曲线当a和b的系数符号不同且不为零时，二次曲线是一个双曲线。
双曲线分为两支，形状与椭圆相似，但各支之间有一条明显的空隙。
双曲线的形状也可以通过a和b的值来确定，其中a决定了双曲线的纵轴长度，b决定了双曲线的横轴长度。
若a>b，双曲线的长轴与y轴平行；若a<b，双曲线的长轴与 x 轴平行。
双曲线的中心为坐标原点(0,0)。
二、二次曲线的性质除了分类外，二次曲线还有许多重要的性质值得了解。
1. 对称性二次曲线具有与x轴、y轴或原点对称的性质。
具体而言，当二次曲线关于x轴对称时，方程中只含有偶次项；当二次曲线关于y轴对称时，方程中只含有x的奇次项；当二次曲线关于原点对称时，方程中只含有奇次项。
2. 焦点和准线对于椭圆和双曲线，它们都有焦点和准线。
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直线与二次曲线黄梅县第五中学 李旭东二次曲线是高中数学中的重点和难点内容，还是高考必考内容，且比重大。
下面是我多年任教二次曲线的一点心得。
直线与二次曲线的题型可分为四个部分解决:一.弦长问题例1.设椭圆6x 2+2y 2=12中有一内接三角形PAB,过O,P 的直线的倾斜角为,0k k BP ,AP ,3BP AP =+π的斜率符合直线 (1)试证过A,B 的直线的斜率是定值; (2)求ΔPAB 面积的最大值.解:).3,1(P ),3,1(P 12y 2x 6x 3y :OP )1(2122--=+=得代入将.3x x y y k :03y 1x 3y 1x ,01x 3y 1x 3y A B AB AB 22112211=--==+++++=--+--相乘得将06b bx 32x 6:,12y 2x 6,b x 3y :AB )2(2222=-++=++=得代入为不妨设 |,b |21d :AB P , b 3416|x x |)3(1|AB |2B A 2=-=-+=∴的距离为到 .6b .3b )b 12(63S 22APB ±=≤-=∴∆此时 例2.,2 B ,A C ),0,3(B )0,3(A 值为两点的距离的差的绝对到动点和已知点- 点C 的轨迹与直线y=x －2交于D ，E 两点，求线段DE 的长。
答案：(1)设点C （x ，y ），则|CA|－|CB|=±2根据双曲线的定义，可知点C 的轨迹是双曲线，依题意，设其方程为：2b ,1a ,32c 2,2a 2,12y a x 22222=====-得由12y x C 22=-∴的轨迹方程是点6x 4x ,2x y 12y x )2(222=-+⎪⎩⎪⎨⎧-==-得由∵△＞0，∴直线与双曲线有两个交点D 、E ， 设D(x 1，y 1)，E （x 2，y 2），则x 1+x 2=﹣4，x 1x 2=﹣6…54x x 4)x x (2)y y ()x x (|DE |21221221221=-+=-+-=∴二.对称问题例3.在以O 为原点的直角坐标系中，点A(4,-3)为ΔOAB 的直角顶点.已知|AB|=2|OA|,且点B 的坐标大于零。
; )1(的坐标求向量(2)求圆x 2-6x+y 2+2y=0关于直线OB 对称的圆的方程；(3)是否存在实数a, 使抛物线y=ax 2-1上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在， 说明理由；若存在，求a 的取值范围。
答案：10)3y (1)-(x (2) }8,6{AB )1(22=-+=则对称的两点为抛物线上关于直线设,OB )y ,x (Q ),y ,x (P )3(2211⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+-+2212121212121a 2a 25x x a 2x x 2x x y y 02y y 22x x 得的两个相异实根为方程即0a 2a25x a 2x x ,x 2221=-++故存在得于是,23a ,0a 2a 254a 422>>--=∆例4.给定椭圆C:x 2+4y 2= 4.(1)若A,B 是曲线C 上关于坐标轴不对称的任意相异两点,求这两点的对称轴L 在x 轴上的截距t 的取值范围;(2)对于(1)中的t 的取值范围内的t o ,过点M (t o ,0)作直线L,设L 是曲线C 上关于坐标轴不对称的两点A,B 的对称轴,求直线L 的斜率k 的取值范围. 解:)2x x x (y y x x 2y y y :L ),y ,x (B ),y ,x (A )1(211212212211+----=+-的方程为则设23t 23),4,4()x x (83 t ,0y 21<<--∈+==故得令).t 3k,t 34P(AB 0),(k )t x (k y :L )2(o o o 的中点为的方程为设直线≠-=)0 t ( 0k ,R k t t 49k ,4)t 3k(4)t 34(o 2o2o 22o 2o =≠∈-<<+且或即则 .23|t |,0(k |t |t 49k |t |t 49, 0t ;0k ,R k ,0t o o 2o o 2o o o <≠-<<--≠≠∈=∴时当且时当三.成比例线段例5.E L )0,1(C ,32e ,x ,O E 与椭圆的直线过点其离心率轴上焦点在中心在原点椭圆-= 相交于A 、B 两点，且C 分有向线段AB 的比为2. （Ⅰ）用直线l 的斜率k (k ≠0)表示△OAB 的面积; （Ⅱ）当△OAB 的面积最大时，求椭圆E 的方程.答案：（Ⅰ）设椭圆E 的方程为1by a x 2222=+(a ＞b ＞0)，由e =32a c =∴a 2=3b 2 故椭圆方程x 2+3y 2=3b 2 1分设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),由于点C （－1，0）分有向线段AB 的比为2，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+0321322121y y x x 即⎩⎨⎧-=+-=+21212)1(21y y x x 由⎩⎨⎧+==+)1(33222x k y b y x 消去y 整理并化简得(3k 2+1)x 2+6k 2x +3k 2－3b 2=0 由直线l 与椭圆E 相交于A （x 1,y 1）,B (x 2,y 2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+>-+-=13331360)23)(13(4362222122212224k b k x x k k x x b k k k Δ而S △OAB |1x ||k |23|)1x (k |23|y |23|y y 2|21|y y |212222221+=+==--=-=⑥由①④得:x 2+1=－1322+k ，代入⑥得：S △OAB =)0k (1k 3|k |32≠+（Ⅱ）因S △OAB =23323|k |1|k |331k 3|k |32=≤+=+,当且仅当,33k ±=S △OAB 取得最大值 此时x 1+x 2=－1,又∵3x 2x 21+=－1 ∴x 1=1,x 2=－2 将x 1,x 2及k 2=31代入⑤得3b 2=5∴椭圆方程x 2+3y 2=5例6..c ,|x 3c3|y )c x (:M 22为正常数其中的点所组成是由方程已知曲线+=++ (1)判断曲线的形状, 简单说明理由 ；,21x ,R ,Q ,P M )c x (322y )2(R -=+=且它们的中点为于不同两点交若直线 求曲线M 的方程;于交直线于的直线交过点中所求的曲线对于29x ,C ,B M )0,2(A ,M )2()3(-=-.0:,, D ,A ,D 2121=λ+λλλ求证所成的比分别为分点点 解:,0y M ,3c ,3c|c9x |y )c x (:)1(22===+++为直线时当原方程可化为 当c>3时,为双曲线;当0<c<3时,为椭圆.18y 9x :M )2(22=+方程为此时曲线(3)略.四.与向量有关例7.设x 、y ∈R ， i 、j 为直角坐标平面内x 、y 轴正方向上的单位向量，若向量 a =xi+(y+2)j,b=xi+ (y-2)j,｜a ｜+｜b ｜=8.(1)求点M(x,y)的轨迹C 的方程； (2)过点(0，3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设,OB OA OP +=是否存在 这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形?若存在，求出直线l 的方程； 若不存在，试说明理由.答案：(1)解法一：∵a =xi+(y+2)j, b =xi+(y-2) j ，且｜a ｜+｜b ｜=8，∴点M(x,y)到两个定点 F1(0，-2)，F2(0，2)的距离之和为8.116y 12x :,F F C 2221=+∴方程为为焦点的椭圆为以轨迹(2)∵l 过y 轴上的点(0，3)，若直线l 是y 轴，则A 、B 两点是椭圆的顶点. ∵=0，∴P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾.∴直线l 的斜率存在， 设l 方程为y=kx+3，A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).k 3421x x ,k 34k 18x x 021kx 18x )k 34(:116y 12x 3kx y 2212212222+-=+-=+∴=-++⎪⎩⎪⎨⎧=++=消去得由此时，Δ=(18k)2-4(4+3k 2)(-21)＞0恒成立， OB OA OP += ∵∴四边形OAPB 是平行四边形.若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA ⊥OB ，即0=⋅ ∵OA=(x 1,y 1)，OB=(x 2,y 2)，x 1x 2+y 1y 2=0 3x 45y :,45k 09)x x (k 3x x )k 1(21212+±=±==++++故存在直线为得即例8.椭圆x 2+2y 2=8和点P(4,1),过P 作直线交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2),在AB 上点的轨迹方程式求适合条件取点Q ,AQ PB QB AP :Q ∙-=∙ 解:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧λ+λ+=λ+λ+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=λ-λ-=λ-λ-λ=1y y y 1x x x 11y y 41x x ,),y ,x (Q 21212121则令设 y 1y y ,x 41x x ,222221222221=λ-λ-=λ-λ-得对应式相乘.8)88(11)y 2x y 2x (11y 2x 42222222221212=λ-λ-=⋅λ-λ-+λ-=+∴ 即Q 点轨迹方程是:2x+y=4 (在椭圆内部的部分,不含端点)练习1．已知抛物线C ：ｙ=-0.5x 2+6,点P （2，4），A 、B 在抛物线上，且直线PA 、PB 的 倾斜角互补；（Ⅰ）证明：直线AB（Ⅱ）当直线AB 在ｙ轴上的截距为正数时，求△P AB 的面积S 的最大值及此时 直线AB 的方程.答案：(Ⅰ)易知点P 在抛物线C 上,设PA 的斜率为k ,则直线PA 的方程是ｙ-4=k (x -2))1k (4kx 2x :, 6x 21y 22=+-++-=整理得中代入此时方程应有根x A 及2，由韦达定理得：2x A =-4(k +1)x A =-2(k +1)∴ｙA =k (x A -2)+4=-2k 2-4k +4A (-2(k +1),-2k 2-4k +4)由于PA 与PB 的倾斜角互补，故PB 方程的斜率为-k . 同理可得：B (-2(-k +1),-2k 2+4k +4)k AB =2(Ⅱ)由（Ⅰ）得∴直线AB 的方程为：ｙ=2x +b ,b ＞0，6b x 2x 21:, 6x 21y 22=-+++-=整理得中代入)b 216(52)]6b (24)[21(2|AB |2-=--+=b b )b 216(5b )b 216(5221d AB 21S ⋅⋅-=⋅-⋅==∴3162x y : 9364)3b b b 216( 3+==++-≤此时方程为2．.如图点F (a ，0),(a>0),点P 在y 轴上运动,M 在x 轴上,N 为动点,,=+=⋅且(1)求点N 的轨迹C 的方程；(2)过点F （a ，0）的直线l （不与x 轴垂直)与曲线C 交于A 、B 两点，.20:, KB KA ),0,a (K π<θ<θ-求证的夹角为与设点答案：（1）（方法一),MN P ),y ,x (N 的中点是即设=+1a 2yx 2y ,PF PM ,0),2y,0(P ),0,x (M -=-⋅∴⊥∴=⋅-∴∴y 2=4ax 即为所求.(方法二）设N （x ，y ），M （x 0，0），P （0，y 0） 则).y y ,x (),y ,a (),y ,x (0000-=-=-=,0)y 2y ,x x (,0PM PN ,0y ax ,0PF PM o 2o o =-+=+=+=⋅得由得由即为所求代入得即,ax 4y :,2y y ,x x ,0y 2y ,0x x 20000=⎪⎩⎪⎨⎧=-=∴⎩⎨⎧=-=+（2）设l 的方程为y =k （x －a ），.0a 4y k a4y x ),a x (k y ,ax 4y 222=--⎩⎨⎧-==得：消去由设A (x 1，y 1),B (x 2，y 2),则y 1y 2=－4a 2，21212211y y )a x )(a x (KB KA ),y ,a x (KB ),y ,a x (KA +++=⋅+=+= 222221222212122121a 4a )a 4ya 4y (a )a 4(y y y y a )x x (a x x -++⋅+=++++=0a 2a 421a 2|)y y |2(41a 2)y y (412222122221=-⨯=->-+=.20,0cos π<θ<∴>=θ∴3．如图，A 、B 为两个定点，且 | AB | =23，动点M 到A 的距离为4，线段MB 的垂直平分线L 交MA 于点P ，请你建立适当的直角坐标系. （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设直线x-y+1=0与曲线C 交于E 、F 两点，O 为坐标原点，试求△OEF 的面积.答案：（1）以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系；则A （-3，0），B （3，0），∵| AP | + | PB | = | PA | + | PM | =4＞23， ∴P 点的轨迹为以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆（4分） ∴2a=4，2c=23，∴a=2，c=3，b=1，∴P 点的轨迹方程为4x 2+y 2=1.（6分）（2）设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2） 04y 4)1y (1y 4x 01y x 2222=-+-⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-得由即5y 2-2y-3=0.解得y 1=-53，y 2=1，设直线x-y+1=0与x 轴的交点为P （-1，0）∴S △OEF =S △OPE +S △OPF =21| OP | | y 1 | +21| OP | · | y 2 |=21| OP | ·（| y 1 | + | y 2 |）=21×1×5458=. 4.已知曲线C 的方程为：)R k (1k y )k 4(kx 22∈+=-+（Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围；（Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程； （Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x-1对称， 若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。