112弧制
高中数学第一章基本初等函数II11任意角的概念与弧度制112弧度制和弧度制与角度制的换算示范教案新人教B版必
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算示范教案整体设计教学分析在物理学和日常生活中，一个量常常需要用不同的方法进行度量，不同的度量方法可以满足我们不同的需要．现实生活中有许多计量单位，如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制，度量角的大小可以用度为单位进行度量，并且一度的角等于周角的1360，记作1°.通过类比引出弧度制，给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式，并得出角度和弧度的换算方法．在此基础上，通过具体的例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性．这样可以自然地引入弧度制，并让学生在探究过程中，更好地形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应，为学习任意角的三角函数奠定基础．通过探究讨论，关键弄清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的．通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性．通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式，使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但却是互相联系、辩证统一的．进一步加强对辩证统一思想的理解，渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点．有条件的学校可进行计算机练习，学习电子表格和Scilab中的公式计算功能．以后学生可使用这一功能检查自己的计算结果 .三维目标1．通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制．通过弧度制的学习，培养学生理性思维的良好习惯．2．通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度，总结引入弧度制的好处，学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣．重点难点教学重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算．教学难点：弧度的概念及其与角度的关系．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？度量角的大小除了以度为单位度量外，还可采用哪种度量角的单位制？它们是怎样换算的？思路2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷，或者利用普遍使用的钟表．在初中，已学过利用角度来度量角的大小，现在来学习角的另一种度量方法——弧度制．推进新课新知探究提出问题在初中几何里，我们学习过角的度量，1°的角是怎样定义的呢？我们从度量长度和重量上知道，不同的单位制能给我们解决问题带来方便，那么角的度量是否也能用不同单位制呢？活动：教师先让学生思考或讨论问题，并让学生回忆初中有关角度的知识，提出这是认识弧度制的关键，为更好地理解角度弧度的关系奠定基础．讨论后教师提问学生，并对回答好的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键．教师板书弧度制的定义：规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作1 rad.如图1中，的长等于半径r ，AB 所对的圆心角∠AOB 就是1弧度的角，即lr＝1.图1讨论结果：(1)1°的角可以理解为将圆周角分成360等份，每一等份的弧所对的圆心角就是1°.它是一个定值，与所取圆的半径大小无关．(2)能，用弧度制． 提出问题作半径不等的甲、乙两圆，在每个圆上作出等于其半径的弧长，连结圆心与弧的两个端点，得到两个角，将乙图移到甲图上，两个角有什么样的关系？如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ，那么α的弧度数是多少？既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们之间如何换算？活动：教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系，使学生明确：第一，弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；第二，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小，而1°的角是周角的1360；第三，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值．教师要强调，为了让学生习惯使用弧度制，本教科书在后续的内容中尽量采用弧度制．讨论结果：(1)完全重合，因为都是1弧度的角．(2)α＝l r ；将角度化为弧度：360°＝2π rad ，1°＝π180 rad≈0.017 45 rad；将弧度化为角度：2π rad ＝360°，1 rad ＝(180π)°≈57.30°＝57°18′.弧度制与角度制的换算公式：设一个角的弧度数为α rad ＝(180απ)°，n°＝n π180(rad)．在引入弧度制后，可以引导学生建立弧与圆心角的联系——弧的度数等于圆心角的度数．随着角的概念的推广，圆心角和弧的概念也随之推广：从“形”上说，圆心角有正角、零角、负角，相应地，弧也就有正弧、零弧、负弧；从“数”上讲，圆心角与弧的度数有正数、0、负数．圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”，每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心角对应着不同的弧，反之亦然．提出问题(1)引入弧度之后，在平面直角坐标系中，终边相同的角应该怎么用弧度来表示？扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？(2)填写下列的表格，找出某种规律．的长(3)你能写出把角度值n换算为弧度值的一个算法吗？活动：设置这个表格的意图是让学生对一些特殊角填表，然后概括出一般情况．教师让学生互动起来，讨论并总结出规律，提问学生的总结情况，让学生板书，教师对做正确的学生给予表扬，对没有总结完全的学生进行简单的提示．检查完毕后，教师做个总结．由上表可知，如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数的绝对值是lα.这里，应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题，即角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们一定可以换算．推而广之，同一个数学对象用不同方式表示时，它们之间一定有内在联系，认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一．教师指出，角的概念推广以后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(角度数或弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角和它对应．在理解以上的对应关系时，应该注意角度制是60进位制，遇到35°6′这样的角，应该把它化为10进制的数值35.1°，但是弧度数不存在这个问题，因为弧度数是十进制的实数．这是角度制与弧度制的一个重要区别．值得注意的是：今后在表示与角α终边相同的角时，有弧度制与角度制两种单位制，要根据角α的单位来决定另一项的单位，即两种单位不能混用，绝对不能出现k·360°＋π3或者2kπ＋60°一类的写法．在弧度制中，与角α终边相同的角，连同角α在内，可以写成β＝α＋2kπ(k∈Z)的形式．如图2为角的集合与实数集R之间的一一对应关系．图2讨论结果：(1)与角α终边相同的角，连同角α在内，可以写成β＝α＋2k π(k∈Z )的形式．弧度制下关于扇形的公式为l ＝αR ，S ＝12αR 2，S ＝12lR.(2)的长 (3)把角度值n 换算为弧度值的一个“算法”如下： ①给变量n 和圆周率π的近似值赋值；②如果角度值n 是以“度、分、秒”形式给出，先把n 化为以“度”为单位的10进制表示；③计算π180(把1°换算为弧度值)，得出的结果赋给变量a ；④计算na ，赋值给变量α. α就是这个角的弧度值． 应用示例思路1例 1下列命题中，真命题是( ) A ．一弧度是一度的圆心角所对的弧 B ．一弧度是长度为半径的弧C ．一弧度是一度的弧与一度的角之和D ．一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位 活动：本例目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度制的联系与区别，熟练掌握定义．根据弧度制的定义，对照各项，可知D 为真命题．例 2(1)把112°30′化成弧度(精确到0.001)； (2)把112°30′化成弧度(用π表示)．解：(1)按照上面写出的算法步骤，依次计算： ①n＝112°30′，π＝3.141 6； ②n＝1123060＝112.5；③a＝π180≈0.017 5；④α＝na ＝1.968 75. 因此α≈1.969 rad.(2)112°30′＝(2252)°＝2252×π180＝5π8.例 3将下列用弧度制表示的角化为2k π＋α(k∈Z ，α∈[0,2π))的形式，并指出它们所在的象限：(1)－15π4；(2)32π3；(3)－20；(4)－2 3.活动：本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角，教师给予指导并讨论归纳出一般规律，即终边在x 轴、y 轴上的角的集合分别是：{β|β＝k π，k∈Z }，{β|β＝π2＋k π，k∈Z }．第一、二、三、四象限角的集合分别为：{β|2k π<β<2k π＋π2，k∈Z }，{β|2k π＋π2<β<2k π＋π，k ∈Z }，{β|2k π＋π<β<2k π＋3π2，k∈Z }，{β|2k π＋3π2<β<2k π＋2π，k∈Z }．解：(1)－15π4＝－4π＋π4，是第一象限角．(2)32π3＝10π＋2π3，是第二象限角．(3)－20＝－3×6.28－1.16，是第四象限角．(4)－23≈－3.464，是第二象限角．点评：在这类题中对于含有π的弧度数表示的角，我们先将它化为2k π＋α(k∈Z ，α∈[0,2π))的形式，再根据α角终边所在的位置进行判断，对于不含有π的弧度数表示的角，取π＝3.14，化为k×6.28＋α，k∈Z ，|α|∈[0,6.28)的形式，通过α与π2，π，3π2比较大小，估计出角所在的象限.例 4如图3，(1)扇 形AOB 中，所对的圆心角是60°，半径为50米，求A B 的长l(精确到0.1米)．图3(2)利用弧度制推导扇形面积公式：S ＝12lr ，其中l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径．活动：本例目的是让学生在教师的指导下以扇形为背景，进一步理解弧度制的优越性．可先让学生多做相应的随堂练习，在黑板上当场演练，教师给予批改指导，对易出错的地方特别强调．对学生出现的种种失误，教师不要着急，在学生的练习操作中一一纠正，这对以后学习大有好处．解：(1)如图3，因为60°＝π3，所以l ＝α·r＝π3×50≈1.05×50＝52.5. 答：的长约为52.5米．(2)如图4，因为圆心角为1 rad 的扇形的面积为πr 22π＝12r 2，而弧长为l 的扇形的圆心角的大小为l r rad ，所以它的面积S ＝l r ·r 22＝12lr ，即S ＝12lr.图4例 5已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．活动：这道应用题考查了函数思想．教师提示学生回顾一下用函数法求最值的思路与步骤，函数法求最值所包括的五个基本环节：(1)选取自变量；(2)建立目标函数；(3)指出函数的定义域；(4)求函数的最值；(5)作出相应结论．其中自变量的选取不唯一，建立目标函数结合有关公式进行，函数定义域要根据题意确定，有些函数是结构确定求最值的方法，并确保在定义域内能取到最值．解：设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角为α，面积为S.由已知，2r ＋l ＝a ，即l ＝a －2r.∴S＝12l·r＝12(a －2r)·r＝－r 2＋a 2r ＝－(r －a 4)2＋a 216.∵r>0，l ＝a －2r>0，∴0<r<a 2.∴当r ＝a 4时，S max ＝a216.此时，l ＝a －2·a 4＝a 2，∴α＝lr＝2.故当扇形的圆心角为2 rad 时，扇形的面积取最大值a216.课堂小结由学生总结弧度制的定义，角度与弧度的换算公式与方法．教师强调角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制，它们是互相联系的，辩证统一的；角度与弧度的换算，关键要理解并牢记180°＝π rad 这一关系式，由此可以很方便地进行角度与弧度的换算．作业课本本节练习A 组 3,4；练习B 组 3,4,5.设计感想 本节课的设计思想是：在学生的探究活动中通过类比引入弧度制这个概念并突破这个难点．因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究，不要让开始的探究成为一种摆设．通过探究让学生明确知识依附于问题而存在，方法为解决问题的需要而产生．将弧度制的概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去，由此把学生的思维推到更宽的广度．本节设计的特点是由特殊到一般、由易到难，这符合学生的认知规律；让学生在探究中积累知识，发展能力，对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启迪．但由于学生知识水平的限制，本节不能扩展太多，建议让学有余力的学生继续总结归纳用弧度来计量角的好处并为后续三角函数的学习奠定基础．备课资料一、密位制度量角度量角的单位制，除了角度制、弧度制外，军事上还常用密位制．密位制的单位是“密位”.1密位就是圆的16 000所对的圆心角(或这条弧)的大小．因为360°＝6 000密位，所以1°＝6 000密位360≈16.7密位，1密位＝360°6 000＝0.06°＝3.6′≈216″.密位的写法是在百位上的数与十位上的数之间画一条短线，例如7密位写成0—07，读作“零，零七”，478密位写成4—78，读作“四，七八”．二、备用习题1．一条弦的长度等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是( )A.π3 B.π6C ．1D ．π 2．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增大到原来的2倍，则( ) A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍3．下列表示的为终边相同的角的是( )A ．k π＋π4与2k π＋π4(k∈Z ) B.k π2与k π＋π2(k∈Z )C ．k π－2π3与k π＋π3(k∈Z ) D ．(2k ＋1)π与3k π(k∈Z )4．已知0<θ<2π，7θ角的终边与θ角的终边重合，则θ＝__________.5．已知扇形的周长为6 cm ，面积为2 cm 2，求扇形的中心角的弧度数．6．若α∈(－π2，0)，β∈(0，π2)，求α＋β，α－β的范围，并指出它们各自所在的象限．7．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图5所示)．图58．(1)角α，β的终边关于直线y ＝x 对称，写出α与β的关系式； (2)角α，β的终边关于直线y ＝－x 对称，写出α与β的关系式． 参考答案：1．A 2.B 3.C 4.π3，2π3，π，4π3，5π35．解：设扇形所在圆的半径为R ，扇形的中心角为α，依题意有 αR ＋2R ＝6，且12αR 2＝2，∴R＝1，α＝4或R ＝2，α＝1. ∴α＝4或1.6．解：－π2<α＋β<π2，∴α＋β在第一象限或第四象限，或α＋β的终边在x 轴的非负半轴上．－π<α－β<0，∴α－β在第三象限或第四象限，或α－β的终边在y 轴的非正半轴上． 7．解：(1){θ|2k π－π6<θ<2k π＋5π12，k∈Z }；(2){θ|2k π－3π4<θ<2k π＋3π4，k∈Z }；(3){θ|2k π＋π6<θ<2k π＋π2，k∈Z }∪{θ|2k π＋7π6<θ<2k π＋3π2，k∈Z }＝{θ|n π＋π6<θ<n π＋π2，n∈Z }．8．解：(1)β＝π2－α＋2k π，k∈Z ；(2)β＝3π2－α＋2k π，k∈Z .三、钟表的分针与时针的重合问题弧度制、角度制以及有关弧度的概念，在日常生活中有着广泛的应用，我们平时所见到的时钟上的时针、分针的转动，其实质都反映了角的变化．时间的度量单位时、分、秒分别与角2π(rad)，π30(rad)，π1 800(rad)相对应，只是出于方便的原因，才用时、分、秒．时钟上的数学问题比较丰富，下面我们就时针与分针重合的问题加以研讨．例题 在一般的时钟上，自零时开始到分针与时针再一次重合，分针所转过的角的弧度数是多少(在不考虑角度方向的情况下)?甲生：自零时(此时时针与分针重合，均指向12)开始到分针与时针再一次重合，设时针转过了x 弧度，则分针转过了2π＋x 弧度，而时针走1弧度相当于经过6π h ＝360π min ，分针走1弧度相当于经过30π min ，故有360πx ＝30π(2π＋x)，得x ＝2π11，∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是2π11＋2π＝24π11(rad)． 乙生：设再一次重合时，分针转过弧度数为α，则α＝12(α－2π)(因为再一次重合时，时针比分针少转了一周，且分针的旋转速度是时针的12倍)，得α＝24π11，∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是24π11(rad)．点评：两名同学得出的结果相同，其解答过程都是正确的，只不过解题的角度不同而已．甲同学是从时针与分针所走的时间相等方面列出方程求解，而乙同学则从时针与分针所转过的弧度数入手，当分针与时针再次重合时，分针所转过的弧度数α－2π与时针所转过的弧度数相等，利用弧度数之间的关系列出方程求解．。
高中数学 112弧制和弧制与角制的换算课件 新人教B版必修4
当 r＝5 时，S 最大，此时 l＝10，α＝rl＝2.
[点评] 当扇形周长一定时，扇形的面积有最大 值．其求法是把面积S转化为关于r的二次函数，但要注意r 的取值范围．特别注意一个扇形的弧长必须满足0<l<2πr.
[例 1] (1)将 92°30′化成弧度；(2)将－178π 化成度． [分析] 利用 n°＝n·1π80rad 和 α＝18π0α°进行角度和 弧度的互化． [解析] (1)92°30′＝1825°＝1825×1π80＝3772π；
(2)－71π8＝－178π×18π0°＝－70°.
把α＝1690°写成β＋2kπ(k∈Z，β∈[0,2π))的形式． [解析] 1690°＝18π0×1690＝8π＋2158π.
[例 2] 将下列各角化成 2kπ＋α(0<α<2π，k∈Z)的形 式，并指出角的终边所在的象限．
(1)274π；(2)396π.
[解析] (1)∵247π＝6π＋34π， ∴274π与34π终边相同． 又∵34π是第二象限角，∴247π是第二象限角． (2)396π＝6π＋36π＝6π＋π2，∴369π与π2的终边相同． 又∵π2是象限界角，∴369π也是象限界角，它不属于任 何象限．
1．1.2弧度制和弧度制与角度制的 换算
1．弧度制的概念
我们把弧长等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的
角，用符号rad表示，读作弧度．
用 弧度 作为单位来度量角的制度叫做弧度制．
用度作为单位来度量角的制度叫做角度制．
2．角度与弧度的互化
360°＝ 2π rad,180°＝ π rad，
112弧度制1
周角的 1 为1度的角。 360
这种用1º角作单位来度量角的制度叫做 角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其 他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
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问题：一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值
与半径本身大小有关吗?
提示：初中所学的弧长公式
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad. 合( 360( 1) ) º
扇形面积是 ( 1)R2
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所以它的面积是 S 1 lR 2
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例3. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的
弧长为
，面积为2R2的扇形的
中心角等于
弧度。
解：（1）240º= 4 ，根据l=αR，得 l 4 R
3 （2）根据S=
1
lR=
1αR2，且S=2R2.
3
22
所以 α=4.
完成P9练习5，6
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② 扇形面积公式 S 1 lR 2
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。
证明：设扇形所对的圆心角为nº(αrad)，则
S R2 n 1 R2
360 2
又 αR=l，所以
S 1 lபைடு நூலகம் 2
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证明2：因为圆心角为1 rad的扇形面积是 R2 1 R2 2 2
l
而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 R rad.
则角的弧度数的绝对值是 l
r
的正负由旋转方向确定
正角的弧度数是正数，负角的弧度数是 负数，零角的弧度数是0.
1
l r
112弧制解析
y
{? ? ? 2k? , k ? z}
o
x
y
{? ? ? ? ? 2k? , k ? z}
o
x
2
y
o
x
?? ? ? ????22k?k?, k, k??ZZ??
y
o
x
??????
??
??
?? ?3? ?
22
2k? , k ?
?
Z?
?
第十九页，共39页。
注意(zhù 1y）ì)关：键（(guānj1ià8n0)抓o ?住?
负实数
角的集合
实数集R
第二十三页，共39页。
练习(liànxí)
1．把下列(xiàliè)各2k角? 化? ?成?0 ? ? ? 2?，k ? Ζ ?的形式(xí
16?
（1） 3
；（ 2）? 315? ；（ 3）? 11? ．
7
2.下列角的终边相同的是（ B ）．
A． k? ? ? 与 2k? ? ? ，k ? Ζ
或rad可以 略去不写 。
（2）、把 —3 π 弧度化成度。
5
解： 3 ? rad ? 3 ? 180 ? ? 108 ?
5
5
第十四页，共39页。
（3）、把 -35°化成(huà chénɡ)弧度。
解：
?
－35o ? － 180 rad × 35 ? －
7 ? rad
36
（4）、把 —4 π 弧度(húdù)化成度。
新 课 讲 解二：弧长和面积(miàn jī)公
思考(:s如ī果kǎ(rúo)guǒ)一r个的半圆径的为圆心角 α 所对的弧长是 l,那么 α的弧度数是多少 ?
角α的弧度数的绝对值是 ? = l
1.1.2弧 度 制(1)
1º=
π
180
rad0.01745rad
1rad = ( 1π80) º 57.3º =57º 18′
特殊角的度数与弧度数的对应表:
0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 0 4 3 2 32
由弧度的定义可知：
圆心角AOB的弧度数等于它所对的弧的长与半径
弧度制
弧度制的定义:用弧度做单位来度量
角的制度叫做 弧度制
1.定义：把长度等于半径长的弧所对的圆 心角叫做1弧度的角.用符号rad表示。
正角
2.正角的弧负度角数 负角的弧零度角数
零角的任弧意度角数的集合
正数
负数 正数 0 负数
实数集R 零
角度制与弧度制的换算:
360º = 2π rad, 180º = π rad
1 2
R
2;
(2)S
1lR. 2
l OS
R
小 结 1.圆心角α所对弧长与半径的比是一个
仅与角α大小有关的常数,所以作为度 量角的标准.
2.角度是一个量,弧度数表示弧长与半 径的比,是一个实数,这样在角集合与实 数集之间就建立了一个一一对应关系.
正角
正实数
零角 负角
零 负实数
定
长的比的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ对值。
义
B
的 合 理
B
l=r
1弧度
l=r
1弧度
OO r r A A
的与 一半 个径 比长 值无
性
关
3.任一已知角α的弧度数的绝对值
|α| = —lr
α 其中l为以角 作为圆心角时所对圆弧的
长,r为圆的半径.
4.
l = |α| r (弧长计算公式)
1.1.2弧度制(讲授课)
2
270
3 2
o
角 o o o 135 150 180 度 弧 度
3 4
360
o
5 6
2
常规写法:
① 用弧度数表示角时，常常把弧度数
写成多少 的形式，不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用．
使用弧度制，写出各象限角的集合:
第一象限角的集合:
{ | 2k 2k , k Z } 2 第二象限角的集合: { | 2k 2k , k Z }
π θ 0， 2 π θ -， 2
θ 0，π
θ 0， 2π
小结
（1） 180 弧度；
(2）“角化弧”时, 将n乘以 180 ； “弧化角”时，将α乘以
（3）弧长公式： l
180
1 1 2 扇形面积公式： S lr r 2 2 （其中l为圆心角α所对的弧长,α为圆心 角的弧度数,r为圆半径.)
16 11 （ 1） ；（2） 315 ；（3） ． 3 7
[例2]
例3 利用弧度制证明下列关于扇形公式:
1 l R
1 2 2 S R 2
1 3 S lR 2
其中R是半径，l是弧长，α(0<α<2π)为圆心 角,S是扇形面积.
l 证明:(1)由公式 = r 得l=αR
2π弧度
L=2 π r O r （B) A
360°= 2π 弧度 180°= π 弧度
由180°= 1° = 180
π 弧度 还可得
π —— 弧度 ≈ 0．01745弧度 π
180 1弧度 =（——）°≈ 57．30°= 57°18′
360°=2 rad 180°= rad
弧度制及弧度制与角度制的换算
例2. 把
8 5Leabharlann 化成度。解：1rad=
(
1
8
0
)
8 8 (180) 5 5
288
弧度制及弧度制与角度制的换算
例3. 填写下表：
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120°
弧度 0
6
2
4
3
2
3
角度 135° 150° 180° 210° 225° 240°
弧度制及弧度制与角度制的换算
例5. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的
弧长为
，面积为2R2的扇形的
中心角等于
弧度。
解：（1）240º= 4 ，根据l=αR，得 3
l 4R
3
（2）根据S=
1 2
lR=
1 2
αR2，且S=2R2.
所以 α=4. 弧度制及弧度制与角度制的换算
例6.与角－1825º的终边相同，且绝对值最小 的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
弧度制及弧度制与角度制的换算
3. 弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单 位制，角度制是以“度”为单位来度量角的 单位制；1弧度≠1º；
（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 心角的大小，而1度是圆周 1 的所对的圆心
360 角的大小；
弧度制及弧度制与角度制的换算
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实 数表示，而角度制是六十进制； （4）以弧度和度为单位的角，都是一个与 半径无关的定值。
解：－1825º=－5×360º－25º，
所以与角－1825º的终边相同，且绝对值
最小的角是－25º.
1.1.2弧度制
度量角的制度叫做弧度制。
注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字 或rad可以略去不写。
弧长 比值 半径
B O
B2
B1
L A L1 A1
L2
r r1r2
A2
与半径 大小无关
1、弧度制与角度制的换算
360°=2 rad 180°= rad
1° =
180
rad 0.01745 rad
零角
负角
零
负实数
角的集合
实数集R
利用弧度制证明下列关于扇形的公式： 1 1 2 （） 1 l R；（2）S = R ；（3）S = lR 2 2
例3
11230 ' 112.5 (2)
180
1.969rad
5 11230 ' 112.5 180 8
练习. 填写下表：
角度 弧度 角度 0° 30°
6
5 6
45°
4
60°
3
90°
2
0
120° 2
3
135° 150° 180° 210 ° 225 ° 240 ° × × ×
1.1.2弧度制
在初中几何里，我们学习过角的度量，
1度的角是怎样定义的呢？
1 周角的 为1度的角。 360
这种用1º角作单位来度量角的制度叫做 角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其 他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
弧度制： 定义： 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧 度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来
3 4
弧度
角度
Hale Waihona Puke π弧度270° 300 ° 315 ° 330 ° 360° × × × 3
弧度和角度的换算
π
180
rad ≈ 0.01745rad
o
180 o o 1 rad = ≈ 57.30 = 57 18' π
6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式： 用弧度制表示弧长及扇形面积公式： 弧长 公式 弧长公式： ① 弧长公式： l = r ⋅ α
l 由公式： 由公式：α = ⇒ l = r ⋅ α r
AB A′B′ = =定值， 定值， 定值 r r′
弧长为l，半径 为 ， 设α=nº， AB 弧长为 ，半径OA为r， º
2π r l 2π , = n⋅ 则 l = n⋅ ， 360 r 360 可以看出， 可以看出，等式右端不含
半径，表示弧长与半径的 半径，表示弧长与半径的 比值跟半径无关，只与 的 比值跟半径无关，只与α的 跟半径无关 大小有关。 大小有关。
1.1.2 弧度制和 弧度制与角度制的换算
在初中几何里，我们学习过角的度量， 在初中几何里，我们学习过角的度量， 1度的角是怎样定义的呢？ 度的角是怎样定义的呢？ 度的角是怎样定义的呢
1 度的角。 周角的 为1度的角。 度的角 360
这种用1º 这种用 º角作单位来度量角的制度叫做 单位来度量角的制度叫做 角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其 他学科中常用的度量角的制度——弧度制。 弧度制。 他学科中常用的度量角的制度 弧度制
n 1 2 S =πR ⋅ = R ⋅α 360 2
2
又 αR=l，所以 ，
1 S = lR 2
证明2：因为圆心角为 证明 ：因为圆心角为1 rad的扇形面积是 的扇形面积是
π R2 1 2 = R 2π 2
l 而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 而弧长为 的扇形的圆心角的大小是 R rad.
弧度制_精品文档
提示:弧长公式:由公式|α|= 及 0<α<2π 可得 l=α·R;扇形面积公
1
π
π
式:S=2lR,因为 α=180,l= 180 ,其中
π2
1 π
1
S= 360 = 2 ·180 ·R2=2 R2.
n 表示圆心角的度数,所以
课前篇
自主预习
一
二
三
2.填空
扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R,弧长为l,α为其圆心角,则
α 为度数
扇形的弧长
扇形的面积
αR
l=180°
S=
αR 2
360°
α 为弧度数
l=αR
1
1
2
2
S= lR= R2
课前篇
自主预习
一
二
三
3.做一做
已知扇形的半径r=30,圆心角α= 6 ,则该扇形的弧长等
于
,面积等于
,周长等于
.
π
6
1
2
1
2
解析:弧长 l=rα=30× =5π,面积 S= lr= ×5π×30=75π,周长为
π
45 rad;
课前篇
自主预习
一
二
三
2.角度制与弧度制的换算
(1)角度制与弧度制的换算
(2)一些特殊角与弧度数的对应关系
度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
2 3 5
3
弧
0
π
2π
度
180 6
3
4
2
3
4
112弧度制教程文件
( )
|2 2 3 2
( )
10、第四象限内的角；
|2 3 2 2 2
( )
例 4 试判断下列各角所在的象限.
(1)
5
0
52
是第一象限.角
2.度与弧度的换算关系，由180°＝ rad进行转化，
以后我们一般用弧度为单位度量角.
3.利用弧度制，使得弧长公式和扇形的面积公式得以 简化，这体现了弧度制优点.
5
(2)
11
5
11 2
5
5
11 是第一象限. 角
5
(3) 2000 20 0 0668 4
3
3
3
(4) 1
(5) 4 (6) 8
解题思路
判断一个用弧度制的表角示所在象, 限
一般是将其化成 2 ()的形式,然
后再根据 所在象限予以. 判断
注意: 不能写成(2 1 ) ( )
12 6 4
3 12 2 3 4
角度制与弧度制的互化
例2 填空:
(1)
17
12
17 1800 2550
12
(2) 5 5 180 0 11.250110230
88
(3)
1000100 180
5 9
(4) 6000600
10
180 3
例3 写出满足下列条件的角的集合（用弧度制）：
形所对应的圆心1r角ad为 的几倍,则扇形的面
积即为圆1r心 a的 d角扇 为形的 . 几倍
证 明 :弧长 l的 为 扇形的L圆 ra,所 d 心以 角它 为
弧度和角度的换算
3
,所以
l=α·r= 3×50≈52.5 .
答： »AB 的长约为52.5米.
例5. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的
弧长为
，面积为2R2的扇形的
中心角等于
弧度。
解：（1）240º= 4 ，根据l=αR，得
3
l 4R
3
（2）根据S=
1 2
lR=
12αR2，且S=2R2.
所以 α=4.
所以112º30′≈112.5×0.0175≈1.969rad.
5
(2) 112º30′=112.5× 18=0 8.
例2. 把
8
5
化成度。
解：1rad=
(180)
8 8 (180) 55
288
例3. 填写下表：
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120°
例6.与角－1825º的终边相同，且绝对值最小 的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
解：－1825º=－5×360º－25º， 所以与角－1825º的终边相同，且绝对值
最小的角是－25º. 合 5
36
例7. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于 所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧 度？合多少度？扇形的面积是多少？
弧度 0
6
2
4
3
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
角度 135° 150° 180° 210° 225° 240°
弧度 3
5
4
6
π
角度 270° 300° 315° 330° 360°
弧度 3
2
2π
例4. 扇形AOB中， »AB 所对的圆心角是60º，
112弧度制
5 例
1 利用弧度制证明扇形面 积公式S = L ⋅ R 2 (其中L是扇形的弧长 , R是圆的半径 )
o
R
R
2
分析 :
o
oR
S圆 = π ⋅ R
1 S扇形 = S圆 4
1 2 1 = π ⋅R = π ⋅ R2 4 2 L 解: 因为扇形为整个圆的 2π R , 所以扇形面积为 L S扇形 = ⋅ S园 = L ⋅ π ⋅ R 2 = 1 LR 2πR 2πR 2
π
试判断下列各角所在的 象限 .
Q0 <
π
5
5
<
π
2
∴
π
5
是第一象限角 .
11 π 11 π π ∴ 11 π 是第一象限角 . Q = 2π + 5 5 5 5 2000 π − 3
1 4 −8
2000 4π Q− π = − 668 π + 3 3
4 例
(1 ) (2) (3)
π
试判断下列各角所在的 象限 .
课堂小结 1.用度为单位来度量角的单位制叫做角度制， 1.用度为单位来度量角的单位制叫做角度制，用弧度 用度为单位来度量角的单位制叫做角度制 为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 为单位来度量角的单位制叫做弧度制
2 . 度 3.利用弧度制 利用弧度制， 3.利用弧度制，使得弧长公式和扇形的面积公式得以 与 简化，这体现了弧度制优点. 简化，这体现了弧度制优点. 弧 度 的 换
0
π
例3
写出满足下列条件的角的集合（用弧度制）： 写出满足下列条件的角的集合（用弧度制）：
1、 终边与 轴正半轴重合； 、 终边与X轴正半轴重合 2、 终边与 轴负半轴重合； 、 终边与X轴负半轴重合 轴负半轴重合； 3、 终边与 轴重合； 、 终边与X轴重合 轴重合；
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
1. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的弧长为____
4 πR 3
，面积为2R2的扇形的中心角等
于
4
弧度.
4 4 π 解：（1）240º= ，根据l=αR，得 l πR 3 3
1 （2）根据S= lR = 2
所以 α=4.
1 2 αR ，且S=2R2. 2
2.与角－1825º的终边相同，且绝对值最小的角的度数是
怎样用弧度制表示扇形面积公式：
1 S= lR 2
其中l是扇形弧长，R是圆的半径.
证明：设扇形所对的圆心角为nº(αrad)，则
n 1 2 S=πR = R α 360 2 1 又 αR=l，所以 S= lR. 2
2
例1. (1)把112º30′化成弧度（精确到0.001）; (2)把112º30′化成弧度（用π 表示）.
3、情感目标:
通过对角的新的度量单位——弧度制的认识，培养学生接 受新事物的能力，培养学生对数学的兴趣,体现数学美.
长度可以用米、厘米、英尺、码等不同的单位度量，物体 的重量可以用千克、磅等不同的单位度量.不同的单位制
能给解决问题带来方便，以度为单位度量角的大小是一种
常用方法，为了进一步研究的需要，我们还需建立一个度 量角的单位制.也就是我们这一节要学习的：弧度制和弧 度制与角度制的换算
8π 例2. 把 化成度. 5
8π 8π 180 解： = ( ) 288 5 5 π
例3.使用科学型计算器，把下列度数化为弧度数或把弧度数 化为度数（精确到0.0001）； （1）67o ，168o ， - 86o ； （2）1.2， 5.2.
解：（1） 67 168 -86 SHIFT
1.1.2
112弧度制和弧度制与角度制的转化
1.1.2弧度制和弧度制与角度制的转化一、教学目标：（一）、知识目标1.1.理解理解1弧度的角、弧度制的定义弧度的角、弧度制的定义..2.2.掌握角度与弧度的换算公式掌握角度与弧度的换算公式掌握角度与弧度的换算公式3.3.熟记特殊角的弧度数熟记特殊角的弧度数 （二）能力目标：1.熟练进行角度与弧度的换算熟练进行角度与弧度的换算2.2.能灵活运用弧长公式、扇形面积公式这两个公式解题。
能灵活运用弧长公式、扇形面积公式这两个公式解题。
（三）、情感目标1．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力2．通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的，而不是孤立、割裂的关系．统一的，而不是孤立、割裂的关系．二、教学重点：使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算．使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算． 三、教学难点：运用弧度制解决具体的问题．运用弧度制解决具体的问题． 四、教 具：多媒体、实物投影仪 五、教学过程 教学环节 教 学 内 容 师 生 互 动 设计意图设计意图复习引入复习在上节课中所讲过的角的概念推广，并回顾初中时表示角的大小的度量制是怎样定义。
的度量制是怎样定义。
教师提出问题：教师提出问题：1、正角、负角和0角又是怎样定义的？的？ 2、初中几何中研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，那么1°的角是如何定义的？角是如何定义的？学生回答：1、我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，没做任何旋转时我们也认为形成一个角，叫0角 2、 定周角的3601作为1°的角°的角教师点评：我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制角的制度叫做角度制这种概念的优点是形象、直观，容易理解，弊端是角度与我们研究数学问题时所使用的数的集合“实数”不能吻合。
吻合。
5.1.2弧度制-高一数学同步备课系列(人教A版2019必修第一册)
l
R
O
R
A
注:扇形的面积公式中的角都用弧度数,不能用度数
证明: (2)由于半径为R,圆心角为n的扇形
的弧长公式和面积公式分别为 :
l n R 和S= n R2
如图5.1 11, 在单位圆O中, AB的 长等于1, AOB就是1弧度的角.
根据上述规定, 在半径为r的圆中, 弧长为l的弧所对的圆心角为 rad,
那么
l
r 其中, 的正负由角的终边的旋转方向决定, 即逆时针旋转为正, 顺时针 旋转为负. 当角的终边旋转一周后继续旋转, 就可以得到弧度数大于2 或小于 2的角. 这样就可以得到弧度为任意大小的角．
设 n, OP r, 点P所形成的圆弧PP1的长为l.由初中所学知识可知
l n r , 于是 l n
180
r 180
探究 如图5.1 10, 在射线OA上任取一点Q(不同于点O),OQ r1, 在旋转过程中, 点Q所形成的圆弧QQ1的长为l1 . l1与r1的比值是多少? 你能得出什么结论 ?
π (2)10
rad＝1π0×18π0°＝18°；
(3)－43π rad＝－43π×18π0°＝－240°； (4)112°30′＝112.5°＝112.5×1π80 rad＝58π rad.
解析： (1)－450°＝－450×18π0 rad＝－52π rad；
π (2)10
rad＝1π0×18π0°＝18°；
人教A版2019必修第一册
第 5章 三角函数
5.1.2弧度制
学习目标
1.了解弧度制,明确1弧度的含义. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积 公式.
目 01角度制与弧度制的互化 录 02扇形的弧长与面积问题
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求扇形面积。
解 设扇形的半径为r，弧长为l，
则有l2r2rl , 8,
B
l解Biblioteka lr2, 4.AOr
故扇形的面积为S 1 rl 4(cm2 ). 2
变式：已知扇形的周长为8厘米，求当扇形半径 r为多少时扇形面积的最大值。
课堂检测
1把下列各角从度化弧度：
（1）12°30´
（2）-200°
（3）355°
扇形面积公式：S 1 lr 1 r 2（其中 l为圆心角 所
22
r 对的弧长， 为圆心角的弧度数， 为圆半径．）
谢谢指导！
讨论1:长度为2r的圆弧所对圆心角α的弧度数是多少?
2 r 讨论2:长度为 的圆弧所对圆心角α的弧
度数是多少?角度数是多少？角度与弧度可以
换算吗？
B
l 2r
O
A
2rad
讨论3：如果半径为r的圆的圆心角α（ α 为任意角）所对
的弧长为L，那么角α的弧度数如何计算？你会吗？
B
l
O
A
l
r
想一想：1。为什么角α加绝对值呢？
2。弧长公式你知道吗？初中的学过的 弧长公式记得吗？扇形面积公式会推导吗？
约定:正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零 角的弧度数是0.
角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间就建立起一一对应关系:每个角都对应惟一的一个实 数;反过来每个实数都对应惟一的一个角.
▪ 正角
正实数
▪ 零角 ▪ 负角
把下列各角从弧度化为度
(1)
(2) 5
(3) 2
6
4
3
=30° =225°
=-120°
例2 把下列各角从度化为弧度
（1）252 o
(2) 11o15'
解 (1) 252o 252 rad 7 rad
180
5
(2) 11o15' 11.25o 11.25 rad rad
18= 0
16
练习
把下列各角从度化为弧度
（1） 45o
4
（2）-210o
7
6
(3)150o 5
6
写出一些特殊角对应的角度和弧度
角 度
0 30 45 60 90 120135150180270 360
弧 度
0
6
4
3
2
2 3 5 3 46
3
2 2
例3 已知扇形的周长为8厘米，圆心角为2rad，
2把下列各角从弧度化为度：
（1） 5
12
（2）
8
3
（3）
2
3
3若=-6，则角的终边在第
象限
4已知半径为240mm的圆上，有一段弧的长是500mm，求此弧所对的圆心角的弧度数。
小结
（1）弧度制的概念；
（ 2）“角化弧”时，将
将 乘以 180 ；
乘以
180
；“弧化角”时，
（3）弧长公式：l | | r
0 负实数
注意：用弧度制表示角度的大小时，只要不引起误解， 可以省略单位，例如1rad,2rad,可写成1，2.
例1 把下列各角从弧度化为度 （1） 3 （2）3.5
5
解 (1) 3 rad 3 180 o 108 o
(2)
3.5rad
180 o 3.5
200 .54o
5
5
练习（口答）
1.1.2弧度制
扬 中 市 第 二 高 级 中 学 吴 资 芳
欢迎指导
情景1。有人问我吴老师你的体重是多少？ 我回答甲说160斤，我回答乙说80千克， 请问我回答的是同一个意思吗？
情景2。有人问一个周角有多大？ 甲说：360°；乙说： 2 弧度。 请问甲乙回答的是同一个意思吗？
预习检测：
1：在平面几何中，1°的角是怎样定义的？ 规定周角的 1 为1°的角。
360
这种用度作为单位来度量角度的单位制叫做
角度制。
2：1弧度的角又是怎样定义的呢？
弧度制定义： 如图，把长度等于半径长的圆弧所对的圆心
角叫做1弧度的角，记作1rad，读作1弧度. 用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为
弧度制.
B
lr
1rad
Or A
探究：1弧度的角到底有多大？比
1°大吗？可以转化为度吗？