1.1.2弧度制
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2π弧度
L =2π弧度 r
L=2 π r O r （B) A
360°= 2π 弧度 180°= π 弧度
由180°= 1° = 180
π 弧度 还可得
π —— 弧度 ≈ 0．01745弧度 π
180 1弧度 =（——）°≈ 57．30°= 57°18′
注：（1）用角度制和弧度制度量角，零角
既是0º角，又是0 rad角，同一个非零角的
r
L = －3弧度 即∠AOB=－ r
O
B
r
A
-3弧度
L=3r
L = 2 弧度 若L=2r，则∠AOB= r L = 2π弧度 若L=2 π r，则∠AOB= r
B
2弧度
L=2r O r A
2π弧度
L=2 π r
O
r
A（B)
3、弧度与角度的换算
若L=2 π r，则∠AOB=
此角为周角 即为360°
正角 零角 正实数 零
对应角的 弧度数
负角
负实数
角的集合
实数集R
例4：请用弧度制表示下列角度所在区间。
锐角：{θ|0°＜θ＜90°}
直角： {θ|θ=90°} 钝角： {θ|90°＜θ＜180°} 平角： {θ|θ=180°}
0,
2
2
, 2
例3. 填写下表：
角度 弧度 角度 0° 30°
6
5 6
45°
4
60°
3
90°
2
0
120° 2
3
135° 150° 180° 210° 225° 240°
3 4
弧度
角度
π
弧度
270° 300° 315° 330° 360° 3
2
2π
4、用弧度来度量角，实际上角的集合 与实数集R之间建立一一对应的关系：
2
又 αr=l，所以
1 S lr 2
例6. 在半径为R的圆中，240º的圆心角所对的
弧长为
圆心角等于
，面积为2R2的扇形的
弧度。
4 解：（1）240º = ，根据l=αR，得 3
1 2 1 （2）根据S= lR= αR ，且S=2R2. 2 2
4 l R 3
所以 α=4.
例7.与角－1825º 的终边相同，且绝对值最小 的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 解：－1825º =－5×360º －25º ， 所以与角－1825º 的终边相同，且绝对值 最小的角是－25º .
L2
r r1r2
A2
与半径 大小无关
AB AB =定值， r r
设α=nº， AB 弧长为l，半径OA为r，
n l n 则 l 2 r 2 360 r 360 可以看出，等式右端不含
，
半径，表示弧长与半径的
比值跟半径无关，只与α的
大小有关。
若圆心角∠AOB表示一个负角，且它 所对的弧的长为3r，则∠AOB的弧度 数的绝对值是 L = 3，
度数和弧度数是不同的.
（2）关键抓住 180o
o
（3）弧度制与角度数是不可以混合写
如： k 360
3
×
或2k 60
o
例1. （1) 把112º30′化成弧度(精确到0.001)；
（2）把112º30′化成弧度（用π表示）。
解： （1）112º30′=112.5º，
1
180
1.1.2弧度制
角度制
用“度”作单位来度量角的单位制称 作 “角度制”，规定：圆周角的 1/360的圆心角称作1°角。
角度制的单位有：度、分、秒。
这种用1º角作单位来度量角的制度叫做
角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其
他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
1、弧度角的定义
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角。弧度记作rad。这种以弧度为 B 单位来度量角的制度叫做弧度制。 设弧AB的长为L， L = 1 弧度 若L=r，则∠AOB= O
l 由公式： l r 证明： r
nr 比公式 l 简单. 180
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数） 的绝对值与半径的积.
1 ② 扇形面积公式 S lr 2
其中l是扇形弧长，r是圆的半径。 证明：设扇形所对的圆心角为nº (αrad)，则
n 1 2 S r r 360 2
[0,
2 )
0°到90°的角：{θ|0°≤ θ ＜ 90°}
小于90°角：{θ|θ＜90°}
( ,
2
)
例5：例题讲解
弧长公式和扇形面积公式
l 1、弧长公式： 由 得： l r
r
1 1 2 2、扇形面积公式： S lr r 2 2
① 弧长公式： l r
5 合 36
例8：求图中公路弯道处弧 AB 的长 。 （精确 到 l m） 1m，图中长度单位： 解：60
3
l R 45 3.14 15 47 m 3
答：弯道处 AB的长约47m。
L=r 1弧度 A r
r
2.一般地，我们ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ定：
正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数， 零角的弧度数为零，任一已知角α的弧度数的绝 对值：
︱α︱=
L r
其中L为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。这种用“弧度” 作单位来度量角 的制度叫做弧度制。
弧长 比值 半径
B O
B2
B1
L A L1 A1
0.0175
5 (2) 112º30′=112.5× = . 180 8
所以112º30′≈112.5×0.0175≈1.969rad.
8 例2. 把 化成度。 5
解：1rad= (
180
)
8 8 180 ( ) 5 5
288
注： 1、用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二字通常省略不写，但用 “度”（°）为单位时不能省。 2、用弧度为单位表示角时，通常写 成“多少π”的形式。
L =2π弧度 r
L=2 π r O r （B) A
360°= 2π 弧度 180°= π 弧度
由180°= 1° = 180
π 弧度 还可得
π —— 弧度 ≈ 0．01745弧度 π
180 1弧度 =（——）°≈ 57．30°= 57°18′
注：（1）用角度制和弧度制度量角，零角
既是0º角，又是0 rad角，同一个非零角的
r
L = －3弧度 即∠AOB=－ r
O
B
r
A
-3弧度
L=3r
L = 2 弧度 若L=2r，则∠AOB= r L = 2π弧度 若L=2 π r，则∠AOB= r
B
2弧度
L=2r O r A
2π弧度
L=2 π r
O
r
A（B)
3、弧度与角度的换算
若L=2 π r，则∠AOB=
此角为周角 即为360°
正角 零角 正实数 零
对应角的 弧度数
负角
负实数
角的集合
实数集R
例4：请用弧度制表示下列角度所在区间。
锐角：{θ|0°＜θ＜90°}
直角： {θ|θ=90°} 钝角： {θ|90°＜θ＜180°} 平角： {θ|θ=180°}
0,
2
2
, 2
例3. 填写下表：
角度 弧度 角度 0° 30°
6
5 6
45°
4
60°
3
90°
2
0
120° 2
3
135° 150° 180° 210° 225° 240°
3 4
弧度
角度
π
弧度
270° 300° 315° 330° 360° 3
2
2π
4、用弧度来度量角，实际上角的集合 与实数集R之间建立一一对应的关系：
2
又 αr=l，所以
1 S lr 2
例6. 在半径为R的圆中，240º的圆心角所对的
弧长为
圆心角等于
，面积为2R2的扇形的
弧度。
4 解：（1）240º = ，根据l=αR，得 3
1 2 1 （2）根据S= lR= αR ，且S=2R2. 2 2
4 l R 3
所以 α=4.
例7.与角－1825º 的终边相同，且绝对值最小 的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 解：－1825º =－5×360º －25º ， 所以与角－1825º 的终边相同，且绝对值 最小的角是－25º .
L2
r r1r2
A2
与半径 大小无关
AB AB =定值， r r
设α=nº， AB 弧长为l，半径OA为r，
n l n 则 l 2 r 2 360 r 360 可以看出，等式右端不含
，
半径，表示弧长与半径的
比值跟半径无关，只与α的
大小有关。
若圆心角∠AOB表示一个负角，且它 所对的弧的长为3r，则∠AOB的弧度 数的绝对值是 L = 3，
度数和弧度数是不同的.
（2）关键抓住 180o
o
（3）弧度制与角度数是不可以混合写
如： k 360
3
×
或2k 60
o
例1. （1) 把112º30′化成弧度(精确到0.001)；
（2）把112º30′化成弧度（用π表示）。
解： （1）112º30′=112.5º，
1
180
1.1.2弧度制
角度制
用“度”作单位来度量角的单位制称 作 “角度制”，规定：圆周角的 1/360的圆心角称作1°角。
角度制的单位有：度、分、秒。
这种用1º角作单位来度量角的制度叫做
角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其
他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
1、弧度角的定义
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角。弧度记作rad。这种以弧度为 B 单位来度量角的制度叫做弧度制。 设弧AB的长为L， L = 1 弧度 若L=r，则∠AOB= O
l 由公式： l r 证明： r
nr 比公式 l 简单. 180
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数） 的绝对值与半径的积.
1 ② 扇形面积公式 S lr 2
其中l是扇形弧长，r是圆的半径。 证明：设扇形所对的圆心角为nº (αrad)，则
n 1 2 S r r 360 2
[0,
2 )
0°到90°的角：{θ|0°≤ θ ＜ 90°}
小于90°角：{θ|θ＜90°}
( ,
2
)
例5：例题讲解
弧长公式和扇形面积公式
l 1、弧长公式： 由 得： l r
r
1 1 2 2、扇形面积公式： S lr r 2 2
① 弧长公式： l r
5 合 36
例8：求图中公路弯道处弧 AB 的长 。 （精确 到 l m） 1m，图中长度单位： 解：60
3
l R 45 3.14 15 47 m 3
答：弯道处 AB的长约47m。
L=r 1弧度 A r
r
2.一般地，我们ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ定：
正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数， 零角的弧度数为零，任一已知角α的弧度数的绝 对值：
︱α︱=
L r
其中L为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。这种用“弧度” 作单位来度量角 的制度叫做弧度制。
弧长 比值 半径
B O
B2
B1
L A L1 A1
0.0175
5 (2) 112º30′=112.5× = . 180 8
所以112º30′≈112.5×0.0175≈1.969rad.
8 例2. 把 化成度。 5
解：1rad= (
180
)
8 8 180 ( ) 5 5
288
注： 1、用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二字通常省略不写，但用 “度”（°）为单位时不能省。 2、用弧度为单位表示角时，通常写 成“多少π”的形式。