1.1 拉普拉斯方程与泊松方程
泊松方程与拉普拉斯
泊松方程与拉普拉斯泊松方程与拉普拉斯方程是数学领域中重要的偏微分方程，它们在物理学、工程学、计算机科学等各个领域有着广泛的应用。
本文将介绍泊松方程和拉普拉斯方程的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
泊松方程是一个二阶偏微分方程，通常用于描述电位、温度、流体静压力分布等问题。
其一般形式可以表示为：∆u = f(x,y,z)其中，u是待求函数，∆表示Laplace算子，f(x,y,z)是已知的函数。
泊松方程的求解过程包括确定边界条件、选择适当的解析方法等。
在一些特殊情况下，泊松方程可以通过分离变量、格林函数等方法精确求解。
拉普拉斯方程是泊松方程的特殊情况，即f(x,y,z)=0。
它表示了没有源项的稳定状态下的物理量分布。
例如，在无电荷的情况下，电势的分布可以由拉普拉斯方程描述。
泊松方程和拉普拉斯方程在实际问题中具有重要的应用。
下面将介绍它们在物理学、工程学和计算机科学中的具体应用。
一、物理学应用：1. 电场分布：根据泊松方程，可以求解电荷分布对电场的影响。
例如，在计算静电场、电容器以及电场中带电粒子的运动等问题时，泊松方程能够提供准确的分析结果。
2. 热传导问题：热传导是物体内部以及不同物体之间的热量传递过程。
泊松方程可以描述温度分布的稳定状态，因此可以求解热传导问题。
例如，在石油勘探中，泊松方程可用于分析地下温度场的分布。
二、工程学应用：1. 结构力学：泊松方程可用于模拟材料的弯曲、拉伸、压缩等受力状态。
例如，在工程结构设计中，可以利用泊松方程分析材料的变形和应力分布。
2. 流体力学：泊松方程可以用于模拟流体流动中的压力分布。
例如，在空气动力学中，可以用泊松方程求解空气流动的速度场和压力场。
三、计算机科学应用：1. 图像处理：在数字图像处理中，拉普拉斯算子可以用于图像边缘检测。
通过计算图像中像素灰度值的二阶导数，可以突出显示图像中的边缘结构。
2. 数值计算：泊松方程和拉普拉斯方程是数值计算领域中常用的方程之一。
静电场(5) 泊松方程和拉普拉斯方程
0
Dd S
S
q
微分形式：
E
0
或（E ）
7
介质方程：
D
D 0rE E
在各向同性、均匀、线性的媒质中， 由静电场的基本方程可以得出结论： 静电场是一个有通量源（静止电荷）
而没有旋涡源的矢量场。
8
根据矢量场理论，要确定一个矢量场， 必须同时给顶它的散度和旋度。 所以静电场的基本方程中包含了：
E ()
（在均匀、线性、各向同性的电介质中，为常数。）
2
（电位的泊松方程）
12
2、拉普拉斯方程
对于场中没有电荷分布（=0）的区域内：
2
（电位的泊松方程）
0 2
(电位的拉普拉斯方程)
拉普拉斯方程是泊松方程的特例。
13
2是拉普拉斯算符：二阶微分算符
直角坐标系：
r
1
r2 sin
sin
1
r 2 sin 2
2 2
15
两类问题 可以用泊松方程或拉普拉斯方程解决
1、已知：有限区域内的电荷分布， 求：电位和场强
（场域内电介质是均匀、线性和各向同性。）
求电位：
(x, y, z) 1 (x', y', z') dV '
4 V '
r
求场强：
E
1
r 2 sin
sin
1
r 2 sin 2
2 2
1 r2
r
r 2
r
0
r 2 0
18
r r
r 2 0
r r
一次积分
r2
r
C1
C1 r r 2
拉普拉斯方程与泊松方程
5.1.3 云与大地之间的电缆
带电的云与大地之间存在一个均匀的电场，平行与大 地的电缆相当于一根无穷长导体。在平行于电场的方 向作垂直于电缆的截面，研究该截面上的电势分布。
该问题可以用如下方程加以描述：
选择偏微分方程工具箱求解，注意：求解区域是两区 域之差；区域内选择椭圆型方程。
5.2 三维拉普拉斯方程
fun=legendre(k,z); f=fun(1,:); f0=f(1,51); Ri=2/a^2*(1/(k-1)+1/(k+2)).*ri-2/a/(k-1)*(ri/a).^k; Ro=1/a/(k/2+1)*(a./ro).^(k+1); [R,PH]=meshgrid(Ri,f); ui =ui-GM*f0*R.*PH; [R,PH]=meshgrid(Ro,f); uo=uo-GM*f0*R.*PH; end; [ro,T]=meshgrid(ro,th);Yo=ro.*cos(T);Xo=ro.*sin(T); [ri,T]=meshgrid(ri,th); Yi=ri.*cos(T); Xi=ri.*sin(T); figure(1);contour(Xo,Yo,uo,'b');hold on; axis equal; contour(Xi,Yi,ui,'r'); title('圆盘引力势等势线');
ri=r; ri(find(ri>a))=NaN;
ro=r; ro(find(ro Bqi=0; Bro=0; Bqo=0;
for k=1:2:43
fun10=legendre(k,0); P0=fun10(2);
fun=legendre(k,cos(t));
EM第12讲泊松拉普方程
显然，由于两极板面无限大，故某x面上场在
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12.3 一维泊松方程的解
方向分布均匀，板面上的电荷密度
均为
常数。作一柱形闭合面，其上、下底面积为
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代入上式得:
应用高斯通量定理的解法物理概念清晰，而一维泊松
方程的求解法则更简单。
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小结
静电场的基本方程
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泊松方程与拉普拉斯方程 一维泊松方程的解
2
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12.3 一维泊松方程的解
例12-1 已知导体球的电位为U(设无穷远处的电位为
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0)，球的半径为a，求球外的电位函数。
静电场的基本方程
积分形式：
微分形式： E 0
D
或E
在线性、各向同性媒质中，本构关系为：
静电场是无旋有散场。
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12.2 泊松方程与拉普拉斯方程
解:
令球心为球坐标系原点，在
电位 因此电场具
函数满足拉普拉斯方程，且 有球对称性，电位
泊松方程和拉普拉斯方程
泊松方程和拉普拉斯方程势函数的一种二阶偏微分方程。
广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。
简史1777年，拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点，并且把这些商加在一起，其总和即P点的质量m k除以它们到任意观察点P的距离rk的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在 P点的质点所受总引力的相应分力。
1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。
1813年，S.-D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。
文中要求重视势函数 V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。
静电场的泊松方程和拉普拉斯方程若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：，式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数ε=8.854o×10-12法／米。
在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。
在各分区的公共界面上，V满足边值关系，，式中i，j指分界面两边的不同分区，ζ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。
边界条件和解的唯一性为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。
有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。
边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。
泊松方程和拉普拉斯方程的区别
泊松方程和拉普拉斯方程的区别泊松方程和拉普拉斯方程是数学中的两个重要方程，它们在物理、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
虽然它们都属于偏微分方程，但是它们的性质和应用有很大的不同。
本文将从定义、性质和应用等方面对这两个方程进行比较和分析。
一、定义泊松方程和拉普拉斯方程都是二阶偏微分方程，它们的定义如下：泊松方程：$Delta u=f(x,y,z)$拉普拉斯方程：$Delta u=0$其中，$Delta$表示拉普拉斯算子，$u$表示待求函数，$f(x,y,z)$表示已知的函数。
泊松方程的右侧有一个非零函数，而拉普拉斯方程的右侧为零。
二、性质1.解的存在性和唯一性对于泊松方程，只有在给定边界条件的情况下才有解，并且解是唯一的。
这是由于泊松方程是一个椭圆型方程，其解析性质决定了解的存在性和唯一性。
对于拉普拉斯方程，解的存在性和唯一性则要根据边界条件和区域形状来判断。
在一些特殊的情况下，拉普拉斯方程可能没有解或者有多个解。
2.性质分析泊松方程和拉普拉斯方程的性质有很大的不同。
泊松方程是一个非齐次方程，其右侧有一个非零函数。
这意味着泊松方程的解会受到外部条件的影响，例如在流体力学中，泊松方程描述了流体中的压力分布，其解会受到外部物体的影响。
拉普拉斯方程是一个齐次方程，其右侧为零。
这意味着拉普拉斯方程的解不受外部条件的影响，它只与内部条件有关。
例如在电场中，拉普拉斯方程描述了电势的分布，其解只与内部电荷分布有关。
另外，泊松方程和拉普拉斯方程在解的性质上也有很大的不同。
泊松方程的解是一个调和函数，它具有良好的性质，例如可微性、可积性等。
而拉普拉斯方程的解则不一定是调和函数，其性质则要根据具体情况来判断。
三、应用泊松方程和拉普拉斯方程在物理、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
下面分别介绍它们的应用。
1.泊松方程的应用(1)流体力学中的应用泊松方程可以描述流体中的压力分布，因此在流体力学中有广泛的应用。
例如在空气动力学中，泊松方程可以用来计算飞机翼的气动力。
泊松方程拉普拉斯方程
泊松方程拉普拉斯方程泊松方程拉普拉斯方程返回上一节下一节静电场中，场与源的关系由静电场的基本方程给出。
由于，电位函数的微分方程可由静电场的基本方程导出。
将场位关系代入基本方程可得而称为拉普拉斯算符，上式通常写成（2.3 .18）称为电位的泊松方程，它是一个非齐次二阶微分方程。
在无源区域中，由于，此时电位的方程变为齐次二阶微分方程（2.3. 19）称为拉普拉斯方程。
在直角坐标系中，拉普拉斯算符可以写成：在圆柱坐标系和球坐标系下的算式以及相应的泊松方程和拉普拉斯方程由附录Ⅱ给出。
前已所述，对静电场的求解，如果已知全空间的电荷分布，或电荷分布在有限的区域，且区域形状简单、电荷分布具有较好的对称性，则可用对场源的矢量积分或基本方程直接求电场强度，但求解的范围极为有限。
引入电位函数后，求静电场的问题变为求静电位的问题，也就是在有源区域求解泊松方程，在无源区域求解拉普拉斯方程。
在很多情况下，我们遇到的是有限区域的问题，此时，不仅要知道该区域中的电荷分布，还必须给出静电场在边界上的边界条件。
这种给定边界条件下求解有限区域内场的问题，称为边值问题。
图2.3.3 同轴传输线的电场分布例2.3.4 同轴传输线的内导体半径，外导体内半径。
已知内导体的电位为，外导体接地，如图2.3.3所示。
试求同轴传输线内的电位和电场分布。
解在柱坐标系中，由于同轴传输线的结构具有轴对称性，而电位在内导体表面均匀分布，在外导体表面上为零。
故线内电位和电场也具有轴对称性。
线内电位满足拉普拉斯方程。
边界条件为：当；当。
根据方程可得或积分得代入边界条件当时，，得当时，代入与的关系式得：于是。
泊松方程
泊松方程是在数学中的静电学，机械工程学和理论物理学中常见的偏微分方程。
它以法国数学家，几何学家和物理学家Poisson的名字命名。
泊松首先获得没有重力源的泊松方程△Φ= 0（即拉普拉斯方程）；考虑重力场时，△Φ= f（f为重力场的质量分布）。
后来，它扩展到了电场，磁场和热场分布。
该方程通常用格林函数法求解，但也可以用分离变量法和特征线法求解。
泊松方程为△φ=f
在这里△代表的是拉普拉斯算符(也就是哈密顿算符▽的平方)，而f 和φ 可以是在流形上的实数或复数值的方程。
当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为，
因此泊松方程通常写成
在三维直角坐标系，可以写成
如果没有f，这个方程就会变成拉普拉斯方程△φ=0.
泊松方程可以用格林函数来求解;如何利用格林函数来解泊松方程可以参考screened Poisson equation[1] 。
现在有很多种数值解。
像是松弛法，不断回圈的代数法，就是一个例子。
数学上，泊松方程属于椭圆型方程(不含时线性方程)。
折叠编辑本段静电场的泊松方程
泊松方程是描述静电势函数V与其源(电荷)之间的关系的微分方程。
▽^2V=-ρ/ε
其中，ρ为体电荷密度(ρ=▽·D，D为电位移矢量。
)，ε为介电常
数绝对值εr*εo。
泊松方程和拉普拉斯方程
泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程是数学中非常重要且常用的偏微分方程。
它们在物理学、工程学以及其他科学领域都扮演着重要角色，并且在实际问题的建模和求解中经常被使用。
本文将从基本概念、物理背景和实际应用等多个方面来探讨这两个方程的特性和意义。
首先，我们来了解一下泊松方程和拉普拉斯方程的定义。
泊松方程是一个二阶偏微分方程，通常用来描述在给定区域内的电势或者重力势的分布情况。
它的一般形式可以表示为：∇²Φ = f(x,y,z)其中，∇²是拉普拉斯算子，Φ是待求的函数、f是给定的源项函数。
而拉普拉斯方程则是泊松方程的特殊情况，即当源项函数f等于零时，泊松方程转化为拉普拉斯方程。
泊松方程和拉普拉斯方程之所以如此重要，是因为它们具有一些非常有用的性质。
首先，它们是线性方程，这意味着可以利用线性代数和微积分的方法来求解。
其次，它们是椭圆型偏微分方程，这意味着在一定的边界条件下，问题是唯一可解的。
此外，这两个方程还具有良好的连续性和可微性质，这些特性使得它们在数值计算中具有较好的稳定性和收敛性。
在物理学中，泊松方程和拉普拉斯方程经常用来描述电场、电势、引力场、流体力学等等。
例如，当一个点电荷位于空间中时，其产生的电势满足泊松方程。
而当没有电荷分布时，空间中的电势满足拉普拉斯方程。
同样地，当液体或气体中不存在源项时，流场的速度势满足拉普拉斯方程。
因此，泊松方程和拉普拉斯方程是求解这些物理现象的重要工具。
除了物理学之外，泊松方程和拉普拉斯方程也在其他科学和工程领域中得到了广泛应用。
例如，在图像处理和计算机视觉中，拉普拉斯方程可以用来平滑图像和检测图像边缘。
在声学中，它们可以用来模拟声波传播和反射。
在电力系统中，泊松方程可以用来分析电网的稳定性和负荷分布。
在地理学中，它们可以用来模拟地形的变化和地下水流的分布。
这些仅仅只是应用领域的冰山一角，泊松方程和拉普拉斯方程的应用无处不在。
总之，泊松方程和拉普拉斯方程是数学中非常重要且常用的偏微分方程。
泊松方程和拉普拉斯方程概念分析
泊松方程和拉普拉斯方程概念分析首先，我们来介绍泊松方程。
泊松方程是一个偏微分方程，通常用于描述一个标量场的空间分布和变化。
在三维笛卡尔坐标系下，泊松方程可以写成如下形式：Δφ=f(x,y,z)其中，Δ表示拉普拉斯算子，φ表示待求解的标量场，f(x,y,z)表示已知的源函数。
泊松方程的解φ需要满足两个条件：其一是它在给定的区域内满足方程，即Δφ=f(x,y,z)，其二是它在区域的边界上满足一定的边界条件。
泊松方程具有如下的一些重要性质：1.线性性：泊松方程是一个线性方程，即满足线性叠加原理。
如果φ1和φ2是泊松方程的解，那么它们的线性组合aφ1+bφ2也是泊松方程的解，其中a和b是任意常数。
2.解的存在唯一性：在给定的边界条件下，泊松方程的解存在且唯一3.平均值性质：泊松方程的解在区域中任意一点的值等于该点处的所有邻域点值的平均值。
接下来，我们来介绍拉普拉斯方程。
拉普拉斯方程是一个偏微分方程，通常用于描述一个标量场的稳定状态分布。
在三维笛卡尔坐标系下，拉普拉斯方程可以写成如下形式：Δφ=0其中，Δ表示拉普拉斯算子，φ表示待求解的标量场。
拉普拉斯方程的解φ需要满足边界条件。
拉普拉斯方程具有如下的一些重要性质：1.线性性：拉普拉斯方程也是一个线性方程。
如果φ1和φ2是拉普拉斯方程的解，那么它们的线性组合aφ1+bφ2也是拉普拉斯方程的解，其中a和b是任意常数。
2.解的存在唯一性：在给定的边界条件下，拉普拉斯方程的解存在且唯一3.零平均值性质：拉普拉斯方程的解在区域中任意一点的值等于该点处的所有邻域点值的平均值为零。
泊松方程和拉普拉斯方程在许多领域中有广泛的应用。
在电势场的分析中，泊松方程和拉普拉斯方程可以用于描述场的分布和变化，从而帮助求解电场和电势。
在热传导的研究中，拉普拉斯方程可以用于描述温度场的稳定状态。
此外，在流体力学、应力分析、声学、光学等领域中，泊松方程和拉普拉斯方程也有着重要的应用。
综上所述，泊松方程和拉普拉斯方程是数学分析中的两个重要方程。
1.1 拉普拉斯方程与泊松方程
泊松方程和拉普拉斯方程Poisson's equation and Laplace's equation势函数的一种二阶偏微分方程。
广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。
简史1777年，J.L.拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量mk 除以它们到任意观察点P的距离rk，并且把这些商加在一起，其总和即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在P点的质点所受总引力的相应分力。
1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。
1813年，S.-D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。
文中要求重视势函数 V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。
==静电场的泊松方程和拉普拉斯方程==若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：，式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854×10-12法／米。
在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。
在各分区的公共界面上，V满足边值关系，，式中i，j指分界面两边的不同分区，σ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。
边界条件和解的唯一性为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。
有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。
边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。
除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。
泊松方程和拉普拉斯方程的区别
泊松方程和拉普拉斯方程的区别泊松方程和拉普拉斯方程都是常见的偏微分方程，它们在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
虽然两者都描述了物理现象中的某种量的变化，但它们的本质区别是什么呢？本文将从定义、特点、求解方法等方面来探讨泊松方程和拉普拉斯方程的区别。
一、定义泊松方程和拉普拉斯方程都是二阶偏微分方程，它们的定义如下：泊松方程：$$Delta u=f(x,y,z)$$其中$Delta$为拉普拉斯算子，$u$为未知函数，$f(x,y,z)$为已知函数。
拉普拉斯方程：$$Delta u=0$$其中$Delta$为拉普拉斯算子，$u$为未知函数。
从定义上来看，两者的区别在于$f(x,y,z)$是否为0。
泊松方程描述了一个有源场的变化，而拉普拉斯方程描述的是一个无源场的变化。
二、特点泊松方程和拉普拉斯方程的特点也有所不同。
1. 泊松方程的特点泊松方程的特点在于它描述了一个有源场的变化，即$f(x,y,z)$不为0。
这种场的变化通常是由某种源头引起的，比如电荷、密度、温度等。
因此，泊松方程在物理学中有广泛的应用，如电场、热传导、流体力学等领域。
2. 拉普拉斯方程的特点拉普拉斯方程的特点在于它描述了一个无源场的变化，即$f(x,y,z)$为0。
这种场的变化通常是由场本身的性质引起的，比如电势、重力势、流速势等。
因此，拉普拉斯方程在物理学中也有广泛的应用，如静电场、重力场、流体静力学等领域。
三、求解方法泊松方程和拉普拉斯方程的求解方法也有所不同。
1. 泊松方程的求解方法泊松方程的求解方法通常需要给出边界条件，即在一定的边界上给出$u$的值或导数，以确定唯一的解。
求解泊松方程的方法有很多种，如分离变量法、格林函数法、有限差分法、有限元法等。
其中，分离变量法是最常用的方法之一。
它将$u$表示为一系列分离的函数的乘积形式，然后通过边界条件来确定每个函数的系数。
这种方法适用于具有一定对称性的问题，如圆柱形、球形等几何体。
拉普拉斯方程
在这里需要注意的是，极角θ仅在不包含原点的区域内才是单值的。
拉普拉斯方程与解析函数之间的紧密联系说明拉普拉斯方程的任何解都无穷阶可导（这是解析函数的一个性质），因此可以展开成幂级数形式，至少在不包含奇点的圆域内是如此。这与波动方程的解形成鲜明对照，后者包含任意函数，其中一些的可微分阶数是很小的。
在数理方程中
拉普拉斯方程为：Δu=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中Δ为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ：
其中Δ称为拉普拉斯算子.
拉普拉斯方程的解称为调和函数。
如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即：
拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身，而是φ沿D的边界法向的导数。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。
拉普拉斯方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。
那么相应的解析函数为
在这里需要注意的是，极角θ仅在不包含原点的区域内才是单值的。
拉普拉斯方程与解析函数之间的紧密联系说明拉普拉斯方程的任何解都无穷阶可导（这是解析函数的一个性质），因此可以展开成幂级数形式，至少在不包含奇点的圆域内是如此。这与波动方程的解形成鲜明对照，后者包含任意函数，其中一些的可微分阶数是很小的。
拉普拉斯方程和泊松方程
拉普拉斯方程和泊松方程一、引言拉普拉斯方程和泊松方程是数学物理中常见的偏微分方程，它们在自然科学领域中有着广泛的应用。
本文将详细探讨这两个方程的定义、性质和解法，并给出一些实际应用的例子。
二、拉普拉斯方程2.1 定义拉普拉斯方程是指具有下述形式的二阶线性偏微分方程：Δu=0其中，u是一个函数，Δ是拉普拉斯算子，定义为：Δu=∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2这里的x、y和z是三维空间中的变量。
2.2 性质拉普拉斯方程具有一些重要的性质：1.独立性：拉普拉斯方程不依赖于具体的坐标系选择，它在任何直角坐标系下都成立。
2.线性性：拉普拉斯方程是一个线性的偏微分方程，即它满足叠加原理。
3.唯一解：在一定的边界条件下，拉普拉斯方程的解是唯一的。
2.3 解法对于二维情况，可以使用分离变量法来求解拉普拉斯方程。
设u(x,y)是方程的解，可以将其表示为两个独立变量的乘积形式：u(x,y)=X(x)Y(y)，代入方程得到两个关于X(x)和Y(y)的常微分方程，通过求解这两个方程即可得到u(x,y)的解。
而对于三维情况，解法则更为复杂，需要使用更高级的数学工具和技巧，例如分离变量法、格林函数等。
三、泊松方程3.1 定义泊松方程是指具有下述形式的二阶线性偏微分方程：Δu=f其中，u是一个函数，Δ是拉普拉斯算子，f是已知的函数。
3.2 性质和拉普拉斯方程类似，泊松方程也具有一些重要的性质：1.独立性：泊松方程不依赖于具体的坐标系选择，它在任何直角坐标系下都成立。
2.线性性：泊松方程是一个线性的偏微分方程，即它满足叠加原理。
3.唯一解：在一定的边界条件下，泊松方程的解是唯一的。
3.3 解法对于二维情况，可以通过格林函数法来求解泊松方程。
格林函数是指满足下述条件的函数G(x,y;x0,y0)：ΔG(x,y;x0,y0)=δ(x−x0)δ(y−y0)其中，δ(x)是狄拉克函数。
通过格林函数，可以将泊松方程的解表示为积分形式：u(x,y)=∬G(x,y;x0,y0)f(x0,y0) dx0 dy0而对于三维情况，解法则更为复杂，需要使用更高级的数学工具和技巧。
泊松方程和拉普拉斯方程
直角坐标系：
柱坐标系：
1 1 (r ) 2 2 2 r r r r z 球坐标系：
2 2 2
1 2 1 1 2 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 r r r r sin r sin 2
第二章
2.5
静电场的基本方程: 无旋：
c
2.5 泊松方程和拉普拉斯方程
E dl 0
s
线性、均匀、各向同性 电介质 积 分
有散
本构关系：
2018/11/16
D E 0 r E 0 E P
1
E 0 D
D ds q
第二章
2.5
间无电荷分布，则板间电场强度 均匀;
体电荷，由于体电荷只是 函数， 故电场强度也只是
0 x 而实际上板间充满密度为 d 的
0 x d
x
U0
x
的
d
0
x 的函数。
x
8
应用高斯通量定理求解。
作一柱形闭合面为S，底面积为 S ，下底在 左极板内，上底在 处，侧柱面与 ax 平行。 2018/11/16
q E dS 0 0 S
闭合面上、下底处 x 的电场强度为零， d 侧面的法向与电场 故 q0 d 强度的方向垂直。 0 d x s (0)S 0 Sdx s (d )S 0 0 d U 0 0 0 d 则 s (d ) d 3
0
q E dS 0 S
x x 1 0 a E ( x ) a dS ( 0 ) S Sdx S x x 0 s 0 d
拉普拉斯方程与泊松方程的应用
拉普拉斯方程与泊松方程的应用拉普拉斯方程和泊松方程是数学中常见的偏微分方程，广泛应用于物理学、工程学和其他科学领域。
它们的应用范围十分广泛，涉及电磁场、流体力学、热传导和声学等领域。
一、电势与拉普拉斯方程电势是电磁场理论中一种重要的物理量，描述了电荷之间的相互作用。
根据麦克斯韦方程组，我们可以得到通过电荷分布求解电势的拉普拉斯方程。
具体来说，对于一个空间区域内的电荷分布，在给定边界条件下，拉普拉斯方程可以用来求解这个区域内的电势分布。
这个方程可以写为：∇²V = 0其中，∇²表示拉普拉斯算子，V表示电势。
求解这个方程的方法有很多，常见的包括分离变量法、格林函数法和有限差分法等。
通过求解拉普拉斯方程，我们可以得到电势的分布，从而进一步研究电场、电流和电势能等相关物理量的性质。
这在电磁场分析、电力系统设计和电子器件等领域有着重要的应用。
二、势能与泊松方程势能是描述力学系统中能量分布的一种物理量。
在研究势能的分布时，我们经常会遇到解泊松方程的问题。
泊松方程是拉普拉斯方程的一般形式，可以表示为：∇²φ = -ρ/ε₀其中，φ表示势能分布，ρ表示电荷密度，ε₀表示真空介电常数。
在给定边界条件下，求解泊松方程可以得到势能的分布情况。
泊松方程的应用广泛，如在静电场中，通过求解泊松方程可以计算电势分布，进而求得电场分布。
在流体静力学中，泊松方程也用于求解流体压力分布。
此外，泊松方程还可以应用于热传导、声学、量子力学等领域。
三、应用实例1. 电子器件设计在电子器件设计中，我们常常需要研究电荷分布对电势分布的影响。
通过求解拉普拉斯方程或泊松方程，我们可以得到电势分布情况，从而进一步了解电子器件的工作原理和性能。
2. 地球引力场研究地球引力场研究是地球物理学中的一个重要领域。
通过求解拉普拉斯方程，可以得到地球引力场的势能分布，从而了解地壳的形状和密度等信息。
3. 热传导问题热传导是工程学中一个常见的问题，如热液浅层地下采暖，建筑物的保温等。
拉普拉斯方程与泊松方程
拉普拉斯方程与泊松方程拉普拉斯方程和泊松方程是数学领域中的两个重要概念，它们在物理学、工程学以及其他相关领域中都有着广泛的应用。
这两个方程在某些情况下可以简化问题的求解过程，并帮助我们理解和描述自然界中的各种现象。
首先，让我们回顾一下拉普拉斯方程。
在数学上，拉普拉斯方程是一个具有重要意义的偏微分方程，通常用于描述没有初始条件和边界条件的稳态问题。
它的一般形式可以表示为：∇²u = 0其中，∇²是拉普拉斯算子，u是待求函数。
这个方程告诉我们，在没有外部驱动力的情况下，函数u在空间中的取值不随时间变化，稳定在一个平衡状态。
拉普拉斯方程的解可以帮助我们分析物体内部的电场、温度场以及流体运动等问题。
在电磁学中，拉普拉斯方程可以用来描述电荷分布对电场的影响。
在热传导领域中，拉普拉斯方程可以帮助我们理解热量在物质内部的传递过程。
在流体力学中，拉普拉斯方程可以用来描述流体的速度分布和压力场。
接下来，让我们转向泊松方程。
泊松方程是一个与拉普拉斯方程密切相关的偏微分方程，用来描述有外部驱动力的稳态问题。
它的一般形式可以表示为：∇²u = f其中，f是源项函数，表示外部驱动力。
泊松方程可以看作是拉普拉斯方程的一种推广形式，它考虑了外部因素对问题的影响。
泊松方程的解可以帮助我们计算电场、重力场和流体静力学等问题。
在电磁学中，泊松方程可以用来描述电荷分布产生的电势分布。
在引力场中，泊松方程可以帮助我们理解质量分布对重力场的影响。
在流体力学中，泊松方程可以用来计算流体静力学中的压力分布。
拉普拉斯方程和泊松方程的解可以通过数值方法或解析方法求得。
在一些简单的情况下，可以使用分离变量法、格林函数或者傅里叶变换等数学工具来求解。
在更复杂的情况下，可能需要借助计算机模拟和数值计算的方法来得到近似解。
总的来说，拉普拉斯方程和泊松方程是数学中两个重要的方程，它们在物理学和工程学中有广泛的应用。
这两个方程可以帮助我们描述和解析各种稳态问题，从而加深我们对自然界中各种现象的理解。
泊松方程
泊松方程是偏微分方程，通常在静电学，机械工程和理论物理学的数学中找到。
它以法国数学家，几何学家和物理学家Poisson的名字命名。
泊松，首先，在没有重力源的条件下获得泊松方程，则δΦ= 0（即拉普拉斯方程）；当考虑重力场时，对于重力场分布的质量，ΔΦ= f （f）。
然后将其扩展到电场和磁场以及热场分布。
该方程通常用格林函数法求解，但也可以用变量分离法和特征线法求解。
泊松方程为[2]
拉普拉斯算子在此表示，f和f可以是流形上的实数值或复数值的方程。
当流形在欧几里得空间中，并且拉普拉斯算子通常表示为，因此泊松方程通常写为
在三维笛卡尔坐标中，我们可以这样写
如果常数等于0，则该方程式变为齐次方程式，该方程式称为拉普拉斯方程式。
泊松方程可通过格林函数求解。
如何使用格林函数求解泊松方程可以参考屏蔽泊松方程。
有许多数值解。
像张弛方法一样，周围的代数方法就是一个例子。
数学表达式编辑器
泊松方程通常表示为
这是Laplace运算符，其中f是已知函数，f是未知函数。
当f等于0时，此方程称为拉普拉斯方程。
要了解泊松方程，我们需要更多信息，例如狄利克雷边界条件：
哪里是有界开放集。
在这种情况下，基本函数用于构造泊松方程的解。
拉普拉斯方程的基本功能是：
此处，n是欧式维空间中单位球的体积，可以通过卷积获得解。
为了满足上述边界条件，我们使用格林函数
是一种校正功能，可以满足
通常取决于。
可以给出上述边界条件的解
哪里可以测量phi的表面。
该方程的解也可以通过变分法获得。
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泊松方程和拉普拉斯方程
Poisson's equation and Laplace's equation
势函数的一种二阶偏微分方程。
广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。
简史
1777年，J.L.拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，
每一质点的质量m
k 除以它们到任意观察点P的距离r
k
，并且把这些商加在一起，
其总和即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在P点的质点所受总引力的相应分力。
1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势
函数满足偏微分方程：，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。
1813年，S.-D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，
则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引
力物质的密度。
文中要求重视势函数 V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。
==静电场的泊松方程和拉普拉斯方程==
若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：
，
式中ρ为自由电荷密度，纯数ε
r
为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854×10-12法／米。
在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。
在各分区的公共界面上，V满足边值关系
，
，
式中i，j指分界面两边的不同分区，σ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。
边界条件和解的唯一性
为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。
有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷
，叫做诺埃曼边界条件。
边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。
除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。
各类物理本质完全不同的势场如果具有相似的边界条件，则因拉普拉斯方程解的唯一性，任何一个势场的解，或该势场模型中实验测绘的等热面或流线图，经过对应物理量的换算之后，可以通用于其他的势场。
静磁场的泊松方程和拉普拉斯方程
在SI制中，静磁场满足的方程为
式中j为传导电流密度。
第一式表明静磁场可引入磁矢势r)描述：。
在各向同性、线性、均匀的磁媒质中，传导电流密度j 0的区域里，磁矢势满足的方程为
选用库仑规范，墷•r)=0，则得磁矢势r)满足泊松方程
，
=1.257×10-6亨／米。
在传式中纯数μr 为媒质的相对磁导率，真空磁导率μ
o
导电流密度j=0的区域里，上式简化为拉普拉斯方程
静磁场的泊松方程和拉普拉斯方程是矢量方程，它的三个直角分量满足的方程与静电势满足的方程有相同的形式。
对比静电势的解，可得矢势方程的解。
参考书目
郭硕鸿著:《电动力学》，人民教育出版社，北京，1979。
J.D.杰克逊著，朱培豫译：《经典电动力学》下册，人民教育出版社，北京，1980。
(J.D. Jackson，Classical Electrodynamics，John Wilye & Sons，New York，1976.)
拉普拉斯方程与泊松方程
实际上在很久以前读论文的时候就经常遇到拉普拉斯方程和泊松方程，每次都是不求甚解。
最近在看利用梯度域的方法来处理二维图形问题，又遇到了拉普拉斯方程与泊松方程。
实在不能忍了，就去维基上搜了一下，彻底弄清了这两个方程的神秘面纱。
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------拉普拉斯方程（Laplace's equation），又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。
因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。
求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象（一般统称为“保守场”或“有势场”）的性质。
定义
三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ：
上面的方程常常简写作：
或
其中div表示矢量场的散度（结果是一个标量场），grad表示标量场的梯度（结果是一个矢量场），或者简写作：
其中Δ称为拉普拉斯算子.
拉普拉斯方程的解称为调和函数。
如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即：
则该方程称为泊松方程。
拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。
偏微分算子或Δ（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。
拉普拉斯方程的狄里克雷问题可归结为求解在区域D内定义的函数φ，使得在D的边界上等于某给定的函数。
为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄里克雷问题的解。
拉普拉斯方程的诺依曼型边界条件不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身，而是φ沿D的边界法向的导数。
从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。
拉普拉斯方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。
任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。
这种非常有用的性质称为叠加原理。
可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。
三维拉普拉斯方程
基本解
拉普拉斯方程的基本解满足
其中的三维δ函数代表位于的一个点源。
由基本解的定义，若对u作用拉普拉斯算子，再把结果在包含点源的任意体积内积分，那么
由于坐标轴旋转不改变拉普拉斯方程的形式，所以基本解必然包含在那些仅与到点源距离r相关的解中。
如果我们选取包含点源、半径为a的球形域作为积分域，那么根据高斯散度定理
求得在以点源为中心，半径为r的球面上有
所以
经过类似的推导同样可求得二维形式的解
[编辑]格林函数
格林函数一种不但满足前述基本解的定义，而且在体积域V的边界S上还满足一定的边界条件的基本解。
譬如，可以满足
现设u为在V内满足泊松方程的任意解:
且u在边界S上取值为g，那么我们可以应用格林公式（是高斯散度定理的一个推论），得到
u n和G n分别代表两个函数在边界S上的法向导数。
考虑到u和G满足的条件，可将上式化简为
所以格林函数描述了量f和g对(x',y',z')点函数值的影响。
格林函数在半径为a的球面内的点上得值可以通过镜像法求得（Sommerfeld, 1949）：距球心ρ的源点P的通过球面的“反射镜像”P'距球心
需要注意的是，如果P在球内，那么P'将在球外。
于是可得格林函数为
式中R表示距源点P的距离，R'表示距镜像点P'的距离。
从格林函数上面的表示式可以推出泊松积分公式。
设ρ、θ和φ为源点P的三个球坐标分量。
此处θ按照物理学界的通用标准定义为坐标矢径与竖直轴（z轴）的夹角（与欧洲习惯相同，与美国习惯不同）。
于是球面内拉普拉斯方程的解为：
式中
这个公式的一个显见的结论是：若u是调和函数，那么u在球心处的取值为其在球面上取值的平均。
于是我们可以立即得出以下结论：任意一个调和函数（只要不是常函数）的最大值必然不会在其定义域的内部点取得。