第三章 线性系统的时域分析法-3-2(1)——【南航 自动控制原理】
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第3章线性系统的时域分析法自动控制原理课件
不同而有一簇, 见教材P.87图3-10. h() 1, 下面由
h(t) 1
1
1 2
e nt sin( n
12t )
根据动态性能指标的定义, 推导各项动态性能指标的计
算公式.
(1) 延迟时间 td : 由定义, 令 h(td ) 0.5 , 代入上式
ntd
1
ln
2sin(
1 2 tn d cos1 ) 1 2
(4) 脉冲信号(脉冲函数) 先看下面图型:
r (t )
具有左图形状的信号被称为矩型脉动信号,
R
0
其数学表达式为:
0 t 0
t
r(t)
R
0
0t t
由图可见, 脉动信号 的面积为R. 当脉动
信号的宽度 0
时, 其高度为 , 但
面积乃为R. 把宽度 0时的矩型脉动信号定义为脉
冲信号, 而其面积R称为脉冲信号的脉冲强度.
尼, 0 1叫欠阻尼, 下面主要讨论欠阻尼时的动态
性能,欠阻尼时系统的两个极点为:
s1,2 n j数, d n 1 2 叫阻尼
振荡角频率,两个极点在s平面上的分布如下图所示, 图中
j
n
d n 1 2
cos , sin 1 2 ,
3-1 系统时间响应的性能指标
一﹑典型输入信号
工程上经常碰到的典型输入信号有以下几种:
(1) 阶跃信号(阶跃函数) 其数学表达式和图形为:
0 t 0 r(t) R t 0
r(t) R
0
t
上式中R为常数, 当t=0时, r(0)不定, 且r(0 ) R, r(0) 0
当R=1时, 称为单位阶跃信号, 记为1(t).
第3章 线性系统时域分析法
C(s)
n2
1
n2
1 A1 A2
s 2 2n s n 2 s s(s s1 )(s s2 ) s s s1 s s2
其中A1 2
1
2 1(
2 1)
1
A2 2
2 1(
2 1)
c(t) 1 1 ( 1
e ( 2 1)nt
1
e ) ( 2 1)nt
2 2 1 2 1
二阶系统的最大超调量只与 有关，阻尼比 越小，超调量越
大。
2021/5/6
第三章 线性系统时域分析法
25
自动控制原理
2021/5/6
第三章 线性系统时域分析法
26
c() 1
自动控制原理
2021/5/6
第三章 线性系统时域分析法
7
自动控制原理
3.1.2 稳态指标与动态指标
动态过程又称为过渡过程，是指系统从加入输入信号的瞬时起，到 系统输出量到达稳态值之前的响应过程，它表征系统的稳定性和对 输入信号响应的快速性。稳态过程是指时间趋于无求大时的输出状 态，它表征系统输出量最终复现输入量的准确性。
控制系统中负载的突变；对于随动系统（如火炮方位角控制系
统），相当于加一突变的给定位置信号。
2021/5/6
第三章 线性系统时域分析法
3
自动控制原理
2 斜坡信号
0,
t0
r(t) v0t,
t0
R(s) 1 s2
斜坡信号是一个对时间做均匀变化的信号，可模拟以恒定速度变 化的物理量，例如机械手的等速移动、数控机床加工斜面时的进 给指令、通信卫星跟踪系统的跟踪直线飞行目标等。
1 稳态指标
控制系统在稳态下的精度怎样，是它的一项重要的技术指标，该稳 态指标通常用稳态下系统输出响应的期望值与实际值之间的差来衡 量，称为稳态误差。
自动控制原理-第3章-时域分析法
系统响应达到峰值所需要的时间。
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
自动控制原理课件 第三章线性系统的时域分析法
1 tA T
)
1 T tA e T
1
tB- tA=T
3-3二阶系统分析 1. 数学模型
d 2 c(t ) dc(t ) 2 2 2 c ( t ) n n n r (t ) 2 dt dt
C ( s) n ( s ) 2 2 R( s ) ( s 2n s n
。
ξ>1称过阻尼，由上知，s1 ，s2为两个不等的负实根
ξ=1 称临界阻尼，s1 ，s2为一对相等的负实根-ωn 0<ξ<1 称为欠阻尼，特征根将为一对实数部为负的 共轭复数。 ξ=0称0阻尼，s1 ，s2由上可看出为一对虚实部的特 征根 ξ<0则称负阻，系统将出现正实部的特征根。
1.
过阻尼二阶系统的单位阶跃响应
（2）上升时间 t r 的计算
h(t r ) 1 e ntr 1 2 sin( n 1 2 tr ) 1 sin( n 1 2 t r ) 0
tr d 1 2 n
（3）峰值时间 t p 的计算
( 2) n K
(3)
1 K 2 K
100%, ln( 1/ p ) 1 0.456 )2
p % e
/ 1 2
(ln
2
p
(4)
n Biblioteka t p 1 2 3.53 (rad / s)
(5) K n 12.46
3-2 一阶系统分析 1. 数学模型
图3.3一阶系统典型结构
一阶系统微分方程
dc (t ) T c(t ) r (t ) dt
Φ （s）=C(s)/R(s)=1 / (Ts+1)
自动控制原理-第三章 线性系统的时域分析法(1)
增大，最终趋于常值T，在初始状态下，位置误差和响应曲线的
斜率15均等于0。其原因在稳态误差的计算中说明。
4、单位脉冲响应 [R(s)=1]
C(s) 1 Ts 1
h(t) 1/T
它恰是系统的闭环传函，这
0.368/T
时输出称为脉冲响应函数，以
0.135/T
h(t)标志。
h(t )
C脉冲 (t
B S2
C S
D S1
1 S3
T S2
T2 S
T2 S1
T
T
c(t)
1
t2
Tt
T
2
(1
1
eT
t
)
2
(t 0)
e(t
)
r(t)
c(t)
Tt
T
2
(1
1
eT
t
)
上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。 因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。
微
3、单位斜坡响应 [ r(t) = t ]
C(s)
1 Ts 1
1 s2
1 s2
T s
T2 Ts 1
c(t ) t T Te t /T
(t 0)
c(t)
T
c(t) = t ﹣T + Te﹣t/T
0
T
t
稳态响应是一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间上
滞后了一个时间常数T的斜坡函数。
3)峰值时间tp：指响应超过终值达到第一个峰值所需 要的时间。 4)调节时间ts：指响应达到并保持在终值±5%（或 ±2%）内所需要的时间。
自动控制原理-胡寿松-第三章-线性系统的时域分析法
1.典型输入信号 在控制系统分析和设计中常用的典型输入信号有
单位脉冲函数
时域表达式 (t),t 0
复域表达式
1
单位阶跃函数 单位斜坡函数
单位加速度函数 正弦函数
1(t),t 0
t,t 0
1 t2 , t 0 2
Asint
1 s
1 s2
1 s3
A s2 2
应用时究竟采用哪一种典型输入信号, 取决于系统的 常见工作状态；
动态性能指标（阶跃输入）
振荡——第一次上升到终值所需时间；
上升时间 tr : 非振荡——从终值的10%上升到终值的90%所需的时间；
t 延迟时间 d: 第一次达到其终值一半所需的时间；
峰值时间 t p: 超过其终值后, 到达第一个峰值所需的时间；
调节时间 ts : 到达并保持在终值±5%(或±2%)的误差带内所需的最短时间。
讨论: 系统（闭环）传递函数与脉冲响应函数之间是拉氏变
换的关系，即:
G(s) Lg(t)
g(t) L1 G(s)
1）在初始条件为零的情况下, 一阶系统的闭环传递函数与脉冲响应函数之间, 包含着 相同的动态过程信息。这一特点同样适用于其他各阶线性系统, 因此常以单位脉冲输 入信号作用于系统, 根据被测定系统的单位脉冲响应, 可以求得被测系统的闭环传递 函数。 2）工程上无法得到理想的单位脉冲函数, 常用具有一定脉宽b和有限幅度的矩形脉动 函数来代替。为了得到近似度较高的脉冲响应函数, 要求实际脉动函数的宽度b远小 于系统的时间常数T。一般规定b<0.1T。
impulse(G) 简单介绍一下m文件的用法 Simulink 用法
课前提问
3-3 二阶系统的时域分析（非常重点、难点）
《自动控制原理》第3章线性系统的时域分析法
（3）当 1 时：相等负实根
（4）当 0 时：共轭虚根
(1)过阻尼( 1)
s1,2 n n 2 1
C(s)
n2
1
n2
(S s1)(S s2) S [S n ( 2 1)][S n ( 2 1)]S
A1
A2
A3
S S n ( 2 1) n ( 2 1)
TT
TT
%
t
p
n
K,T
六. 稳定性的基本概念 稳定性系统在扰动消失后，由初始偏差状
态恢复到原平衡态的能力。
若线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程 随时间的推移逐渐衰减并趋于零（原平衡工作 点），则称系统渐近稳定，简称稳定；
若在初始扰动的影响下，系统的动态过程随时 间的推移而发散，则称系统不稳定。
jd d n 1 2 －阻尼振荡频率
W
(s)
C(s) R(s)
S2
n2 2ns
n2
C(s)
W (s)R(s)
S2
n2 2n S
n2
1 S
1
S n
n
S (S n )2 d 2 (S n )2 d 2
稳态分量
暂态分量
C(t) 1 ent[cosdt
1 2
sin dt]
(d n 1 2 )
统参数K,T和α。
c(t)
7.21
R(s)
K s(Ts 1)
C(s) 5
0 3.25 5
已知： %,t p,c()
10
t
T(s)
s
2
2n 2ns
2 n
思路： % c() lim c(t) limsC(s) c()
tp n
（4）当 0 时：共轭虚根
(1)过阻尼( 1)
s1,2 n n 2 1
C(s)
n2
1
n2
(S s1)(S s2) S [S n ( 2 1)][S n ( 2 1)]S
A1
A2
A3
S S n ( 2 1) n ( 2 1)
TT
TT
%
t
p
n
K,T
六. 稳定性的基本概念 稳定性系统在扰动消失后，由初始偏差状
态恢复到原平衡态的能力。
若线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程 随时间的推移逐渐衰减并趋于零（原平衡工作 点），则称系统渐近稳定，简称稳定；
若在初始扰动的影响下，系统的动态过程随时 间的推移而发散，则称系统不稳定。
jd d n 1 2 －阻尼振荡频率
W
(s)
C(s) R(s)
S2
n2 2ns
n2
C(s)
W (s)R(s)
S2
n2 2n S
n2
1 S
1
S n
n
S (S n )2 d 2 (S n )2 d 2
稳态分量
暂态分量
C(t) 1 ent[cosdt
1 2
sin dt]
(d n 1 2 )
统参数K,T和α。
c(t)
7.21
R(s)
K s(Ts 1)
C(s) 5
0 3.25 5
已知： %,t p,c()
10
t
T(s)
s
2
2n 2ns
2 n
思路： % c() lim c(t) limsC(s) c()
tp n
自动控制原理习题答案
第三章 线性系统的时域分析与校正习题及答案3-1 已知系统脉冲响应t e t k 25.10125.0)(-=试求系统闭环传递函数)(s Φ。
解 Φ()()./(.)s L k t s ==+00125125 3-2 设某高阶系统可用下列一阶微分方程T c t c t r t r t ••+=+()()()()τ近似描述，其中，1)(0<-<τT 。
试证系统的动态性能指标为 T T T t d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+=τln 693.0t T r =22. T T T t s ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=)ln(3τ 解 设单位阶跃输入ss R 1)(=当初始条件为0时有：11)()(++=Ts s s R s C τ 11111)(+--=⋅++=∴Ts T s s Ts s s C ττC t h t T Te t T()()/==---1τ 1) 当 t t d = 时h t T Te t td ()./==---051τ12=--T T e t T d τ/ ; Tt T T d-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-τln 2ln ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∴T T T t d τln 2ln2) 求t r （即)(t c 从1.0到9.0所需时间)当 Tt eTT t h /219.0)(---==τ; t T T T 201=--[ln()ln .]τ 当 Tt eTT t h /111.0)(---==τ; t T T T 109=--[ln()ln .]τ 则 t t t T T r =-==21090122ln ... 3) 求 t sTt s s eTT t h /195.0)(---==τ ]ln 3[]20ln [ln ]05.0ln [ln TT T T T T T T T t s τττ-+=+-=--=∴3-3 一阶系统结构图如图3-45所示。
要求系统闭环增益2=ΦK ，调节时间4.0≤s t s ，试确定参数21,K K 的值。
机械控制工程资料第三章线性系统的时域分析法
稳态过程：系统在典型信号作用下，时间t趋于无穷〔较大〕 时，系统的输出状态。研究系统的稳态特性，以确定输出信号 对输入信号跟踪〔伺服、复现〕能力。稳态过程又称稳态响应， 提供稳态误差信息，用稳态性能〔稳态误差〕描述。
6
3 动态性能与稳态性能
R(S) E(S) G(S) C(S) B(S) H(S)
23
c(t)L 1[C (S) ]1T T 1 21 1eT 1 1tT T 1 21 1eT 1 2t
r (t )
c(t) 0
t
24
(2) 临界阻尼 1
c (t )
r (t ) 1
r(t)1(t) , R(s)1
c(t)
S
C (s)(S n2n)2S 1S 1(S nn)2S 1n 0
(s)C R((ss))S22n2nn2
n2
K Tm
n
K Tm
n－自然频率（或无阻尼振荡频率）
2
n
1 Tm
1 2 Tm K
－阻尼比（相对阻尼系数）
二阶系统的闭环特征方程为
S22nSn20
特征方程的两个根（闭环极点） S1,2nn 21
特征根的性质取决于 的大小，下面分四种情况讨论。
21
对上式取拉氏反变换，得
t
c(t) 1e T
t 0
c(t)
1
0.632
t
c(t) 1e T
1 T
63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3%
0
T
2T 3T 4T 5T
图3－3 指数响应曲线
注解：
传递函数的极点产生系
统响应的瞬态分量。这一
个结论不仅适用于一阶线
性定常系统，而且也适用
6
3 动态性能与稳态性能
R(S) E(S) G(S) C(S) B(S) H(S)
23
c(t)L 1[C (S) ]1T T 1 21 1eT 1 1tT T 1 21 1eT 1 2t
r (t )
c(t) 0
t
24
(2) 临界阻尼 1
c (t )
r (t ) 1
r(t)1(t) , R(s)1
c(t)
S
C (s)(S n2n)2S 1S 1(S nn)2S 1n 0
(s)C R((ss))S22n2nn2
n2
K Tm
n
K Tm
n－自然频率（或无阻尼振荡频率）
2
n
1 Tm
1 2 Tm K
－阻尼比（相对阻尼系数）
二阶系统的闭环特征方程为
S22nSn20
特征方程的两个根（闭环极点） S1,2nn 21
特征根的性质取决于 的大小，下面分四种情况讨论。
21
对上式取拉氏反变换，得
t
c(t) 1e T
t 0
c(t)
1
0.632
t
c(t) 1e T
1 T
63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3%
0
T
2T 3T 4T 5T
图3－3 指数响应曲线
注解：
传递函数的极点产生系
统响应的瞬态分量。这一
个结论不仅适用于一阶线
性定常系统，而且也适用
自控原理课件-第三章线性系统的时域分析法
0.1hs
ts
t
tdtr
稳态误差ess ±2%或±5%
ts
t
上升时间tr：振荡——第一次上升到终值所需时间；
非振荡——从终值10%上升到终值90%所需的时间。
延迟时间td： 第一次达到其终值一半所需的时间。
峰值时间tp：超过其终值到达第一个峰值所需的最短时间。
调节时间ts： 到达并保持在终值±2%（± 5%）内所需的最短时
实际中，常用tr, tp ,ts和Mp （σ%）
tr，tp——评价系统的响应速度；
Mp （σ%）——评价系统的阻尼程度；值越小、响应快、性能好
ts——评价速度和阻尼程度的综合指标。
18
2.稳态性能：又称静态性能
稳态误差是稳态性能的一种性能指标。 通常在阶跃函数、斜坡函数、加速度函作用下， 进行测定或计算。（单位阶跃输入下的稳态误差也 称为余差） (将在后面专节讨论。§3-3)
等加速度信号；脉冲信号；正弦信号。
4
1、阶跃函数
表达式：r(t)
A 0
t0 t0
A为常数，A=1的阶跃函数称为单位阶跃函数。
r(t - t0 )：称为延迟t0时刻阶跃函数 拉氏变换： R(s) L[1(t)] 1
s
5
2、斜坡函数（速度函数）
表达式：
r(t
)
At 0
t0 t0
A为常数，A=1的斜坡函数称为单位斜坡函数。
t r(t)
t r(t)
t r(t)
t
10
二、动态过程和稳态过程
对于线性定常系统，输入为：r(t，) 输出为：c(t) 用微分方程描述如下：
dn
d n-1
d
dt n c(t ) a1 dt n-1 c(t ) an-1 dt c(t ) anc(t )
自动控制原理第三章 线性系统的时域分析法-3-1
学
重点分析控制输入信号下输出响应的动态指
标和稳态指标、扰动信号作用下的稳态指标
Automatic Control Principle
Page: 7
自 动
动态过程 又称瞬态过程、过渡过程。在典型输入
控 信号的作用下，系统输出量从初始状态变化到最终
制
原 状态的过程。
理 实际系统总是存在惯性、摩擦等因素 必定存在
Automatic Control Principle
Page: 11
自
动
控
第三章 线性系统的时域分析法
制
原
理
3.1 线性系统的时域性能指标
南
3.2 线性系统的动态性能分析
京
航
3.3 线性系统的稳定性分析
空
航
3.4 线性系统的稳态性能分析
天
大
3.5 线性系统的时域法校正
学
Automatic Control Principle
Page: 1
自
动
控 学习要求 掌握系统时域特性和动态性能分析
Automatic Control Principle
Page: 2
自
动
控
控制系统数学模型的建立，为控Байду номын сангаас系统性能
制 分析和参数设计奠定了基础
原
理
时域分析法基于系统输出对系统输入信号的
时间响应的表达式或响应曲线分析研究系统的
南 京
性能，具有直观、准确的特点。
航
空
航
时域分析法以时域性能指标为依据，以典型
压、负载跃变等
南 (2)可反映特殊性，能表示一些特定现象和产生一
京 航
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T=RC 为时间常数
一阶系统标准形式—等效单位反馈形式
K ?
1 K ?
(s)
C(s) R(s)
1 Ts 1
G(s) 1 G(s)
Ts 1 1
R(s)
1
C(s)
1 T
j
Ts j
单位反
Ts
闭环极 0
开环极 0
馈系统
点分布
点分布
(2)一阶系统的单位阶跃响应 稳态分量 C(s) (s)R(s) 1/ (Ts) 1 1 1 11/ (Ts) s s s 1/ T 瞬态分量
ent
1 2
sin(d t
)
在 ent 的包络线内呈衰减振荡，直至收敛到零
指数衰减系数为 n 衰减振荡频率为 n 1 2
单位阶跃响应的稳态分量为1，稳态误差为零
欠阻尼二阶系统的动态性能指标
上升时间
c() 1, ess 0
T ts
(3)一阶系统的其它输入响应
单位脉冲响应： C(s) 1
Ts 1
c(t)
1
t
e T 1(t)
单位速度响应：
T
C(s)
11 Ts 1 s2
1 s2
T s
T2 Ts 1
t
c(t) (t T Te T )1(t)
单位加速度响应：
C(s) 1 1 1 T T 2 T 2 Ts 1 s3 s3 s2 s Ts 1
c(t)
(1
t2
Tt
T
2
T
e2
t T
)1(t)
2
ess 0
ess T
ess 变化?
ess
一阶系统的稳态性能
输入信号 输出的稳态分量 稳态误差
(t)
0
0
1(t )
1(t )
0
t 1(t)
(t T ) 1(t)
T
1 t2 1(t)
(1 t2 Tt T 2 ) 1(t)
2
2
2. 二阶系统的时域分析
3.2 线性系统的动态性能分析
1. 一阶系统的时域分析
以一阶微分方程描述或传递函数分母中 s 的最高次
项为一次的系统，称为一阶系统
(1)一阶系统的数学模型 RC滤波器的微分方程为
R r(t) i(t) C
RCc(t) c(t) r(t) 传递函数为
c(t) (s) C(s) 1 R(s) Ts 1
) (1 =(1
ent ent
1
(
2
cos d t ( 1
2
n d
sin
d
cosdt
t)) 1(t
sin d
) t))
1(t
)
因为
sin = 1 2 cos =
c(t )=(1
ent
s1in 2
sin(d t
)) 1(t)
c(0) 0 c()=1
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应特点
单位阶跃响应的瞬态分量为
s (s 1 / T1)
(s 1 / T2 )
c(t) (1
1
et /T1
1
et /T2 )1(t)
T2 T1 1
T1 / T2 1
c() 1, c(0) 0
系统响应中的瞬态分量从初始的-1衰减至0
ch((tt ))
1
ts /T1
4.8
1.0
4.6
4.4
误差带5% ( T1T2 )
4.2
4.0
t
c(t) (1 e T )1(t)
c() 1
c’(0)=1/T
c(∞)=1
c(4T)=0.982c(∞) c(3T)=0.95c(∞)
c(2T)=0.865c(∞)
c(T)=0.632c(∞)
一阶系统单位阶跃响应曲线（ T=0.5）
时域性能指标
ts 3T , 5% ts 4T , 2%
s2 1/ T2
=1，T1 T2 1 / n
过阻尼二阶系统单位阶跃响应
,T1 ,T2 0
记
T1
n (
1
2
1)
T2
n (
1
2
1)
T1 T2 0
则
(s)
1
(T1s 1)(T2s 1)
C(s)=(s)R(s) 1 1 / (T2 / T1 1) 1 / (T1 / T2 1)
以二阶微分方程描述或传递函数分母中s的最高次 项为二次的系统
(1)典型二阶系统的数学模型
当二阶系统的m 0 时，系统的时域分析具有代表
性，称为典型二阶系统，其传递函数为
(s) C(s)
2 n
G(s)
R(s)
s2
2
ns
2 n
1 G(s)
ζ：阻尼比， 0
ωn：自然频率(或无阻尼振荡频率)， n 0
等效为单位反馈反馈系统，其开环传递函数为
R (s)
单位反 馈系统
G(s)
n2
s(s 2n )
n2
C(s)
s(s 2n )
2n
开环极 点分布
K ? K ?
j
0
二阶系统的特征方程
s2 2ns n2 0 两个闭环极点为
s1,2 n n 2 1
决定根 的分布
s1,2 n jn 1 2 j
n 为闭环极点到原点的距离 =sainrccotasn( 112 /2）
为阻尼角，是闭环极点与原点连线与实轴的夹角
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
C(s) (s)R(s)
n2
1
(s n )2 d2 s
1 (s n ) n s (s n )2 d2 (s n )2 d2
c(t
临界阻尼二阶系统时域性能指标
n
=5%
3)欠阻尼情况(0 1) 系统闭环极点为一对共轭复极点
s1,2 n jn 1 2 jd 复数形式
s1 n
d n 1 2
为衰减系数 d 为阻尼振荡频率
n
s2
闭环极点的 复指数形式
s12 ne j(180 ) n cos jn sin
二
阶
系
0
1
欠阻尼
统 极
j
点
s1,2 n n 2 1
分 布
s1,2
j
s1,2 n
1
临界阻尼
j
s1,2 jn
1 过阻尼
0 零阻尼
(2)典型二阶系统的单位阶跃响应
按照闭环极点分布( 0)的三种情况分别讨论分析
1)过阻尼情况
闭环极点为两个互异实极点
s1 1/ T1
s1,2 n n 2 1
过阻尼二阶系统动态指标
ts : 4.75T1 4.75n ( 1) 3T1( )
2)临界阻尼情况( =1)
闭环极点为重极点 s1,2 n
(s)
(s
n2 n
)2
临界阻尼二阶系统单位阶跃响应
C(s) (s) 1 s
1 s
(s
n n
)2
1
(s n )
c(t) (1 ntent ent )1(t)
t / T 3.8
s 3.6 1.1
1
3.4
1.2
3.2 3.0
1.3
1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
T1 / T2
0
t
单位阶跃响应曲线
T1 / T2
调节时间与闭环极点关系
随着,阻T1尼比,的T2 增加0 s1 0, s2 ，T1 / T2
一阶系统标准形式—等效单位反馈形式
K ?
1 K ?
(s)
C(s) R(s)
1 Ts 1
G(s) 1 G(s)
Ts 1 1
R(s)
1
C(s)
1 T
j
Ts j
单位反
Ts
闭环极 0
开环极 0
馈系统
点分布
点分布
(2)一阶系统的单位阶跃响应 稳态分量 C(s) (s)R(s) 1/ (Ts) 1 1 1 11/ (Ts) s s s 1/ T 瞬态分量
ent
1 2
sin(d t
)
在 ent 的包络线内呈衰减振荡，直至收敛到零
指数衰减系数为 n 衰减振荡频率为 n 1 2
单位阶跃响应的稳态分量为1，稳态误差为零
欠阻尼二阶系统的动态性能指标
上升时间
c() 1, ess 0
T ts
(3)一阶系统的其它输入响应
单位脉冲响应： C(s) 1
Ts 1
c(t)
1
t
e T 1(t)
单位速度响应：
T
C(s)
11 Ts 1 s2
1 s2
T s
T2 Ts 1
t
c(t) (t T Te T )1(t)
单位加速度响应：
C(s) 1 1 1 T T 2 T 2 Ts 1 s3 s3 s2 s Ts 1
c(t)
(1
t2
Tt
T
2
T
e2
t T
)1(t)
2
ess 0
ess T
ess 变化?
ess
一阶系统的稳态性能
输入信号 输出的稳态分量 稳态误差
(t)
0
0
1(t )
1(t )
0
t 1(t)
(t T ) 1(t)
T
1 t2 1(t)
(1 t2 Tt T 2 ) 1(t)
2
2
2. 二阶系统的时域分析
3.2 线性系统的动态性能分析
1. 一阶系统的时域分析
以一阶微分方程描述或传递函数分母中 s 的最高次
项为一次的系统，称为一阶系统
(1)一阶系统的数学模型 RC滤波器的微分方程为
R r(t) i(t) C
RCc(t) c(t) r(t) 传递函数为
c(t) (s) C(s) 1 R(s) Ts 1
) (1 =(1
ent ent
1
(
2
cos d t ( 1
2
n d
sin
d
cosdt
t)) 1(t
sin d
) t))
1(t
)
因为
sin = 1 2 cos =
c(t )=(1
ent
s1in 2
sin(d t
)) 1(t)
c(0) 0 c()=1
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应特点
单位阶跃响应的瞬态分量为
s (s 1 / T1)
(s 1 / T2 )
c(t) (1
1
et /T1
1
et /T2 )1(t)
T2 T1 1
T1 / T2 1
c() 1, c(0) 0
系统响应中的瞬态分量从初始的-1衰减至0
ch((tt ))
1
ts /T1
4.8
1.0
4.6
4.4
误差带5% ( T1T2 )
4.2
4.0
t
c(t) (1 e T )1(t)
c() 1
c’(0)=1/T
c(∞)=1
c(4T)=0.982c(∞) c(3T)=0.95c(∞)
c(2T)=0.865c(∞)
c(T)=0.632c(∞)
一阶系统单位阶跃响应曲线（ T=0.5）
时域性能指标
ts 3T , 5% ts 4T , 2%
s2 1/ T2
=1，T1 T2 1 / n
过阻尼二阶系统单位阶跃响应
,T1 ,T2 0
记
T1
n (
1
2
1)
T2
n (
1
2
1)
T1 T2 0
则
(s)
1
(T1s 1)(T2s 1)
C(s)=(s)R(s) 1 1 / (T2 / T1 1) 1 / (T1 / T2 1)
以二阶微分方程描述或传递函数分母中s的最高次 项为二次的系统
(1)典型二阶系统的数学模型
当二阶系统的m 0 时，系统的时域分析具有代表
性，称为典型二阶系统，其传递函数为
(s) C(s)
2 n
G(s)
R(s)
s2
2
ns
2 n
1 G(s)
ζ：阻尼比， 0
ωn：自然频率(或无阻尼振荡频率)， n 0
等效为单位反馈反馈系统，其开环传递函数为
R (s)
单位反 馈系统
G(s)
n2
s(s 2n )
n2
C(s)
s(s 2n )
2n
开环极 点分布
K ? K ?
j
0
二阶系统的特征方程
s2 2ns n2 0 两个闭环极点为
s1,2 n n 2 1
决定根 的分布
s1,2 n jn 1 2 j
n 为闭环极点到原点的距离 =sainrccotasn( 112 /2）
为阻尼角，是闭环极点与原点连线与实轴的夹角
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
C(s) (s)R(s)
n2
1
(s n )2 d2 s
1 (s n ) n s (s n )2 d2 (s n )2 d2
c(t
临界阻尼二阶系统时域性能指标
n
=5%
3)欠阻尼情况(0 1) 系统闭环极点为一对共轭复极点
s1,2 n jn 1 2 jd 复数形式
s1 n
d n 1 2
为衰减系数 d 为阻尼振荡频率
n
s2
闭环极点的 复指数形式
s12 ne j(180 ) n cos jn sin
二
阶
系
0
1
欠阻尼
统 极
j
点
s1,2 n n 2 1
分 布
s1,2
j
s1,2 n
1
临界阻尼
j
s1,2 jn
1 过阻尼
0 零阻尼
(2)典型二阶系统的单位阶跃响应
按照闭环极点分布( 0)的三种情况分别讨论分析
1)过阻尼情况
闭环极点为两个互异实极点
s1 1/ T1
s1,2 n n 2 1
过阻尼二阶系统动态指标
ts : 4.75T1 4.75n ( 1) 3T1( )
2)临界阻尼情况( =1)
闭环极点为重极点 s1,2 n
(s)
(s
n2 n
)2
临界阻尼二阶系统单位阶跃响应
C(s) (s) 1 s
1 s
(s
n n
)2
1
(s n )
c(t) (1 ntent ent )1(t)
t / T 3.8
s 3.6 1.1
1
3.4
1.2
3.2 3.0
1.3
1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
T1 / T2
0
t
单位阶跃响应曲线
T1 / T2
调节时间与闭环极点关系
随着,阻T1尼比,的T2 增加0 s1 0, s2 ，T1 / T2