2007年高考“04 三角函数 ”题

2007年高考“三角函数”题

1．(全国Ⅰ) α是第四象限角，12

cos 13

α=

，则sin α= A ．

513 B ．513- C ． 512 D ．512

-

解：是第四象限角，12cos 13α=

，则sin α=5

13

=-，选B 。

函数22cos y x =的一个单调增区间是 A ．(,)44ππ

-

B ．(0,)2π

C ．3(,)44ππ

D ．(,)2

π

π 解：函数22cos y x ==1cos2x +，它的一个单调增区间是(,)2

π

π，选D 。

设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A = （Ⅰ）求B 的大小；

（Ⅱ）若a =，5c =，求b . (10分)

解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1

sin 2

B =

， 由ABC △为锐角三角形得π6

B =

． （Ⅱ）根据余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-272545=+-7=．

所以，b =

2．(全国II) cos330=（ ）

A ．12

B ．12

-

C ．

2

D ．2

-

解： cos330=cos30︒=

，选C 。

函数sin y x =的一个单调增区间是（ ）

A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭

，

B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭

，

C ．3π⎛⎫

π ⎪2⎝⎭

，

D ．32π⎛⎫

π ⎪2⎝⎭

， 解：函数sin y x =的一个单调增区间是3π⎛⎫

π ⎪2⎝⎭

，，选C 。

3．（北京卷）已知cos tan 0θθ<，那么角θ是（ ） Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角

Ｄ．第一或第四象限角

解：∵ cos tan 0θθ<，∴ 当cos θ<0，tan θ>0时，θ∈第三象限；

当cos θ>0，tan θ<0时，θ∈第四象限，选C 。

函数()sin 2cos 2f x x x =-的最小正周期是（ ）

Ａ．π2

Ｂ．π Ｃ．2π Ｄ．4π

解：函数()sin 2cos 2f x x x =-)4

x π

-，它的最小正周期是π，选B 。

2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数

学家

赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小 正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1， 大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ， 那么cos2θ的值等于

．

解：图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，

∴ 每一个直角三角形的面积是6，

设直角三角形的两条直角边长分别为a , b ，则2225

162a b ab ⎧+=⎪

⎨=⎪⎩，∴ 两条直角

边的长

分别为3，4，直角三角形中较小的锐角为θ，cos θ=5

4

，cos2θ=2cos 2θ－1=

725

。

4．（天津卷） 设函数()sin ()3f x x x π⎛

⎫=+∈ ⎪⎝

⎭R ，则()f x （ ）

A ．在区间2736ππ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦，上是增函数

B ．在区间2π⎡

⎤-π-⎢⎥⎣

⎦，上是减函数 C ．在区间34ππ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，上是增函数

D ．在区间536ππ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，上是减函数

解： 由函数sin y x = 的增区间可知：

,,,3

2

3

6

k x k k Z k x k π

π

π

π

ππππ≤+

≤+

∈⇒-

≤≤+

sin 3y x π⎛

⎫∴=+ ⎪⎝

⎭在[,]36k k ππππ-+上是增函数，

当1k =时，其单调增区间为2736ππ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，，故选A.

【解析】由函数图象的变换可知:()sin 3f x x π⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭的图象是将()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪

⎝⎭的图象x 轴下方的对折上去,此时函数的最小正周期变为π,则函数在区间

32k x k πππ≤+

≤π+即36

k x k ππ

π-≤≤π+上为增函数,当1k =时有: 2736

x ππ

≤≤

, 故在区间2736ππ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，上()f x 是增函数.

在ABC △中，已知2AC =，3BC =，4

cos 5

A =-．

（Ⅰ）求sin B 的值；

（Ⅱ）求sin 26B π⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭的值．

本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的

知识，

考查基本运算能力．满分12分．

（Ⅰ）解：在ABC △中，3sin 5A ===，

由正弦定理，sin sin BC AC

A B

=

． 所以232

sin sin 355

AC B A BC =

=⨯=． （Ⅱ）解：因为4

cos 5

A =-，所以角A 为钝角，从而角

B 为锐角，于是