2021年中考数学复习专题讲座五：数学思想方法(一)

2021年中考数学复习专题讲座五：数学思想方法（一）一、中考专题诠释

数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。

抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．

二、解题策略和解法精讲

数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。

三、中考考点精讲

考点一：整体思想

整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,

通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。

整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。

例1 10．（2019•德州）已知，则a+b等于（）A．3 B．C． 2 D． 1

考点：解二元一次方程组。

专题：计算题。

分析：①+②得出4a+4b=12，方程的两边都除以4即可得出答案．解答：解：，

∵①+②得：4a+4b=12，

∴a+b=3．

故选A．

点评：本题考查了解二元一次方程组的应用，关键是检查学生能否运用整体思想求出答案，题目比较典型，是一道比较好的题目．运用整体思想方法解题，要有强烈的整体意识，要认真分析问题的条件或结论的表达形式、内部结构特征，不拘泥于常规，不着眼于问题的各个组成部分，从整体上观察，从整体上分析。运用整体思想方法，往往能起到化繁为简，化难为易的效果。

考点二：转化思想

转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学

问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。

例2 （2019•内江）已知A（1，5），B（3，﹣1）两点，在x轴上取一点M，使AM﹣BM取得最大值时，则M的坐标为．

考点：一次函数综合题；三角形三边关系；关于x轴、y轴对称的点的坐标。

分析：作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′并延长与x轴的交点，即为所求的M点．利用待定系数法求出直线AB′的解析式，然后求出其与x轴交点的坐标，即M点的坐标．

解答：解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′并延长与x轴的交点，即为所求的M点．此时AM﹣BM=AM﹣B′M=AB′．不妨在x轴上任取一个另一点M′，连接M′A、M′B、M′B．

则M′A﹣M′B=M′A﹣M′B′＜AB′（三角形两边之差小于第三边）．∴M′A﹣M′B＜AM﹣BM，即此时AM﹣BM最大．

∵B′是B（3，﹣1）关于x轴的对称点，∴B′（3，1）．

设直线AB′解析式为y=kx+b，把A（1，5）和B′（3，1）代入得：，解得，

∴直线AB′解析式为y=﹣2x+7．

令y=0，解得x=，

∴M点坐标为（，0）．

故答案为：（，0）．

点评：本题可能感觉无从下手，主要原因是平时习惯了线段之和最小的问题，突然碰到线段之差最大的问题感觉一筹莫展．其实两类问题本质上是相通的，前者是通过对称转化为“两点之间线段最短”问题，而后者（本题）是通过对称转化为“三角形两边之差小于第三边”问题．可见学习知识要活学活用，灵活变通．

考点三：分类讨论思想

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．

例3 （2019•黔东南州）我州某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自推出不同的优惠方案．甲家是35人（含35人）以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙家是45人（含45人）以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费．如果你是这个部门的负责人，你应选哪家宾馆更实惠些？

考点：一次函数的应用。

分析：当x≤35时，选择两个，宾馆是一样的；当35＜x≤45时，选择甲宾馆比较便宜，当x＞35时，两个宾馆的收费可以表示成人数x 的函数，比较两个函数值的大小即可．

解答：解：设总人数是x，

当x≤35时，选择两个，宾馆是一样的；

当35＜x≤45时，选择甲宾馆比较便宜；

当x＞45时，甲宾馆的收费是：y甲=35×120+0.9×120×（x﹣35），即y甲=108x+420；

y乙=45×120+0.8×120（x﹣45）=96x+1080，

当y甲=y乙时，108x+420=96x+1080，解得：x=55；

当y甲＞y乙时，即108x+420＞96x+1080，解得：x＞55；

当y甲＜y乙时，即108x+420＜96x+1080，解得：x＜55；

总之，当x≤35或x=55时，选择两个，宾馆是一样的；