理论力学第六章
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1.角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
d 大小 dt 作用线 沿轴线
指向 右手螺旋定则
k
角加速度矢量 d d k k dt dt
2.绕定轴转动刚体上点的速度和加速度
v r 速度
大小 方向
r sin R v
例6-1
§6-2 刚体绕定轴的转动
1.定义
刚体上(或其扩展部分)两点保持不动，则这种运动称为 刚体绕定轴转动，简称刚体的转动。 转轴 ：两点连线 转角： 单位:弧度(rad)
2.运动方程
f t
3.角速度和角加速度
角速度
d 大小 ： d dt dt 方向：逆时针为正
M点相对于转轴上一点M0的矢径
r rM rM0 10,7,11 2,1,3 8,6,8
v r n r 0.6 0.48 0.64 8 j 6k 8 6 8 i j k
例6-5 已知：刚体绕定轴转动，已知转轴通过坐标原点O,角速 π t π t 度矢为 5sin i 5cos j 5 3k 。 2 2 求：t =1s时,刚体上点 M(0，2，3) 的速度矢及加速度矢。 解：
10 3i 15 j 10k d a r v r v dt 15 π 75 3 i 200 j 75k 2
右手定则
dv d r 加速度 a dt dt d dr r dt dt
r v
a t an
at r
M点切向加速度 M点法向加速度
an v ( r )
例6-6 已知：某定轴转动刚体通过点 M (2 ， 1 ， 3) ， 其角速 0 度矢 的方向余弦为 (0.6，0.48，0.64)，角速度的大 小 ω=25rad/s 。 求：刚体上点 M(10，7，11)的速度矢。 解： 角速度矢量
n
其中 n (0.6,0.48,0.64)
2 2
at tan 2 an
§6-4 轮系的传动比
1. 齿轮传动
① 啮合条件
R11 vA vB R22
② 传动比
1 R2 z2 i12 2 R1 z1
２.带轮传动
r11 vA v A vB vB r22
1 r2 i12 dt dt
例6-2
机构如图所示，假定杆 AB 以匀速v运动，开始时 φ = 0。求当 φ= π/4 时，摇杆OC的角速度和角加速度。
例6-2
例6-3
如图所示，曲柄CB以等角速度 ω0 绕轴C转动，其转动方程为 φ=ω0t 。滑块B带动摇杆OA绕轴O转动。设OC = h，CB = r。 求摇杆的转动方程。
第六章 刚体的简单运动
§6-1 刚体的平行移动
1.定义
刚体内任一直线在运动过程中始终平行于初始位置， 这种运动称为平行移动，简称平移。
2.运动方程
rA rB BA
3.速度和加速度分布
因为
d ( BA) 0 dt
drB drA vB vA dt dt
所以
例6-7
如图所示机构中齿轮1紧固在杆AC上，AB = O1O2，齿轮1和半 径为 r2 的齿轮2啮合，齿轮2可绕O2轴转动且和曲柄O2B 没有 联系。设O1A = O2B = l，φ=bsinωt，试确定 t =π/2ω (s)时，轮2 的角速度。
例6-7
例6-3
§6-3 转动刚体内各点的速度和加速度
1.点的运动方程
s R
2.速度
R R vs
3.加速度
dv at s R dt v2 1 2 an R R 2 R
4.速度与加速度分布图
v R
a at an R 2 4
dvB dv A aB aA dt dt
刚体平移→点的运动
例6-1
如图所示曲柄滑杆机构中， 圆弧形滑道半径为 R=100 mm，圆心 O1在导杆 BC 上。曲柄长OA=100 mm，以等角速度 ω=4 rad/s绕轴 O转动。求导杆 BC 的运动规律以及当轴柄与水平线间的交角为 30°时，导杆BC 的速度和加速度。
例6-4
已知搅拌机的主动齿轮O1以 n = 950 r/min 的转速转动。搅杆 ABC用销钉A、B与齿轮O2、O3相连，如图所示。且 AB =O2O3 ， O3A=O2B=0.25 m，各齿轮齿数为 z1 = 20，z2 =z3=50，求搅杆端 点C 的速度。
例6-4
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度
角速度矢量
d 大小 dt 作用线 沿轴线
指向 右手螺旋定则
k
角加速度矢量 d d k k dt dt
2.绕定轴转动刚体上点的速度和加速度
v r 速度
大小 方向
r sin R v
例6-1
§6-2 刚体绕定轴的转动
1.定义
刚体上(或其扩展部分)两点保持不动，则这种运动称为 刚体绕定轴转动，简称刚体的转动。 转轴 ：两点连线 转角： 单位:弧度(rad)
2.运动方程
f t
3.角速度和角加速度
角速度
d 大小 ： d dt dt 方向：逆时针为正
M点相对于转轴上一点M0的矢径
r rM rM0 10,7,11 2,1,3 8,6,8
v r n r 0.6 0.48 0.64 8 j 6k 8 6 8 i j k
例6-5 已知：刚体绕定轴转动，已知转轴通过坐标原点O,角速 π t π t 度矢为 5sin i 5cos j 5 3k 。 2 2 求：t =1s时,刚体上点 M(0，2，3) 的速度矢及加速度矢。 解：
10 3i 15 j 10k d a r v r v dt 15 π 75 3 i 200 j 75k 2
右手定则
dv d r 加速度 a dt dt d dr r dt dt
r v
a t an
at r
M点切向加速度 M点法向加速度
an v ( r )
例6-6 已知：某定轴转动刚体通过点 M (2 ， 1 ， 3) ， 其角速 0 度矢 的方向余弦为 (0.6，0.48，0.64)，角速度的大 小 ω=25rad/s 。 求：刚体上点 M(10，7，11)的速度矢。 解： 角速度矢量
n
其中 n (0.6,0.48,0.64)
2 2
at tan 2 an
§6-4 轮系的传动比
1. 齿轮传动
① 啮合条件
R11 vA vB R22
② 传动比
1 R2 z2 i12 2 R1 z1
２.带轮传动
r11 vA v A vB vB r22
1 r2 i12 dt dt
例6-2
机构如图所示，假定杆 AB 以匀速v运动，开始时 φ = 0。求当 φ= π/4 时，摇杆OC的角速度和角加速度。
例6-2
例6-3
如图所示，曲柄CB以等角速度 ω0 绕轴C转动，其转动方程为 φ=ω0t 。滑块B带动摇杆OA绕轴O转动。设OC = h，CB = r。 求摇杆的转动方程。
第六章 刚体的简单运动
§6-1 刚体的平行移动
1.定义
刚体内任一直线在运动过程中始终平行于初始位置， 这种运动称为平行移动，简称平移。
2.运动方程
rA rB BA
3.速度和加速度分布
因为
d ( BA) 0 dt
drB drA vB vA dt dt
所以
例6-7
如图所示机构中齿轮1紧固在杆AC上，AB = O1O2，齿轮1和半 径为 r2 的齿轮2啮合，齿轮2可绕O2轴转动且和曲柄O2B 没有 联系。设O1A = O2B = l，φ=bsinωt，试确定 t =π/2ω (s)时，轮2 的角速度。
例6-7
例6-3
§6-3 转动刚体内各点的速度和加速度
1.点的运动方程
s R
2.速度
R R vs
3.加速度
dv at s R dt v2 1 2 an R R 2 R
4.速度与加速度分布图
v R
a at an R 2 4
dvB dv A aB aA dt dt
刚体平移→点的运动
例6-1
如图所示曲柄滑杆机构中， 圆弧形滑道半径为 R=100 mm，圆心 O1在导杆 BC 上。曲柄长OA=100 mm，以等角速度 ω=4 rad/s绕轴 O转动。求导杆 BC 的运动规律以及当轴柄与水平线间的交角为 30°时，导杆BC 的速度和加速度。
例6-4
已知搅拌机的主动齿轮O1以 n = 950 r/min 的转速转动。搅杆 ABC用销钉A、B与齿轮O2、O3相连，如图所示。且 AB =O2O3 ， O3A=O2B=0.25 m，各齿轮齿数为 z1 = 20，z2 =z3=50，求搅杆端 点C 的速度。
例6-4
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度