正方形的定义与性质
三年级数学认识正方形与其特征
三年级数学认识正方形与其特征在数学学科中，正方形是一个非常重要的几何形状，它有着独特的特征和属性。
正方形在三年级的数学学习中也是一个重要的内容，通过对正方形的认识和理解，可以帮助学生建立对几何形状的概念，培养他们观察、分析和总结的能力。
本文将从正方形的定义、性质以及应用等方面，详细介绍三年级数学中认识正方形与其特征的内容。
一、正方形的定义正方形是指四条边长度相等、四个内角都是直角的四边形。
正方形有着独特的特征，其中包括以下几个方面：1. 边长相等：正方形的四条边长度都相等，这是正方形的最基本的特征。
2. 内角都是直角：正方形的四个内角都是直角，即每个角的度数是90度。
3. 对角相等：正方形的对角线长度相等，也就是说，连接正方形两个相对顶点的线段长度相等。
二、正方形的性质除了上述的基本特征外，正方形还有一些重要的性质，这些性质在数学运算中也是非常有用的。
1. 面积计算：正方形的面积可以通过边长的平方来计算，即面积=边长×边长，或者记作S=a^2，其中S表示面积，a表示边长。
2. 周长计算：正方形的周长可以通过边长乘以4来计算，即周长=4×边长，或者记作C=4a，其中C表示周长。
3. 对角线长度：正方形的对角线长度可以根据边长来计算，即对角线长度=边长×√2。
三、正方形的应用正方形作为一种常见的几何形状，在我们的生活中有着广泛的应用。
1. 日常生活中：正方形的形状在我们的生活中随处可见，比如蛋糕、瓷砖、书本等等，这些物品的形状多为正方形，对于我们日常生活中的购买、使用等活动都有着直接的影响。
2. 建筑设计：在建筑设计中，正方形常常被用于规划、设计建筑物的基本结构，它能够提供稳定的支撑结构和美观的外观效果。
3. 艺术设计：正方形的简洁和稳定性使得它在艺术设计中也得到广泛的应用，例如画框、拼贴艺术等等。
四、认识正方形的教学方法为了帮助三年级的学生认识正方形，我们可以运用一些有效的教学方法：1. 观察实物：通过让学生观察周围环境中的正方形实物，如书本、纸张等，引导学生发现正方形的特征和性质。
正方形的特征与性质了解正方形的定义特征和性质
正方形的特征与性质了解正方形的定义特征和性质正方形是一种常见的几何形状，具有一些独特的特征和性质。
了解正方形的定义、特征和性质，有助于我们对几何学的理解和应用。
本文将对正方形的特征和性质进行详细阐述。
一、定义正方形是一种特殊的四边形，它的四边相等且四个角均为直角。
也就是说，正方形是一个具有四个相等边长和四个直角的几何形状。
正方形的定义直观简单，我们可以根据这个定义来判断一个图形是否为正方形。
二、特征1. 边长相等：正方形的四条边长度相等，这是正方形最基本的特征。
我们可以用字母a来表示正方形的边长。
当一条边的长度确定时，其余三条边的长度也随之确定。
2. 角度为直角：正方形的四个角均为直角，即每个角都是90度。
这个特征可以直接由正方形的定义得知。
3. 对角线相等且互相垂直：正方形的对角线互相垂直且相等。
设对角线长度为d，则我们可以使用勾股定理来计算边长 a 与对角线长度 d之间的关系： a^2 + a^2 = d^2。
由此可得，该正方形的对角线长度为d = √2a。
三、性质1. 周长公式：正方形的周长可以通过将四条边长相加来求得。
因为正方形的四条边长度相等，所以周长 C = 4a。
2. 面积公式：正方形的面积可以通过边长的平方来计算。
面积 A =a^2。
3. 对角线性质：- 对角线相等：正方形的两条对角线相等，即d = √2a。
- 对角线相交于中点：正方形的两条对角线相交于正方形的中心点。
- 对角线互相垂直：正方形的两条对角线互相垂直，即对角线间的夹角为90度。
4. 判断正方形：- 利用边长：当一个四边形的四条边相等时，且四个角均为直角时，该四边形就是正方形。
- 利用对角线：当一条四边形的两条对角线相等且互相垂直时，该四边形就是正方形。
综上所述，正方形具有边长相等、角度为直角、对角线相等且互相垂直的特征和性质。
掌握了这些特征和性质，我们可以进行正方形相关的几何计算和应用。
对于数学、物理等学科的学习和实际问题的解决，正方形的特征和性质是非常重要的基础知识。
正方形的定义
正方形的定义正方形是一种特殊的四边形，它具有以下几个重要的特性：四条边相等，四个顶角都是直角。
这意味着它的四个边长相等，且相邻的两条边之间的夹角均为90度。
正方形是几何学中最简单、最基本的形状之一，也是最易于理解的几何形状之一。
正方形在日常生活中随处可见，例如：平铺在地面的瓷砖、桌子的形状、手机屏幕、封面的形状等。
在建筑设计中，许多建筑物和结构的基本框架常常采用正方形，因为它具有稳定性和均衡性。
正方形作为一个基本的几何形状，具有许多重要的性质和特点。
其中一些特性如下：1. 对称性：正方形具有四个对称轴，分别是对角线、水平轴和竖直轴。
这些对称轴使得正方形可以在每个对称轴上进行旋转，从而保持不变。
2. 面积计算：正方形的面积可以通过边长的平方来计算，即面积等于边长的平方。
例如，边长为3的正方形的面积为3乘以3，等于9平方单位。
3. 周长计算：正方形的周长可以通过边长的四倍来计算，即周长等于边长乘以4。
例如，边长为5的正方形的周长为5乘以4，等于20单位长度。
4. 对角线长度：正方形的对角线长度可以通过边长的平方根乘以√2来计算，即对角线等于边长乘以√2。
例如，边长为6的正方形的对角线长度为6乘以√2，约为8.49单位长度。
5. 角的性质：正方形的四个角都是直角，即每个角都等于90度。
这意味着正方形可以被视为一个特殊的矩形，其中所有的角度都相等。
6. 相似形：由于正方形的特殊性质，它可以保持其形状和大小不变，且所有的边和角度都保持相等。
因此，正方形是一个自相似的几何形状，可以无限地重复缩放而不改变其形状。
正方形在几何学中具有广泛的应用和重要性。
它不仅用于计算面积和周长，还经常用于建筑、工程和图形设计中等。
正方形作为一个简单而直观的几何形状，为我们理解和应用几何知识提供了基础。
正方形的性质和判定
正方形的性质与判定1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2.性质：（1）对边平行；（2）四条边都相等；（3）四个角都是直角；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3.面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4.判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形；（3）一组邻边相等的矩形是正方形（4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形随堂练习1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）A ．对角线相等B ．对角线互相垂直C ．对角线互相平分D ．对角线平分一组对角2. 已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )A ．选①②B ．选②③C ．选①③D ．选②④3.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且BE ＝BF ，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF 为正方形的是（ ）A ．BC ＝ACB ．CF ⊥BFC ．BD ＝DF D ．AC ＝BF第3题 第4题 第5题 第6题4.如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，AC 、BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°5.如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为（1，），则点B 的坐标为（ ）A ．（1﹣， +1）B ．（﹣， +1）C ．（﹣1，+1） D ．（﹣1，）6.如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长（）A． B． C．1 D．1﹣7.正方形ABCD中E为线段BC上的动点如图①，过A作AF⊥DE，F为垂足，延长AF交DC于G如图②，①求证：AG＝DE②连接BF，当E为BC中点时，求证：AB＝FB．巩固提升1.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①② B．②③C．①③ D．②④2.如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点，BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于R，则PQ+PR的值为（）A． B． C．D．第2题第3题第4题3.如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A.2B.3C.23 D 34.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3 (x)上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…，则正方形A 2019B 2019C 2019D 2019的边长是（ ）A.()201821B ．()201921C ．()201833D ．()2019335.如图，正方形CEFG 的边GC 在正方形ABCD 的边CD 上，延长CD 到H ，使DH ＝CE ，K 在BC 边上，且BK ＝CE ，求证：四边形AKFH 为正方形．。
正方形的概念
正方形的概念正方形是一个几何形状，具有特殊的性质和特征。
它是一种特殊的矩形，其四个边长相等且四个角均为直角。
在数学中，正方形是一种重要的几何形状，具有丰富的应用和研究价值。
1. 正方形的定义正方形是指具有相等边长的四边形。
其特点是四条边相等且四个角为直角。
根据这个定义，正方形是一种特殊的矩形，也是一种特殊的平行四边形。
正方形可以看做是矩形的一种特例，具有更明显的对称性和规律性。
2. 正方形的性质（1）四边相等：正方形的四条边具有相等的长度，即所有边长相等。
（2）四角为直角：正方形的四个角都为直角，即每个角度为90度。
（3）对角相等：正方形的对角线相等，即两条对角线的长度相等。
（4）对角线垂直：正方形的对角线互相垂直，即两条对角线相交成直角。
（5）对称性：正方形具有四个对称轴，即任意两条边垂直平分另外两条边，具有较强的对称性。
（6）面积计算：正方形的面积可以通过边长的平方来计算，即面积=边长^2。
（7）周长计算：正方形的周长等于四条边的长度之和，即周长=4×边长。
3. 正方形的应用正方形在数学、建筑、绘画等领域都有广泛的应用。
（1）数学：正方形作为基础的几何形状，被广泛应用于几何证明、计算面积和周长等数学问题的解决。
（2）建筑：正方形的对称性和稳定性使其成为建筑中常见的形状，如建筑物的平面设计、窗户的布置等都可以采用正方形来增加美感和稳定性。
（3）绘画：正方形在绘画中可以用作画布的形状，也可以用作框架的形状，使得作品更加整齐和协调。
（4）编程：正方形的概念也在计算机编程中有应用，如图形绘制、游戏设计等，正方形作为基本形状之一，可以用于构建复杂的图形和界面。
综上所述，正方形是一种具有特殊性质和特征的几何形状。
它的四边相等、四角为直角、对角线相等且垂直等特点，使得正方形在数学、建筑、绘画等领域具有广泛的应用。
掌握正方形的概念和性质，对于几何学的学习和实际应用都具有重要的意义。
正方形的性质与判定
正方形的性质与判定正方形是一种特殊的四边形，具有独特的性质。
在本文中，我将介绍正方形的定义、性质和判定方法。
首先，我们来定义正方形。
正方形是一种具有四条相等边和四个直角的四边形。
其中，相等边长称为边长，直角处的两个边称为邻边，相邻的两个直角称为相邻角，对角线的重合点称为中心。
下面，我们将详细介绍正方形的性质。
正方形具有以下性质：1. 边长相等：正方形的四条边长相等，可以用a表示。
这意味着正方形的周长为4a。
2. 内角为直角：正方形的四个内角都是直角（90度）。
这是因为正方形的两条相邻边构成一条直角线段。
3. 对角线相等：正方形的两条对角线相等，可以用d表示。
这是由于正方形的两个对角线是两条等边三角形的斜边。
4. 对角线互相垂直：正方形的两条对角线相互垂直。
这是由于正方形的对角线是两个相交的垂直直角三角形的斜边。
5. 中心对称：正方形的中心是对称中心，即以中心为对称中心将正方形折叠，两边能完全重合。
6. 内切圆：正方形有一个内接圆，即一个与正方形的四条边相切的圆。
7. 外接圆：正方形有一个外接圆，即一个与正方形的四个顶点相切的圆。
接下来，我们来讨论如何判定一个四边形是否为正方形。
判定一个四边形是否为正方形通常有以下几种方法：1. 判断边长是否相等：一个四边形的四条边长都相等时，可以判定为正方形。
2. 判断内角是否为直角：一个四边形的四个内角都是直角时，可以判定为正方形。
3. 判断对角线是否相等：一个四边形的对角线相等时，可以判定为正方形。
4. 判断对角线是否垂直：一个四边形的对角线互相垂直时，可以判定为正方形。
5. 判断是否为菱形：如果一个四边形既是菱形又是矩形，那么它就是正方形。
这些方法可以单独或者组合使用来判断一个四边形是否为正方形。
总之，正方形是一种具有独特性质的四边形，包括边长相等、内角为直角、对角线相等等。
我们可以通过判断边长、内角、对角线的相等性以及对角线的垂直性来判定一个四边形是否为正方形。
3.4正方形的定义与性质3湘教版
平行四边形，矩形， 菱形，正方形的关系!
平行四边形 正 方 形
矩形
菱 形
正方形是特殊的平行四 边形，也是特殊的矩形，也 是特殊的菱形。
正方形的性质=
正方形性质:
边: 对边平行；
A O B
D
四边相等；
角 ：四个角都是直角；
8cm
例1.求证:正方形的两条对角线把正方形 分成四个全等的等腰直角三角形.
已知:四边形ABCD是矩形,对 A 角线AC、BD相交于点O. 求证:△ABO、△BCO、 △CDO、△DAO是全等的 等腰直角三角形.
D O
B 证明:∵四边形ABCD是正方形 C ∴AC=BD,AC⊥BD,AO=CO=BO=DO. ∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直 并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO 角三角形,
E
C
练习．如图(5)，在AB上取一点C，以 AC、BC为正方形的一边在同一侧作正 方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长 BD交AF于H。 求证：(1) △ACF≌△DCB (2) BH⊥AF
证明：
小结
性质 图形 平行四 矩形 边形 菱形 正方形
对边平行且相等 四条边都相等 对角相等 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线互相垂直 对角线相等 每条对角线平分 一组对角
C
对角线相等；
对角线： 对角线互相垂直； 对角线互相平分；
每条对角线平分一组对角；
对称性： 正方形是轴对称图形，也是中心对称图形；
3.已知正方形的一条边长为2cm,则这个正方形的 1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ C） 8cm ,对角线长为2 2cm,面积为 4cm 2. 周长为 A.对角线互相垂直 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线平分一组对角 4.正方形的对角线和它的边所成的角是 45°度. 2.从四边形内能找一点,使该点到各边距离都相等的 5.已知正方形的一条对角线长为4cm,则它的边长 2 图形可能是 （ D ） 为 2 2cm ， 面积为 。 A.平行四边形、矩形、菱形 B.菱形、矩形 、正方形 6.已知正方形ABCD中,对角线AC=10cm,P为AB上任意一 C.矩形、正方形 D.菱形、正方形 点,PE⊥AC,PF⊥BD,E、F为垂足,则PE+PF= 5cm 。
正方形的概念与性质
正方形的概念与性质正方形是平面几何中的一种特殊形状，它具有独特的概念和性质。
在本文中，我们将探讨正方形的定义、性质以及一些相关的内容。
一、正方形的定义正方形是在平面上的一种四边形，其四条边相等且四个角皆为直角的特殊图形。
正方形的定义可以简述为：具有四条相等边长且四个角度均为90度的四边形。
二、正方形的性质正方形具有多个性质，包括：1. 对角线相等：正方形的对角线相等长，且互相垂直。
2. 对角线平分角：正方形的对角线能够将正方形的内角平分成两个相等的角度。
3. 直角边：正方形的任意一条边都与其相邻边垂直，即正方形的每条边都是直角边。
4. 等边等角：正方形的四边相等，四个内角度也相等，每个内角度均为90度。
5. 最大对称性：正方形具有最大的对称性，可通过旋转或翻转得到完全相同的图形。
三、正方形的应用正方形广泛应用于各个领域，包括建筑、设计和科学等。
以下是一些常见的应用场景：1. 建筑设计：许多建筑物中的空间布局或者地基设计需要使用正方形的概念和性质，以确保结构的稳定性和均衡性。
2. 数学和几何研究：正方形是基础几何图形之一，在代数、几何和计算几何等数学分支中有重要的应用。
3. 程序设计：在计算机图形学中，正方形经常用于显示和处理图像、窗口和屏幕等方面。
4. 游戏开发：在游戏设计和开发过程中，正方形常用于设计游戏界面和定义游戏区域。
5. 装饰艺术：正方形在设计和装饰领域中被广泛运用，如平面设计、室内设计和产品设计等。
四、与正方形相关的概念和图形1. 矩形：矩形是正方形的一种特殊情况，其具有相对较长和相对较短的两条相邻边，且所有内角均为90度。
2. 菱形：菱形是另一种与正方形相关的概念，其拥有四个相等的边长，但不同于正方形的是，菱形的内角不一定为90度。
3. 正方形的切线：在正方形的每个顶点，都存在一条与正方形接触且垂直于相邻边的切线。
综上所述，正方形是一种具有特殊定义和性质的几何图形。
在不同领域中，正方形的概念和性质都具有广泛的应用。
正方形的定义及性质
例1求证：正方形的两条对角线把正方形分
成四个全等的等腰直角三角形。(P100例4） 已知：如图正方形ABCD对 角线AC、BD相交于点O。 求证： △ABO ≌ △BCO ≌ △CDO ≌△ADO
思考：正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？8个
练习1．
已知：正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O，且AB＝acm，如图。
求：AC的长及正方形的面积S。
练习2．
已知：在正方形ABCD中，对角线AC、
BD相交于点O，且AC＝6
2
cm，如图
求：正方形的面积S。
知识拓展:与同学讨论后填写下表：
几种特殊四边形的性质
边
角
对 角 线
对称性
平 行 对边平行 对角相等， 对角线互相平分 中心对称图形 四边形 且相等 邻角互补 矩 形 菱 形 对边平行 四个角 且相等 都是直角
对角线相等 且互相平分
轴对称图形、 中心对称图形
对边平行， 对角线互相垂直 四边都相 对角相等， 平分，每条对角 轴对称图形、 邻角互补 等 线平分一组对角 中心对称图形
对边平行，四个角 对角线互相垂直平 轴对称图形、 正方形 四条边 分且相等，每条对 都是直角 角线平分一组对角 中心对称图形 都相等
例4．如图，△ABC的外面作正方形ABDE和 ACFG，连结BG、CE，交点为N。 求证：∠CEA＝∠ABG
你还能得出其 他结论吗？
正方形的性质=
为什么说正方形是一个完美的图形呢？
(C) 它是轴对称图形,有4条对称轴 也是中心对称图形,对称中心为点O
A O
D (B)
(1)它具有平行四边形的一切性质 (2)具有矩形的一切性质
正方形
正方形知识梳理1．正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形 2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角．④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3．正方形的判定定理判定1：一组邻边相等的矩形是正方形． 判定2：对角线互相垂直的矩形是正方.判定3：有一个角是直角的菱形是正方形． 判定4：对角线相等的菱形是正方形.例题讲解一、 正方形的性质例1、判断下列命题是否正确：（1）四条边相等的四边形是正方形（ ）（2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形（ ） （3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形（ ） （4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形（ ）例2、如图，E 是正方形ABCD 边BC 延长线上一点，CE=AC ，AE 交CD 于F ，求∠AFC 的度数。
例3、如图4-60，正方形ABCD 的对角线相交于O ，EF ∥AB ，并且分别与OA ，OB 相交于E ，F ．若BE=3厘米，求CF 的长．正方形菱形矩形平行四边形Ｍ ＤＱ练习1、下列说法中，正确的个数有 （ ） （1）对角互补的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的四边形是矩形；（3）对角线互相垂直且有一组邻边相等的四边形是正方形； （4）对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形Ａ． 1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个 练习2、(2008年沈阳市)如图所示，正方形中，点是边上一点，连接，交对角线于点，连接，则图中全等三角形共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对练习2（2010 天津）如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 为CD 边上一点， 1DE =．以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转90︒，得△ABE '，连接EE '，则EE '的长等于 ． 练习3（2008佛山12）如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP = BC ，则∠ACP 度数是 ．练习4（2008广东肇庆市）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C =90°，正方形DEFG 的顶点D 在边AC 上，点E 、F 在边AB 上，点G 在边BC 上. （1）求证AE =BF ； （2）若BC =cm ，求正方形DEFG 的边长.二、正方形折纸例1（08哈尔滨）如图，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的（ ）． （A ）3cm （B ）4cm （C ）5cm （D ）6cm练习：1、 (2006 荆门大纲)如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD ，BC 边的中点，将C 点折叠至MN 上，落在P 点的位置，折痕为BQ ，连结PQ ，则PQ =．三、正方形的面积：例1、（2010南宁）正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为4，则DEK ∆的面积为（ ） （A ）10 （B ）12 （C ）14 （D ）1例2、如图，正方形ABCD 中，边长为2，其中正方形A’B’C’O 与正方形ABCD 全等，顶点O 在正方形ABCD 对角线交点O ，求阴影部分面积。
小学数学知识点认识正方形的特征与性质
小学数学知识点认识正方形的特征与性质正方形是小学数学中最基本的几何图形之一，它具有一些独特的特征和性质。
通过了解正方形的特点，我们可以更好地认识和理解这个几何图形。
本文将系统地介绍正方形的特征和性质，帮助小学生更好地掌握数学知识。
1. 正方形的定义正方形是一个具有四条边相等、四个角都是直角的四边形。
它的每条边都相等，每个角都是90度。
正方形可以看作是矩形的一种特殊情况，也可以看作是菱形的一种特殊情况。
正方形的对角线相等且相互垂直，是它独特的特点。
2. 正方形的特征正方形的特征有三个方面：边长、对角线和对称性。
- 边长：正方形的四条边都相等。
- 对角线：正方形的对角线相等且相互垂直。
- 对称性：正方形具有四个对称轴，分别是水平对称轴、垂直对称轴和两条对角线。
这意味着正方形可以通过旋转、翻转和折叠得到相等的图形。
3. 正方形的性质正方形具有一些独特的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解和计算。
以下是几个常见的性质：- 周长和面积：正方形的周长等于四条边的长度之和，即4倍边长。
面积等于边长的平方。
- 对角线长度：正方形中，对角线的长度可以通过边长来计算。
根据勾股定理，对角线的长度等于边长的平方根的2倍。
- 内角和外角：正方形的内角都是90度，外角都是270度。
这意味着正方形的内角和为360度，外角和为1,080度。
- 正方形与其他几何图形的关系：正方形是矩形的特例，也是菱形的特例。
它具有矩形的所有性质，如平行四边形的性质和对角线的性质。
同时，正方形也具有菱形的特点，如对称性和等长对角线。
通过了解正方形的特征和性质，我们能够更好地应用数学知识解决问题。
在几何学中，正方形是非常常见的图形，在日常生活中也能经常遇到。
掌握了正方形的特征和性质，我们能够更好地认识和理解这个几何图形，在解决实际问题时能够灵活运用。
总结：正方形是小学数学中最基本的几何图形之一，它具有四条边相等、四个角都是直角的特点。
正方形的对角线相等且相互垂直，具有对称性。
正方形的判定和性质
练习1:如图：在正方形ABCD中,CF=CE求证：BG DF
n
4.对角线相等的菱形是正方形。
二、例题讲解
考点一：正方形的性质
例1:（2011天津，5，3分）如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折
痕BE、BF，则/EBF的大小为（
练习1:例4.如图：正方形ABCD, AE+CF=EF求证：EDF45
例2:如图，在等腰直角△ABC中，AC BC,D E为底边AB的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ等分点，过D和E作AB的垂线，分别
交AC于G交BC于F.求证：四边形DEF（为正方形.
练习1:已知：如图，△ABC为等边三角形，且AB2，四边形DEFG为正方形，且D G分别在AB AC上,E、F在BC上，求正方形DEFG勺面积.
考点二：正方形中常见的全等 例1:如图，在正方形ABCD^，点G为BC上任意一点，连接AG过B、D两点分别作BE!AG DF丄AG
正方形的性质和判定
一、基础知识
（一）正方形的定义
一组邻边相等的矩形叫做正方形。
（二）正方形的性质
1.正方形四个角都是90°,四条边相等；
2.正方形对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
（三）正方形的判定
1.一组邻边相等的矩形是正方形；
2.有一个角是直角的菱形是正方形；
3.对角线互相垂直的矩形是正方形；
正方形的性质
l
l
l
D
C
A E
B
F
是过正方形ABCD的顶点 的 的顶点B的 例3：已知 是过正方形 ： 的顶点 一条直线， ⊥ 于点E， 一条直线，AE⊥ 于点 ， CF⊥ 于点 。求 ⊥ 于点F。 证：AE＝BF。 ＝ 。
l
l
l
D
C
A 3 E
1
2 B
F
正方形的四条边都相等，而且对边平行。 正方形的四条边都相等，而且对边平行。 正方形的四个角都相等，都等于 正方形的四个角都相等，都等于900。 正方形的对角线互相垂直平分且相等， 正方形的对角线互相垂直平分且相等， 并且每条对角线平分一组对角。 并且每条对角线平分一组对角。
是正方形， 例1：如图，已知四边形 ：如图，已知四边形ABCD是正方形， 是正方形 且AE＝BF＝CG＝DH。求证：四边形 ＝ ＝ ＝ 。求证：四边形EFGH是 是 正方形。 正方形。
E A F G D
四边形ABCD与DEFG都是 与 都是 正方形。求证： ＝ 正方形。求证：AE＝CG。 。
E A F G D
B
C
是过正方形ABCD的顶点 的 的顶点B的 例3：已知 是过正方形 ： 的顶点 一条直线， ⊥ 于点E， 一条直线，AE⊥ 于点 ， CF⊥ 于点 。求 ⊥ 于点F。 证：AE＝BF。 ＝ 。
平行四边形、菱形、矩形、 平行四边形、菱形、矩形、正方形它们之 间的关系如下图所示： 间的关系如下图所示：
平行四边形 菱形 正方形
矩形
因为正方形既是菱形又是矩形； 因为正方形既是菱形又是矩形；所以正方 形既具有菱形的性质，又具有矩形的性质， 形既具有菱形的性质，又具有矩形的性质，由 此可得到正方形的如下性质： 此可得到正方形的如下性质：
正方形的相似性知识点总结
正方形的相似性知识点总结
正方形是一种特殊的四边形，具有特定的性质和相似性知识点。
以下是对正方形相似性的总结：
1. 正方形的定义
正方形是一个具有四个相等边长和四个相等内角的四边形。
每
个内角都是90度。
2. 正方形的对角线性质
正方形的对角线相等且互相平分，即对角线交点是正方形的中点。
3. 正方形的边长和面积关系
正方形的边长是面积开方的结果，即边长a的正方形的面积为
a平方。
4. 正方形的周长和面积关系
正方形的周长是边长的四倍，即周长=4a，面积是边长的平方，即面积=a平方。
5. 正方形的相似性
正方形与自身是相似的。
正方形也可以与其他正方形相似，当两个正方形的对应边长比例相等时，它们是相似的。
6. 正方形的缩放
正方形可以通过缩放的方式改变大小，但保持所有边等长和所有内角等大。
7. 正方形的旋转
正方形可以通过旋转的方式改变方向，但保持所有边等长和所有内角等大。
8. 正方形的应用
正方形在几何学和工程学中具有很多应用，如绘图、建筑设计和地理测量等领域。
以上是对正方形的相似性知识点的总结，希望对您有所帮助。
正方形的性质及判定
1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3．正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．一、正方形的性质【例1】 正方形有 条对称轴．【例2】 已知正方形BDEF 的边长是正方形ABCD 的对角线，则:BDEF ABCD S S =正方形正方形【例3】 如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且20AE AF AF ⊥=，，则BE 的长为FE D CBA【例4】 如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若1AG =，2BF =，90GEF ∠=︒，则GF 的长为 ．正方形的性质及判定正方形菱形矩形平行四边形【例5】 将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点12...n A A A ，，，分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为【例6】 如图，正方形ABCD 中，O 是对角线AC BD ，的交点，过点O 作OE OF ⊥，分别交AB CD ，于E F ，，若43AE CF ==，，则EF =OFE DC BA【例7】 如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧交对角线BD 于点E ，连接CE ，P 是CE 上任意一点，PM BC ⊥于M ，PN BD ⊥于N ，则PM PN +的值为PNME DC BA【例8】 如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE CE =．EDCBA【例9】 如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F .求证：AP EF =.F EPDCB A【例10】 如图所示，正方形ABCD 对角线AC 与BD 相交于O ，MN ∥AB ，且分别与AO BO 、交于M N 、．试探讨BM 与CN 之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程．M N CDO B A【例11】 如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ∆为等边三角形，那么DCP ∠=PDCBA【例12】 已知正方形ABCD ，在AD 、AC 上分别取E 、F 两点，使2ED AD FC AC =∶∶，求证：BEF ∆是等腰直角三角形．GEHDFCBA【例13】 如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交于M 、N ，若50EAF ∠=︒，则CME CNF ∠+∠= ．NMFEDCBA【例14】 如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作正方形ABE ，CE 与BD 相交于点F ，则AFD ∠=FEDCBA【例15】 如果点E 、F 是正方形ABCD 的对角线BD 上两点，且BE DF =，你能判断四边形AECF 的形状吗？并阐明理由．E CDFBA【例16】 如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F ，使DE AD =，DF BD =．连结BF 分别交CD ，CE 于H ，G ．求证：GHD ∆是等腰三角形．3142FE GHCDBA【例17】 如图，过正方形顶点A 引AE BD ∥，且BE BD =．若BE 与AD 的延长线的交点为F ，求证DF DE =．GFEBDA【例18】 如图所示，在正方形ABCD 中，AK 、AN 是A ∠内的两条射线，BK AK ⊥，BL AN ⊥，DM AK ⊥，DN AN ⊥，求证KL MN =，KL MN ⊥.K NMLDCB A【例19】 如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接,BE DG ，求证：BE DG =.GC FEDBA【例20】 （2007年三帆中学期中考试）如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上的一点，F 为BC 延长线上的一点，CE CF =，30FDC ∠=︒，求BEF ∠的度数.BDCAEF【例21】 已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE CG =，连接BG 并延长交DE 于F ．（1）求证：BCG DCE ∆∆≌；（2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90︒得到DAE '∆，判断四边形E BGD '是什么特殊四边形？并说明理由．【例22】 若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，3BE =，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF AE =，则BM 的长为 ．【例23】 如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，HA EB FC GD ===，连接EG 、FH ，交点为O ． ⑴ 如图2，连接EF FG GH HE ，，，，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论；⑵ 将正方形ABCD 沿线段EG 、HF 剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD 的边长为3cm ，1cm HA EB FC GD ====，则图3中阴影部分的面积为_________2cm ．图3图1图2H DGC FEBAOH GFEDC BA【例24】 如图，正方形ABCD 对角线相交于点O ，点P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，AQ DP ⊥，求证：（1）OP OQ =；（2）OP OQ ⊥.ABCDEF E 'GBO D CA QP【例25】 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，求证：AM AD =．MFEDCBA【例26】 如图，正方形ABCD 中，E F ，是AB BC ，边上两点，且EF AE FC DG EF =+⊥，于G ，求证： DG DA =G FEC DBA【例27】 如图，点M N ，分别在正方形ABCD 的边BC CD ，上，已知MCN ∆的周长等于正方形ABCD 周长的一半，求MAN ∠的度数NMDCBA【例28】 如图，设EF ∥正方形ABCD 的对角线AC ，在DA 延长线上取一点G ，使AG AD =，EG 与DF交于H ，求证：AH =正方形的边长．HEG CDF B A【例29】 把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．GCHF EDB A【例30】 如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，l 是AD 的垂直平分线，交AD 于点M ，以腰AB 为边作正方形ABFE ，作EP l ⊥于点P ，求证22EP AD CD +=.lPM FE DC BA【例31】 如图所示，ABCD 是正方形，E 为BF 上的一点，四边形AEFC 恰好是一个菱形，则EAB ∠=______. ABCDEF二、正方形的判定【例32】 四边形ABCD 的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形EFGH ，求证：⑴四边形EFGH 对角互补；⑵若四边形ABCD 为平行四边形，则四边形EFGH 为矩形． ⑶四边形ABCD 为长方形，则四边形EFGH 为正方形．HEFG DCBA【例33】 如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE∆是等边三角形．⑴ 求证：四边形ABCD 是菱形；⑵ 若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．OEDCBA【例34】 已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，AN 是ABC ∆外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ． ⑴ 求证：四边形ADCE 为矩形；⑵ 当ABC ∆满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．M ENCDBA【例35】 如图，点M 是矩形ABCD 边AD 的中点，2AB AD =，点P 是BC 边上一动点，PE MC ⊥，PF BM ⊥，垂足分别为E 、F ，求点P 运动到什么位置时，四边形PEMF 为正方形．PMF EDC BA【例36】 如图，ABCD 是边长为1的正方形，EFGH 是内接于ABCD 的正方形，AE a AF b ==，，若23EFGH S =，则b a -=H GFEDCBA【例37】 如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为27cm 和211cm ，则CDE∆ 的面积为GFEDCB A【例38】 如图，在正方形ABCD 中，点1P P ，为正方形内的两点，且11PB PD PB AB CBP PBP ==∠=∠，，，则1BPP ∠= P 1PDC BA【例39】 如图，若在平行四边形ABCD 各边上向平行四边形的外侧作正方形，求证：以四个正方形中心为顶点组成一个正方形．PRQ S NMFEDCBA【例40】已知：PA4PB=，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应∠APB的大小.PDCBA。
正方形
1.3正方形定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形性质：(1)正方形的四条边相等，对边平行；(2)正方形的四个角都是直角；(3)正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；(4)正方形是轴对称图形，有四条对称轴判定：(1)一组邻边相等的矩形是正方形；(2)有一个角是直角的菱形是正方形；(3)有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；(4)既是矩形，又是菱形的四边形是正方形知识点1 正方形的概念一组邻边相等的矩形叫做正方形．拓展由正方形的定义可知，正方形是有一组邻边相等的矩形，也是有一个角是直角的菱形，也就是说，正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，所以我们在说明一个四边形是正方形时；可以先说明它是矩形，再说明它是菱形，或先说明它是菱形，再说明它是矩形．知识点2 正方形的性质(1)正方形的四条边相等，对边平行．(2)正方形的四个角都是直角．(3)正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角．(4)正方形是轴对称图形，有四条对称轴．如图4－65所示，在正方形ABCD中，有如下结论：(1)AB＝BC＝CD＝DA；AD∥BC，AB∥CD→四边相等，对边平行．(2)∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°→四个角都是直角．(3)AC＝BD，AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝∠6＝∠7＝∠8＝45°→对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角．拓展(1)由于正方形是特殊的矩形和菱形，所以它具备矩形和菱形的所有性质．(2)正方形的两条对角线将正方形分成8个等腰直角三角形，所以等腰直角三角形的性质在正方形的有关计算中经常用到．知识点3 正方形的判别(1)一组邻边相等的矩形是正方形．(2)有一个角是直角的菱形是正方形．(3)有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形．(4)既是矩形，又是菱形的四边形是正方形．拓展几种特殊平行四边形的判别可用图4－66表示．正方形规律方法小结从一般到特殊的思想：从四边形到平行四边形再到菱形、矩形，再到正方形，就是从一般情况到特殊情况的认识，体现了从一般到特殊的思想．四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系如图4—67所示．1、如图4－70所示，在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE＝AC，连接AE交CD于F，则∠E＝.2、如图4－72所示，△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，交AB于0，DE⊥AC，D F⊥BC，E，F是垂足，那么四边形DECF是正方形吗?说明理由．3、如图4－74所示，四边形ABCD是正方形，E，F是AD，DC上的点，且∠EBF＝45°，则EF与CF＋AE相等吗?说明理由．4、如图4－76所示，将矩形ABCD中的△AOB沿着射线BC的方向平移线段AD的距离，(1)画出△AOB平移后的图形；(2)设(1)中O点平移后的对应点为E，试判断四边形CODE的形状，并说明理由；(3)当四边形ABCD是什么四边形时，(2)中的四边形C00E是正方形?并说明你的理由．体验中考 1、如图4－80所示，将边长为8 cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是 ( )A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．6 cm2、如图4－8l(1)所示，把一个长为m ，宽为n 的长方形(m ＞n )沿虚线剪开，拼接成图(2)，成为在一个角去掉—个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为 ( )A ．2m nB ．m －nC ．2m D ．2n 3、如图4－82所示，正方形ABCD 内有两条相交线段MN ，EF ，M ，N ，E ，F 分别在边AB ，CD ，AD ，BC 上，小明认为：若MN ＝EF ，则MN ⊥EF ；小亮认为：若MN ⊥EF ，则MN ＝EF ．你认为 ( )A. 仅小明对 B ．仅小亮对 C ．两人都对 D ．两人都不对作业１.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ） A.等腰梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形 ２. 在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ） A 、AC=BD ，∠A=∠B ，∠C=∠D B 、∠ABD=∠CBD ，AB=CD ，∠A=∠B C 、AO=CO ，BO=DO ，∠A=∠B D 、AO=CO=BO=DO ，AB=BC3．如图1，已知正方形ABCD 的边长为，E 为DC 边上一点，∠EBC=30°，则BE 的长为（ ）A 、cm 5B 、cm 52C 、5cmD 、10cm4．如图4-4-2，等边三角形ABE 与正方形ABCD 有一条公共边，则∠AED 等于（ ） A 、10°B 、12.5°C 、15°D 、20°5．如图4-4-3，E 是正方形ABCD 内一点，且△EAB 是等边三角形，则∠ADE 等于cm 35图1图3BA DCB O（ ）A 、70° B 、72.5° C 、75° D 、77.5°6.如图所示，菱形中，对角线相交于点，若再补充一个条件能使菱形成为正方形，则这个条件是 （只填一个条件即可）7. 如图（1），在正方形ABCD 的边BC 的延长线上取一点E ，使CE ＝AC ，连结AE 交CD 于F ，则∠AFC ＝(1) (2)8．如图(2)，E 是正方形ABCD 内一点，如果△ABE 是等边三角形，那么∠DCE ＝，如果DE 的延长线交BC 于G ，则∠BEG ＝9.已知：如图，正方形ABCD 中，延长AD 到E ，使DE=AD ，再延长DE 到F ，使DF=BD ，连接BF ，交CE 于M ，交DC 于N.求证：MD=MN.10.如图，△ABC 中，点O 是AC 上一动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设Mn 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACH 的平分线于点F 。
小学数学重点之正方形与长方形的性质与判断
小学数学重点之正方形与长方形的性质与判断正方形与长方形是小学数学中的重要知识点，它们的性质与判断对于学生理解几何图形有着重要的作用。
本文将从正方形和长方形的定义、性质以及判断方法等方面进行论述。
一、正方形的定义与性质正方形是一种特殊的四边形，它的特点是四条边相等且四个内角都是直角。
根据这个定义，我们可以得出正方形的一些性质。
1. 边长相等：正方形的四条边都相等，可以用l来表示边长。
2. 内角直角：正方形的四个内角都是直角，即90度，可以用∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°来表示。
3. 对角线相等：正方形的两条对角线相等，可以用AC = BD来表示。
4. 对角线垂直平分：正方形的两条对角线相互垂直且平分对方形的内角，可以用AC ⊥ BD来表示。
二、长方形的定义与性质长方形是一种特殊的四边形，它的特点是相对的两边相等且相邻的两个内角都是直角。
下面是长方形的一些性质。
1. 边长相等：长方形的对边相等，可以用长边AB，短边BC来表示。
2. 内角直角：长方形的相邻内角都是直角，即90度，可以用∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°来表示。
3. 对角线相等：长方形的两条对角线相等，可以用AC = BD来表示。
4. 对角线相交：长方形的两条对角线相交于一点，可以用AC ∩ BD ≠ ∅来表示。
三、正方形与长方形的判断方法在实际问题中，我们常常需要判断一个给定的图形是正方形还是长方形。
下面是一些判断方法。
1. 边长判断：如果一个四边形的四条边相等，那么它就是正方形；如果有两对相等的边，且相邻内角都是直角，那么它就是长方形。
2. 角度判断：如果一个四边形的四个内角都是直角，那么它就是正方形；如果有两对相等的内角，且相对的两边相等，那么它就是长方形。
3. 对角线判断：如果一个四边形的对角线相等且垂直平分对角线，那么它就是正方形；如果对角线相等且相交，那么它就是长方形。
四、小学数学常见题型及解析1. 判断题：下列哪个图形是正方形？A. 一组边长相等的图形B. 边长相等且内角都是直角的图形C. 对角线相等且垂直平分的图形D. 对角线相交的图形答案：D解析：只有对角线相交的图形是长方形，其他选项描述的是正方形的特征。
第三讲正方形的性质与判定
第三讲正方形的性质与判定（一）正方形的定义与性质1.正方形的定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做菱形.2.正方形的性质:①:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.②正方形的对角线相等且互相垂直平分.3.特殊平行四边形的包含关系典例分析知识点1：利用正方形的性质计算例1：如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC交AC于点F，若BE=2，则CF长为．知识点2：利用正方形的性质证明例2：已知：如图1，正方形ABCD中，对角线的交点为O．（1）E是AC上的一点，过点A作AG⊥BE于G，AG、BD交于点F．求证：OE=OF．（2）若点E在AC上的延长线上（如图2），过点A做AG⊥BE交EB的延长线于G，AG的延长线交BD于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．知识点3：利用正方形的性质求面积例3：（1）如图，正方形ABCD的边长为2，MN∥BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是．例3（1）图例3（2）图（2）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG 的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A．a2B．a2 C．a2D．a2知识点4：利用正方形解决最短路径问题例4：如图，正方形ABCD的边长为6，E为BC上的一点，BE=2，F为AB上的一点，AF=3，P为AC上一点，则PF+PE的最小值为．（二）正方形的判定1.正方形的判定定理.(1)有一组邻边相等的矩形是正方形.(2)有一个角是直角的菱形是正方形.(3)对角线垂直的矩形是正方形.(4)对角线相等的菱形是正方形.2..判定一个四边形是矩形的方法与思路是:典例分析知识点5:先证矩形再证正方形例5.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．知识点6：先证菱形再证正方形例6：如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA=EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠DAC=∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．（三）中点四边形1.定义：以四边形的各边中点为顶点所组成的新四边形2.决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系.(1)若原四边形的对角线相等,则中点四边形EFGH为菱形;(2)若原四边形的对角线互相垂直,则中点四边形EFGH为矩形;(3)若原四边形的对角线既相等又垂直,则中点四边形EFGH为正方形;(4)若原四边形的对角线既不相等也不垂直,则中点四边形EFGH为平行四边形知识点7：中点四边形形状的确定例7：（1）以四边形的各边中点为顶点可以组成一个什么图形?如果以菱形或矩形各边的中点为顶点呢?:（2）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=1，BC=3，求正方形EFGH的边长．（四）正方形的性质与判定的综合应用例8：如图，正方形ABCD边长为6．菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，且AH=2，连接CF．（1）当DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；（2）设DG=x，试用含x的代数式表示△FCG的面积．例9：如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为E、F．（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明你的结论．（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，为什么？例10：如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE=BC=1．（1）求证：CE=CF；（2）若G在AD上，连接GC，且∠GCE=45°，求∠GCF的度数；（3）在（2）的条件下，求GC的长度．例11:如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．（1）求证：AD=AF；（2）如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．例12：（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC 延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAB=∠MAE．（下面请你完成余下的证明过程）（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X，请你作出猜想：当∠AMN=时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）夯实基础：1.下列说法中，正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是菱形B．对角线互相垂直的菱形是正方形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．一组邻边相等的平行四边形是正方形2.已知正方形的边长为2cm，则其对角线长是（）A．4cm B．8cm C．cm D．2cm3.如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C至直线l的距离分别为2和3，则此正方形的面积为（）A．5 B．6 C．9 D．13第3题第4题第5题4.如图，在正方形ABCD中，AB=1，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（）A．B．4 C．2 D．5.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．66.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°第6题第7题7.如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（）A．﹣4+4B．4+4 C．8﹣4D．+18.如图，在正方形ABCD中，AB=2，延长AB至点E，使得BE=1，EF⊥AE，EF=AE．分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（）A．2B．3C．D．第8题第9题9.如图，G为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BG，CF⊥BG，垂足分别为点E，F．已知AD=4，则AE2+CF2=．10.已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF ∥BE．求证：四边形BECF是正方形．11.如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；（2）当∠A=90°时，试判断四边形DFAE是何特殊四边形？并说明理由．13.．如图1，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上（不与A、O重合）的一个动点，过点P作PE⊥PB且交边CD于点E．（1）求证：PB=PE；（2）过点E作EF⊥AC于点F，如图2，若正方形ABCD的边长为2，则在点P 运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，请直接写出这个不变的值；若变化，请说明理由．14.已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）。
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正方形
（2）是菱形，并且有一个角是直角。
四边形
平行四边形
矩形
正方形
菱形
归纳：由上可知，正方形既是矩形也是菱形。
讨论：正方形具有怎样的性质呢？
研究正方形的性质：
（1）边：四边都相等； （2）角： 四角都是直角；
性质定理一
（3）对角线：相等； 互相垂直平分； 每一条对角线平分一组对角。
性质定理二
研究正方形的判定：
A
D
O
B
C
由此可知:正方形的一条对角线把正方
形分成两个全等的等腰直角三角形， 两条对角线把它分成四个全等的等腰 直角三角形.对角线与边的夹角是45˚.
例2、如图，正方形ABCD中，
（1）正方形的面积为64平方厘米，则 正方形对角线AC= 8√2 cm 。 ∵在正方形ABCD中， 1
A
O D
B
2 AC×BD=64， AC=BD
例1、如图，正方形ABCD中， 二、
2 个全等的三 正 （1）一条对角线把它分成
方 形 的 性 质 的 应 用
A
角形。 问：这些三角形是什么三角形？ （2）两条对角线把 它分成 4 个全等的 B 等腰直角三角形三角形。 （3）对角线AC与正 方形的一边所成的角 为 45 度。
O
D C
例:四边形ABCD是正 方形，两条对角线 相 交于点O，求:∠AOB ， ∠OAB的度数.
2 1
3
1、先判定四边形是平行四边形，再判定它是正方形； 2、先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形；
3、先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形；
巩固练习：判断下列命题是否正确，不是 正方形的补充什么条件能让它成为正方形？
四个角都相等的四边形是正方形；
(×) 四条边都相等的四边形是正方形； (×) 对角线相等的菱形是正方形； (√ ) 对角线互相垂直的矩形是正方形； (√ ) 对角线垂直且相等的四边形是正方形; (×) 四边相等，有一个角是直角的四边形 是正方形. (√ )
∴AC×AC=128
C
AC=8√2cm
例2、如图，正方形ABCD中，
（1）正方形的面积为64平方厘米，则
8√2 cm 正方形对角线AC=
∵AC=8√2 OC= 4√2 S=64=AB×BC 即BC=8cm
。
又
对角线交点O到正方形一边的距离0F= 4cm 。
∴OF2=OC2—DF2 OF=√OC2—DF2
A F B G D
A
D
O
E C
O G B F C E
自主学习
6、如图，在正方形ABCD中，取AD、CD边 的中点E、F，连接CE、BF交于点G，连接 AG。试判断AG与AB是否相等，并说明道理。
D E A
F G
C
B
对 角 线 两条对角线互相平分 两条对角线互相平分 且相等
对称性
轴对称
菱 形
两条对角线互相垂直平分， 轴对称 每条对角线平分一组对角 两条对角线互相垂直平分 且相等，每条对角线平分 一组对角
正方形 对边平行，
四条边都相等
轴对称
三、特殊四边形的常用判定方法
（2）两组对边分别相等； （3）两组对角 平行 （1）两组对边分别平行； 四边形
做一做: 将一张长方 形纸对折两次,然后剪 下一个角,打开,怎样 剪才能剪出一个正方 形？
四边形与特殊四边形的关系
矩形
有一个角是直角且邻边相等 菱形
平行四边形
正方形
四边形
二、几种特殊四边形的性质 边
平行 四边形 矩 形
对边平行 且相等 对边平行 且相等 对边平行， 四条边都相等
角 对角相等 四个角 都是直角 对角相等 四个角 都是直角
A
O D
B
F
C
（2）AB：AO：AC =
8：4√2 ： 8√2 = 2：√2：2 √2
。
5、如图，正方形ABCD中对角线AC、BD相交于 O，E为AC上一点，AG⊥EB交EB于G，AG交 BD于F。 （2）若E为AC延长线上，AG⊥EB交EB的延长 线于G，AG、BD的延长线交于F，其他条件不 变，则结论：“OE=OF”还成立吗？请说明理由。
（5）一组对边平行且相等。 分别相等； （4）两条对角线互相平分；
（2）是平行四边形，并且有一角是直角； （1）有三个角是直角；
矩
形
（3）是平行四边形，并且两条对角线相等。
（1）四条边都相等； （2）是平行四边形，并且有一组邻边相等；
菱 形
（3）是平行四边形，并且两条对角线互相垂直。 （1）是矩形，并且有一组邻边相等；
老师给孩子们一个任务：从一张彩色纸中剪 出一个正方形。 小明剪出了一个正方形后，这样检验它：他 比较了边的长度，发现4条边是相等的，小明就判 定他完成了这个任务。这种检验可信赖吗？ 小兵用另一种方法检验：他量的不是边，而 是对角线，发现对角线是相等的。小兵就认为他 正确地剪出了正方形。这对吗？ 小英剪了正方形后，比较了由对角线互相分 成的四条线段，发现它们都是相等的。按照小英 的意见，这说明了剪出的四边形是正方形。你们 的意见怎样？ 你们认为应该如何检验，才能又快又准确呢？
2 1
3
2、对比正方形与矩形、菱形的定义，讨论它们的联系：
结论一：正方形是特殊的矩形； 结论二：正方形是特殊的菱形； 结论三：正方形是特殊的平行四边形； 结论四：平行四边形、矩形、菱形正方形是特殊的四边形；
1. 正方形具有平行四边形、矩形、 菱形的一切性质.
2.正方形是轴对称图形，它有四 条对称轴. 分别是:两条对角线所 在的直线，每组对边的中垂线.
1、在下列性质中，平行四边形具有的是_______， 矩形具有的是_________，菱形具有的是_______， 正方形具有的是_______________。 （1）四边都相等； （2）对角线互相平分； （3）对角线相等； （4）对角线互相垂直； （5）四个角都是直角； （6）每条对角线平分一组对角； （7）对边相等且平行 （8）有两条对称轴。
菱形的判别方法（判定）:
一组邻边相等的平行四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四条边都相等的四边形是菱形.
§4.4正方形
快速反应
1、__________________的矩形叫做正方形。
正方形的定义:一组邻边 相等的矩形叫做正方形.
•议一议: 正方形、矩形、 菱形、平行四边形四者 之间有什么关系？
矩形定义：
有一个内角是直角的 平行四边形叫做矩形。
A O B C
∟
D
(1)矩形的性质:
矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等；
1.对角线相等的平行四边形是矩形。 2.有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）矩形的判定:
3. 三个角是直角的四边形是矩形.
菱形的性质: 菱形具有平行四边形的所有性质. 菱形的四条边都相等，两条 对角线互相垂直平分，每一条对 角线平分一组对角.