基本初等函数的导数公式PPT演示文稿

cosu cosx .
例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点. 3 2 (2) s (t ) t 12t 32t , 令s(t ) 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
一般地, 对于两个函数y f u 和u g x , 如果通过变量u , y可以表示成x的函数, 那么称这个函数为函数 y f u 和 u g x 的复合函数 (com posite fun ction), 记作y f g x .
复合函数y f g x 的导数和函数 y f u , u g x 的
2
u 2 x 3的复合函数 . 由复合函数求导法则有
y y u u
' u ' x
2x 3 4u 8x 12.
2 ' '
2函数 y e0.05 x1 可以看作函数 y eu 和u
0.05x 1的复合函数 . 由复合函数求导法则有
' ' ' 导数间的关系为 yx yu ux .
y 表示y对x的导数
由此可得, y ln3x 2对x的导数等于y ln u对u的 导数与u 3x 2对x的导数的乘积 ,即 1 3 y y u ln u 3x 2 3 . u 3x 2
例2.求函数y=x3-2x+3的导数.
练习: 1 (1). y 4 ;(2). y x x. x
例 3 日常生活中的饮用水 通常是经过 净化的.随着水 纯净度的提高, 所需净化费 用不断增加 .已知将1吨水净 化到纯净度为x%时所需费 用单位 : 元为 5284 80 x 100.求净化到下纯度 c x 100 x 时, 所需净化费用的瞬时变 化率 :
1 90% ;
298% .
思考 如何求函数 y ln x 2的导数呢?
若设u x 2x 2, 则y ln u.从而y lnx 2可以 看成是由y ln u 和u x 2x 2经过"复合" 得到
的,即y可以通过中间变量 u表示为自变量 x的函数.
导数的运算法则：
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的 导数的和(差),即: f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)


法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 , 即: f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) 法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方.即: f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
如果把 y 与u 的关系记作y f u , u 和 x的关系记作 u g x , 那么这个"复合" 过程可表示为 y f u f g x lnx 2.
2
我们遇到的许多函数都 可以看成是由两个函数 经过 " 复合" 得到的, 例如, 函数y 2 x 3 由y u 2和u 2 x 3 " 复合"而成, 等等.
y y ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱu
' x ' u
' x
e
0.05x 1
u '
'
0.05eu 0.05e0.05 x1.
3函数y sinx 可以看作函数y sin u和
u x 的复合函数 .
由复合函数求导法则有
' ' ' ' ' yx yu ux sin u x
1 练习:已知曲线 y x 3 在点P(1,1)处的切线与直线m平
1 4 t 4
行且距离等于 10 ,求直线m的方程.
1 练习:已知曲线 y x 3 在点P(1,1)处的切线与直线m平
(1.2.2)基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
' x ' u ' x ' '
' x
即y对x的导数等于 y对u的导数与u对x的导数的乘积 .
例 4 求下列函数的导数
1 y 2 x 3 ; 2 y e ; 3 y sin x 其中 , 均为常数.
2 0.05 x 1
解
' x
1函数y 2 x 3 可以看作函数y u 3和