解决函数-导数问题的常用方法
必须掌握的7种构造函数方法——合理构造函数，巧解导数难题
近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，但在平时的教学和考试中，发现很多学生不会合理构造函数，结果往往求解非常复杂甚至是无果而终．因此笔者认为解决此类问题的关键就是怎样合理构造函数，本文以近几年的高考题和模考题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结，供大家参考．一、作差构造法1．直接作差构造评注：本题采用直接作差法构造函数，通过特殊值缩小参数范围后，再对参数进行分类讨论来求解．2．变形作差构造二、分离参数构造法分离参数是指对已知恒成立的不等式在能够判断出参数系数正负的情况下，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量的不等式，只要研究变量不等式的最值就可以解决问题．三、局部构造法1．化和局部构造2．化积局部构造四、换元构造法换元构造法在处理多变元函数问题中应用较多，就是用新元去代替该函数中的部分（或全部）变元．通过换元可以使变量化多元为少元，即达到减元的目的．换元构造法是求解多变元导数压轴题的常用方法．评注：本题的两种解法通过将待解决的式子进行恰当的变形，将二元字母变出统一的一种结构，然后用辅助元将其代替，从而将两个变元问题转化一个变元问题，再以辅助元为自变量构造函数，利用导数来来求解。
其中解法1、解法2还分别体现了化积局部构造法和变形作差构造法．五、主元构造法主元构造法，就是将多变元函数中的某一个变元看作主元（即自变量），将其它变元看作常数，来构造函数，然后用函数、方程、不等式的相关知识来解决问题的方法.六、特征构造法1．根据条件特征构造2．根据结论特征构造七、放缩构造法1．由基本不等式放缩构造2．由已证不等式放缩构造评注：本题第二问是一道典型且难度比较大的求参问题，这类题目很容易让考生想到用分离参数的方法，但分离参数后利用高中所学知识无法解决，笔者研究发现不能解决的原因是分离参数后，出现了“0/0型”的式子，解决这类问题的有效方法就是高等数学中的洛必达法则；若直接构造函数，里面涉及到指数函数、三角函数及高次函数，处理起来难度很大．本题解法中两次巧妙利用第一问的结论，通过分类讨论和假设反正，使问题得到解决，本题也让我们再次体会了化积局部构造法的独特魅力．。
导数求解的常用方法
导数求解的常用方法导数是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在其中一点上的变化率。
求解导数的方法有很多，下面将介绍一些常用的方法。
1.通过定义求导：导数的定义是函数f(x)在点x0处的导数等于该点处的极限值，即：f'(x0) = lim (x→x0) ( f(x) - f(x0) ) / ( x - x0 )通过求解这个极限，可以得到函数在该点处的导数。
2.基本导数法则：基本导数法则包括常数导数、幂函数导数、指数函数导数、对数函数导数、三角函数导数等。
- 常数导数：对于常数c，其导数为0，即 d/dx (c) = 0。
- 幂函数导数：对于函数 f(x) = x^n，其中n为常数，其导数为d/dx (x^n) = n*x^(n-1)。
- 指数函数导数：对于函数 f(x) = a^x，其中a为常数，其导数为d/dx (a^x) = (ln(a))*a^x。
- 对数函数导数：对于函数 f(x) = log_a(x)，其中a为常数，其导数为 d/dx (log_a(x)) = 1 / (ln(a)*x)。
- 三角函数导数：对于函数 f(x) = sin(x)，其导数为 d/dx(sin(x)) = cos(x)。
通过使用这些基本导数法则，可以求解更复杂的函数的导数。
3.导数的性质：导数具有一些特殊的性质，包括和、差、积、商、复合函数的导数。
- 和差法则：对于两个函数f(x)和g(x)，其和的导数等于各自导数的和，即 d/dx (f(x) + g(x)) = d/dx (f(x)) + d/dx (g(x))；差的导数等于各自导数的差，即 d/dx (f(x) - g(x)) = d/dx (f(x)) - d/dx (g(x))。
- 积法则：对于两个函数f(x)和g(x)，其积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函数与第二个函数的导数的乘积，即 d/dx (f(x)*g(x)) = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)。
构造函数解决导数问题的常用模型
构造函数解决导数问题的常用模型求导是数学中常见的一类问题，它是估算函数的变化趋势的基本方法。
求解导数的方法和理论可以追溯到欧几里德几何学的时期，而现代数学中的求导知识则是统计学和微分几何学中的重要内容。
随着科学技术的进步，如今求导的方法有了很大的进步，专门的数学模型也用于求解导数问题。
构造函数是一种具有良好结构性和函数形式的表达式，它具有宽泛的数学推理能力，可以解决复杂的数学问题，其中包括求解导数问题。
构造函数解决导数问题的常用模型是利用构造函数求函数的导数的方法。
首先要解决的是函数的求导，而具体的求导方法是根据构造函数的函数形式来进行求解的。
函数的形式分为一阶、二阶、及高阶，这些形式是使用构造函数求函数导数的基本方法。
一阶函数可以使用构造函数求解，一阶函数求导的基本方法是利用微积变换定理进行求解。
微积变换定理。
它将微积分替换为定积分，这样就可以利用定积分的技巧来求出函数的导数。
二阶函数求导也可以使用构造函数求解，二阶函数求导的方法是利用方程的极值问题解决的。
有时候二阶函数不是方程的极值，而是一个复杂的一阶函数。
在这种情况下，可以利用定积分分析和积分变换法来求出它的导数。
高阶函数求导可以使用微积变换公式进行计算，高阶函数求导的方法是利用函数形式求出函数的导数。
在求解高阶函数的导数时，需要利用的微积变换公式是:简高阶函数的同时，注意计算每项函数的导数，最终得到函数的导数。
一些复杂的函数不能利用上述方法求出其导数，此时可以利用构造函数的函数形式求解。
这些函数形式可以组合，形成一个复杂的函数，并且利用函数形式求出函数的导数，从而求得函数的导数。
构造函数解决导数问题的常用模型是分别根据一阶、二阶、及高阶函数的函数形式进行求函数的导数。
同时，还有一些复杂的函数的求导可以利用构造函数的函数形式来解决。
这是解决导数问题的常用模型，比较有效，而且容易理解和实现。
总之，构造函数解决导数问题的常用模型是受到许多数学理论的影响，利用构造函数的函数形式求解函数的导数，这种模型相对有效且容易理解实现。
导数问题中的逼近法
导数问题中的逼近法简介在数学中，求解导数问题是一种常见的任务。
逼近法是一种通过近似计算来解决导数问题的方法。
本文将介绍几种常用的逼近法，包括前向差分逼近法、后向差分逼近法和中心差分逼近法。
前向差分逼近法前向差分逼近法是一种通过向前微小偏移来近似计算导数的方法。
该方法通过计算函数在当前点和稍微向前偏离点的取值，来估计导数的值。
具体而言，前向差分逼近法的公式如下所示：导数 = (f(x + h) - f(x)) / h其中，f(x)表示函数在当前点的值，h表示微小的增量。
后向差分逼近法后向差分逼近法与前向差分逼近法类似，只是它是通过向后微小偏移来近似计算导数的。
该方法通过计算函数在当前点和稍微向后偏离点的取值，来估计导数的值。
后向差分逼近法的公式如下所示：导数 = (f(x) - f(x - h)) / h其中，f(x)表示函数在当前点的值，h表示微小的增量。
中心差分逼近法中心差分逼近法是一种结合了前向差分和后向差分的方法，它通过计算函数在当前点前后微小偏移的取值，并取平均值来近似计算导数。
具体而言，中心差分逼近法的公式如下所示：导数 = (f(x + h) - f(x - h)) / (2h)其中，f(x)表示函数在当前点的值，h表示微小的增量。
总结逼近法是一种常用的解决导数问题的方法。
本文介绍了前向差分逼近法、后向差分逼近法和中心差分逼近法这三种常用的逼近方法。
通过这些方法，我们可以在计算导数时进行近似计算，并获得较为准确的结果。
参考文献：- 张敏, 杨晓峰. 高等数学[M]. 清华大学出版社，2012.。
解决函数-导数问题的常用方法
【典型例题分析】
考点一、利用导数求解函数的单调性问题
考点二、求函数的极值问题
极值点的导数一定为0(连续可导函数)， 但导数为0的点不一定是极值点，同时不可 导的点可能是极值点.因此函数的极值点只能 在导数为0的点或不可导的点产生.利用导数 求函数的极值主要题型： (1)根据函数解析式求极值； (2)根据函数的极值求解参数问题.解答时要 注意准确应用利用导数求极值的原理求解.
考点五、导数与数学建模的问题
此类试题主要是利用函数、不等式与导数 相结合设计实际应用问题，旨在考查考生在数 学应用方面阅读、理解陈述的材料，能综合应 用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的 能力，这是高考中的一个热点.解答类似于本题 的问题时，可从给定的数量关系中选取一个恰 当的变量，建立函数模型，然后根据目标函数 的结构特征(非常规函数)，确定运用导数最值 理论去解决问题.
【突破方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ巧】
1．讨论函数的性质时，必须坚持 定义域优先的原则.对于函数实际应 用问题，注意挖掘隐含在实际中的 条件，避免忽略实际意义对定义域 的影响.
2．运用函数的性质解题时，注意 数形结合，扬长避短.
3．对于含参数的函数，研究其性质 时，一般要对参数进行分类讨论，全 面考虑.如对二次项含参数的二次函 数问题，应分a＝0和a≠0两种情况讨 论，指、对数函数的底数含有字母参 数a时，需按a＞1和0＜a＜1分两种 情况讨论. 4．解答函数性质有关的综合问题时 ，注意等价转化思想的运用.
考点三、求解函数的最值问题
考点四、函数与导数综合问题
导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后 ，拓展了高考对函数问题的命题空间。对研究函数 的目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶 性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数， 分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函 数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题的命 制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体 ，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调 性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等 问题，这类题难度比较大，综合性强，内容新，背 景新，方法新，是高考命题的热点。解题中需用到 函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、 转化与划归思想。
解导数题的几种构造妙招
高二数学2021年4月解导数题的几种构造妙招■河南省商丘市应天高中在解导数有关问题时，常常需要构造一个辅助函数，然后利用导数解决问题，怎样构造函数就成了解决问题的关键，本文给出几种常用的构造方法，以抛砖引玉。
一.联想构造侧f函数于(工)在其定义域内满足鼻才(鼻)+于(鼻)=eS且/(I)=e,则函数于(刃()。
A.有极大值，无极小值张振继(特级教师)解：令(鼻)=e"—In鼻，则f(h)=e"——=——。
令fj)=o,则鼻云一1=0。
oc JC根据y=e"与y=丄的图像可得，两个图像交点的横坐标^O e(o,i),所以力(鼻)在(o, 1)上不单调，无法判断于(口)与于(％)的大小，A、B不正确。
同理，构造函数g(工)=兰，可证g(鼻)在(0,1)上单调递减，所以3C.B.有极小值，无极大值C.既有极大值，又有极小值D.既无极大值，又无极小值分析：联想导数的运算法则,(/(x)・/(rc),于是构造函数g(x)=^/(x)o其导数已知，所以±/(h)=X+C，确定常数C,求得fS=兰JC°解：设g(鼻)=xf(h),则g'(rc)=広f Gr)+_/'Q)=eJ可设ga)=e’+C，即•x/*a)=b+C(C为常数)。
令h=1,则1・/(l)=e+C o又/'(1) =e，故C=0,g(rc)=e",即讨(rc)=e"。
q"(qr-[)所以fS=—,f'S=―。
工rc/(乂)在(一*,0),(0,1)上单调递减，在(1,+*)上单调递增。
所以/(工)有极小值，无极大值，选B。
二、同构构造侧2【2014年湖南卷】若0Vm<Z j^2 VI,则()。
A.e2—e1>ln rc2—In鼻】B.e2—e1Vln孔—In rrjC.rr2e1>5e2D.jr2e1<C je!e2分析：将等式或不等式的两边化为相同结构形式，可以根据结构形式构造辅助函数解题。
导数零点问题解题方法
导数零点问题解题方法
一、不定积分求导数
1、首先要找到函数的原函数表达式：通过求导将函数原函数表达式带
入不定积分解析；
2、可以把函数分解成多项式简化解析过程，然后再求出各项求和得到
函数的原函数表达式；
3、利用反代的方法，根据函数的原函数表达式求得函数的导数；
4、如果函数原函数表达式不明确，亦可通过拉格朗日方法求导数解决。
二、图解法
1、首先在图像的横轴上取某个点作为参考点，观察左右坐标两边函数
有无十字交点；
2、如果有十字交点，说明这个点运动时X坐标是不变的，且该点应为
函数的零点；
3、如果求解的是函数的导数，需要把函数以十字交点两点为原点，重
新建立一个图象；
4、再对这个新图象进行分析，从图象中观察函数的曲线，从而解出函数的导数零点。
三、斜截式法
1、将函数的绝对值大于零的点用斜线连接起来，形成斜截线；
2、用斜截线代替函数曲线，从而可以推算出函数的零点及零点处的函数切线斜率；
3、它是一种比较粗略的解决方案，当函数曲线较复杂时，效果不是很好。
四、数值法
1、将函数设置初值和步长，运用循环语句求函数的极值点：比较前后两点的函数值的大小，当函数值变化符号变化时，则此时所在点便是函数的零点。
2、确定一定区间后，可以运用不定积分法与理论解求导比较所求函数的零点的准确性；
3、如果此法在大量求穷使用插值表、计算机等技术，获得更精确的解决方案。
专题25 参变分离法解决导数问题(解析版)
专题25 参变分离法解决导数问题(解析版)参变分离法解决导数问题导数是微积分的重要概念之一，对于一元函数而言，导数可以帮助我们求得函数在某一点的变化率。
而在解决导数问题时，有时使用常规的求导公式可能较为繁琐，这时可以借助参变分离法来简化计算过程。
本文将详细介绍参变分离法的原理和具体步骤，并通过实例说明其应用方法。
一、参变分离法的原理参变分离法源于微积分中的隐函数求导法则，通过将自变量和因变量同时表示成一个中间变量的函数，从而将求导问题转化为求中间变量的导数。
利用中间变量的导数表达式，再通过代换和消元的方法，最终得到所求导数的表达式。
二、参变分离法的步骤对于使用参变分离法解决导数问题，一般可以遵循以下步骤：1. 确定需要求导的函数及相关变量。
2. 将因变量和自变量表示成一个中间变量的函数，并确定该中间变量的表达式。
3. 分别求中间变量对自变量和中间变量对因变量的导数。
4. 借助中间变量的导数表达式，通过代换和消元的方法得到所求导数的表达式。
三、参变分离法的应用实例为了更好地理解参变分离法的具体应用方法，下面以一个实际问题为例进行说明。
在一条直线上，有两个点A和B，分别对应的横坐标分别为x和x+h。
点A和B到该直线的距离分别为y和y+h。
求点A和点B之间的斜率。
解题步骤如下：1. 确定函数及相关变量：函数：f(x) = √(1+x^2)相关变量：x, h2. 表达因变量和自变量成中间变量的函数：令z = √(1+x^2)，则f(x) = z3. 求中间变量对自变量和中间变量对因变量的导数：dz/dx = (d(√(1+x^2)))/(dx)= (2x)/(2√(1+x^2))= x/√(1+x^2)4. 借助中间变量的导数表达式，通过代换和消元的方法得到所求导数的表达式：斜率 = (f(x+h) - f(x))/h= (z+h - z)/h= (z+z(x+h))/h= (2z+h)/h= (2√(1+x^2) + h)/(h)通过以上步骤，我们得到了点A和点B之间的斜率表达式，将h取极限求得导数。
高中导数解题方法归纳总结
高中导数解题方法归纳总结导数是微积分中的重要概念，是描述函数在某一点处变化率的数学工具。
在解题过程中，运用正确的导数解题方法能够有效地解决各种导数相关问题。
本文将对高中导数解题方法进行归纳总结，旨在帮助同学们更好地理解和应用导数。
一、函数求导法则在导数的计算过程中，掌握函数求导的基本法则是非常重要的。
以下是几个常见的函数求导法则：1. 常数法则：对于常数函数f(x)=c，导数恒为0，即f'(x)=0。
2. 幂函数求导法则：对于幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，导数为f'(x)=nx^(n-1)。
3. 指数函数求导法则：对于指数函数f(x)=a^x，其中a为常数且a>0且a≠1，导数为f'(x)=a^x * ln(a)。
4. 对数函数求导法则：对于对数函数f(x)=log_a(x)，其中a为常数且a>0且a≠1，导数为f'(x)=1 / (x * ln(a))。
5. 三角函数求导法则：对于常见的三角函数（如sin(x)，cos(x)，tan(x)等），可以利用导数定义或相关恒等式来求导。
二、导数的基本运算法则导数运算法则是在函数求导法则的基础上发展起来的，它能够简化复杂函数的求导过程。
以下是几个常见的导数运算法则：1. 和差法则：对于两个函数f(x)和g(x)的和函数，其导数为(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)；对于两个函数f(x)和g(x)的差函数，其导数为(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。
2. 积法则：对于两个函数f(x)和g(x)的乘积函数，其导数为(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
3. 商法则：对于两个函数f(x)和g(x)的商函数，其导数为(f/g)'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x)) / (g(x))^2。
几个常见的导数问题及其求解方法
１— — 一 解 ≥， Ｊ ＿ 一≤ 且 ，得Ⅱｊ。 — — ， ＞
一
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Ｌ ——■ 一
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所以实数 。的取值范围是［ ， 。． ÷ ＋ｏ）
例 ２ 设 函数 厂 ：似 ＋—ｌ （ ， ∈Ｚ ， （ ） ＿ ａ ｂ ）曲
．
吉 一 － 吉 一
数 ， ｎ的取值 范围。 求
说 明 ： 小 题 主 要 考 查 导 数 计算 ， 用 导 数研 究 本 应 函数的单调性 ， 考查分类讨论的数学思想 。 解 ： Ｉ）． （ ＝ ＋似 ＋ １ ．ｆ ） （ ‘厂 ） ＋ ，・ （ ＝ ．
３ ＋ ２ａ ｘ＋ １ 。
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｛ ’ 【 １ 。 一 西
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， 或
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８
下面通过三个问题来阐述 导数 问题及其常规求解方 法， 希望对 同学们复 习备考有所帮助和启示 。 例 １ 已知 函数 厂 ＝ ＋ ＋ ＋１ｎ （ 。 ） ， ∈Ｒ． （ 讨论 函数 厂 的单调区间 ； Ｉ） （ ）
＝
线 ） （ 在点 （ ＿（）处 的切线方程为 Ｙ 。 ， ） ＝厂 ２ 厂２ ） ：３ （ 求 Ｙ＝ ） Ｉ） 的解析式 ； Ⅱ） 明： （ 证 曲线 Ｙ： 厂 的图象是一个中心对称 图形 ， （ ） 并求其对称 中心 ； （ 证明 ： Ⅲ） 曲线 Ｙ＝厂 ） （ 上任 一点处 的切线 与直线 １ 和直线 Ｙ＝ 所 围成 的三角形面积 为定 值 ， 并 求 出此 定 值 。 ’
／— ＿ ＿
） 上单调递
） 单 调 递 上
令 ＝１得 ｙ＝ｘ ＋ ， ｏ
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（， １
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） 。
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导数求解的常用方法
导数求解的常用方法导数求解的常用方法摘要：导数的求解问题在高等数学中是一个重点，也是一个难点。
又因为它是后继某些章节的基础，所以要想学好这一部分，就应该系统地总结导数求解的方法。
常用的求导方法有定义法、公式法、导数的四则运算、复合函数求导、隐函数求导、参数方程求导以及高阶导数等。
关键词：函数求导方法导数的求解以及跟导数相关的命题在历年的考试中，无论是在自学考考还是在成人高考中，所占的比重都相当高。
这一部分也是后继内容如积分问题、微分方程问题、多元函数微积分等问题的必要基础。
因此学好这一部分是取得这门课程高分的关键!在以前的教学过程中，我发现很多学生对数学的学习很吃力，关键是没有找到学习这门课程的技巧和方法。
在此，我结合教学过程中学生经常出现的问题对导数的求解问题进行详细的介绍，以便帮助大家取得理想的成绩。
现在(主要以20XX年成人高考数学一以及20XX年4月份全国自学考试高等数学试题为例)就以上的各种方法进行详细的讨论。
一、定义法任何定义都是解决问题的基础，导数的定义同样也是。
导数的定义如下：设函数y=f(x)在点x 的某一邻域内有定义，若自变x在处x 的改变量为Δx（x ≠0，x +Δx仍在该邻域内）时，相应的函数有增量Δy=f(x +Δx)-f(x )；如果Δy与Δx之比当Δx→0时，有极限=存在，则称这个极限为函数y=f(x)在点x 的导数。
并且说，函数y=f(x)在点x 可导，记作f′（x ）。
［１］对于导数定义的应用，一般来说，是用来解决如分段函数或者是针对定义的灵活应用上。
以成考试题的选择题第3题为例，题目如下：上面的题目就是对定义的考察，在处理这个题目的时候，一定要深刻理解定义的表达，下面从定义着手解答。
解答过程如下：因此正确的选择项为A。
对于分段函数的求导问题，自学考试的填空题第9题:[解]首先要求出左、右导数，然后比较二者是否相等。
由已知条件知道:由于左右极限存在但不相等，所以函数在x 处导数不存在。
高考压轴题：导数题型及解题方法归纳
高考压轴题：导数题型及解题方法一．切线问题题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。
方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。
题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。
方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。
注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。
例 已知函数f （x ）=x 3﹣3x ．（1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ）（2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、 （提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。
将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。
（答案：m 的范围是()2,3--）练习 1. 已知曲线x x y 33-=（1）求过点（1，-3）与曲线x x y 33-=相切的直线方程。
答案：（03=+y x 或027415=--y x ）（2）证明：过点（-2,5）与曲线x x y 33-=相切的直线有三条。
2.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切，求a 的值. （答案：1）题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。
方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。
（)(,22x f x ）；进而求出切线方程。
解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。
例 求曲线2x y =与曲线x e y ln 2=的公切线方程。
（答案02=--e y x e ）练习 1.求曲线2x y =与曲线2)1(--=x y 的公切线方程。
利用函数与导数解决不等式问题的几种常见方法_
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利用函数与导数解决不等式问题的几种常见方法
作者：沈雪明
来源：《高考进行时·高三数学》2013年第04期
“解一元二次不等式”和“基本不等式（二元）”这两个知识点在《考试说明》中为C级（掌握级）要求，足以表明它们在试卷命题中有着极其重要的地位.函数又是数学的核心，因而不
等式问题与函数的结合既是高考中的一个热点问题，也是深化数学知识间融会贯通，提高分析问题和解决问题的能力重要呈现的地方。
同时在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题过程中，有利于提高考生的数学素养和创新意识。
一、数形结合法
二、变更主元法
三、分段讨论法
2. 在具体解题时还是要注重通性通法，技巧性解法往往有它在特定条件下的特殊要求。
四、单调性法
五、等价转换法
点拨 1. 本题主要考查函数恒成立问题的基本解法。
2. 本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。
七、构造函数法。
函数的导数求解技巧与应用解析
函数的导数求解技巧与应用解析在数学中，函数的导数是解析、求极值和无穷小问题的基础。
因此，学会函数的导数求解技巧对于理解数学和应用数学知识都至关重要。
一、导数的概念导数，简单来说就是函数的变化率。
更为具体地说，如果一个函数f(x)在点x处的导数存在，那么它表示当自变量x在x处增量为dx时，函数f(x)的增量df/dx。
导数也可以理解为函数在某一点的切线的斜率。
导数的数学符号是f'(x)，也可以写作dy/dx或y'。
这意味着如果一个函数y=f(x)，那么它的导数就是函数的归纳性质。
导数的存在性是函数连续性的一个必要条件。
如果函数在某个点不存在导数，那么这个点就是间断点。
二、导数求解技巧导数的求解需要使用一些方法和规则。
下面是一些常用的导数求解技巧：1.普通函数求导在求一个函数的导数时，通常可以使用求导法则来帮助我们得出正确答案。
求导法则包括以下几个：一次函数的导数就是它的斜率，即f'(x)=k。
幂函数的导数是通过与自变量乘以变量的指数再减一来计算的，即f'(x)=nx^(n-1)。
求对数函数的导数需要使用链式求导法则。
这是因为对数函数是指数函数的反函数，因此必须对指数函数求导。
因此，f'(x)=(ln(x))'=1/x。
三角函数的导数被定义为这些函数的导数，即f'(x)=cos(x)、sin(x)、tan(x)。
2.链式求导法吸收链式求导法则是一种计算复杂函数导数的方式，既可用于解决特定问题，也可用于商业和科学计算。
它用于处理例如复合函数的解析式之类的问题。
如果一个函数g(x)是由函数f(x)和变量u(x)的复合构成的，那么它的导数为g'(x)=f'(u)*u'(x)。
这个公式描述了一个变量的导数，因为它表明了在u不断变化时，函数g在x处的导数是由u在x处的导数u'(x)和函数f在u(x)处的导数f'(u(x))的乘积所确定的。
数学解决函数方程问题的四种常见方法
数学解决函数方程问题的四种常见方法在数学领域，函数方程问题一直是一个重要的研究方向。
解决函数方程问题的方法有很多，但其中有四种方法是最常见和最经典的。
本文将对这四种方法进行详细介绍，帮助读者更好地理解和掌握这些方法。
一、代数法代数法是解决函数方程问题最基本的方法之一。
它通过将未知函数表示为一个或多个变量的代数表达式，然后利用方程的性质进行变形和运算，最终得到函数的解。
在代数法中，常用的技巧包括代入法、消元法和配凑法等。
通过这些技巧，我们可以将复杂的函数方程转化为简单的代数方程，从而更容易求解。
二、几何法几何法是解决函数方程问题的另一种重要方法。
它通过利用几何图形和几何性质来解释函数的性质和方程的意义，从而得到方程的解。
在几何法中，我们常常利用几何图形的对称性、平移性和旋转性等性质，结合函数的定义和方程的条件，来推导出函数的解。
这种方法不仅直观，而且可以帮助我们更好地理解函数方程的本质和几何意义。
三、递推法递推法是解决函数方程问题的一种迭代推导方法。
它通过构造一个递推序列，利用序列中前一项和后一项之间的关系来求解函数方程。
递推法在解决一些特殊类型的函数方程问题时非常有效，例如线性递推方程、二项式递推方程等。
通过寻找递推序列的通项公式，我们可以得到函数的解析表达式，从而解决函数方程问题。
四、分析法分析法是解决函数方程问题的一种基于数学分析的方法。
它通过利用导数、积分和极限等数学工具，对函数进行分析和推导，从而解决函数方程。
在分析法中，我们常常利用函数的导数性质、连续性和极限值等特点，来推导函数的性质和解析表达式。
这种方法在解决一些复杂的函数方程问题时非常有效，但需要一定的数学分析基础和技巧。
在实际应用中，以上四种方法常常互相结合，相互补充，形成一个有机整体。
通过灵活运用这些方法，我们可以更准确地解答各类函数方程问题。
对于不同类型的函数方程问题，选择合适的方法非常重要。
在实际解决问题时，我们需要根据具体情况选择合适的方法，从而更好地解决函数方程问题。
高考数学导数题的几种解题方法
例题 (2014 年全国Ⅰ卷，理 21) 设函数
，
曲线
在点 (1，f (1)) 处的切线为 y= e(x-1)+2
(I) 求 a, b；( Ⅱ ) 证明：
.
( 放缩成二次函数 ) ( 放缩成类反比例函数 )
二、指数放缩 ( 放缩成一次函数 ) ( 放缩成类反比例函数 ) ( 放缩成二次函数 ) 三、指对放缩
∴ ψ(x) 在 [0，＋∞ ) 上单调递增， ∴ x ＞ 0 时，ψ(x) ＞ ψ(0) ＝ 0. 令 x ＝ b － a，即得 (*) 式，结论得证．
58
高考数学导数试题解题研究——以 2013-2016 年新课标全国卷为例，云南师范大学 2017 作者简介：宋傲寒 (2000.12) 女 , 民族：汉族 , 籍贯：山东省 莒南县 , 学校：山东省淄博第十一中学。
例题 ( 全国卷 ) 已知函数
，曲线 y=f(x) 在点
(1，f(1)) 处的切线方程为 x+2y-3=0， ( Ⅰ ) 求 a、b 的值；
( Ⅱ ) 如果当 x ＞ 0，且 x ≠ 1 时， 取值范围。
解析 ( Ⅰ ) 略解得 a=1 b=1 ( Ⅱ )( 洛必达法则 )
，求 k 的那么比较 Nhomakorabea与
的大小
(3) 设 a ＜ b，比较
与
的大小，并说明
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神州教育
理由．
解析 2013 陕西理数第 21 题第三问 即可使用浮出主元法的
方法进行运算
(1)f(x) 的反函数为 g(x)=lnx.
设直线 y=kx+1 与 g(x)=lnx 的图像在 P(x0，y0) 处相切，则有
y0=kx0+1=lnx0，k=g'(x0)= ，解得 x0=e2，
巧妙导数压轴题
巧妙导数压轴题
摘要：
1.导数压轴题的概念和特点
2.解决导数压轴题的常用方法
3.导数压轴题的实战演练
4.总结与展望
正文：
一、导数压轴题的概念和特点
导数压轴题是指在高考数学压轴题中，涉及到导数知识的问题。
它具有以下特点：题目难度较大，对学生的综合运用能力要求高，涉及知识点较多，考查学生的逻辑思维能力和创新能力。
二、解决导数压轴题的常用方法
1.导数与函数的性质相结合：导数是函数在某一点的变化率，因此可以利用导数研究函数的极值、最值、单调性等性质。
2.导数的几何意义：导数可以表示函数在某一点的切线斜率，因此可以利用导数解决一些几何问题。
3.利用导数的应用：如求解速度与加速度、变化率、切线方程等问题。
4.利用导数的性质：如求解函数的极值、最值、单调性等问题。
5.构造函数：通过构造函数，将问题转化为求解导数问题。
三、导数压轴题的实战演练
例题：已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c，求f"(x)。
解：由导数的定义可知，f"(x)=lim_(h->0) [(f(x+h)-f(x))/h]。
将函数f(x) 代入得f"(x)=lim_(h->0) [((x+h)^3+a(x+h)^2+b(x+h)+c)-
(x^3+ax^2+bx+c))/h]。
经过化简，得f"(x)=3x^2+2ax+b。
四、总结与展望
导数压轴题是高考数学中的一个重要题型，解决这类问题需要学生具备扎实的导数知识，并能灵活运用导数的性质、几何意义及应用。
第二节 第3课时 手握方法巧破障——破解“函数与导数”问题常用到的4种方法
[解] (1)对 f(x)求导，得 f′(x)＝1x＋2ax＝2axx2＋1(x>0)．当 a≥0 时，f′(x)>0 恒 成立，可知函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当 a<0 时，令 f′(x)＝0，解得 x＝ －21a.
类型(二) 由定义域或给定区间引发的分类 [例 2] 已知函数 f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x. (1)若函数 g(x)＝f(x)－ax2＋1，在其定义域上 g(x)≤0 恒成立，求实数 a 的最小 值； (2)若当 a>0 时，f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，求实数 a 的取值范围．
＝ex[f′(x)＋f(x)]＝ex·3x2e－x＝3x2，故 F(x)＝x3＋c(c 为常数)，所以 f(x)＝x3e＋x c， 又 f(0)＝0，所以 c＝0，f(x)＝xex3.因为 f′(x)＝3x2e－x x3，易知 f(x)在区间(－∞，3]
上单调递增，在[3，＋∞)上单调递减，f(x)max＝f(3)＝2e73 ，无最小值，故选 C. 答案：C
[归纳总结] 构造函数解决导数问题常用模型 (1)条件：f′(x)>a(a≠0)：构造函数：h(x)＝f(x)－ax. (2)条件：f′(x)±g′(x)>0：构造函数：h(x)＝f(x)±g(x)． (3)条件：f′(x)＋f(x)>0：构造函数：h(x)＝exf(x)． (4)条件：f′(x)－f(x)>0：构造函数：h(x)＝fexx. (5)条件：xf′(x)＋f(x)>0：构造函数：h(x)＝xf(x)． (6)条件：xf′(x)－f(x)>0：构造函数：h(x)＝fxx.
如何高效解决复杂的函数求导问题
如何高效解决复杂的函数求导问题函数求导是微积分中的重要概念，对于复杂的函数求导问题，我们需要采取一些高效的方法来解决。
本文将介绍一些解决复杂函数求导问题的有效技巧和方法。
一、利用基本求导法则简化问题基本求导法则是函数求导的基础，我们可以通过运用这些法则来简化复杂函数的求导过程。
以下是一些常用的基本求导法则：1. 常数法则：对于常数c，其导数为0。
2. 幂法则：对于幂函数，求导的结果等于指数乘以底数的指数减一。
3. 和差法则：对于两个函数的和或差，求导的结果等于这两个函数的导数之和或差。
4. 乘积法则：对于两个函数的乘积，求导的结果等于第一个函数乘以第二个函数的导数，再加上第一个函数的导数乘以第二个函数。
5. 商法则：对于两个函数的比值，求导的结果等于分子的导数乘以分母，再减去分子乘以分母的导数，除以分母的平方。
通过运用这些基本求导法则，我们可以将复杂函数逐步化简为简单的部分，从而更容易求导。
二、使用链式法则解决复合函数求导链式法则是处理复合函数求导的重要方法。
当需要求解复杂函数的导数时，如果该函数可以分解为多个嵌套的函数，我们可以使用链式法则将其转化为求导简单的部分。
链式法则的表达式为：若函数f(x) = g(u(x))，其中u(x)是x的函数，则f'(x) = g'(u(x)) * u'(x)。
通过链式法则，我们可以逐层求导，将复杂函数分解为多个简单函数的导数乘积，从而更方便地求解导数。
三、使用导数表简化计算对于一些常见函数，我们可以使用导数表来简化计算。
导数表是已经计算好的一些函数的导数表格，我们可以直接查表获得函数的导数，而不需要进行繁琐的求导计算。
常见函数的导数表包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
在解决复杂函数求导问题时，可以利用这些导数表来简化计算，提高效率。
四、利用符号计算软件进行计算对于非常复杂的函数求导问题，手工计算可能会非常繁琐且容易出错。
在这种情况下，我们可以借助符号计算软件进行计算，例如Mathematica、Maple等。
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1．讨论函数的性质时，必须坚持 定义域优先的原则.对于函数实际应 用问题，注意挖掘隐含在实际中的 条件，避免忽略实际意义对定义域 的影响. 2．运用函数的性质解题时，注意 数形结合，扬长避短.
3．对于含参数的函数，研究其性质 时，一般要对参数进行分类讨论，全 面考虑.如对二次项含参数的二次函 数问题，应分a＝0和a≠0两种情况讨 论，指、对数函数的底数含有字母参 数a时，需按a＞1和0＜a＜1分两种 情况讨论. 4．解答函数性质有关的综合问题时 ，注意等价转化思想的运用.
【典型例题分析】
考点一、利用导数求解函数的单调性问题
考点二、求函数的极值问题 极值点的导数一定为0(连续可导函数)， 但导数为0的点不一定是极值点，同时不可 导的点可能是极值点.因此函数的极值点只能 在导数为0的点或不可导的点产生.利用导数 求函数的极值主要题型： (1)根据函数解析式求极值； (2)根据函数的极值求解参数问题.解答时要 注意准确应用利用导数求极值的原理求解.
考点ห้องสมุดไป่ตู้、导数与数学建模的问题
此类试题主要是利用函数、不等式与导数 相结合设计实际应用问题，旨在考查考生在数 学应用方面阅读、理解陈述的材料，能综合应 用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的 能力，这是高考中的一个热点.解答类似于本题 的问题时，可从给定的数量关系中选取一个恰 当的变量，建立函数模型，然后根据目标函数 的结构特征(非常规函数)，确定运用导数最值 理论去解决问题.
考点三、求解函数的最值问题
考点四、函数与导数综合问题
导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后 ，拓展了高考对函数问题的命题空间。对研究函数 的目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶 性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数， 分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函 数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题的命 制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体 ，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调 性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等 问题，这类题难度比较大，综合性强，内容新，背 景新，方法新，是高考命题的热点。解题中需用到 函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、 转化与划归思想。