九年级数学下册：相似三角形

九年级数学下册：相似三角形专题一相似形中的开放题1．如图，在正方形网格中，点A﹨B﹨C﹨D都是格点，点E是线段AC上任意一点．如果AD=1，那么当AE=时，以点A﹨D﹨E为顶点的三角形与△ABC相似．1．已知：如图，△ABC中，点D﹨E分别在边AB﹨AC上.连接DE并延长交BC的延长线于点F，连接DC﹨BE，∠BDE+∠BCE=180°.(1)写出图中三对相似三角形（注意：不得添加字母和线）；(2)请你在所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由.专题二相似形中的实际应用题3．如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=n，且量得CD=b，求厚度x.专题三相似形中的探究规律题4．某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，AB＝50 cm，依次裁下宽为1 cm的矩形纸条a1﹨a2﹨a2…若使裁得的矩形纸条的长都不小于5 cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )A．24 B．25 C．26 D．275．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．（1）如图①，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，求正方形的边长；（2）如图②，正方形DKHG，EKHF组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；（3）如图③，三个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长；（4）如图④，n个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长．专题四相似形中的阅读理解题6．某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义﹨判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去，例如，可以定义：圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫相似扇形；相似扇形有性质：弧长比等于半径比，面积比等于半径比的平方…，请你协助他们探索下列问题：(1)写出判定扇形相似的一种方法：若，则两个扇形相似；(2)有两个圆心角相同的扇形，其中一个半径为a，弧长为m，另一个半径为2a，则它的弧长为；(3)如图1，是—完全打开的纸扇，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB为30cm,现要做一个和它形状相同，面积是它的一半的纸扇（如图2），求新做纸扇（扇形）的圆心角和半径.图1 图2专题五相似形中的操作题7．宽与长的比是215的矩形叫黄金矩形，心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调﹨匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．8．如图①，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起．（1）操作：如图②，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时F C交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）．求证：BH•GD=BF2；（2）操作：如图③，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B﹨D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG．探究：FD+DG= DB，请给予证明．专题六相似形中的综合题9．正方形ABCD的边长为4，M﹨N分别是BC﹨CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM=时，四边形ABCN的面积最大．10．如图，在锐角△ABC 中，AC 是最短边，以AC 的中点O 为圆心，21AC 长为半径作⊙O ，交BC 于E ，过O 作OD ∥BC 交⊙O 于D ，连接AE ﹨AD ﹨DC ．（1）求证：D 是 ⌒AE 的中点；（2）求证：∠DAO =∠B +∠BAD ；（3）若21=∆∆OCD CEF S S ，且AC =4，求CF 的长.【知识要点】1．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例.2．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等.3．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.4．如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.5．如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.6．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.7．相似三角形周长的比等于相似比.相似多边形周长的比等于相似比.8．相似三角形对应高的比等于相似比.9．相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似多边形面积的比等于相似比的平方.【温馨提示】1．平行线分线段成比例时，一定找准对应线段.2．当已知两个三角形有一组对应角相等，利用夹这个角的两边对应成比例来判定它们相似时，比例式常有两种情况，考虑不全面是遗漏解的主要原因.3．数学猜想需要严密的推理论证说明其正确性，规律的发现与提出需要从特殊到一般的数学归纳思想，平时要养成观察﹨分析问题的习惯.【方法技巧】1．相似三角形对应角平分线的比等于相似比；相似三角形对应中线的比等于相似比.2．在平面几何中，求图形中等积式或等比式时，一般地首先通过观察找出图形中相似的三角形，再从理论上证明观察结论的正确性，最后运用相似形的性质来解决问题.参考答案1．22或42 【解析】根据题意得AD =1，AB=3，AC =2266+=26，∵∠A=∠A ，∴若△ADE ∽△ABC 时，ACAE AB AD =，即2631AE =，解得AE =22. 若△ADE ∽△ACB 时，AB AE AC AD =362AE =，解得AE=42. ∴当AE =22或42时，以点A ﹨D ﹨E 为顶点的三角形与△ABC 相似． 2．解：（1）△ADE ∽△ACB ，△CEF ∽△DBF ，△EFB ∽△CFD (不唯一).（2）由∠BDE+∠BCE =180°，可得∠ADE=∠BCE . ∵∠A=∠A ，∴△ADE ∽△ACB ; ∴AC AD =ABAE .∵ ∠A=∠A ， ∴△AEB ∽△ADC ;∵∠BDE+∠BC E =180°，∠BCE+∠ECF =180°，∴∠ECF=∠BDF ，又∠F=∠F ，∴△CEF ∽△DBF ;∴BF EF =DFCF ，而∠F=∠F ，∴△EFB ∽△CFD . 3．解：∵ OA :OC ＝OB :OD ＝n 且∠AOB ＝∠COD,∴△AOB ∽△COD .∵ OA:OC ＝AB:CD ＝n ,又∵CD ＝b,∴AB=CD ·n ＝nb ，∴x ＝a －AB 2 ＝a －nb 2. 4．C 【解析】设裁成的矩形纸条的总数为n ，且每条纸条的长度都不小于5cm ，2240(cm)BC AB AC =-=．设矩形纸条的长边分别与AC ﹨AB 交于点M ﹨N ，因为 △AMN ∽△ACB ，所以BC MN AC AM =．又因为AM=AC-1·n=30-n ，MN ≥5 cm ，所以4053030≥-n ，得n ≤26.25，所以n 最多取整数26．5．解：（1）在题图①中过点C 作CN ⊥AB 于点N ，交GF 于点M ．因为∠C =90°，AC =4，BC =3，所以AB =5． 因为21×5CN=21×3×4，所以CN=512．因为GF ∥AB ，所以∠CGF=∠A ，∠CFG=∠B ，所以△CGF ∽△CAB ，所以AB GF CN CM =． 设正方形的边长为x ，则1251255x x -=，解得3760=x ．所以正方形的边长为3760． （2）同（1），有12251255x x -=，解得4960=x ． （3）同（1），有12351255x x -=，解得6160=x ． （4）同（1），有1251255x nx -=，解得nx 122560+=． 6．解：(1)答案不唯一，如“圆心角相等” “半径和弧长对应成比例”(2)由相似扇形的性质知半径和弧长对应成比例，设另一个扇形的弧长为x ，则a a 2=x m ,∴x =2m.(3)∵两个扇形相似，∴新做扇形的圆心角与原来扇形的圆心角相等，等于120°.设新做扇形的半径为γ，则230γ⎛⎫ ⎪⎝⎭=21，γ=152，即新做扇形的半径为152㎝. 7．证明：在正方形ABCD 中，取AB=2a ，∵N 为BC 的中点，∴12NC BC a ==. 在Rt △DNC 中，2222(2)5.ND NC CD a a a +=+=∵NE=ND ，∴(51)CE NE CN a =-=. ∴2152)15(-=-=a a CD CE ，故矩形DCEF 为黄金矩形. 8．解：（1）证明：∵将菱形纸片AB （E ）CD （F ）沿对角线BD （EF ）剪开，∴∠B =∠D . ∵将△ECF 的顶点F 固定在△ABD 的BD 边上的中点处，△ECF 绕点F 在BD 边上方左右旋转，∴BF =DF .∵∠HFG =∠B ，∴∠GFD =∠BHF ，∴△BFH ∽△DGF ，∴ BF BH DG DF=， ∴BH•GD =BF 2.（2）证明：∵AG ∥CE ，∴∠F AG ∥∠C .∵∠CFE=∠CEF ，∴∠AGF=∠CFE ，∴AF=AG . ∵∠BAD=∠C ，∴∠BAF=∠DAG ，△ABF ≌△ADG ，∴FB=DG ，∴FD+DG=DB ，9．210．解：（1）证明：∵AC 是⊙O 的直径，∴AE ⊥BC . ∵OD ∥B C ，∴AE ⊥OD ，∴D 是 ⌒AE 的中点.（2）方法一：证明：如图，延长OD交AB于G，则OG∥BC.∴∠AGD=∠B.∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO.∵∠ADO=∠BAD+∠AGD，∴∠DAO=∠B +∠BAD.方法二：证明：如图，延长AD交BC于H，则∠ADO=∠AHC.∵∠AHC=∠B +∠BAD，∴∠ADO =∠B +∠BAD. ∵OA=OD，∴∠DAO=∠B +∠BAD.（3）∵AO=OC，∴12OCD ACDS S∆∆=.∵12CEFOCDSS∆∆=，∴14CEFACDSS∆∆=.∵∠ACD=∠FCE，∠ADC=∠FEC=90°，∴△ACD∽△FCE.∴2CEFACDS CFS AC∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，即2144CF⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴CF=2.。