电路分析基础-拉普拉斯变换
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电路的拉普拉斯变换分析法
E s2 2
E s2 2
- sT
e2
E s2 2
- sT
1 e 2
半波正弦周期函数的拉普拉斯变换为
- sT
L
f t
E s2 2
1e 2 1- e-sT
E s2 2
1
- sT
1-e 2
7.2.4 频率平移特性
若 f (t) L
F (s)
则 L{ f (t)e-s0t } F (s - s0 )
( a)
=0
lim e-(s-a)t 0
t
( a)
a 称为收敛域
拉氏反变换 由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，简称拉氏反变换
拉氏变换对
f (t) 1
j
F
(
s)e
st
ds
2j - j
F(s) L[ f (t)] 拉氏正变换 f (t) L-1[F(s)] 拉氏反变换
tf
tdt
f
0
可得
LAd
t
0
Ad
t e-st
dt
Ae0
A
对于单位冲激函数来说，可令上式 A=1，即得：
Ld t 1
书中表7 -1给出了一些常见函数的拉普拉斯变换
拉氏变换法的实质就是将微分方程经数学变换转变成代数 方程，然后进行代数运算，再将所得的结果变换回去。它 和应用对数计算数的乘除相类似。不同的只是在对数运算 中变换的对象是数，而在拉氏变换中变换的对象是函数。
dt
0- dt
L[ f '(t)] L[ df (t)] df (t) e-st dt
dt
0- dt
由上式应用分部积分法，有
L[df (t)] dt
拉普拉斯变换在电路分析中的应用)
拉普拉斯变换在电路 分析中的应用
目录
• 引言 • 拉普拉斯变换基本原理 • 电路元件拉普拉斯变换表示 • 线性时不变电路分析 • 非线性电路分析 • 复杂电路分析 • 总结与展望
01
引言
目的和背景
电路分析的重要性
电路分析是电气工程和电子工程领域 的基础，对于设计和分析各种电路系 统至关重要。
复杂电路的挑战
独立电流源的拉普拉斯变换表示为 $frac{I}{s}$，其中$I$为电源电流。 在拉普拉斯域中，独立电流源的阻 抗与频率成反比。
传输线元件
传输线
传输线的拉普拉斯变换表示为$frac{1}{sqrt{LC}s}$，其中$L$和$C$分别为传 输线的单位长度电感和电容。传输线的阻抗与频率的平方根成反比，随着频率 的增加而减小。
与傅里叶变换的关系
拉普拉斯变换可视为傅里叶变换的扩展，能够处理更广泛 的信号和系统，包括不稳定系统和具有初始条件的系统。
在电路分析中的应用
拉普拉斯变换在电路分析中的主要应用包括求解线性时不 变电路的响应、分析电路的稳定性和暂态行为，以及设计 滤波器、控制器等电路元件。
02
拉普拉斯变换基本原理
定义与性质
利用伏安特性曲线或负载线等方 法，通过图形直观分析非线性电 路的工作状态。
解析法
通过建立非线性电路的数学模型， 采用数值计算或符号计算等方法 求解电路方程，得到电路的响应。
仿真法
利用电路仿真软件对非线性电路 进行建模和仿真分析，可以得到 较为准确的电路响应和性能参数。
拉普拉斯变换在非线性电路中应用
逆拉普拉斯变换
定义
逆拉普拉斯变换是将复平面上的函数转换回时域的过程，它 是拉普拉斯变换的逆操作。通过逆拉普拉斯变换，可以得到 电路的时域响应。
目录
• 引言 • 拉普拉斯变换基本原理 • 电路元件拉普拉斯变换表示 • 线性时不变电路分析 • 非线性电路分析 • 复杂电路分析 • 总结与展望
01
引言
目的和背景
电路分析的重要性
电路分析是电气工程和电子工程领域 的基础，对于设计和分析各种电路系 统至关重要。
复杂电路的挑战
独立电流源的拉普拉斯变换表示为 $frac{I}{s}$，其中$I$为电源电流。 在拉普拉斯域中，独立电流源的阻 抗与频率成反比。
传输线元件
传输线
传输线的拉普拉斯变换表示为$frac{1}{sqrt{LC}s}$，其中$L$和$C$分别为传 输线的单位长度电感和电容。传输线的阻抗与频率的平方根成反比，随着频率 的增加而减小。
与傅里叶变换的关系
拉普拉斯变换可视为傅里叶变换的扩展，能够处理更广泛 的信号和系统，包括不稳定系统和具有初始条件的系统。
在电路分析中的应用
拉普拉斯变换在电路分析中的主要应用包括求解线性时不 变电路的响应、分析电路的稳定性和暂态行为，以及设计 滤波器、控制器等电路元件。
02
拉普拉斯变换基本原理
定义与性质
利用伏安特性曲线或负载线等方 法，通过图形直观分析非线性电 路的工作状态。
解析法
通过建立非线性电路的数学模型， 采用数值计算或符号计算等方法 求解电路方程，得到电路的响应。
仿真法
利用电路仿真软件对非线性电路 进行建模和仿真分析，可以得到 较为准确的电路响应和性能参数。
拉普拉斯变换在非线性电路中应用
逆拉普拉斯变换
定义
逆拉普拉斯变换是将复平面上的函数转换回时域的过程，它 是拉普拉斯变换的逆操作。通过逆拉普拉斯变换，可以得到 电路的时域响应。
一般线性电路的动态分析--拉氏变换法
L [ F ( s )]
2 j c j
F ( s )e ds
注意：拉普拉斯正变换、反变换必须一一对应！
例：求以下函数的象函数：冲激函数； （复习相关知识） （3）指数函数。 解：（1） 单位阶跃函数 f(t) =ε(t)
st 0
2、拉普拉斯反变换
f (t )
1 2
j
c j
c j
F ( s )e ds
st
通常可以L [ ]符号表示对方括号里的时域函 数作拉氏变换；
L[ f (t )] f (t )e dt F ( s)
st 0
用符号L-1 [ ]表示对方括号里的复变函数作 拉氏反变换。 1 c j 1 st
例：利用导数性质求以下函数的象函数：
（1）f(t)=cos(ωt) （2）f(t)=δ(t)
1 d sin(t ) 解：（1） cos( t ) dt
L[sin(t )] 2 s 2
1 d sin(t ) L[cos( t )] L dt 1 s 2 - 0 2 s s 2 s 2
常用函数的拉氏变换及反变换对应表
原函数f(t) cos(ωt)
e-atcos(ωt) t t e-at
象函数F(s)
s s2 2 sa ( s a) 2 2
1 s2 1 ( s a) 2
常用函数的拉氏变换表见教材。
§9.3 拉普拉斯反变换
一、部分分式展开法
电路响应的象函数通常可表示为两个实系 数的s的多项式之比，即s的一个有理分式
结论： 由此可见，根据拉氏变换的性质，可以简化 常用函数的拉普拉斯变换。
常用函数的拉氏变换及反变换对应表 原函数f(t)
电路PPT-拉普拉斯变换
)]
1
1 esT
F1(s)
對於本題脈衝序列
f1
(t
)
(t
)
(t
T 2)F1Fra bibliotek(s)
(1 s
1 s
esT
/
2
)
L[
f
(t
)]
1
1 esT
(1 1 esT/2) ss
11
s
( 1
esT
/
2
)
5.拉普拉斯的卷積定理
若： L[ f1(t)] F1(s) L[ f2(t)] F2(s)
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则：
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例 一些常用的變換
乘法運算變換
①對數變換 A B AB 為加法運算
lg A lg B lg AB
②相量法
正弦量 i1 i2 i
時域的正弦運算 變換為複數運算
相量 I1 I2 I
拉氏變換
對應
f(t)(時域原函數)
F(s)(頻域象函數)
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2. 拉氏變換的定義
原函數f(t) 用小寫字母表示，如 i(t), u(t)
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3.典型函數的拉氏變換
F(s) f (t)estdt 0
(1)單位階躍函數的象函數
f (t) (t)
F(s) L[ (t)] (t)estdt estdt
0
0
1 est s 0
1 s
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a1sm1 (s p1)n
am
F(s)
K11 s p1
(s
K12 p1)2
(s
K1n1 p1)n1
K1n (s p1)n
电路课件第十四章拉普拉斯变换
N (s)
K 1(sj )F (s)sjD (s)sj
N (s)
K 2(sj )F (s)sjD (s)sj
由于F(S)为实系数多项式，K1,K2也是一对共轭复数
设 K 1 K 1 1 K 1 e j1 ,K 2 K 1 1 K 1 e j1
设 K 1 K 1 1 K 1 e j1 ,K 2 K 1 1 K 1 e j1
第14章 拉普拉斯变换
概述：
以往分析方法的局限性
(1)直流电路和正弦电流电路对激励有严格限制，且 只能求稳态响应。
(2)经典法：虽可求全响应，但建立、求解微分方程 都存在困难。
当我们求任何激励下的完全响应时，应用拉氏 变换进行电路分析，称为运算法。其基本步骤类似 于正弦电路的相量法。
时域 电路
经典法、相量法、运算法
f(t)K1e(j)t K2e(j)t
p 1 j,p 2 j
公式二：
一般形式：
ki
N( s ) D' ( s )
s pi
f(t)K 1ep1tK 2ep2tK nepnt
f(t) N (p 1)e p 1 t N (p 2)e p 2 t N (p n )e p n t
D (p 1) D (p 2)
D (p n )
罗必塔法则(补充)
当x a或x 时，两个函数 fx、 x都趋于
1 .设 n m ， D (s) 0 的p 根 1p n为
利用部分分式展开法将F(S)分解为： f(t)K 1ep1tK 2ep2tK nepnt
F (s)K 1 K 2 K n
sp1 sp2
spn
A
Aeat
s a
(sp 1)F (s) K 1 (sp 1) s K 2 p 2 s K n p n
K 1(sj )F (s)sjD (s)sj
N (s)
K 2(sj )F (s)sjD (s)sj
由于F(S)为实系数多项式，K1,K2也是一对共轭复数
设 K 1 K 1 1 K 1 e j1 ,K 2 K 1 1 K 1 e j1
设 K 1 K 1 1 K 1 e j1 ,K 2 K 1 1 K 1 e j1
第14章 拉普拉斯变换
概述：
以往分析方法的局限性
(1)直流电路和正弦电流电路对激励有严格限制，且 只能求稳态响应。
(2)经典法：虽可求全响应，但建立、求解微分方程 都存在困难。
当我们求任何激励下的完全响应时，应用拉氏 变换进行电路分析，称为运算法。其基本步骤类似 于正弦电路的相量法。
时域 电路
经典法、相量法、运算法
f(t)K1e(j)t K2e(j)t
p 1 j,p 2 j
公式二：
一般形式：
ki
N( s ) D' ( s )
s pi
f(t)K 1ep1tK 2ep2tK nepnt
f(t) N (p 1)e p 1 t N (p 2)e p 2 t N (p n )e p n t
D (p 1) D (p 2)
D (p n )
罗必塔法则(补充)
当x a或x 时，两个函数 fx、 x都趋于
1 .设 n m ， D (s) 0 的p 根 1p n为
利用部分分式展开法将F(S)分解为： f(t)K 1ep1tK 2ep2tK nepnt
F (s)K 1 K 2 K n
sp1 sp2
spn
A
Aeat
s a
(sp 1)F (s) K 1 (sp 1) s K 2 p 2 s K n p n
电路分析 第十三章 拉普拉斯变换
第十三章拉普拉斯变换13.1 拉普拉斯变换的定义13.2 一些常用函数的拉普拉斯变换13.3 拉普拉斯变换的基本性质13.4 拉普拉斯反变换13.5 应用拉普拉斯变换分析线性电路用运算法计算线性电路，要将电路方程以复频域函数表达。
把元件伏安特性的时域函数转换成复频域函数关系，将时域电路模型转变成复频域电路模型，按复频域电路模型列出复频域电路方程。
求出复频域解，再反变换为时域解。
13.5.1电路元件的复频域模型电阻：U(s)=RI(s)电感：U L(s)=sLI L(s)−Li L(0−)复频域电路模型：电容：U C(s)=U C(0−)s +1sCI C(s)复频域电路模型：耦合电感：U1(s)=sL1I1(s)−L1i1(0−)+sMI2(s)−Mi2(0−)U2(s)=sL2I2(s)−L2i2(0−)+sMI1(s)−Mi1(0−)运算电路为：13.5.2 电路基本定律在直流电路及相量法中所学到的各种定理及计算方法，如叠加定理，戴维南定理、节点法、回路法等，均可用于复频域电路的分析计算。
13.5.3 运算法分析动态电路应用运算法分析动态电路的步骤：①确定动态元件t=0−时刻的初始值。
②将时域电路变换为复频域电路，动态元件的初始状态作为附加电源处理。
③列出复频域变量的代数方程④求解出复频域解，再由拉氏反变换得时域解。
13.6 网络函数的定义及其性质13.6.1 复频域中网络函数的定义网络函数H(s)：线性非时变网络在单一激励f(t)作用下，零状态响应y(t)的象函数Y(s)与激励的象函数F(s)之比。
H(s)≝Y(s)F(s)响应与激励可以同属于一个端口，也可以不属于同一个端口。
当激励与响应同属于一个端口时，H(s)=Y(s)F(s)=U(s)I(s)称为驱动点阻抗，H(s)=I(s)U(s)称为驱动点导纳；若不属于同一端口，则网络函数称为传递函数，H(s)=U 2(s)I 1(s)称为传递阻抗（转移阻抗），H(s)=I 2(s)U 1(s)称为传递导纳（转移导纳），H(s)=U 2(s)U 1(s) 称为转移（传递）电压比，H(s)=I 2(s)I 1(s) 称为转移（传递）电流比。
电路分析第十三章-拉普拉斯变换
⑵ 在t充分大时， f (t) 满足不等式
f (t) ≤ Me ct
其中M和c 都是实常数，即f(t)为指数级函数。
∫ 则 F (s) = ∞ f (t)e−st dt 0− 在σ > c 的范围内存在。
西南交通大学
证明条件⑵：
∫ 若 ∞ f (t)e−st dt 收敛， 则 L[ f (t)] 也收敛。 0−
)
−
Eε (t
−
t0
)
F (s)
=
L
[
f
(t)] =
E t0
⋅
1 s2
−
E t0
⋅
1 s2
e − st0
−
E
1 e−st0 s
=
E s 2t0
[1− (1+
st0 )e−st0 ]
西南交通大学
3、复频域位移 f (t) ↔ F (s)
f (t)e−αt ↔ F (s + α)
∫ 证明：L [ f (t)e−αt ] = ∞ f (t)e−αte−st dt 0− ∫= ∞ f (t)e−(s+α)t dt = F (s + α) 0−
同理
L[
cosω0t ⋅ε (t)
]=
s
s2 + ω02
5、幂函数tn ，n为正整数
L [ tn
]=
n! s n+1
L[
t
]=
1 s2
西南交通大学
4、幂指数信号 tn n为正整数
L ∫ [t n ] =
∞ 0−
t
en −st
dt
| ∫ =
− tn s
e − st
∞ 0−
f (t) ≤ Me ct
其中M和c 都是实常数，即f(t)为指数级函数。
∫ 则 F (s) = ∞ f (t)e−st dt 0− 在σ > c 的范围内存在。
西南交通大学
证明条件⑵：
∫ 若 ∞ f (t)e−st dt 收敛， 则 L[ f (t)] 也收敛。 0−
)
−
Eε (t
−
t0
)
F (s)
=
L
[
f
(t)] =
E t0
⋅
1 s2
−
E t0
⋅
1 s2
e − st0
−
E
1 e−st0 s
=
E s 2t0
[1− (1+
st0 )e−st0 ]
西南交通大学
3、复频域位移 f (t) ↔ F (s)
f (t)e−αt ↔ F (s + α)
∫ 证明：L [ f (t)e−αt ] = ∞ f (t)e−αte−st dt 0− ∫= ∞ f (t)e−(s+α)t dt = F (s + α) 0−
同理
L[
cosω0t ⋅ε (t)
]=
s
s2 + ω02
5、幂函数tn ，n为正整数
L [ tn
]=
n! s n+1
L[
t
]=
1 s2
西南交通大学
4、幂指数信号 tn n为正整数
L ∫ [t n ] =
∞ 0−
t
en −st
dt
| ∫ =
− tn s
e − st
∞ 0−
拉普拉斯变换基础知识讲解
0
0
0
在t＝0 至t＝0＋ f(t)=(t)时此项 0
2 象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s)。 原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)。
3 象函数F(s) 存在的条件：
0 f (t )est dt est为收敛因子
如果存在有限常数M和c使函数f(t)满足：
s2
s
2
初值定理： f(t)在t = 0处无冲激则
f (0 ) lim f (t) lim SF (S)
t0
s
终值定理：
lim f (t)存在时 t
f () lim f (t) lim SF (S)
t
s0
f () lim f (t) lim SF (S)
t
s0
证：利用导数性质
lim
s0
t (t) t n (t)
1
1
1
n!
S
S2 S n1
微分
sint (t)
S2 2
e-tt n (t )
n!
(S )n1
cost (t)
S
S2 2
e-t (t )
1
S
e-t sint (t)
(S )2 2
L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F (S )
e sT
/
2
)
[
f
(t )]
1 1 esT
1 ( s
1 s
e ) sT /2
1 S
( 1
1 e ST
/2)
F (S ) L[et f (t)]
例1：L[tet (t)]
(S
1
电路基础原理剖析电路的拉普拉斯变换和控制系统
电路基础原理剖析电路的拉普拉斯变换和控制系统在电路理论中，拉普拉斯变换和控制系统是两个非常重要的概念。
通过对电路的拉普拉斯变换，我们可以更深入地理解电路的性质和行为。
而控制系统则是在电路中广泛应用的一种方法，可以用来控制电路的输出以达到特定的目标。
首先，让我们来了解一下拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换是一种将时间域信号转换为复频域信号的数学工具，可以帮助我们更方便地分析和计算电路的行为。
它的基本形式可以表示为：F(s) = ∫[0,∞] f(t) e^(-st) dt其中，F(s)是复频域函数，s是复数变量，f(t)是时间域信号函数。
通过拉普拉斯变换，我们可以将微分和积分等复杂的运算转化为简单的代数运算。
这使得我们更容易分析电路的响应和特性。
接下来，我们来讨论一下控制系统。
控制系统是指根据输入信号的变化来调整电路输出的系统。
它通常由一个或多个传感器、一个或多个执行器和一个控制器组成。
传感器用来检测输入信号，执行器用来产生输出信号，而控制器则根据输入和输出信号之间的关系来调整执行器的操作。
在电路中，控制系统可以用来控制电路的电流、电压等参数，以满足特定的要求。
例如，在自动调节电压的稳压电路中，控制系统可以通过监测电路输出的电压，并根据与设定值的差异来调整电路中的元件，从而使输出电压保持在设定值附近。
控制系统的设计和分析通常使用控制工程中的方法和技术。
其中，反馈控制是一种常用的控制策略。
反馈控制的基本原理是将输出信号与期望值进行比较，并根据比较结果调整控制器的操作，以使输出信号尽可能地接近期望值。
除了反馈控制，还有一种常用的控制策略是前馈控制。
前馈控制是指根据输入信号和输出信号之间的数学模型来计算控制器的输出，而不考虑反馈信号。
前馈控制适用于对系统行为有较好描述的情况。
拉普拉斯变换和控制系统是电路理论中不可或缺的两个概念。
通过对电路进行拉普拉斯变换，我们能够更深入地了解电路的特性和响应。
而控制系统则可以帮助我们实现对电路输出的控制，使其满足特定的需求。
电路分析基础-第11章拉普拉斯变换课件
+ am + bn
m
F(s)=H0
i=1
(s–zi)
n
j=1
(s–pj)
H0 实数常数。
zi F(s)的零点。 pj F(s)的极点。
把F(s)分解成若干简单项之和，而这些简单项可
以在拉氏变换表中找到，这种方法称为部分分式
展开法，或称为分解定理。
2. nm F(s)为假分式，用长除法，得：
(1) n=m：F (s) = A +
2 k et cos(t ) (t 0)
cosx 1 (ejx ejx ) 2
应用举例
例：11-8 求F (s) =
s2
s+3 + 2s + 5
பைடு நூலகம்
的原函数f (t)。
解：F (s)
=
s2
s+3 + 2s + 5
=
s
k1 - p1
+
s
k2 - p2
极点为 p1,2 1 j2
k1
N(s) D(s)
？
解： ℒ [t] ℒ [ t ( )d ] 0
ℒ [ (t)]
s
1 s2
4. 延迟性质
ℒ ℒ 例：11-5 求下图所示矩形脉冲的象函数。
f (t) 1
0T
t
解： f (t) (t) (t T )
F (s) 1 1 esT ss
5. 位移性质 ℒ
ℒ 例：11-6 应用位移性质求下列函数的象函数。
简 表
te-at sin(t)
1
(s a)2
F (s)
s2 2
e-atsin(t)
电路分析-拉普拉斯变换
t 0 s
f (0 ) lim f ( t ) lim sF ( s )
终值定理 f(t)及其导数f (t)可进行拉氏变换，且 lim f ( t )存在时 ，则
t
lim f ( t ) lim sF ( s )
t s 0
例1
1 ℒ [ ( t )] s
. . . . . .
常用函数的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的基本性质 复频域中的电路定律 运算阻抗和运算导纳 拉普拉斯变换法分析电路的动态响应 网络函数
返回目录
15.1
拉普拉斯变换
一、拉氏变换（Laplace transf s ) f (t )e st dt
二、拉氏变换存在条件
当 0 时 lim f ( t )e t 0
t t 在 0的 全 部 范 围 内 收 敛 ， 即 f ( t ) e dt 存 在 ， 0
则 f ( t )e
t
f ( t )可 进 行 拉 氏 变 换 。
j
收敛轴 收敛区
不同的 f (t)，0的值不同，称 0为复平面s内的收敛横坐标。 0
域（time domain）。原函数 f(t ) 用小写字母表示，如 i(t )， u(t )。 F(s) 称为象函数（transform function），属复频域 （complex frequency domain） 。象函数F(s) 用大写字母 表示 ，如 I(s)，U(s)。 记号 ℒ [f(t)]表示取拉氏变换。 ℒ -1 [F(s)]表示取拉氏反变换。
例3
1 1 ) ℒ [ A(1 e )] A( s s 1 j t [sin t ] ℒ [ (e e j t )] ℒ 2j 1 1 1 [ ] 2j s j s j s2 2
f (0 ) lim f ( t ) lim sF ( s )
终值定理 f(t)及其导数f (t)可进行拉氏变换，且 lim f ( t )存在时 ，则
t
lim f ( t ) lim sF ( s )
t s 0
例1
1 ℒ [ ( t )] s
. . . . . .
常用函数的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的基本性质 复频域中的电路定律 运算阻抗和运算导纳 拉普拉斯变换法分析电路的动态响应 网络函数
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15.1
拉普拉斯变换
一、拉氏变换（Laplace transf s ) f (t )e st dt
二、拉氏变换存在条件
当 0 时 lim f ( t )e t 0
t t 在 0的 全 部 范 围 内 收 敛 ， 即 f ( t ) e dt 存 在 ， 0
则 f ( t )e
t
f ( t )可 进 行 拉 氏 变 换 。
j
收敛轴 收敛区
不同的 f (t)，0的值不同，称 0为复平面s内的收敛横坐标。 0
域（time domain）。原函数 f(t ) 用小写字母表示，如 i(t )， u(t )。 F(s) 称为象函数（transform function），属复频域 （complex frequency domain） 。象函数F(s) 用大写字母 表示 ，如 I(s)，U(s)。 记号 ℒ [f(t)]表示取拉氏变换。 ℒ -1 [F(s)]表示取拉氏反变换。
例3
1 1 ) ℒ [ A(1 e )] A( s s 1 j t [sin t ] ℒ [ (e e j t )] ℒ 2j 1 1 1 [ ] 2j s j s j s2 2
《电路分析》拉普拉斯变换
A (t ) A
A (t ) A / s
P294
A eat A sa
t 1/ s2
sin(t )
s2
2
c os(t )
s2
s
2
四、分部分式法求反拉氏变换
F(s) N(s) D(s)
1、当D(s)=0有n个不同实根p1、p2……时
F(s) N (s) k1 k2 kn
D(s) s p1 s p2
k11
n
ki
D(s) s p1 (s p1 )2
(s p1 ) m i2 s pi
其中：k11
(s
p1 ) m
N(s) D(s)
s p1
k12
d [(s ds
p1 )m
N(s)] D(s)
s p1
k13
1 2
d2 ds2
[(s
p1 )m
N(s)] D(s)
s p1
k1m
1 (m 1)!
d m1 dsm1
s j
N(S) D'(s) s j
| k1
| e j1
k2 [s ( j)] F(s)
s j
N(S) D' (s) s j
| k1 | e j1
K1、K2是一对共轭复数。
例3: 已知
F(s) s2 6s 5 s(s2 4s 5)
求 f (t)
F (s)
s2 6s 5 s(s2 4s 5)
s
iC(t) C
+
-
uC(t)
+ UC(s) -
IC(s)
1/sC
CuC(0-)
3、电感 U L (s) sL I L (s) LiL (0 )
《电路分析》拉普拉斯变换
《电路分析》拉普拉斯变换电路分析是电路理论的一部分，其主要目的是通过建立数学模型，研究电路中电压、电流等参数的变化规律及相互之间的关系。
拉普拉斯变换是电路分析中常用的数学工具之一，可以将时域中的电路方程转化为复频域中的代数方程，方便求解和分析。
拉普拉斯变换的基本概念是将一个函数f(t)变换为变量s的函数F(s)。
数学上，拉普拉斯变换定义如下：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞]e^(-st)f(t)dt其中，s为复数变量，F(s)为拉普拉斯变换后的函数，f(t)为原函数。
拉普拉斯变换具有线性性质、平移性质、微分性质等，这些性质使得电路中的微分方程和积分方程可以很方便地通过拉普拉斯变换转化为代数方程。
在电路分析中，拉普拉斯变换可以应用于求解电路中的电压和电流。
通过变换，可以将电路中的微分方程转化为代数方程，然后对代数方程进行求解。
例如，对于一个由电阻、电感和电容组成的电路，可以利用拉普拉斯变换将电路方程转化为复频域中的代数方程，然后通过求解代数方程得到电路中的电压和电流的复频域表达式，最后再进行逆变换得到时域中的电压和电流的解析表达式。
拉普拉斯变换的另一个重要应用是可以用于描述电路中的单位阶跃响应和冲击响应。
单位阶跃响应是指在电路中加入一个单位阶跃信号后电路的响应情况，而冲击响应是指在电路中加入一个冲量信号（冲击函数）后电路的响应情况。
通过拉普拉斯变换，可以将电路中的阶跃响应和冲击响应转化为复频域中的代数方程，从而方便求解和分析。
总之，拉普拉斯变换在电路分析中起着非常重要的作用，它使得电路中的微分方程和积分方程可以通过转化为复频域中的代数方程进行求解和分析。
拉普拉斯变换的应用可以帮助我们更好地理解和掌握电路的特性和行为。
在实际电路设计和故障诊断中，掌握拉普拉斯变换的原理和应用，对于提高电路分析和设计的能力都具有重要意义。
电路拉普拉斯变换
f 1 ( t ) f 2 ( t ) = ∫0 f 1 ( t ξ ) f 2 (ξ )dξ
t
2,卷积定理 , 的象函数分别为F 和 设f1(t) 和f2(t) 的象函数分别为 1(s)和 F2(s) ,有:
L[ f 1 ( t ) f 2 ( t )] = F1 ( s )F2 ( s )
R( s ) = E ( s ) H ( s )
则该网络的零状态响应为: 则该网络的零状态响应为:
r ( t ) = L [ E ( s ) R( s )] = ∫0 e(ξ )h( t ξ )dξ
1
t
= ∫0 e( t ξ )h(ξ )dξ
t
例1
图示电路, 图示电路,R=500k,C= 1F,电流源的电流 电流源的电流 is(t)=2e- t A .设电容上无初始电压,求uc(t). 设电容上无初始电压, . is 解:该电路的冲激响应为: 该电路的冲激响应为:
∞
st
1 ) f ( t ) = sin( ω t ) 例13-2 若: 2 ) f ( t ) = k (1 e at )
上述函数的定义域为[0, ,求其象函数. 上述函数的定义域为 , ∞],求其象函数.
1 1 ( e j ω t e j ω t )] 解: ) L [sin( ω t )] = L [ 2j 1 1 1 [ ] = 2 j S jω S + jω =
∞
st
dt
∞
0
令t t0 = τ
= ∫ f ( t t 0 )e dt = ∫ f (τ )e s (τ + t )dτ 0 t
st
∞
0
= e st
0
∫0
∞
电路原理第九章拉普拉斯变换
稳定性分析方法
利用拉普拉斯变换，通过计算系统的极点和零点，判 断系统的稳定性。
电路系统的频率响应分析
频率响应定义
电路系统在不同频率下的输入与输出关系称为频率响应。
频率响应分析方法
通过拉普拉斯变换将时域函数转换为复频域函数，进而分析频率 响应。
频率响应特性
频率响应具有幅度和相位特性，这些特性决定了电路系统在不同 频率下的性能表现。
到该函数的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换具有线性性和时移性等性质，使得复杂电路的分
03
析变得简单。
拉普拉斯变换的性质
1 2 3
线性性
如果函数$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换分别为 $F(s)$和$G(s)$，那么对于任意实数$k$和$l$， 有$(kf(t)+lg(t))的拉普拉斯变换=kF(s)+lG(s)$。
04
拉普拉斯变换的逆变换
逆变换的定义和性质
逆变换的定义
如果一个函数f(t)的拉普拉斯变换存在，那么就存在另一个函数g(s)的拉普拉斯 变换等于f(t)，并且g(s)可以通过一定的积分运算从f(t)得到，这个过程就是逆 变换。
逆变换的性质
逆变换具有线性、时移、频移、微分、积分等性质，这些性质在求解逆变换时 非常有用。
时移性
如果函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$F(s)$，那么 对于任意实数$a$，有$(f(t-a))的拉普拉斯变换 =e^{-as}F(s)$。
频移性
如果函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$F(s)$，那么 对于任意实数$b$，有$(f(t)e^{bt})的拉普拉斯 变换=F(s-b)$。
拉普拉斯变换的应用
拉普拉斯变换的微分性质
微分性质
如果函数f(t)的拉普拉斯变换存在，那么对于实数a，函数f''(t)的拉普拉斯变换等于函数f(t)的拉普拉斯变换乘以 s^2。
利用拉普拉斯变换，通过计算系统的极点和零点，判 断系统的稳定性。
电路系统的频率响应分析
频率响应定义
电路系统在不同频率下的输入与输出关系称为频率响应。
频率响应分析方法
通过拉普拉斯变换将时域函数转换为复频域函数，进而分析频率 响应。
频率响应特性
频率响应具有幅度和相位特性，这些特性决定了电路系统在不同 频率下的性能表现。
到该函数的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换具有线性性和时移性等性质，使得复杂电路的分
03
析变得简单。
拉普拉斯变换的性质
1 2 3
线性性
如果函数$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换分别为 $F(s)$和$G(s)$，那么对于任意实数$k$和$l$， 有$(kf(t)+lg(t))的拉普拉斯变换=kF(s)+lG(s)$。
04
拉普拉斯变换的逆变换
逆变换的定义和性质
逆变换的定义
如果一个函数f(t)的拉普拉斯变换存在，那么就存在另一个函数g(s)的拉普拉斯 变换等于f(t)，并且g(s)可以通过一定的积分运算从f(t)得到，这个过程就是逆 变换。
逆变换的性质
逆变换具有线性、时移、频移、微分、积分等性质，这些性质在求解逆变换时 非常有用。
时移性
如果函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$F(s)$，那么 对于任意实数$a$，有$(f(t-a))的拉普拉斯变换 =e^{-as}F(s)$。
频移性
如果函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$F(s)$，那么 对于任意实数$b$，有$(f(t)e^{bt})的拉普拉斯 变换=F(s-b)$。
拉普拉斯变换的应用
拉普拉斯变换的微分性质
微分性质
如果函数f(t)的拉普拉斯变换存在，那么对于实数a，函数f''(t)的拉普拉斯变换等于函数f(t)的拉普拉斯变换乘以 s^2。
电路原理拉普拉斯变换
U0 s 1
RC
t
uc (t ) U0e RC
验证初值定理和终值定理
UC
(s)Βιβλιοθήκη sU0 1RC
t
uc (t ) U0e RC
uC
(0
)
limsUC
s
(s)=lim s
s
sU0 1
U0
RC
uC
()
limsUC
s0
(s)=lim s0
s
sU0 1
0
RC
6. 时域卷积定理 (timedomain convolution theorem)
根据延迟性质 F (s) 1 1 esT ss
例6 求三角波旳象函数
f(t) T
解 f (t) t[ (t) (t T )]
F (s) 1 esT s2 s2
f (t) t (t) (t T ) (t T ) T (t T )
F (s) 1 1 esT T esT
s2 s2
拉普拉斯变换旳基本概念
拉普拉斯 变换
拉普拉斯变换旳基本性质
拉普拉斯反变换
反变换公式 拉普拉斯变换表 部分分式展开
§91 拉普拉斯变换
一、拉普拉斯变换简介
拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其关键是把时 间函数f(t)与复变函数F(s)联络起来，把时域问题经过数学 变换为复频域问题，把时间域旳高阶微分方程变换为复频 域旳代数方程以便求解。
t
[f(t)]
d dt
f (t)
s
f (t) f (0 )
微分定理能够推广至求原函数旳二阶及二阶以上导数旳 拉普拉斯变换，即
d2
dt
2
f (t) s{s
电路课件(邱关源)13第十三章拉斯变换
t
f ( t ) = t = ∫0 ε( ξ)dξ
1 L[ε(t)] = s
1 1 1 L[ f (t)] = × = 2 s s s
4. 延迟性质
若 则
L[ f ( t )] = F ( s ) − st L[ f ( t − t0 )] = e F ( s )
0
函 原 数f(t) 数
函 象 数F 数 (s)
i
i
N ( pi ) N ( pi ) ki = ( s − pi ) = ' D( pi ) D ( pi )
k1 k2 kn F ( s) = + + ⋅⋅⋅ + s − p1 s − p2 s − pn
f ( t ) = L [ F ( s )]
−1
= k1e + k2e
p1t
p2 t
+ ⋅ ⋅ ⋅ + kn e
= ∫0 - ε( t − T ) × e
=e
− sT ∞ ' 0-
− αt
∞
− st
∞
− s ( t −T )
× e d (t − T )
− sT
∫ ε( t ) × e dt
−1
− st
'
'
1 -sT = e s
1 − sT ε( t − T ) ⇔ e s
1 -sT L [ e ] = ε( t − T ) s
m
m −1
2、 D(s)=0 有共轭复根。 、 有共轭复根。 D(s)=0有复根，则必须成对出现，为共轭复根。 有复根，则必须成对出现，为共轭复根。 有复根 有一对共轭复根： 设D(s)=0有一对共轭复根： 有一对共轭复根
f ( t ) = t = ∫0 ε( ξ)dξ
1 L[ε(t)] = s
1 1 1 L[ f (t)] = × = 2 s s s
4. 延迟性质
若 则
L[ f ( t )] = F ( s ) − st L[ f ( t − t0 )] = e F ( s )
0
函 原 数f(t) 数
函 象 数F 数 (s)
i
i
N ( pi ) N ( pi ) ki = ( s − pi ) = ' D( pi ) D ( pi )
k1 k2 kn F ( s) = + + ⋅⋅⋅ + s − p1 s − p2 s − pn
f ( t ) = L [ F ( s )]
−1
= k1e + k2e
p1t
p2 t
+ ⋅ ⋅ ⋅ + kn e
= ∫0 - ε( t − T ) × e
=e
− sT ∞ ' 0-
− αt
∞
− st
∞
− s ( t −T )
× e d (t − T )
− sT
∫ ε( t ) × e dt
−1
− st
'
'
1 -sT = e s
1 − sT ε( t − T ) ⇔ e s
1 -sT L [ e ] = ε( t − T ) s
m
m −1
2、 D(s)=0 有共轭复根。 、 有共轭复根。 D(s)=0有复根，则必须成对出现，为共轭复根。 有复根，则必须成对出现，为共轭复根。 有复根 有一对共轭复根： 设D(s)=0有一对共轭复根： 有一对共轭复根
第十三章 拉普拉斯变换电路
相量法(频 域分析法) 谐波分析 法(频域分 析法)
列解相量为 变量的线性 代数方程 列解相量为 变量的线性 代数方程
相量变换 变量频域形式的 KVL、KCL和VCR 激励的傅立叶级数 展开
任意激励 动态电路
？
？
？
13.1 拉普拉斯变换的定义
一.积分变换法 采用经典法列解微分方程去分析动态电路时，必须知道变 量及其各阶导数(直至n-1阶)在t=0+时刻的值，即变量的初始 条件。而电路中给定的初始状态是各电感电流和电容电压在 t=0+时刻的值，从这些值求得所需变量的初始条件工作量很大 ，也很困难，高阶动态电路中尤为突出。 积分变换法是通过积分变化，把已知的时域函数变换为频 域函数，从而把时域的微分方程化为频域函数的代数方程。求出 函数的频域解后，再做反变换，返回时域，求出满足电路初始条 件的原微分方程的时域解，而不需要确定变量的初始条件，即积 分常数。拉普拉斯变换和傅立叶变都是积分变换，但拉普拉斯变 换比傅立叶变换有更广泛的适用性，所以拉普拉斯变换法是求解 任意激励下高阶线性动态电路的有效而重要的方法之一。
二.傅立叶变换 周期函数如果连续或在一个周期内只有有限个第一类 间断点和有限个极值点，它能展开成收敛的傅立叶级数。即 周期函数可表示为成谐波关系的正弦函数的加权和。
f (t ) a0 (ak cos k1t bk sin k1t ) ＝A0 Akm cos(k1t k )
例13－2
二.微分性质
若L f t =F ( s )，则 L f ' t sF ( s ) f (0 )
例13－3 三.积分性质
t f t dt F ( s) 若L f t =F (s)，则 L 0 s
电路分析基础--拉普拉斯变换
2. 时域导数性质
设：L[ f (t )] F ( s)
df ( t ) L[ ] sF ( s ) f (0 ) dt
1 d 例1：L[cos t ] L[ (sin t )] dt
[s 2 sint 2 s
1
0
s ] 2 s 2
1 d 例2：L[ ( t )] L[ ( t )] S ( t ) 0 1 S dt
T t
1 1 sT F ( s) e s s
f ( t ) t[ ( t ) ( t T )]
例2： T
f(t)
T
f ( t ) t ( t ) ( t T ) ( t T ) T ( t T )
1 1 sT T sT F ( s) 2 2 e e s s s
A 例1： L[ A] S
例2： L[ A(1 e
t
1 1 ) )] A( s s
电路分析中应用: KCL、KVL。
1 jt 例3： L[sin t ] L[ (e e jt )] 2j
1 1 1 [ ] 2 2 j S j S j S 2
F(s)称为f(t )的象函数，用大写字母表示 ，如 I(s)、U(s)。 f(t )为原函数用小写字母表示，如 i(t ), u(t )。
二. 常用函数的拉氏变换
F ( S ) f ( t )e st dt
0
st
1.
f (t ) (t )
L[ ( t )] ( t )e dt 0 e dt
f3(t) e-t t
三个函数的拉氏变换式相同
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12.2 拉普拉斯变换的基本性质
学习目标：了解拉氏变换的线性性质，微分性质和积分 性质，运用这些性质进行拉氏变换的形式。
拉普拉斯变换有许多重要的性质，利用这些性质可以 很方便地求得一些较为复杂的函数的象函数，同时也可以 把线性常系数微分方程变换为复频域中的代数方程。
1.代数性质 设函数f1 (t)和f 2 (t)的象函数分别为 F1 (s)和F2 (s)，则函数
2．F2(s)＝０有共轭复根
设共轭复根为p1=α+jω，p2=α-jω，则
k1
F1 (s) F'2 (s)
s
j
，
k2
F1 (s) F'2 (s)
s - j
显然k1、k2也为共轭复数，设k1=|k1| ejθ1，k2=|k1|e-jθ1，则
f (t) k1e( j)t k2e( j)t
k1 e j1 e ( j)t k1 e j1 e ( j)t
L[et ] e( s)t dt 1
0
s
同理可得f(t)=eαt 的拉氏变换为：
L[et ] e( s)t dt 1
0
s
求单位阶跃函数f(t)=ε(t)、单位冲激函数f(t)=δ(t)、 正弦函数f(t)=sinωt的象函数。
由拉氏变换定义式可得单位阶跃函数的象函数为
F(s) L[ (t)] (t)est dt est dt 1 est 1
0
0
s
0 s
同理，单位冲激函数的象函数为
F(s) L[ (t)]
(t)est dt
0
(t
)e
st
dt
e s(0)
1
0
0
正弦函数sin ωt的象函数为：
F (s) L[sin t] sin te st dt 0
e st
s 2 2 (s sin t cos t) 0 s 2 2
频率，称为复频率，其实部恒为正，虚部即可为正、为 负，也可为零。上式左边的F(s)称为复频域函数，是时 域函数f(t)的拉氏变换， F(s)也叫做f(t)的F象(s函) 数L[。f (记t)]作
式中L[ ]是一个算子，表示对括号内的函数进行拉
氏变换。电路分析中所遇到的电压、电流一般均为时 间的函数，因此其拉氏变换都是存在的。
如果复频域函数F(s) 已知，要求出与它对应的时域函
数f(t) ，又要用到拉氏反变换，即：
f (t) 1
j
F
(s)e
s
t
dt
2j j
该式左边的f(t) 在这里称为F(s)的原函数，此式表 明：如果时域函数f(t)已知，通过拉氏反变换，又 可得到它的象函数F(s)，f记(t )作 ：L1[ F (s)]
1．F2(s)＝０有n个单根 设n个单根分别为p1、p2、…、pn ，于是F2(s)可以展开为
F (s) k1 k2 kn
s p1 s p2
s pn
方式法中确k定1、，k即2、把k3上…式、两kn 边为同待乘定以系数(s-。p1)这，些得系数可以按下述
(s
p1 )F (s) k1
F1 (s) F'2 (s)
s pi
i 1，2，3， ，n
待定系数确定之后，对应的原函数求解公式为：
f (t) L1[F (s)] k1e p1t k2e p2t kn e pnt
求F(s) 4s 5 的原函数f (t)。 s 2 5s 6
因为：F1 4s 5，F2 s 2 5s 6，F '2 (s) 2s 5
之和，再逐项求出其拉氏反变换的方法。
F (s) F1 (s) a0 s m a1s m1 am1s am F2 (s) b0 s n b1s n1 bn1s bn
其中m和n为正整数，且n≥m。
把F(s)分解成若干简单项之和，需要对分母多项 式 根作、因共式轭分 复解 根， 和求 重出根F3种2(s情)的况根，。下F面2(s逐)的一根讨可论以。是单
k1 et [e j(t1) e j(t1) ]
2 k1 et cos(t 1 )
求F(s)
s
的原函数f (t)。
s2 2s 5
F2 (s) 0时p1、2 1 j2为共轭复根，所以
k1
F1 (s) F'2 (s)
s p1
s 2s 2
s1 j 2
0.5
j0.25 0.56e j26.6
第12章 拉普拉斯变换
12.1 拉普 拉斯变换 的定义
12.4 应用 拉普拉斯变换 分析线性电路
12.2 拉普 拉斯变换的 基本性质
12.3 拉普 拉斯反变换
本章教学目的及要求
了解拉普拉斯变换的定义和基本 性质。在熟悉基尔霍夫定律的运算形 式、运算阻抗和运算导纳的基础上， 掌握拉普拉斯变换法分析和研究线性 电路的方法和步骤；在求拉氏反变换 时，要求掌握分解定理及其应用。
拉普拉斯变换可将时域函数f(t)变换为频域函数F(s)。 只要f(t)在区间[0,∞]有定义，则有
F (s) f (t)e st dt 0
F (s) f (t)e st dt 0
上式是拉氏变换的定义式。由定义式可知：一个时域
函数通过拉氏变换可成为一个复频域函数。式中的e-st
称为收敛因子，收敛因子中的s=c+jω是一个复数形式的
+ uL (t) －
f (t) Af1(t) Bf 2 (t)的象函数为：
F(s) AF1(s) BF2 (s),
上式中的A和B为任意常数(实数或复数)。这一性质可 以直接利用拉普拉斯变换的定义加以证明。
求f1(t) sin t和f 2 (t) cos t的象函数。
根据欧拉公式： e jt cos t j sin t可得：
什么是拉普拉斯 变换？什么是拉 普拉斯反变换？
已知原函数求象函数 的过程称为拉普拉斯变 换；而已知象函数求原 函数的过程称为拉普拉 斯反变换。
什么是原函数？ 什么是象函数？ 二者之间的关系 如何？
原函数是时域函数， 一般用小写字母表示， 象函数是复频域函数， 用相应的大写字母表示。 原函数的拉氏变换为象 函数；象函数的拉氏反 变换得到的是原函数。
sin t e jt e jt , cos t e jt e jt
2j
2
由前面例题得出 L[e jt ] 1
s j
L[e- jt ] 1
s j
故 L[sin t] 1 ( 1 1 ) 1 s j s j
2 j s j s j 2 j s 2 2
s2 2
同理：L[cos t] 1 ( 1 1 ) s 2 s j s j s 2 2
(s
p1
)
s
k
2
p2
kn s pn
令s=p1，则等式除右边第一项外其余都变为零，即可求得
k1 [(s p1 )F (s)]s p1
同理可得
k2 [(s p2 )F (s)]s p2 ……
kn [(s pn )F (s)]s pn
所求待定系数ki为： ki [(s pi )F (s)]s pi 上式中： i 1,2,3, , n
k2 k1 e j1 0.56e j26.6
|k1| =0.56，α=-1,ω=2,θ1=26.6°,所以原函数为
f (t) 2 k1 et cos(t 1 ) 1.12et cos(2t 26.6)
3．F2(s)＝０具有重根 可分设解p为1为：FF(2s()s)的s 重k12p根1 ，(psi为k1p1其1 )2余单 s根k(2pi从2 2开 始)，则F(s) k12(，s 则对p需1于)2用单F下根(s式)，：仍(s然 采p1 )用k1前2 面k的11 方 (法s 计p算1 )。2 要s k确2p定2 k11、
0
0
f (0 ) s
f (t)e st dt
0
导数性质表明拉氏sF变(s)换 把f (0原) 函数求导数的运算
转换成象函数乘以s后减初值的代数运算。如果f(0-)=0，则
有:
L[ f '(t)] sF(s)
3.微分性质 (可参看课本172页下至173页上) 课本173页的表12.1为一些常用函数的拉普拉斯变换表， 在解题时可直接套用。
又由于F2 (s) 0的根为p1 2，p2 3，代入公式可得：
k1
F1 (s) F'2 (s)
s p1
4s 5 2s 5
s 2
3
k2
F1 (s) F'2 (s)
s p2
4s 5 2s 5
s 3
7
得象函数为 F(s) 3 7 s2 s3
得原函数为 f (t) 3e 2t 7e 3t
由上式把k11单独分离出来，可得：
k11 (s p1 )2 F(s) s p1
再对式子中s进行一次求导，让k12也单独分离出来，得：
k12
d [(s ds
p1 )2
F(s)]s p1
各系如数，果即F2(：s)＝k０1q 具 有(q多1重1)根! dd时sqq，11利[(用s 上p述1 )方q F法(可s)以] s得p1到
利用拉普拉 斯变换的性 质，对解决 问题有何种 效益？
拉普拉斯变换有 哪些性质？
12.3 拉普拉斯反变换
学习目标：了解拉氏反变换解决问题的方法，熟悉拉氏 反变换中的分解定理，学会查表求原函数。
利用拉普拉斯反变换进行系统分析时，常常需要从象 函数F(s)中求出原函数f(t)，这就要用到拉氏反变换。 分解定理：利用拉氏变换表，将象函数F(s)展开为简单分式
引用另数学外中把的分罗部比展塔开法公则式两，可边得同：乘以(s-pi),再令s→pi，然后
ki
lim
s pi
F1 (s)(s F2 (s)